课题
12.2
二次根式的乘除（3）
自主空间
学习目标
（1）使学生经历二次根式除法法则的探究过程,进一步理解除法法则.（2）使学生能运用法则=（a≥0，b＞0）进行二次根式的除法运算；（3）使学生理解商的算术平方根的性质=（a≥0，b＞0），并能运用于二次根式的化简和计算。
学习重、难点
商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的探究、理解与运用
教学流程
预习导航
1．回顾
=
=
2．思考：（1）
？
（a≥0，b＞0）,（2）=
？
（a≥0，b＞0）
合作探究
一、法则探究：
1．计算并观察两者关系：（1）=_______=_______（2）=_______=______（3）=______=______（4）=______=_______2．请再举例试一试.你猜想到什么结论呢?3．课堂小结：一般地，可以得到=（a≥0，b＞0）。注意：为什么要加a，b条件?二、例题分析：
例5计算:（1）
（2）
（3）
（4）
思考:=
（
）=
（
）
例6
化简：（1）
（2）
（3）
（4）（a＞0，b≥0）三、展示交流1．计算或化简：（A级）（1）
（2）
（3）
（4）（5）
（6）2．化简：（B级）
（1）
（2）（3）（4）（m>0,n>0）四、提炼总结1．概括：一般地，有=（a≥0，b＞0）2．由以上公式逆向运用可得：=（a≥0，b＞0）3．解决方法：（1）被开方数若是带分数，，需先公为假分数，再化简；（2）被开方数开出来时，若有字母，注意字母的取值范围。这一节课的内容我们都学会了吗？你一定会做的很出色！1．计算或化简（1）
（2）（3）
（4）
（，）
（5）
（6）（
）2．已知，求的取值范围。3．已知一个长方形的面积为，其中一边长为，求长方形的对角线的长。4．你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？
当堂达标
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数学教学设计
12.2 二次根式的乘除（1）
教学目标
【知识与技能】理解·＝（a≥0，b≥0），＝·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简；【过程与方法】经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则；【情感、态度与价值观】在具体的计算过程中讨论交流，总结公式，体会“数学知识来源于实践”的理念．
教学重点
二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．
教学难点
二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的理解与运用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、情境创设开场白：同学们，上节课我们了解了二次根式的概念，掌握了二次根式的性质，并能运用这些性质进行一些简单的计算，那么对于二次根式更为复杂的运算我们还能解决吗？数学来源于生活，下面我们就一起走进数学实验室，看看生活中的数学给我们带来了怎样新的问题？
进入状态，兴趣浓厚，跃跃欲试．
帮助学生回忆上节课内容，同时提出新的待解决的问题，激发学生学习数学的欲望．
二、数学实验室（1）在图中，小正方形的边长为1，AB＝，BC＝，画出矩形ABCD的面积是多少？（2）在图中，小正方形的边长为1．画出矩形EFGH，使EF＝，FG＝．矩形EFGH的面积是多少？
动手实践，小组活动，在实验中交流：
由学生熟悉的情景入手，在网格图中动手画一画，算一算，借助图形解决二次根式的乘法问题，体现了数形结合的数学思想方法，给学生一个展示才华的机会，增强学生学习数学的兴趣．
活动一：计算：（1）×＝
，
＝
；（2）×＝
，
＝
；（3）×＝
，
＝
．你有什么发现？请与同学交流．
独立思考，归纳猜想，积极发言：参考答案：（1）10；10．
（2）12；12；
（3），．每一组的两个式子的计算结果一样．猜想：·＝（a≥0，b≥0）．
引导学生计算，并进行比较，自觉得到结论．同时，能让学生自己列举更多的例子进行探索、归纳，提出自己的猜想．
活动二：验证公式：·＝（a≥0，b≥0）的正确性．
