(共25张PPT)
圆柱、圆锥、圆台
高一数学
棱柱
棱锥
棱台
一．圆柱及相关概念
1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
生成过程
轴
2．相关概念：
（1）圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
（2）圆柱的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高；
（3）圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
（4）圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
侧面
轴
底面
（5）圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。
侧面
轴
底面
母线
3．圆柱的表示方法：
用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO.
4．圆柱的性质：
（1）圆柱的底面是两个半径相等的圆，圆的半径等于矩形的边的长，两圆所在的平面互相平行；
（2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；
（3）母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高.
二．圆锥及相关概念
1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
生成过程
2．相关概念：
（1）圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴；
（2）圆锥的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆锥的高；
轴
（3）圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
（4）圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
轴
底面
侧面
（5）圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线；
轴
底面
侧面
母线
3．圆锥的表示方法：
用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO.
3．圆锥的性质：
（1）圆锥的底面是一个圆，圆的半径就是直角边的长，底面和轴垂直；
（2）平行于底面的截面是圆；
（3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形；
（4）过顶点和底面相交的截面是等腰三角形;
（5）母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。
三．圆台及相关概念
1．定义：以直角梯形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台。
生成过程
2．相关概念：
（1）圆台的轴：旋转轴叫做圆台的轴；
（2）圆台的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆台的高；
轴
（3）圆台的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；
（4）圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；
轴
下底面
上底面
侧面
（5）圆台的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线。
轴
下底面
上底面
侧面
母线
3．圆台的表示方法：
用表示它的轴的字母表示，如圆台OO。
4．圆台的性质：
（1）圆台的底面是两个半径不等的圆，两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直；
（2）平行于底面的截面是圆；
（3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形；
（4）任意两条母线（它们延长后会相交）确定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形；
（5）母线都相等，各母线延长后都相交于一点。
例1 .用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1 ：4，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.
解：设圆台的母线为l，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r，4r，根据相似三角形的性质得
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
小结
名称 圆柱 圆锥 圆台
图形
定义
性质
以矩形一边所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体。
以直角三角形一直角边所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体
轴截面是全等的矩形
轴截面是全等等腰三角形
轴截面是全等等腰梯形
1、判断题：
（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连
线是圆柱的母线． （ ）
（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（ ）
反馈练习
2、（1）圆柱的轴截面是正方形，它 的面积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
（2）圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是 ,求圆锥的高与母线的长。
（3）圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为2cm,10cm,高为3cm,求圆台母线的长。
(h=3， c=2πr=3π)
(h= ，l=2)(共22张PPT)
空间中两条直线垂直定义：
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线相互垂直
旗杆与底面垂直
生活中的线面垂直现象：
直线与平面垂直
大桥的桥柱与水面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
与桌面内任意一条过点B的直线的关系怎样？
与桌面内任意一条不过点B的直线的关系怎样？
直线垂直于平面内的任意一线．
你认为直线与平面垂直该怎样定义才恰当？
书脊AB所在直线:
想一想
A
B
B1
C1
C
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
记作 ．
平面 的垂线
直线 l 的垂面
垂足
直线与表示平面的平行四边形的一条水平边垂直
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l 和平面 α互相垂直（ ）
辨析：
B
C
l
直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于平面α中的任意一条直线
过纸片△ABC的顶点A翻折纸片,得折痕AD,将翻折后的纸片竖放在桌面上(BD,DC与桌面接触)如图所示.
线面垂直判定定理的探究
动手操作—确认定理
A
D
C
B
A
B
D
C
a
D
B
A
C
B
D
C
你发现，当折痕AD在什么位置时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直？
A
（1）折痕AD所在直线与桌面所在平面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面α 吗
（2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论
a
B
D
C
A
线不在多，相交就行
如果一条直线和一个平面内的两条相交
直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直的判定定理
建构数学
五推一
记忆：线线垂直，则线面垂直
找出几何体(正方体一角)中的线面垂直关系.
A
C
D
B
E
找一找
AC ⊥面？
BC⊥面？
DC⊥面？
BD⊥面？
推论1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
已知：
（如图）
求证：
证明：
是
设
内的任意两条相
交直线.
