6.2.2导数与函数的极值、最值-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课时练习Word含解析

6.2.2导数与函数的极值、最值课时作业6
A级 巩固基础
一、单选题
1．函数在处取得极值，则（ ）
A．，且为极大值点 B．，且为极小值点
C．，且为极大值点 D．，且为极小值点
2．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在x＝1时，f（x）取得极大值
C．在（4，5）内f（x）是增函数
D．在x＝2时，f（x）取得极小值
3．已知函数在处取得极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
4． 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．函数在上的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　　）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．若函数恰有两个零点，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值
B级 综合应用
9．如图是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的极小值点是（ ）
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
10．下列说法正确的是（ ）
A．当时，则为的极大值
B．当时，则为的极小值
C．当时，则为的极值
D．当为的极值且存在时，则有
二、填空题
11．已知函数，则的极小值为______．
12．已知函数，则在上的最小值是_______________.
13．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有______个.
14．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，则a＝________.
C级 拓展探究
三、解答题
15．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.
16．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.
（1）求函数f(x)＝x＋在上的值域；
（2）若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值．
【详解】
解：∵，
∴，
又在处取得极值，
∴，得，
∴，
由得，，即，
∴，即，
同理，由得，，
∴在处附近的左侧为负，右侧为正，
∴函数在处取得极小值，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．
2．C
【分析】
根据图形，利用单调性和极值的几何特征逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；
对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；
对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；
对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查函数单调性和极值的图形特征，是基础题.
3．C
【分析】
利用列方程，解方程求得的值.
【详解】
，依题意，即.
此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.
所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题.
4．A
【分析】
根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.
【详解】
由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
【点睛】
本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.
5．C
【分析】
求导，讨论原函数在上的单调性，然后求最小值.
【详解】
因为，
当时，，即函数在上单调递减，
故当时，函数有最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的最值，属于基础题.
6．A
【分析】
直接利用函数极小值点的定义求解.
【详解】
由导函数在内的图象知：
函数在开区间内有极小值点1个，
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数极小值点的定义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
7．B
【分析】
通过求导可知：，或，若,则单调，不符题意，显然，由恰有两个零点，所以必有一个极值点为零点，只能是处为零，代入即可得解.
【详解】
，或，
若，则单调，不符题意，故，
恰有两个零点，
必有一个极值点为零点，只能是处，
，解得，
在处取得极大值为．又，
在上的最大值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的零点问题，根据零点个数求参数范围，考查了分类讨论思想，整体计算量不大，属于基础题.
8．D
【分析】
利用研究函数的最值.
【详解】
依题意，所以在上递增，没有最小值，也没有最大值.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.
9．D
【分析】
根据导函数的图象，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项.
【详解】
由导函数f′(x)的图象可以看出，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数y＝f(x)的极小值点是，
故选：D.
【点睛】
本题考查由导函数的图象得出原函数的极值点，属于基础题.
10．D
【分析】
由导函数及极值定义得解.
【详解】
不妨设函数则可排除ABC
由导数求极值的方法知当为的极值且存在时，则有
故选：D
【点睛】
本题考查导数求函数极值,属于基础题.
11．
【分析】
先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值.
【详解】
因为，所以，
由得；由得；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为.
故答案为：.
12．
【分析】
利用导函数可知在上，有单调递减，即可求区间内最小值.
【详解】
在上，有，知：单调递减，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性求区间最值，属于基础题.
13．2
【分析】
根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解.
【详解】
由导函数的图像可知，
函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为，
所以为极大值点，为极小值点，
所以函数的极值点有2个.
故答案为：2
14．
【分析】
由=0解得，再验证即可得解.
【详解】
因为，所以，
因为x＝2是f(x)＝ax3-3x的一个极值点，
所以，故，
经验证当时，是的一个极值点.
所以.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：根据可导函数在极值点处的导数值为0求解是解题关键.
15．（1）；（2）
【分析】
（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；
（2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为,
所以,
解得
所以.
（2）由（1）可知，则，
令，得,
和的变化情况如下表：




2


0



极小值

因为，
所以函数在上的最大值为,
所以，解得,
所以,
由上面可知在上单调递增，在上单调递减；
又因为，
所以函数在上的最小值为.
【点睛】
此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.
16．（1）；（2）.
【分析】
（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；
（2）把条件转化为，分别求解的最小值可得实数a的范围.
【详解】
（1），
因为，所以，即函数为减函数，
因为，所以值域为.
（2）因为?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，
所以，
因为，所以，
所以，即.