小组讨论，老师点拨：一般地，当a≥0，b≥0时，（·）2＝（）2·（）2＝ab，（）2＝ab．由此可见，·与都是ab的算术平方根．于是，我们得到：·＝（a≥0，b≥0）．
通过学生相互讨论，提高学生分析问题的能力，培养学生善于思考的良好习惯．经历知识的形成过程，让学生对知识的认识由感性上升到理性．
计算：（1）×；
（2）×；
（3）·（a≥0）．
解：（1）×＝＝＝4；（2）×＝＝＝2；（3）当a≥0时，·＝＝＝4a．
本例主要是二次根式乘法的简单运算，且结果为直接开方、不需要化简的情形．
知识积累，练习巩固：教材第154页练习第1题．
学生独立解决问题，个别学生板演．
本环节练习主要是学生自己动手解决，教师适时点评．
活动三：了解了二次根式的乘法公式，请同学们逆向思考，你又有什么新发现呢？
·＝（a≥0，b≥0）．
给出二次根式的乘法公式的逆运算目的在于化简被开方数中含有二次或二次以上的因数或因式．
例2 化简：（1）；
（2）（a≥0）；（3）（a≥0，b≥0）．
解：（1）＝＝×＝×2＝；（2）当a≥0时，＝＝·＝a；
（3）当a≥0，b≥0时，＝＝·＝．
本例主要是让学生感受方法，通过这些题目，使学生体会到：“一般地，二次根式运算的结果中，被开方数应不含有能开方开得尽的因数或因式”的意义．
知识积累，练习巩固：
教材第154页练习第2题．
学生独立解决问题，个别学生板演．
本环节练习主要是学生自己动手解决，教师适时点评．
知识拓展，能力提高．观察：·＝（a≥0，b≥0）思考：××？
例题
计算：（1）··；（2）××．
老师引导，小组交流讨论，并能利用结论解决问题．
本环节主要是拓宽学生的思维，提高学生的能力，照顾了优等生的学习需求．
三、小结
1．我们的收获：一路走来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说让大家一起来分享．
同学们畅所欲言，说出自己的想法，积极反思一节课的收获，充满成就感．
例如：今天你对自己的评价？你从其他同学的表现中学到了什么？你还有哪些困惑？
把总结评价的主动权充分地交给学生，同时给学生一个开放的思维空间，培养学生的知识整理与语言表达能力，情绪会被再度调动起来，从而起到认知升华的作用．
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2021-4-17课题：12.2二次根式的乘除(4)
教学目标
．1．使学生能运用法则＝（a≥0，b＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母．根式运算的结果中分母不含有根号．2．在解问题的过程中培养学生的探究意识、合作意识
教学重点
商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用．
教学难点
商的算术平方根的性质的理解与运用
实验器材（多媒体等）
多媒体
教学内容（问题设计）
活动设计（师生）
备注
情境创设：想一想．＝？（a__，b__），＝？（a__，b__）．探索活动：活动一问题1 如何化去的被开方数中的分母呢？问题2 如何化去的被开方数中的分母呢？问题3 如何化去（a＞0）的被开方数中的分母呢？问题4 如何化去（a≥0，b＞0）的被开方数中的分母呢？由此你能得到一般的结论吗？例1 化去根号内的分母：（1）
；（2）
；活动二（3）（x＞0，y≥0）．练习：化简．（1）；（2）；（3）（a＞0，b≥0）．活动二想一想：如果上面首先化成，那么该怎样化去分母中的根号呢？对于该怎样化去分母中的根号呢？．当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号．．例2 化简下列各式，使分母中不含根号．（1）；
（2）（x＞0）；（3）（x＞0，y≥0）．问题1 分母最少乘以多少能化去分母中的根号？练习：计算．（1）；（2）；（3）（a＞0，b≥0）．问题2 观察例1
例2中各小题结果，你发现这些结果中的二次根式有什么特点？一般地，二次根式运算的结果中，被开方数中应不含有分母，分母中应不含有根号．那么应该怎样进行这两类二次根式的化简呢？
最简二次根式满足什么形式？
回顾上节课的知识点，便于这节课进一步探索有关二次根式的性学生：＝（a≥0，b＞0），＝（a≥0，b＞0）．