这也可以作为判断直线与平面垂直的一个方法
∥
直线与平面垂直的性质定理
推论2：如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行
l
m
∥
试着给出证明过程！！
l
m
∥
证明：
假设直线l与m不平行，过直线m与平面 的
交点，作直线 l
∥
B
则有 ⊥
设m与 确定平面 ，与 交与直线a
a
因为
m与 都垂直于 ，所以m与 都垂
直于 直线a。
如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形
C
O
B
A
P
探究：
练习： 如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC，PB =PD .求证：PO⊥平面ABCD
C
A
B
D
O
P
练习2. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC
P
V
A
C
B
且VP∩BP=P
∴ AC⊥面VPB
∴ AC⊥VB
∵VA=VC,且P为AC的中点
∴AC⊥VP
同理AC⊥BP
解：取AC的中点P，连接VP、VB
又VP 面VPB,PB 面VPB
线线垂直
线面垂直
数学思想:
线线平行
定义,判定定理
推论1
定义
转化思想
例题：
P50，例1、例2、例3
练习：
P51，练习A、B(共10张PPT)
1 、直线和平面垂直的定义
4 、 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
2、 直线和平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
3、直线和平面垂直的判定方法：
a 定义法
b 判定定理法
c 平行线法
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
垂直于同一平面的两条直线平行
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 和平面互相垂直 ．
一、复习回顾：
5 、平面与平面垂直的定义
6、 两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互 相垂直．
3、线面平行法：
如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这 两个平面互相垂直
7、 面面垂直的判定方法：
1、定义法：
2、判定定理法：
例1、已知：⊿ABC中∠ABC=900，SA⊥平面ABC，
E、F分别为点A在SC、SB上的射影
求证：SC⊥EF
S
A
B
C
E
F
证明
∴AB⊥BC SA⊥BC
∵∠ABC=900，SA⊥平面ABC
∴BC⊥平面SAB BC⊥AF
∵F为点A在SB上的射影
∴AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC ∴AF⊥SC
∵E为点A在SC上的射影 AE⊥SC
∴SC⊥EF
二、知识运用与解题研究
∴SC⊥平面AEF
例2：
已知：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，
面PCD⊥面ABCD，
面PAD⊥面ABCD，
AD=PD，E、F分别是
CD、PB的中点。
求证：EF⊥面PAB
P
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例3、已知 正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E为DD1的中点，A1C1
与B1D1相交于O1
求证 BO1⊥平面A1C1E
O1
E
A
A1
B1
C1
B
C
E
例4：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
课堂小结
2、“转化思想”
线面关系
线线关系
面面关系
线面垂直
线线垂直
面面垂直
1、两个平面垂直的判定定理和性质定
3、平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
P54 练习B： 3
P56 习题1-2 A：5、7、12
B: 8、9、11
P59 巩固与提高：3、7、8
P60 自测与评估：2、3、4、5
作业：(共26张PPT)
三视图2
三视图的形成
左视图
主视图
俯视图
有时把主视图
称为正视图
有时把左视图
称为侧视图
俯视图
左视图
主视图
三视图的形成
三视图的对应规律
作三视图的原则:
“长对正、高平齐、宽相等”
它是指：主视图和俯视图一样长：主视图和左视图一样高：俯视图和左视图一样宽
主视图和俯视图长对正
主视图和左视图高平齐
俯视图和左视图宽相等
基本几何体三视图
对于基本几何体棱柱、棱锥、棱台以及圆台的三视图是怎样的？
六棱柱
主
左
俯
棱柱的三视图
正三棱锥
主
左
俯
棱锥的三视图
棱锥的三视图
正四棱锥
主
左
俯
棱台的三视图
正四棱台
主
左
俯
圆台
主
左
俯
圆台的三视图
圆台
主
左
俯
圆台的三视图
下面是一些立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称:
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
由三视图想象几何体
下面是一些立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称:
正视图
左视图
俯视图
圆锥
由三视图想象几何体
四棱锥
一个几何体的三视图如下,你能说出它是什么立体图形吗
由三视图想象几何体
从上面看
从左面看
从正面看
俯视图
左视图
主视图
练习 1
练习 2
主视图
左视图
俯视图
找出下列图形的三视图？
练习 3
甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“ ”，丙说他看到的是“ ”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )
A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
D
练习 4
下列两组三视图分别是什么几何体？
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
练习 5
一个几何体的三视图如下，
则这个几何体是______
主视图
左视图
俯视图
六棱锥
练习 6
画下面六棱柱的三视图
主视图
俯视图
左视图
练习 7
练习 8
如图是一个物体的三视图，试说出物
体的形状。
主视图
左视图
俯视图
练习 9
如图是一个物体的三视图，试说出物体
的形状。
主视图
左视图
俯视图
练习 10
知识结构
欣赏三视图
回忆学过的几何体的三视图
三视图的有关概念
其他基本几何体的三视图
由三视图想象几何体(共13张PPT)
已知两条直线：
我们来研究两条直线垂直的条件:
因为直线 与直线 平行或重合，
直线 与直线 平行或重合，
因此研究 和 垂直时，可转化为研究直线
假定 和 都不与坐标轴平行或重合
当 时，通过坐标原点作直线
则有
在直线 和 上，分别
取两点
由勾股定理得：
x
A
O
B
y
化简得：
由假定知
因此 代入 得：
因为A,B都不在y轴上，所以
因此
即
由于上面推导的每一步都是
可逆的因此可以证明直线
从而也就证明了直线
假定 和 中有一条直线与坐标轴平行或重合
也有同样的结论，请同学们验证。
反过来，有条件 也可以推出
根据上述分析可得结论
例1、判断下列各组中的两条直线是否垂直：
（1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0
（2）y=3x+1与y=- x+5
（3）2x=7与3y-5=0
例2、求证：直线Ax+By+C1=0与直线
Bx-Ay+C2=0垂直
一般地，我们可以把与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程表示为？
同样可证明与直线y=kx+b(k 0)垂直的直线方程表示为？
Bx-Ay+D=0
变式1:求过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程.
变式2:已知直线ax+(1-a)y-3=0与
直线(a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,求a的值.
X-2y=0
a=1或-3
例3 已知A（5，－1），B（1，1），C（2，3），试判断△ABC的形状.并求AB边上的高所在的直线方程
x
o
y
A
B
C
课堂练习
1.如果直线ax+y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a = .
2.已知点A（m，1），B（-3，4）C（1，m），D（－1，m＋1）若直线AB与CD垂直.求实数m的值:
-1
-9/2
1或3
两条直线互相垂直的判定程序
两条直线方程
求它们的斜率
一个斜率为 0，一个斜率不存在
垂直
k1.k2= - 1
垂直
不垂直
k1.k2≠ - 1
作业:
P87练习A：1、2，3，4.
