8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课前检测（Word含解析）

人教A版8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课前检测题
一、单选题
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（ ）
A． B．64 C．16 D．96
2．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）
A．22 B．20 C．10 D．11
3．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为
A．8 B．12 C．16 D．20
4．棱长为2的正四面体的表面积是（ ）
A． B．4 C． D．16
5．已知三棱柱中，底面，，，，，则该三棱柱的表面积是
A． B． C． D．
6．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（ ）
A．20 B． C．16 D．
7．三棱柱中，，，，，侧棱长为，则其侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )
A．12 B．24 C．28 D．32
9．棱长为的正四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知正四面体的表面积为，其四个面的中心分别为，设四面体的表面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．底面是菱形的直棱柱，它的侧棱长是5，体对角线的长分别是9和15，则这个直棱柱的表面积是_______.
12．正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为______．
13．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为，，棱台的高为4，则它的侧面积为_______
14．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的侧面积__________．
三、解答题
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，
（1）求这个长方体的对角线长。
（2）求这个长方体的的体积
16．如图，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为，求：
（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）求该最短路线的长及的值；
（3）三棱锥体积.
参考答案
1．B
【分析】
设正方体的棱长为，再根据表面积求解得出棱长,进而求得体积即可.
【详解】
设正方体的棱长为，则，
，故体积为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正方体的体积与表面积的计算,属于基础题型.
2．A
【解析】
【分析】
根据长方体的表面积公式计算即可.
【详解】
所求长方体的表面积.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了长方体的表面积公式,属于基础题型.
3．B
【分析】
先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.
【详解】
由题得侧面三角形的斜高为，
所以该四棱锥的全面积为.
故选B
【点睛】
本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．C
【分析】
根据题意求出一个面的面积，然后乘以4即可得到正四面体的表面积．
【详解】
每个面的面积为，∴正四面体的表面积为.
【点睛】
本题考查正四面体的表面积，正四面体四个面均为正三角形．
5．D
【解析】
分析：该几何体的表面积由两个直角三角形的底面与三个矩形的侧面组成，求出直角三角形的面积与矩形的面积即可得结果.
详解：
如图，三棱柱中，底面，，
该几何体的表面积为：
，故选D.
点睛：本题考查值棱柱的性质、三棱柱的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.
6．A
【分析】
该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，由勾股定理可计算出正四棱锥的斜高，即可运用三角形的面积公式求出正四棱锥的侧面积，再求出长方体的侧面积和底面积，再求和即可.
【详解】
由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.
故选：A
【点睛】
本题考查了组合体的表面积，求四棱锥的斜高是关键，考查了运算能力和空间想象能力，属于中档题.
7．C
【分析】
先由题中条件，得到侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形，根据题中数据，分别计算三个侧面的面积，即可求出结果.
【详解】
如图，由已知条件可知，侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形.
在中，，，
∴，∴.
∵，，
∴点到直线的距离为.
∴.
∴.
故选C
【点睛】
本题主要考查棱柱的侧面积，熟记棱柱结构特征以及侧面积公式即可，属于常考题型.
8．C
【分析】
设长方体底面矩形的长与宽分别为，则，，得到答案.
【详解】
设长方体底面矩形的长与宽分别为，则.
又由题意知，解得或.
故长方体的侧面积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了长方体的侧面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
9．A
【分析】
采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果.
【详解】
如图
由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，
所以，所以可知：正四面体的表面积为，
故选：A
【点睛】
本题考查正四面体的表面积，属于基础题.
10．A
【解析】
【分析】
因为正四面体四个面都是正三角形，其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半，通过作出辅助线，可得两四面体的边长比，由面积比是边长比的平方，可得出答案．
【详解】
解：如图所示，正四面体四个面的中心分别为、、、，
四面体也是正四面体．
连接并延长与交于点，
连接并延长与交于点．
、分别为面的中心，
．．
又，．
面积比是相似比的平方，两四面体的面积比为；．
故选：．
【点睛】
本题考查了多面体的面积比是边长比的平方，本题关键是求边长比是多少；类似的有体积比是边长比的立方，三角形的高，中线，角平分线的比等于边长的比，属于基础题．
11．
【分析】
根据直棱柱的性质，结合线面垂直的性质算出底面菱形的两条对角线，再由菱形的性质利用勾股定理算出底面边长为8，由此即可得出这个棱柱的侧面积以及底面积，相加即可.
【详解】
依题意，得直棱柱底面的一条对角线长为，底面的另一条对角线长为，则这个直棱柱的底面积.
又菱形的两条对角线互相垂直平分，故底面边长为，则这个直棱柱的侧面面积.
所以这个直棱柱的表面积.
故答案为：.
【点睛】
本题给出直棱柱满足的条件，求它的表面积.着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，属于中档题.
12．
【分析】
先设正六棱柱的底面边长为，得到底面对角线的长度，再由题意，根据勾股定理，求出，根据棱柱的侧面积公式，即可求出结果.
【详解】
设正六棱柱的底面边长为，
则底面上最长对角线长为，
所以由，解得，
所以侧面积为.
故答案为
【点睛】
本题主要考查棱柱侧面积的计算，熟记棱柱的结构特征与侧面积公式即可，属于常考题型.
13．
【分析】
利用棱台的高为4求出棱台的侧高，再利用正棱台各侧面积相等特征求解．
【详解】
正三棱台的两个底面的边长分别为，，又棱台的高为，则其侧高为，故正三棱台的侧面积．
【点睛】
正棱台各侧面是全等的等腰梯形，则（其中为棱台底面的边数，是棱台一个侧面（梯形）的面积）．
14．
【分析】
根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.
【详解】
三棱锥，平面，，，
画出图像：
易知：每个面都是直角三角形.
【点睛】
本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.
15．(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）设此长方体的棱长分别为a，b，c，则，解出a，b，c，再利用长方体的对角线长l=即可．
（2）由（1）知a，b，c，利用长方体体积公式即可得到结果．
【详解】
（1）设此长方体的棱长分别为a，b，c，则，可得，解得，a=，b=1．
这个长方体的对角线长l==．
（2）由（1）可知：V=abc=．
【点睛】
熟练掌握长方体的侧面积、对角线长及体积计算公式是解题的关键．
16．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）由正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为的矩形求解.
（2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点运动到点的位置，连接交于，则即为所求；然后由≌求解；
（3）根据平面，利用等体积法，由求解.
【详解】
（1）因为正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为的矩形，
所以其对角线长为；
（2）将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，
点运动到点的位置，连接交于，
则是由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线，
其长为，
∵≌，∴，故；
（3）∵平面，
∴，
.