学生分小组讨论后交流．问题1 板书：＝＝；问题2 ＝＝＝；问题3 ＝＝；问题4 当a≥0，b＞0时，＝＝＝＝．学生互相讨论，踊跃回答．例1 解：（1）＝＝；（2）＝＝＝＝＝；（3）当x＞0，y≥0时，＝＝．练习部分，独立思考，解决问题，部分同学板演．练习：（1）；（2）；（3）．学生互相讨论，踊跃回答．＝＝＝例如，当a≥0，b＞0时，＝＝例2 解：（1）＝＝；（2）当x＞0时，＝＝；（3）当x＞0，y≥0时，＝＝．有学生直接乘以，经过讨论比较后，学生都赞成乘以．
练习部分，独立思考，解决问题，部分同学板演．练习：（1）；（2）；（3）．问题2 由学生归纳教师板书：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根号．这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式．．学生讨论后共同小结．问题1 当（a≥0，b＞0）时，＝＝＝＝；当（a≥0，b＞0）时，＝＝．问题2 化简二次根式实际上就是使二次根式满足：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号．
通过两个问题激发学生的学习探究欲，迅速进入状态设计自主探究由具体的数、到一般的、的化简，便于学生理解公式产生的过程．同时，通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．问题1 如何化去根号下的分母？问题2 带分数如何化去根号下的分母？能否转化？问题3 化去根号下的分母的方法与（1）、（2）相同吗？学生练习，巩固提高．设计自主探究由具体的数到字母的化简便于学生理解公式产生的过程．通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．由具体的数的化简过渡到一般的字母、式子的化简，便于学生理解公式产生的过程．通过例2和练习巩固对公式的理解和应用学生讨论，难点的突破．学生练习，教师巡视指导通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
课后反思
二次根式乘除法运算的结果应化成最简，根号内不含开的尽的因式，根号内不含分母，分母中不含有根号，课堂板演中出现的问题需及时点拨，矫正反馈作业中出现的错误应及时找学生订正，课题
12.2二次根式的除法（2）
自主空间
学习目标
(1)使学生能运用法则=（a≥0，b＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；.(2)使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式,也不含有分母.根式运算的结果中分母不含有根号。
学习重难点
商的算术平方根的性质的理解与运用
教学流程
预习导航
1．想一想:
=？（a_
_
0
，b__
0）,=?
（a__0，b__0）2．我们前面要求过，计算的结果中根号下不含有开方开得尽的因数或因式。我们还要求计算的结果中被开方数不含有分母或使分母中不含根号。我们能否用我们学过的二次根式的乘除法，把被开方数中的分母化去或使分母中不含根号？3．思考：如何化去
的被开方数中的分母呢?4．小组讨论后交流5．.请再举例试一试.6．
想一想：如果上面首先化成,那么该怎样化去分母中的根号呢?7.
小组讨论后全班进行交流
合作探究
一、新知探究：
1.
当（a≥0，b＞0）时,=
===若二次根式化简结果中的被开方数含有分母，则就可以用这种方法化去根号下的分母。2.
当（a≥0，b＞0）时,
==如果二次根式运算的结果中分母含有根号，则就可以用这种方法化去。
合作探究
二、例题分析：
例7
化去根号内的分母:
（1）
（2）
（3）例8
化去分母中根号:
（1）
（2）m
（3）三、展示交流1．化简（A级）（1）
（2）
（3）
（4）
（x>0）2．化简（B级）（1）
（2）(3)
(4)
(5)
四、提炼总结1．化简二次根式实际上就是使二次根式满足:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母;
h(3)分母中不含有根号.2．与相乘就可以把分母化去，与相乘就可以把分母化去.
当堂达标
1．把根式中的分母及分母中的根式去掉
（1）
（2）3
（3）
（4）
（5）
（6）（7）
（8）2．在图中填数，使每一行、每一列、每条对角线上的3个数的乘积都是11主要错误订正：