P87习题B: 1、2，3，4.(共19张PPT)
α
β
感受两个平面垂直
如图，平面 相交，交线为CD，在CD上任取一点B，通过B分别在平面 内作直
线BA、BE，使
于是有直线CD⊥平面ABE
一、两个平面垂直的定义：
当∠ABE为直角时（即 ），
给我们以 垂直的印象。
两个平面垂直的定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线相互垂直，就称这两个平面相互垂直。
平面 、 互相垂直，记作 ⊥
如何判断两平面互相垂直？
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
那么所砌的墙面与地面垂直。
二、平面与平面垂直判定定理
平面与平面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
α
β
A
B
C
D
α
β
A
B
C
D
已知：直线AB 平面 ，直线AB 平面 。
求证：平面 平面 。
在平面β内过B点作BE⊥CD。
证明：设 β=CD，AB β=B ，
E
ü
^
⊥CD
BE
CD
AB
CD
^平面ABE
β
BE
β
AB
^
BE
AB
^
平面β。
平面α
^
ü
ü
AB BE=B
请问哪些平面互相垂直的,为什么
练习
A
B
C
D
三、两平面垂直的性质
α
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
D
E
F
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直 线面垂直
α
β
A
B
C
D
E
两平面垂直的性质定理
已知：平面 ⊥平面β， ∩β=CD，
求证：AB⊥β。
AB⊥CD，Ｂ为垂足。
AB 平面 ，
α
β
A
B
C
D
E
证明：在平面β内过点Ｂ作ＢＥ⊥CD.
因为 ⊥ β，
所以 AB⊥ＢＥ.
又因为 AB⊥CD，CD ∩ＢＥ＝Ｂ，
所以 AB⊥β.
A
B
C
D
A
B
D
C
例2：已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
∩
β
α
a
P
b
c
证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与b直线重合.
所以a α.
∩
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面 。
β
α
a
P
结论：
例3 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。
γ
α
β
a
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,
求证： a⊥γ.
已知：α⊥γ ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ
γ
α
β
a
b
c
P
M
N
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.
因为 α⊥γ，β⊥γ ，
所以 PM ⊥α， PN ⊥β.
因为 α ∩ β= a，
所以 PM⊥a，PN⊥a，
所以 a⊥γ.
例4 已知：如图，平面 ⊥平面β ，在 与β的交线上取线段AB=4cm，AC、BD分别在平面 和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC= 3cm ,BD=12cm,求CD长。
解：连接BC.
因为 AC⊥AB,所以 AC ⊥ β，AC ⊥BD.
因为 BD ⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面 和β的交线，
所以 BD ⊥ ，BD⊥BC.
在直角△BAC中，
在直角△CBD中，
所以 CD长为13cm.
A
B
C
D
1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4
B
2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4
D
练习题1：
课堂小结：
2、“转化思想”
线面关系
线线关系
面面关系
线面垂直
线线垂直
面面垂直
1、两个平面垂直的定义、判定定理和性质定
3、平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
练习：P54 练习A、B
习题1-2 A、B
课后作业：(共27张PPT)
一．平面的基本性质：
1．公理1：
①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ；
②图形语言：
③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α
AB α.
练习：
（1）
。
（2）
。
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；
（2）公理1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。
2．公理2：
①文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点确定一个平面。
②图形语言：
③符号语言：A、B、C三点不共线，有且只有一个平面α，使得A∈α，B∈α， C∈α.
如何理解公理2？
公理2是确定平面的条件.
深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平面惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟一这两方面.
公理2的作用有两个：
（1）确定平面
（2）证明点、线共面
3. 公理3：
①文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
②图形语言：
③符号语言：
P∈l.
P∈(α∩β)
α∩β=l
如何理解公理3？
(1) 公理3反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有“两面共一线，且过这一点，线惟一”.
(2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.
(3) 公理3的作用:
其一判定两个平面是否相交;
其二可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
文字语言 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a与A共属于平面α且平面α惟一 .
（1）推论1：
a是任意一条直线
点A a
（2）推论2：
文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
b是任意一条直线
a是任意一条直线
a∩b=A
（2）推论3：
文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
a，b是两条直线
a//b
m
图2
l
三、异面直线
l
m
P
图1
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）
1、异面直线
判断：
(1)图中直线m和l是异面直线吗
α
β
l
m
m
l
(2) ,则a与b是异面直线吗？
(3) a,b不同在平面α内,则a与b是异面吗？
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托, 异面直线不同在任何一个平面的特点.
直线和平面位置关系的符号表示.
（1）点A在平面α内，记作A∈α，点B不在平面α内，记作B α；
（2）直线l在平面α内，记作l α，直线m不在平面α内，记作m α；
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β=l；
（4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A},简记为l∩m=A.
例1．如图，平面ABEF记作α，平面ABCD记作β，根据图形填写：
（1）A∈α，B α，E α，
C α，D α；
（2）A∈β，B β，C β，
D β，E β，F β；
（3）α∩β= ；
∈
∈
∈
∈
∈
AB
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
例3．（1）不共面的四点可以确定几个平面？
（2）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？
（3）共点的三条直线可以确定几个平面？
4个
3个
1个或3个
例4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
解：在平面AA1D1D 内，延长D1F，∵ D1F与DA不平行，因此D1F与DA 必相交于一点，设为P，
P
P
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F内.
则P∈D1F，P∈DA ，
AD 平面ABCD，P∈平面ABCD，
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连结PB，PB 即为平面BED1F 与平面ABCD的交线.
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长线后分别交平面α于点P、Q、R，
求证：点P、Q、R在同一条直线上.
证明：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据公理3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l，
∵ P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩面α=P，∴ P∈面α.
∴ P是面ABC与面α的公共点，
∵ 面ABC∩面α=l，∴P∈l，
同理，Q∈l，R∈l，
∴ 点P、Q、R在同一条直线l上.
