8.6空间直线、平面的垂直(第二课时）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册课前检测（含解析）

人教A版8.6空间直线、平面的垂直(第二课时）课前检测题
一、单选题
1．已知两条不重合的直线和两个不重合的平面和，则下列说法正确的为（ ）
A．若，，则
B．若，，则，为异面直线
C．若，，则
D．若，，，，则
2．以下说法正确的是（ ）
A．空间异面直线的夹角取值范围是
B．直线与平面的夹角的取值范围是
C．二面角的取值范围是
D．向量与向量夹角的取值范围是
3．如图，空间四边形中，平面平面，，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B．与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行
C．平行于同一个平面的两条直线互相平行
D．垂直于同一平面的两直线平行
5．如图，在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
6．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为( )
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
7．若直线平面，点、和直线在平面内，则命题“，则”的真假性及否命题为（ ）
A．真命题，若，则与不垂直
B．假命题，若，则与不垂直
C．真命题，若与不垂直，则与不垂直
D．假命题，若与不垂直，则与不垂直
8．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是（ ）.
A． B． C． D．
9．已知所在的平面为，，是两条不同的直线，，，，，则直线，的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
10．如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
11．平面⊥平面,,，，直线，则直线与的位置关系是___．
12．在棱长为1的正方体中，点分别为线段、的中点，则点到平面的距离为______.
13．如图，在四棱锥中，已知底面是矩形，，，平面，若边上存在点，使得，则实数的取值范围是______．
14．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.
三、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
16．如图，在三棱柱中，，为中点，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
参考答案
1．C
【分析】
利用线面平行、垂直的性质，面面平行的判定定理，即可得出结论.
【详解】
解：对于A，可能，故A不正确；
对于B，，的位置可能是平行直线，可能是相交直线，也可能是异面直线，故B不正确；
对于C，由垂直于同一平面的两条直线平行，得出，所以C正确；
对于D，根据面面平行的判定定理可知，对应平面内的直线如果两条直线是相交的，则两个平面是平行的，故D不正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查空间中的线线、线面、面面的平行或垂直关系，属于基础题.
2．C
【分析】
本题可根据直线与直线、直线与平面、平面与平面以及向量与向量所成的角的取值范围对四个选项依次进行判断，即可得出结果.
【详解】
A项：空间异面直线的夹角取值范围是，A错误；
B项：直线与平面的夹角的取值范围是，B错误；
C项：二面角的取值范围是，C正确；
D项：向量与向量夹角的取值范围是，D错误，
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面以及向量与向量所成的角的取值范围，考查学生对基础知识的熟练度，体现了基础性，是简单题.
3．B
【分析】
过点作,垂足为,证明AD与平面BCD所成的角是,再求的大小即得解.
【详解】
如图，过点作,垂足为.
因为平面平面，，平面平面,
所以平面,
所以AD与平面BCD所成的角是,
因为，且AB＝AD，
所以.
所以AD与平面BCD所成的角是.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
4．D
【分析】
以长方体为载体，结合异面直线所成的角、线面角、线面平行的性质、线面垂直的性质定理逐一判断．
【详解】
解：作任意一个长方体如图，
A，如图，，，但，故A错；
B，如图，由直线与平面所成角的概念可知，直线与平面所成的角相等，但异面，故B错；
C，如图，平面，平面，但，故C错；
D，根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一平面的两直线平行，故D对；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，可借助长方体为载体，将抽象问题具体化，属于易错的基础题．
5．D
【分析】
连接，可得为与平面所成角，在中，即可求解.
【详解】
连接，则为与平面所成角，
设正方体的边长为，则
在中，
故选：D
【点睛】
本题考查了线面角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.
6．D
【分析】
利用空间线面关系定理分别分析四个选项，得到正确答案.
【详解】
对于A 当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；
对于B 当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；
对于C 当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；
对于D 满足面面垂直的性质定理，所以正确
故选：D
【点睛】
此题考查了空间线面关系，线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理的运用，属于基础题.
7．C
【分析】
根据，可证明面，进而可得，可说明真命题；另外利用否命题的书写规则，将条件和结论均否定来选择答案.
【详解】
解：若直线平面，点、和直线在平面内，则命题“，则”为真命题，因为当直线平面，又直线平面，则，又，且，所以面，所以，故为真命题，
其否命题为：若与不垂直，则与不垂直.
故选：C.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定及性质，考查否命题的概念，是基础题.
8．A
【分析】
连接可得平面的垂直，从而得直线与平面所成角，计算可得．
【详解】
如图，连接交于，则，又正方体中平面，平面，∴，而，∴平面，∴是直线与平面所成角，此角大小为45°，余弦值为．
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角．然后计算．
9．C
【分析】
由，根据线面垂直的性质定理，可得结果
【详解】
因为，，
又，所以，
同理可证，所以//.
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面垂直的性质定理，属基础题.
10．D
【分析】
根据线面垂直的判定定理先证明平面，进而可得出结果.
【详解】
平面，.
又，且，平面，
∴直线与垂直.
【点睛】
本题主要考查线线垂直的判定，由线面垂直可得线线垂直，熟记线面垂直判定定理即可，属于常考题型.
11．
【分析】
利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得.
【详解】
在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.
【点睛】
空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.
12．
【分析】
先求出，再利用求出点A到平面EFC的距离得解.
【详解】
由题得
所以,
所以.
设点到平面的距离为，则,
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．
【分析】
利用直线与平面垂直的判定和性质将问题转化为以为直径的圆与有交点可得答案.
【详解】
连接，如图：
因为平面，所以。
又，且，
所以平面，所以，
所以以为直径的圆与有交点，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，属于基础题.
14．6
【分析】
由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解.
【详解】
解：，O为的中点，
.
又平面平面，且交线为，
平面.
平面，，
为直角三角形.
∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.
15．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析.
【分析】
（1）通过证明，，即可得证；
（2）通过平行关系转化证明即可得证；
（3）通过证明平面，证明.
【详解】
证明：（1）如图，取AB的中点D，连接CD、DP，
∵P为的中点，.
又∵Q为的中点，，
.
∴四边形CDPQ为平行四边形，.
又，D为AB的中点，.
（2）∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC.
，由（1）知.
又，.
（3）由（1）（2）知，，而.
平面.
平面，.
【点睛】
此题考查线线垂直和线面垂直的证明，以及两个垂直关系的综合应用，属于基础题目.
16．（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）连结交于点，连结，得到，从而证明平面.
（2）由，得到，由平面平面，得到平面，从而得到，可以得到平面，再得到.
【详解】
证明：（1）连结交于点，连结.
因为是三棱柱，所以是平行四边形，所以为中点.
有因为为中点，所以.
又平面，平面，所以平面.
（2）因为，为中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
【点睛】
本题考查线面平行的判定，面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质，属于简单题.