6.3利用导数解决实际问题-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课时练习Word含解析

6.3利用导数解决实际问题课时作业7
A级 巩固基础
一、单选题
1．某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）
A． B． C． D．
2．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 小时，原油温度(单位：℃)为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（ ）
A．8 B． C．-1 D．-8
3．已知函数，若函数的图像在点P（1，m）处的切线方程为，则m的值为( )
A． B． C．－ D．－
4．已知函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(x)的解析式应为(　　)
A．f(x)＝exlnx B．f(x)＝e－xln|x|
C．f(x)＝e|x|ln|x| D．f(x)＝exln|x|
5．设函数在处可导，则（ ）
A． B．
C． D．
6．一质点沿直线运动，位移，则速度为零的时刻是（ ）
A．0秒 B．1秒末 C．2秒末 D．1 秒末和2 秒末
7．设函数，下列结论中正确的是( )
A．是函数的极小值点，是极大值点
B．及均是的极大值点
C．是函数的极小值点，函数无极大值
D．函数无极值
8．设,若,则( )
A． B． C． D．
B级 综合应用
9．已知直线与抛物线相交于、两点，是坐标原点，为抛物线的弧上任意点，则当的面积最大时，点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
10．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一万斤藕，成本增加万元．如果销售额函数是是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数若种植2万斤，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕_______万斤?．
12．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
13．将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积取得最大值时，的值为_________.
14．周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______.
C级 拓展探究
三、解答题
15．(本题满分16分)
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在半圆弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（Ⅰ）将y表示成x的函数；
（Ⅱ）讨论中函数的单调性，并判断弧半圆弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
16．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润表示为年产量的函数．
（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？
（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？
参考答案
1．D
【分析】
先求出函数的导数，然后分析单调性，得出正确答案即可.
【详解】
设总利润为（） ，（），
令，可得，当时，,当时，，
故当时，取得最大值.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数求最值的问题，解题关键是正确求出导数，从而得出单调性，属于常考题.
2．C
【分析】
由导数的意义是瞬时变化率可知对函数求导即可得瞬时变化率，进而求最小值即可.
【详解】
f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f′(x)最小＝f′(1)＝－1.
答案：C
【点睛】
导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．
3．C
【解析】试题分析：因为，
函数的图像在点P（1，m）处的切线方程为，得
解得：
故选C.
考点：导数的几何意义.
4．D
【解析】
试题分析：如图，因为函数定义域是{x|x≠0}，排除A选项，
当x→-∞，f（x）→0，排除B，
根据函数图象不关于y轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项C，
故选D．
考点：本题主要考查函数的图象及性质．
点评：基础题，本题以图考图，考查识图能力，函数的性质以及数形结合的思想．
5．D
【解析】解：因为设函数在处可导，则，选D
6．D
【解析】
因为=,所以,解得
7．C
【解析】;
令；
时，时，时，
故是函数的极小值点，函数无极大值。选C
8．B
【解析】
试题分析：对函数求导，则，又，则，可知.故选B.
考点：函数的求导．
9．B
【分析】
为定值，要使的面积最大，只要到的距离最大，进而在点P处的切线与AB平行，设，过点与平行的直线为，利用导数的几何意义求得切点坐标，得到答案.
【详解】
设，过点与平行的直线为，如图：
∵直线与抛物线相交于、两点，
∴为定值，要使的面积最大，
只要到的距离最大，而点是抛物线的弧上的一点，
∴点是抛物线上平行于直线的切线的切点，
由图知点在轴上方，，，由题意知，
∴，即，∴，∴，
故选：B.
【点睛】
本题考查已知切线的斜率求切点坐标问题，将面积最值问题转化为求与边AB平行的切线的切点问题，是数形结合求解一边固定的三角形面积最值问题常用方法.
10．C
【分析】
设为，则，根据题意，可得正六边形的面积为S的表达式，进而可得帐篷的体积为V 的表达式，利用导数，即可求得V的单调性和极值点，即可求得答案.
【详解】
设为，则，
设底面正六边形的面积为，帐篷的体积为.
则由题设可得，正六棱锥底面边长为，
于是，
所以
，
则.
令，解得或（舍去）.
当时，，V单调递增；
当时，，V单调递减.
所以当（m）时，V最大.
故选：C.
11．6.
【分析】
设销售利润为，得，当时，，解得.可得，利用导数研究其单调性即可得出.
【详解】
解：设销售利润为，得，
当时，，解得.
∴，
，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
时，函数取得极大值即最大值，
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
12．
【解析】
解：4x-y-3=0与直线x+4y-8=0垂直的直线l与为：4x-y+m=0，
即在某一点的导数为4，
而y′=4x3，∴在（1，1）处导数为4，
故方程为4x-y-3=0．
13．1
【分析】
由题可得该方盒的容积，，利用导数判断其单调性可求出最值.
【详解】
由题可得，可知该方盒的底面是一个边长为，
则该方盒的容积，，
，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，
故当方盒的容积取得最大值时，的值为1.
故答案为：1.
14．
【分析】
设矩形的一边长为 ,则另一边长为 ,,再利用圆柱的体积公式求得体积的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.
【详解】
设矩形的一边长为 ,则另一边长为 ,,
则圆柱的体积==,
当且仅当,即时等号成立.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了圆柱的体积公式和基本不等式,属中档题.
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.
【详解】
【分析】（1）根据“垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k”，建立数学模型，代入求得比例系数。
（2）即求的最小值。
【详解】
⑴如图,由题意知,,…………（2分）
其中当时，,所以.…………（4分）
所以表示成的函数为…（6分）
⑵,
,…………… (9分)
令得,所以,即,…………… (12分)
当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数. …… (14分)
所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. ……… (16分)
【点睛】本题主要涉及考查函数模型的建立和应用，主要函数求最值方法。
16．（1）；（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
【分析】
（1）根据利润函数＝销售收入函数?成本函数，由此即可求出结果；
（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值；
（3）要使企业不亏本，则利润，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果．
【详解】
（1）设利润为y万元，
得
即
（2）显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大．
（3）要使企业不亏本，则．
即或
得或，即．
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题.