课时小结
平面的基本性质及其推论
上述公理和定理的用途
对公理和定理的应用
作业： P38 练习A 6
练习B 6、7(共20张PPT)
直线与平面平行
空间两条直线的位置关系有哪几种
平行直线 相交直线 异面直线
它们是按什么标准分类？
问题：
直线与平面的位置关系有哪几种
它们可以按什么标准分类？
复习
特征
图形表示
符号表示
内容
关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
有无数个
公共点
有且只有一个
公共点
没有公共点
a
a
A
a
a
a ∩ =A
a ∥
a
线面位置关系
将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动，观察AB的对边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？
从中你能得出什么结论？
A
B
C
D
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一条直线， CD ∥ AB ，则CD ∥桌面
直线AB、CD各有什么特点呢？
它们有什么关系呢？
猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
b
a
b
a∥ b
a
a ∥
注明：
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告诉我们：
要证线面平行，只要在面内找一条线，使线线平行。
已知：a b a//b
求证：a//
a
b
P
证明：设 a,b确定平面 ， =b
假设a与 不平行
则a与 有公共点P
则P =b
这与已知a//b矛盾
∴a //
证明
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
问题：你能找出图中与平面ABCD平行的直线吗？
例1 已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点
求证：EF∥平面BCD
证明：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF ∥ BD
∴EF ∥平面BCD
BD 平面BCD
∩
A
B
C
D
E
F
在△ ABD中
又∵EF 平面BCD，
练习1 两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点
求证：MN ∥面BCE
D
A
N
M
C
B
F
E
P
Q
M、N 是AC，BF上的点且AM=FN
D
A
N
M
C
B
F
E
变式
直线和平面平行的性质定理
问题：如果一条直线和一个平面平行，该直线是否与该平面内所有直线都平行？
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
m
l
注明：
1、定理三个条件缺一不可。
2、简记:线面平行,则线线平行。
直线和平面平行的性质定理
m
l
证明：
又因m在α内，
∵ ∥α，
∴ 和α没有公共点；
∴ 和m也没有公共点；
又 和m都在平面β内，且没有公共点，
∴ ∥m．
例2求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内.
l
P
m
m
α
(否则过点P有两条直线与l平行，这与平行公理矛盾)．
已知：l∥α，点P∈α，P∈m，且m∥l
求证：m
证明：
设l与P确定的平面为β，
且α∩β=m′，则l∥m′．
又l∥m，m∩m′=P，
∴ m与m′重合
∴ m
1、判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例.
( 1 )如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；( )
（2）如果直线a和平面α 满足a∥ α ,那么a 与α内的任何直线平行;( )
（3）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,b ∥ α,那么a ∥ b ;( )
( 4 )过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.( )
反馈练习
2、填空
（2）若两直线a、b相交，且a ∥ α，则b与α的位置关系可能是
b ∥ α，b与 α相交
b ∥ α，或b α，
或b与 α相交
（1）若两直线a、b异面，且 a ∥ α,则b与α的位置关系可能是
（3）平面外一条直线上有两点到平面距离相等，
则直线与平面的位置关系
（4）直线与平面平行的等价条件是直线与平面
内的（ ）
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交
平行或相交于一点
D
3、已知：P是平行四边形ABCD所在平面外一点，
M为PB的中点.
求证：PD//平面MAC.
A
P
B
C
D
M
O
4、已知E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱BC、Ｃ1Ｄ1的中点，求证:EF ∥平面BB1D1 D.
D
A
B
C
A1
C1
D1
B1
取BD中点O，则OE为△ BDC 的中位线.
∴Ｄ1ＯＥＦ为平行四边形
∴EF ∥Ｄ1Ｏ
∴ EF ∥平面BB1DD1
又∵ EF 平面BB1DD1，Ｄ1Ｏ 平面BB1DD1
E
F
O
∴ＯＥ DC,Ｄ1Ｆ Ｃ1Ｄ1
∴Ｄ1Ｆ ＯＥ
=
∥
=
∥
=
∥
证明:
归纳小结：
1.本节课学习了直线与平面的位置关系
2.主题：线面平行的判定定理和性质定理
内容：内外直线平行则线面平行（判定定理）
线面平行得线线平行（性质定理 ）
关键：在面内找（作）线与已知线平行
3 .降维思想(共24张PPT)
三视图1
请同学们看下面几个常见的自然现象,考虑它们是怎样得到的
这种现象我们把它称为是投影.
投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
欣赏三视图
欣赏三视图
欣赏三视图
欣赏三视图
基本几何体的三视图
回忆初中已经学过的正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图．
正方体的三视图
左
俯
主
长方体
左
俯
长方体的三视图
主
圆柱
左
俯
圆柱的三视图
主
圆锥
左
俯
圆锥的三视图
主
球体
左
俯
球的三视图
主
平行投影
斜投影
正投影
在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为
----正投影
“视图”是将物体按正投影向投射面投射时所得到的投影图．
三视图有关概念
正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：
1、垂直于投射面的直线或线段的正投影是点。
2、垂直于投射面的平面图形的正投影是直线
或直线的一部分。
为了使空间图形的直观图更准确的反映空间图形的大小和形状，需要把图形向几个不同的平面分别作正投影，然后把这些投影图放在同一个平面内，并有机的结合起来表示物体的形状和大小。
通常选取三个两两相互垂直的平面作为投射面。
一个投射面水平放置，叫做水平投射面。投射到这个平面内的图像叫做俯视图。
一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面。投射到这个平面内的图像叫做主视图。
和直立、水平两个投射面都垂直的投射面，叫做侧立投射面。通常把这个平面放置在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图像叫做左视图。
将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在同一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图。
主视图
左视图
俯视图
三视图的形成
水平投射面
侧立投射面
直立投射面
三视图的形成
左视图
主视图
俯视图
有时把主视图
称为正视图
有时把左视图
称为侧视图
俯视图
左视图
主视图
三视图的形成
长对正
高平齐
宽相等
三视图的特点
三视图的对应规律
作三视图的原则:
“长对正、高平齐、宽相等”
它是指：主视图和俯视图一样长：主视图和左视图一样高：俯视图和左视图一样宽
主视图和俯视图长对正
主视图和左视图高平齐
俯视图和左视图宽相等
从前面正对着物体观察，画出主视图，主视图反映了物体的长和高及前后两个面的实形．
从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和宽及上下两个面的实形．
三视图表达的意义
从左向右正对着物体观察，画出左视图，布置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和高及左右两个面的实形.
