第6章导数及其应用 单元综合测试题-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课时练习Word含解析

人教B版（2019）第六章导数及其应用单元综合测试题
一、单选题
1．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图像在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间上的最大值是，最小值是，若，则（ ）
A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．以上都有可能
5．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
6．设，则此函数在区间(0,1)内为（ ）
A．单调递减， B．有增有减 C．单调递增， D．不确定
7．设则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（ ）
A．(－1,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
10．若，则的解集为（ ）
A． B．C． D．
11．已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且＝，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．曲线在点处的切线方程为_________．
14．曲线在处的切线倾斜角为，则______________.
15．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是_______.
16．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是______.
三、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
18．已知函数f（x）＝sinx+cosx，x∈（0，2π）．
（1）求x0，使；
（2）解释（1）中x0及的意义．
19．已知函数．
（1）求的极值；
（2）求在区间上的最小值．
20．已知函数在处取得极值，.
（1）求的值与的单调区间；
（2）设，已知函数，若对于任意、，都有，求实数的取值范围.
21．已知函数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）若方程有三个不同的解，求b的取值范围．
22．已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅲ）设函数，，试判断的零点个数，并证明你的结论.
参考答案
1．B
【分析】
根据导数的计算公式计算即可.
【详解】
解：，
.
故选：B .
2．A
【分析】
求导，再分别求得，，由点斜式写出切线方程.
【详解】
由题意可得，则．
因为，
所以，
则所求切线方程是，即．
故选：A
3．D
【分析】
由可解得结果.
【详解】
由题意得，函数的定义域为，
．
令，得，解得，
故函数的单调递减区间为．
故选：D
4．B
【分析】
由最大最小相等，可得是常数函数，即可得出结论.
【详解】
∵在区间上的最大最小相等，
∴是常数函数，∴，
故选：B.
5．D
【解析】
∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
故选D.
6．A
【解析】
由y=x-lnx，得，因为，所以，所以函数y=x-lnx在区间(0,1)内为单调递减函数，选A．
7．A
【分析】
构造函数，对其求导判断的单调性，利用单调性即可比较大小.
【详解】
令，，
当时，，，
所以在单调递减，
因为，所以，
即，所以，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数，将题目转化为比较
的大小，利用单调性可比较大小.
8．C
【分析】
由题设条件知：当时，；当时，；当时，．由此观察四个选项能够得到正确结果．
【详解】
解：函数在上可导，其导函数，
且函数在处取得极小值，
当时，；
当时，；
当时，．
当时，；
当时，；
当时，．
当时，．
当时，．
故选：．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．
9．D
【分析】
函数有极大值又有极小值，可知：有两个不相等是实数根，因此△，解出即可．
【详解】
解：因为
所以，
函数有极大值又有极小值，
有两个不相等是实数根，
，
化为，
解得或．
则的取值范围是，，．
故选：．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力．
10．A
【分析】
求导，令，解不等式可得选项．
【详解】
因为，所以，又，
故，即，
结合可得．
故选：A．
11．A
【分析】
根据题意将函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点转化为有两解，令新的函数，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得的取值范围.
【详解】
因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，则有两解，令，则，所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以在处取得极小值，所以，所以，的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
12．C
【分析】
由导数公式得出，从而得出函数的单调性，将不等式可化为，利用单调性解不等式即可.
【详解】
因为，所以函数在区间上单调递减
不等式可化为，即，解得
故选：C
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是由导数公式得出函数的单调性，利用单调性解不等式.
13．
【分析】
求导，根据导数的几何意义，求得切线的斜率，代入直线的点斜式方程，化简整理，即可得答案.
【详解】
由题意得：，
所以切线的斜率，又切点为，
所以切线方程为，即，
故答案为：
14．
【分析】
首先求出，根据导数的几何意义得，然后利用二倍角公式和同角三角函数关系计算.
【详解】
由，所以 ，所以
即处的切线的斜率为2 ，，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义以及求导公式，需熟记基本初等函数的导数公式和运算法则，理解导数的几何意义，并注意二倍角公式和利用同角三角函数的关系弦化切计算.
15．
【分析】
首先求函数的导数，由条件是函数的唯一极值点，说明在无解，或有唯一解，求实数的取值.
【详解】
∵，∴
∴x＝1是函数f（x）的唯一极值点，
在上无解，或有唯一解x=1，
①当x=1为其唯一解时，k=e，令，，
当时，，即h(x)的单调递减区间为，
当时，，即的单调递增区间为，
∴在x=1处，取得极小值，
∴k=e时，x=1是f(x)的唯一极值点；
②当在上无解，
设则，
当时，，即g(x)的单调递减区间为，
当时，，即的单调递增区间为，
∴在x=1处，取得极小值，也是其最小值，，
又k在上无解，，
综上
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：本题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，容易忽略的情况，此时恒成立.
16．
【分析】
由得，根据的范围得，利用导数得，可得，令，将化为关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，
因为，所以，
当时，，，
由得，由得，
所以在上递减，在上递增，
所以在处取得最小值，所以，
所以，
令，则，
所以，
所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：令，将化为关于的二次函数，根据二次函数知识求解是解题关键.
17．（1）；（2）最大值为，最小值为
【分析】
（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；
（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.
【详解】
（1），
令，得，所以的减区间为.
（2）由（1），令，得或知：，为增函数，
，为减函数，，为增函数.
，，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.
18．（1）或；（2）x0是函数f（x）的驻点；是函数f（x）在x0处的切线的斜率.
【分析】
（1）求出，由可求解.
（2）根据导数的几何意义可得答案.
【详解】
解：（1）由题意，有
令，得，即
又，所以或
（2）（1）中是函数的驻点，
是函数在处的切线的斜率．
19．（1）极大值为，极小值是；（2）．
【分析】
（1）利用导数可求出函数的极值；
（2）比较区间端点的函数值与极小值的大小可得结果.
【详解】
（1），
令，则或，
当或时，，故在区间或上单调递增，
当时，，故在区间上单调递减，
故函数的极大值为，极小值是；
（2），，由（1）知，，
比较可知三个数中的最小值为在区间上的最小值，为．
【点睛】
关键点点睛：利用导数求解函数的极值和最值是解题关键.
20．（1），单调递增区间为、，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，由即可求，再利用导数与函数单调性的关系即可求解.
（2）由（1）根据题意可得，再求出函数的最值，从而可得，解不等式即可求解.
【详解】
（1）由题意得的定义域为，，
∵函数在处取得极值，
∴，解得，
则由得或，
、、的关系如下表：





