人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件（45张）

人教版 · 数学· 七年级（下）
第5章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
1.理解垂线的有关概念、性质及画法。
2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题。
学习目标
1
2
3
4
a
b
如图，直线 a，b 相交，则∠1 的对顶角为 ，
∠1 的邻补角有 .
∠3
∠2和∠4
回顾旧知
观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
导入新知
日常生活中，图中的两条直线的关系很常见，你能举出其他例子吗？
新知一 垂线的概念
在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
合作探究
如图，当∠AOC＝90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质可知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况.
如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足.
垂直的表示法：
如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：l⊥m (或 m⊥l ).
A
B
C
D
O
l
m
垂线的定义具有双重作用：
①知线垂直得直角；
②知直角得线垂直.
A
B
C
D
O
如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =
∠BOD =90°；
②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD.
如图，AO⊥CO，直线 BD 经过点 O，且∠1 =20°，则∠COD 的度数为( )
A.70° B.110°
C.140° D.160°
∠AOC =90°
∠COB =90°-20°=70°
∠COD =180°- 70°= 110°
B
本题源于《教材帮》
巩固新知
新知二 垂线的画法及性质
A
.B
l
.
(1)画已知直线l的垂线能画几条？
(2)过直线 l 上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
(3)过直线 l 外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？
合作探究
1.落.
2.画.
l
O
如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
A
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
无数条.
l
A
B
1.落.
2.移.
3.画.
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.
一条.
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
l
A
B
1.落.
2.移.
3.画.
如图，已知直线 l 和 l 外的一点 A ，过点 A 作 l 的垂线.
一条.
这样画直线 l 的垂线可以画几条？
经过一点画已知直线的垂线，通常有两种画法.
(1)用三角尺画：
落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与 已知直线重合.
移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点.
画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.
1
2
3
点 A 在直线 l 上
点 A 在直线 l 外
(2)用量角器画：
l
A
l
A
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
1.不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直；
2.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
3.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
(1)在同一平面内，已知直线的垂线有无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条.
(2)画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.
如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线.
M
N
P
M
N
P
Q
P
M
N
Q
P
M
N
Q
巩固新知
新知三 点到直线的距离
C
D
E
l
再从点 A 向已知直线 l 画几条不垂直的线段.
B
A
如图，点 A 为直线 l 外一点，AD⊥l，垂足为D，称 AD为点 A到直线 l 的垂线段.
线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？你能用一句话表示这个结论吗？
合作探究
垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离.
C
D
E
l
B
A
(1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条.
(2)垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.
(3)垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量.
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？请在图中画出来，并说明理由.
m
垂线段最短.
如图所示，在直角三角形 ABC 中，AB⊥AC，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，已知 AB = 6 cm，AD = 5 cm.
(1)点 B 到 AC 的距离为_____，点 A 到 BC 的距离为 .
(2)CD AC(填“>”“<”或“=”)，依据是 .
线段 AB 的长度
线段 AD 的长度
6 cm
5 cm
点 C 到直线 AD 的垂线段
<
垂线段最短
巩固新知
垂线
垂线和垂线段
定义
性质
垂线段
定义
性质
点到直线的距离
归纳新知
1．如图，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2的度数是( )
A．35° B．45° C．55° D．70°
C
课堂练习
2．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOC＝70°，则∠CON的度数为( )
A．65° B．55° C．45° D．35°
B
3．(1)如图①，O为直线AB上一点，且OC⊥OD，若∠1＝25°，则∠2的度数为___________；
65°
(2)如图②，直线AB，CD相交于点O，OE为射线，若∠1＝30°，∠2＝120°，则OE与AB的位置关系是______________，可记作____________________．
垂直
OE⊥AB
4．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在( )
A．这条线段上 B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上 D．以上都可以
D
5．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )
D
6．(2017·柳州)如图，经过直线l外一点画l的垂线，能画出( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
A
7．如图，欲在AB上的某处D点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出D点，使C，D间铺设的管道最短，这种设计的依据是( )
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
C
8．如图所示，点P到直线l的距离是( )
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
B
9．如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为点A，D，AB＝6 cm，AD＝5 cm，则点B到直线AC的距离是________，点A到直线BC的距离是__________．
6 cm
5 cm
10．(1)在图①中，过AB外一点M作AB的垂线；
(2)在图②中，过点A，B分别作OB，OA的垂线．
解：(1)如图①所示．
(2)如图②所示．
11．如图，三条直线相交于点O，若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于( )
A．30° B．34° C．45° D．56°
B
12．(2017·东明县期中)如图，直线a，b相交于点O，OE⊥a于点O，OF⊥b于点O，若∠1＝40°，则下列结论正确的是( )
A．∠2＝∠3＝50°
B．∠2＝∠3＝40°
C．∠2＝40°，∠3＝50°
D．∠2＝50°，∠3＝40°
C
13．如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为_________°.
45
14．如图，已知直线CD，EF相交于点O，OA⊥OB，且OE平分∠AOC，若∠EOC＝60°，则∠BOF＝______________．
30°
15．如图，在直线MN的异侧有A，B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是_____________________________；
(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是____________________________．
垂线段最短
两点之间线段最短
解：(1)如图所示，点C即为所求点．
(2)如图所示，点D即为所求点．
16．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据．
解：(1)因为两点之间线段最短，所以连接AD，BC交于点H，则H为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小．
(2)过点H作HG⊥EF，垂足为点G.“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
再见