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
主视图和俯视图
俯视图和左视图
主视图和左视图
----长对正
----高平齐
----宽相等(共21张PPT)
空间中的平行直线
一．空间中两直线的位置关系
(1)相交直线
(2)平行直线
(3)异面直线
问题:在这三种位置关系中,两条直线是否共面 其交点有几个
有且仅有一个公共点
没有公共点
没有公共点
共面,
共面,
不同在任何一个平面内,
与不在同一平面内有何不同
从是否共面分
共面直线
异面直线
平行直线
相交直线
从公共点个数分
无公共点
有一个公共点——相交直线
平行直线
异面直线
练习
1.空间的两条平行直线指的是( )
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别位于两个平行平面内的两条直线
C.分别位于两个不同平面内,而且没有公共点有两直线
D.位于同一平面内,且没有公共点的两直线.
问题:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线是否平行
思考:对于空间三条直线,是否也有同样的规律 试举例说明.
二、空间的平行直线
（空间平行直线的传递性）
公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
即若a//b，b//c，则a//c
已知：∠BAC和∠B’A’C’的边
AB∥A’B’，AC∥ A/C/ ，
且方向相同
求证：∠BAC＝∠ B’A’C’
2.等角定理
若一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等
注意条件:
“平行”且“方向相同”
如果方向相反呢？
等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
已知:∠BAC和∠ B′A′C′的边AB∥A′B′, AC ∥A′C ′,并且方向相同.
求证:∠BAC=∠ B′A′C′
证明:
(1)在同一平面内
(2)不在同一平面内
在边上取等长的线段，得平行四边形，进而得三角形全等。
A
B
C
B′
A′
C ′
D′
D
E
E′
α
β
如果一组相同，另一组相反？
3.平移: 若空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F’的位置,则说图形在空间作了一次平移。
问题：图形平移后与原图形是否全等？对应角的大小和对应两点的距离是否保持不变？
4. 空间四边形:
A
B
D
C
顺次连结不共面的四点A、
B、C、D，所组成的四边
形，其中AC、BD叫空间
四边形的对角线
例1
空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.
A
B
C
D
E
H
F
G
变式1 :若要使四边形EFGH是
菱形，还需什么条件 ？
若要使四边形EFGH是矩形呢？
若要使四边形EFGH是正方形呢？
变式2
空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,
且
求证:四边形EFGH为梯形.
A
B
C
D
E
H
F
G
证明，连结BD
∵EH是△ ABD的中位线
∴EH∥BD，EH= BD
又在△BCD中，
∴FG∥BD，FG= BD
根据公理4，EH∥FG，
又∵FG＞EH
∴四边形EFGH是梯形
变式3：
若上题中BD=6cm，
四边形EFGH的面积
为28cm2，则平行
线EH与GF的距离是 。
——————
8
M、N分别是△DAB和△DBC的重心。
则线段MN的 长是________
变式4
如图，已知AC的长为6，D 面AB C ,点
E
F
2
(1).下列结论正确的是（ ）
A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行
B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内
C.空间四边形的两条对角线可以相交
D.空间四边形的两条对角线不相交
D
反馈练习
(2).下面三个命题,其中正确的个是（ ）
①四边相等的四边形是菱形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形
A.1个 B.2个
C.3个 D.一个也不正确
D
(4).若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（ ）
A.空间四边形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
(3).空间两个角α、β且α与β的两边对应平行,且α＝600,则β等于（ ）
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
D
B
(5).已知棱长为a的正方体ABCD－A’B’C’D’中，M、N分别为CD、
AD的中点。
求证:四边形
MNA’C’是梯形
小结
1.空间两直线的位置关系及分类;
2.平行公理及应用;
3.等角定理及其推论和应用;
4.平几与立几结论间的比较与联系.
作业
1.已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F,求证四边形EBFD1是平行四边形
2.课本41页 练习A 2(共29张PPT)
空间直角坐标系
教学目标
1、知识与技能
① 通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性
② 了解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程
③ 感受类比思想在探究新知识过程中的作用
2、过程与方法
① 结合具体问题引入，诱导学生探究
② 类比学习，循序渐进
3、情感态度与价值观
通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和
研究事物从低维到高维的一般方法.通过实际问题的引入和解决，让学生
体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自
己的思维空间.
4、教学重点
①空间直角坐标系的理解
② 空间两点距离公式
5、教学难点
①通过建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标
② 空间两点距离公式的推导
一、空间点的直角坐标
O
过空间一个定点
O，作三条互相垂直
的数轴，它们都以
O为原点且一般具有
相同的长度单位．它
们的正向通常符合右
手规则．这样的三条
坐标轴就组成了一个
空间直角坐标系．
y轴(纵轴)
z轴(竖轴)
(坐标)原点
x轴(横轴)
x
1
y
1
z
1
三条坐标轴中的任意两
条可以确定一个平面，这样
定出的三个平面统称为坐标
面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zOx面.
坐标面：
O
z
y
x
O
z
y
x
三条坐标轴中的任意两
条可以确定一个平面，这样
定出的三个平面统称为坐标
面．x轴及y轴所确定的坐标
面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zOx面.
坐标面：
坐标轴上和坐标面上的点，其坐标各有一定的特征：
原点O坐标为(0,0,0).