＋
－
＋

极大值
极小值
∴函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）由（1）得函数，
当时，对任意、，都有，
即当，时，，
∵在上单调递减，，∴在上单调递减，
则，，
则，
即，解得或，结合，得，
故实数的取值范围为.
21．（1）；（2）
【分析】
（1）求出函数的导数，令，列出的变化情况表，即可求出最值；
（2）题目等价于有三个不同的解，根据（1）得出的单调性和极值，即可求出的范围.
【详解】
（1）当时，，
，
令，解得，
当变化时，的变化情况如下表：


1
2
3


0
0








可得当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
在上的值域为；
（2）方程有三个不同的解，
即有三个不同的解，
由（1）知，在单调递增，在单调递减，
在处取得极大值为，在处取得极小值为，
，解得.
【点睛】
方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：
（1）先求出函数的导数；
（2）根据导数的正负判断函数的单调性；
（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调递减区间是，单调递增区间是，；极大值，极小值；（Ⅲ）一个，证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）根据和，求函数的单调递增和递减区间，根据极值的定义求极值；（Ⅲ）首先方程等价于，设函数，求函数的导数，分和两个区间讨论函数的单调性，并结合零点存在性定理说明函数的零点个数.
【详解】
（Ⅰ）由，得 .
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）令，得，解得或.
当变化时，和变化情况如下表：










↗
↘
↗
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是，
；
在处取得极大值，在处取得极小值.
（Ⅲ）,，即，
等价于.
设，则.
①当时，，在区间上单调递增.
又，，
所以在区间上有一个零点.
②当时,设.
，所以在区间上单调递增.
又，，
所以存在，使得.
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
所以在区间上无零点.
综上所述，函数在定义域内只有一个零点.
【点睛】
关键点点睛：本题第三问判断零点个数，首先要构造函数，当时，利用二次导数判断单调递增，存在，使得，再判断零点个数时，需结合函数的单调性和端点值共同判断.