Ozx面上点的坐标为(x,0,z)，
Oyz面上点的坐标为(0,y,z)，
Oxy面上点的坐标为(x,y,0)，
z轴上点的坐标为(0,0,z)，
y轴上点的坐标为(0,y,0)，
x轴上点的坐标为(x,0,0)，
O
z
y
x
第一卦限
卦 限：
三个坐标面把
空间分成八个部分，
每一部分叫做卦限．
O
z
y
x
第二卦限
卦 限：
第三卦限
O
z
y
x
卦 限：
O
z
y
x
第四卦限
卦 限：
O
z
y
x
第五卦限
卦 限：
O
z
y
x
第六卦限
卦 限：
O
z
y
x
第七卦限
卦 限：
O
z
y
x
第八卦限
卦 限：
三个坐标平面将空间分为八个部分，称其每个部分为卦限，它们分别是：
第一卦限 x>0,y>0,z>0，
第二卦限 x<0,y>0,z>0，
第三卦限 x<0,y<0,z>0，
第四卦限 x>0,y<0,z>0，
第五卦限 x>0,y>0,z<0，
第六卦限 x<0,y>0,z<0，
第七卦限 x<0,y<0,z<0，
第八卦限 x>0,y<0,z<0.
点的坐标：
设 M 为空间一已知点．过
点 M 作三个平面分别垂直于 x
轴、y 轴和 z 轴，三个平面在 x
轴、y 轴和 z 轴的交点依次为
P、Q、R，在 x 轴、y 轴和 z 轴
上的坐标依次为x、y、z，我们
称这组数为点M的坐标，并把
x、y、z分别称为点M的横坐标、
纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、
z 的点M 记为M(x，y，z)．
O
x
y
z
P
R
x
z
y
M
Q
z
x
y
O
M
P
Q
R
(2) 空间直角坐标系上点M的坐标？
例题
例1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=2，写出D`，C，A`，B`四点的坐标.
z
x
y
O
A
C
D`
B
A`
B`
C`
练习
1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点C，B`，P的坐标.
z
x
y
O
A
C
D`
B
A`
B`
C`
P
P`
练习
z
x
y
A
B
C
O
A`
D`
C`
B`
Q
Q`
2、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
z
x
y
O
练习
3、在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)
1
3
4
D`
D
O
x
y
z
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
与x 轴平行的边的边长为|x 2 x 1|，
作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．
M 1
M 2
P
Q
x 2
x 1
与y 轴平行的边的边长为|y 2 y 1|，
y 2
y 1
O
x
y
z
M 1
M 2
P
Q
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
与x 轴平行的边的边长为|x 2 x 1|，
作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．
与z 轴平行的边的边长为|z 2 z 1|．
z 2
z 1
O
x
y
z
M 1
M 2
P
Q
与y 轴平行的边的边长为|y 2 y 1|，
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
与x 轴平行的边的边长为|x 2 x 1|，
作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．
因为
| M1M2 | 2
= | M1Q | 2 + | M2Q | 2
= | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 ．
O
x
y
z
M 1
M 2
P
Q
d = | M1M2 | =
所以
与z 轴平行的边的边长为|z 2 z 1|．
与y 轴平行的边的边长为|y 2 y 1|，
二、空间两点间的距离
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
与x 轴平行的边的边长为|x 2 x 1|，
作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．
特殊地，点M (x，y，z )与原点O(0，0，0)的距离为
d | OM |
例1 求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，3)三点
为顶点的三角形是一个等腰三角形．
解 因为
| M 1M 2| 2 (7 4) 2 (1 3) 2 (2 1) 2 14，
| M 2M 3| 2 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6，
| M 1M 3| 2 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6，
所以| M 2M 3| | M 1M 3|，又因为M1 、M 2、M3 三点不共线
即DM 1M 2M 3为等腰三角形．
．
例2 在z轴上求与两点A( 4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点．
解 设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
|MA| 2 |MB| 2，
即 (0 4) 2 (0 1) 2 (z 7) 2 (3 0) 2 (5 0) 2 ( 2 z) 2．
解之得
总结：
一、空间点的直角坐标
二、空间两点间的距离
空间直角坐标系
坐标面、
卦限、
点的坐标
距离公式
作业：
109页练习B
1、2、3(共28张PPT)
线线平行的判定方法
1.定义
直线与直线共面，且没有交点
2.平行公理
4.面面平行性质定理
3.线面平行性质定理
5.利用平行四边形的性质等。
线面平行的判定方法
1.定义:
直线与平面没有交点
2.判定定理
3.面面平行性质定理
面面平行的判定方法
1.定义
平面与平面没有交点
2.判定定理
4.平行于同一平面的两平面平行（传递性）
3.判定定理
的推论
(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面无公共点
(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的直线成异面直线或平行直线
(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行。
线面平行的性质
两个平面平行的性质
4、夹在两个平行平面间的平行线段相等
2、其中一个平面内的直线平行于另一个平面
3、两个平行平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行
两个平面平行
5、夹在三个平行平面间的线段成比例
1、两个平面没有公共点
（1）平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ ）
（A） 一定平行
（B） 平行或相交
（C） 相交
（D） 平行，相交，异面
D
题型一、用平行的判定和性质解选择填空题
例1 填空
（2）点A是平面 外的一点，过A和平面 平行的直线有 条。
α
A
无数
（3）点A是直线l 外的一点，过A和直线l 平行的平面有 个。
A
无数
（4）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 个。
无数
（5）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 个。
且仅有一
（6）如果l1 // l2 , l1 平行于平面 ， 则l2 平面
l1
l2
l2
或 //
（7）如果两直线a ,b 相交，a平行于平面 ，则b与平面 的位置关系是 。
a
b
b
相交或平行
练习1 α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，能判定α∥β的是 .
（1）α、β都平行于直线a、b
（2）α内有三个不共线点到β的距离相等
（3）a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
（4）a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
已知：如图， ， ，
，求证：
例2 证明:如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行
题型二、平行的证明
练习2：如图， , ,
.
求证：
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
例3 在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1E
E
F
∵DB1 // EF
∴ DB1 //面A1C1E
练习3 在正方体AC1中，O为平面ADD1A1的中心， 求证：CO // 面A1C1B
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
B1
O
F
题型三、综合应用
练习4 设线段AB、CD是夹在两个平行平面
间的两异面直线，点A、C
，B、D
，若M、N分别是AB、
CD的中点，则 （ ）
A． B.
C. D.
1.（2005年浙江）给出下列四个命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的直线不是平行就是异面，
③如果直线a∥α，b∥α，则a∥b
④如果平面α∩平面β＝a，若b∥α，b∥β，则a∥b
其中为真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
达标练习
B
∴四边形ABQD1为平行四边形
∴AD1//BQ
∴AD1//平面BPQ
证明：连结AD1，CD1，PQ，QB
在△C1D1C中，P、Q分别为C1D1，C1C的中点，∴PQ//CD1，PQ 平面BPQ,∴CD1//平面BPQ
3、如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面是梯形，AB//CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1,P、Q分别为CC1，C1D1的中点，
求证（1）面AD1C//平面BPQ
（2)AC//平面BPQ
Q
P
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
平面BPQ
平面BPQ
课堂小结：
线
线
平
行
线
面
平
行
面
面
平
行
线面平行判定
线面平行性质
面面平行判定
面面平行性质
三种平行关系的转化
课后作业
百校名师 试卷(共20张PPT)
复习：常用体积公式
a
b
c
V
长方体
= a b c
=Sh
V
正方体
= a3
1.长方体的长、宽、对角线长分别为
5、3、7则它的体积为_______;
2.正方体的一条面对角线长为72,那么
它的体积为________;
3.正方体的体积为8,那么它的表面积
为______;
4.长方体的共一顶点的三个面的面积
分别为6,8,12.它的体积为______.
应用：
探究
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状．
启发思考：
1) 推斜以后体积变化了吗？（几何体所占空间的大小不变）
2) 推斜前后的两个几何体（前为长方体，后为平行六面体）还有什么共同之处？（高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改变）
一、祖暅原理
幂势既同，则积不容异
这就是说，夹在两个平行面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。如图所示：
二、棱柱和圆柱的体积
S
h
S
S
h
如图所示，设有一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，它们的底面积都等于S，高都等于h，它们的上下底面都在同一平面上。
V
柱体
= ·h
s
底
公式：
特别地：
底面半径是r,高是h的圆柱体的体积的计算公式：
1.把边长为4和8的矩形绕其一边卷成一个
圆柱的侧面,则圆柱的体积为________
2.一个底面为菱形的直四棱柱的两条对角线
长分别为9和15,高是5,则它的体积为____
类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的
体积也相等.
二、棱锥和圆锥的体积
公式：
特别地：
底面半径是r,高是h的圆锥体的体积的计算公式：
1、求棱长为a的正四面体的体积？
2、若正四棱锥的底面积是S，侧面积是Q，则它的体积为多少？
三、棱台和圆台的体积
底面积相等,高也相等的两个台体的
体积也相等.
台体(棱台,圆台)的体积可以转化为锥体的体积
来计算,如图,如果台体的上,下底底面面积分别
为 , .高为 .可以推得它的体积为:
h
特别地，如果圆台的上下底面的半径分别是r 和r，高是h,则它的体积是
1.一圆台的上下两底的半径为2和3.高为2,
那么它的体积为_________
2、正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为14cm,棱台的高为______
四、球的体积
1.一球的表面积为36 .那么它的体积为_
2、球内有相距1cm的两个平行截面的面积分别是5 cm2,8 cm2,球心不在截面之间，求球的体积
O
O2
O1
A
综合应用：
课本例1、例2
小结：
1、祖暅原理
2、体积计算公式
V
柱体
= ·h
s
底
特殊：
特殊：
特殊：
练习：
课本32页练习A
作业:
课本32页练习B(共28张PPT)
平面与平面平行
一、平面与平面位置关系
定义：如果两个平面没有公共点，那么这 两个平面互相平行，也叫做平行平面
平面α平行于平面β ，记作α∥β
问题1.两个平面平行,那么其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系如何
问题2.如果一个平面内的所有直线,都与另一个平面平行,那么这两个平面的位置关系如何
（两平面平行）
（两平面相交）
二、两平面平行的判定
（两平面平行）
（两平面相交）
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
∥
∥
∥
证题思路：线面平行 面面平行
线不在多，重在相交.
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
定理的推论
α
β
a
b
P
c
d
C
例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面C1BD。
例题分析
证明：
变形1:如图，在正方体
E,F,G分别为A1D1, A1B1,
A1A的中点
(1)求证：面EFG∥面BDC1
变形2:若O为BD上的点
O
面∥面
由上知
面EFG∥面BDC1
∩
OC1 面BDC1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
G
线∥面
OC1 ∥面EFG
(2)求证：OC1 ∥面EFG
变形2:如图,在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，
E,F,M,N分别为A1B1,
A1D1, B1C1, C1D1 的
中点
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
N
M
求证：面AEF∥面BDMN
1、两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面有什么样的关系？
2、两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面内的直线有什么样的关系？
思考：
两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
即：
如图，已知平面 ， ， ，满足 且 求证： 。
证明
所以a,b没有公共点
例2.已知两条直线和三个平
行平面都相交，求证所截
得的线段对应成比例．
已知:
求证:
∥
∥
直线 和 分别交于点A、B、C和点D、E、F，
分析:
过点A作平行直线 的直线交 于点 和 ，
连结
1、（2005年北京卷）下列命题中，正确的有 .
（1）经过不同的三点有且只有一个平面；
（2）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；
（3）垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；
（4）垂直于同一个平面的两个平面平行.
反馈练习
2、判断下列命题是否正确。
（1）平行于同一直线的两平面平行
（2）与同一直线成等角的两平面平行
α
β
α
β
θ
θ
α
β
θ
θ
（3）若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β
（4）若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β
∩
∩
α
β
n
m
3.设平面α∥β， A,C∈α, B,D∈β,直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_______
4、如图：A、B、C为不在同一直线上的三点，AA1 BB1 CC1
求证：平面ABC//平面A1B1C1
=
∥
=
∥
B
A1
B1
C1
A
C
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
5、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求证：面AMN∥面EFBD.
M
N
E
F
6、如图，已知α∥β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF∥β
β
α
F
E
D
C
B
A
M
小结
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
平面与平面平行的性质定理
1.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例
课后作业
课本p47练习A. 4. B. 3(共18张PPT)
教学目标：
1、学会用代数的方法推到两条直线平行、
相交及重合的思路。
2、熟记并会应用两条直线平行、相交及重合的条件。
已知两条直线的方程为：
一、两条直线的位置关系：
结论：
二、两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组
的解；反之如果方程组
只有一个解，那么以这个解为坐
标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
例1：求下列两条直线的交点：
L1：3x+4y－2=0；L2：2x+y+2=0
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点
的直线方程L1：x－2y+2=0，L2：2x－y－2=0
（- 2，2）
O
X
Y
M
解：解方程组
x－2y+2=0
2x－y－2=0
x= 2
y=2
∴L1与L2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为
y=kx
把（2，2）代入方程，得k=1，
所求方程为 y=x
例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）
o
x
y
(1, - 1)
证明：联立方程
3x+2y－1=0
2x－3y－5=0
解得：
x=1
y= - 1
代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0
得 0+λ·0=0
M
M（1，- 1）
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程
巩固练习：
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在Y轴上，则m的值是 ( )
（A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对
②若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是( )
（A）（- 1，0）（B）（0，1]
（C）（0，1） （D）（1，＋∞）
C
A
当直线l１和l２有斜截式方程l1：y=k1x+b1 l2: y=k2x+b2 时，怎样判断两条直线的位置关系？
三、两条直线的位置关系其他表示：
所以,与直线y=kx+b平行的直线可表示为
例4:已知直线
求证:当 时, 与 平行
所以,由例4所证结论,我们可以把与直线
平行的直线的方程, 表示为
例5：求经过下列各点且与已知直线平行的直
线方程：
（1）、
（2）、
（2）
解法一：由已知直线方程知，直线的斜为 ，
故所求直线的斜率也是 ，据点斜式，得到所求的直线方程为：
y+4= (x-1)
即： 2x+3y+10=0
解法二：所求直线与已知直线有相同的斜率，故可设所求直线为： 2x+3y+C=0，将x=1,y=-4代入有：C=-2×1+3×4=10
∴所求直线方程为：2x+3y+10=0
巩固练习：
1、两直线l1，l2，若l1没有斜率，则当l2满足 条件
时才有l1∥l2。
2、直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m= 时，
两直线平行。
3.过点（2，3）且平行于直线ax+4y+6=0的直线与两坐标轴围成的三角形面积为2a，求a的值。
分析：可设所求方程为：ax+4y+m=0过（2，3）点，∴2a+m+12=0 （1）
ax+4y+m=0可化为
由（1）（2）解得
a= 6， m=-24
小结：
位置关系
相交
平行
重合
条 件
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
y=k1x+b1
y=k2x+b2
注：各字母和式子都有意义
练习：
P84：练习 A
作业：
P84：练习 B 1、2(共22张PPT)
柱、锥、台和球的表面积
O
把一些简单的多面体沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图
下图中，哪些图形是空间图形的平面展开图
正方体
直三棱柱
不是几何体的展开图
直棱柱
：侧棱和底面垂直的棱柱
直棱柱
：侧棱和底面垂直的棱柱
直棱柱
：侧棱和底面垂直的棱柱
正棱锥
：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，则称这样的棱锥为正棱锥。
侧面展开
斜高h’
正棱台
：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台
斜高h’
侧面展开
O
定理 半径是 的球的表面积：
球：
典例分析：
例1 课本27页例1
练习1： 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？（保留两位有效数字）
典例分析：
例2 课本27页例2
练习2： 有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm）
小结
练习 课本28页
练习A 1，2，3，4
作业 课本28页
练习B 1，2，3(共13张PPT)
圆柱、圆锥、圆台和球（2）
高一数学
知识回顾：圆柱、圆锥、圆台
名称 圆柱 圆锥 圆台
图形
定义
性质
以矩形一边所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体。
以直角三角形一直角边所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体
轴截面是全等的矩形
轴截面是全等等腰三角形
轴截面是全等等腰梯形
四．球及相关概念：
1．定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。另外将圆绕直径旋转180°得到的几何体也是球。
2．相关概念：
（1）球面：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面；
（2）球心：形成球的半圆的圆心叫做球心；
（3）半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；
（4）直径：连接球面上的两点且通过球心的线段叫球的直径；
3．球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O .
4．球的截面性质：
（1）球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；
（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面;
（3） (其中r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O到截面圆的距离，即O到截面圆心O1的距离；
5．球面距离：在球面上，两点之间的最短距离就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。这个弧长叫做两点的球面距离。
球面距离
在球面上两点之间的最段距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度————这个弧长叫两点的球面距离
五．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球.
六．组合体
由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体称为组合体。组合体可以通过把它们分解为一些基本几何体来研究
例2：
（1）圆柱的截面积（经过圆柱的轴所做的截面）是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从 A到C的最短距离？
（2）已知一个圆锥侧面展开图为一半径为3的半圆，则其母线长为多少？
（3）用一个平面截半径为25cm的球，截面面积是225cm2，则球心到截面的距离是多少？
（4）球的两个平行截面的面积是5 ，8 ，两截面间的距离为1，求球的半径。
练习：填空
（1）设球的半径为R，则过球面上任意两点的截面圆中，最大面积是 。
（2）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这个截面圆的半径是球半径的 。
（3）在半径为R的球面上有A、B两点，半径OA、OB的夹角是60°，则A、B两点的球面距离是 。
πR2
总结：
1．球及相关概念：
2．球面距离：在球面上，两点之间的最短距离就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。这个弧长叫做两点的球面距离。
