6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课堂讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（机构适用）（含答案）
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课堂讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（机构适用）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 170.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-02 17:22:50 | ||
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文档简介
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1、分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……在第n类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有：N=++……+种不同的方法。
注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。
（2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则AB=,AB=I（I表示全集）。
（3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。
2、分步乘法计数原理
完成一件事，需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有：N=··……·种不同的方法。
注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。
（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。
（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去做，才能完成这件事，各步之间不能重复也不能遗漏。
3、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题。
区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，是推导排列数与组合数计算公式的依据。要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系。
4、解决基本计数原理问题所用的思想方法及技巧
（1）建模法：建立数学模型，将排列组合问题转化为数学问题，是计数方法中的基本方法。
（2）枚举法：利用枚举法（如树状图）可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想。
总之，对于一些较复杂的既要用分类加法计数原理又要用分步乘法计数原理的问题，恰当地画出表格，合理建模或用树状图枚举全部结果是解决问题的基本思想方法。
例1．算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A．16 B．15 C．12 D．10
【答案】C
【详解】
由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法：
①十位拨动0枚，个位拨动3枚，有2种结果：7和3；
②十位拨动1枚，个位拨动2枚，有4种结果：12，16，52，56；
③十位拨动2枚，个位拨动1枚，有4种结果：21，25，61，65，
④十位拨动3枚，个位拨动0枚，有2种结果：30，70，
综上，拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为12.
故选：C
例2．某校开设false类选修课4门，false类选修课3门，每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【答案】C
【详解】
根据题意，分两种情况讨论：
①若从false类课程中选1门，从false类课程中选2门，有false（种）选法；
②若从false类课程中选2门，从false类课程中选1门，有false（种）选法.
综上，两类课程中都至少选一门的选法有false（种）.
故选：C.
1．鉴于目前国内新冠肺炎疫情防控常态化的形势，2020-2021赛季CBA联赛将分阶段举行，其中常规赛阶段将采取赛会制，即20支参赛球队将根据2019-2020赛季的最终排名蛇形排列分为两组，每组10支球队，组内四循环（每2支球队进行4场比赛）、不同组间双循环（每2支球队进行2场比赛）．那么在常规赛阶段，2020-202赛季CBA联赛一共需要比赛的场数为（ ）
A．360 B．400 C．560 D．720
2．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论.管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一架完美的马车，没有最好的部件，只有最完美、最平衡的组合.一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥.某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，false，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（ ）
A．26 B．46 C．52 D．126
3．已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1，2，3，4的4个大小相等、形状相同的小球，小明从袋子中有放回地取三次球，每次只取一个球，若三次取出的球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数，则不同的取球方法共有（ ）
A．8种 B．16种 C．24种 D．48种
4．某寝室6名同学打算在“五一假期（1日至5日）”中，随便选择一天参加志愿者活动，则不同的参加种数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有false、false、false、false、false、false六个班排队吃饭，false班必须排在第一位，且false班、false班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是
A．false B．false C．false D．false
7．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．
8．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A，B的值，则方程表示不同直线的条数是________．
9．现有3名医生，5名护士、2名麻醉师．
（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
10．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
---------------------------------------------------------------参考答案------------------------------------------------------------
1．C
【详解】
解：同组内的球队需要比赛的场数为false，不同组间的球队需要比赛的场数为false，
根据分类加法计数原理知，一共需要比赛的场数为false．
故选：C
2．A
【详解】
设分成的两个学习小组为甲组和乙组，这两个小组只是代号，没有区别，
若1，2号，3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有false种方组方法；
若1，2号与3，4号在不同的小组，则其中一个小组还差3人，有false种方组方法，
所以总共有false种分组方法，
故选：A.
3．C
【详解】
因为三次取出球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数，
所以两次取出的球的编号为偶数，一次取出的球的编号为奇数，
所以不同的取球方法共有false（种），
故选：C．
4．D
【详解】
根据分步乘法计数原理，共有false种不同的参加种数，
故选：D
5．C
【详解】
因为A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置，
所以先将BCF三个班级全排列,排好后有4个空位，有false中排法，
再在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有false中排法，
则有false种排法.
故选：C.
6．C
【详解】
若甲选牛或羊作礼物，则乙有false种选择，丙同学有false种选择，此时共有false种；
若甲选马作礼物，则乙有false种选择，丙同学有false种选择，此时共有false种.
因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为false.
故选：C.
7．19
【详解】
解：由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6，
由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
故答案为：19.
8．22
【详解】
解析：若A＝0，则B从1,2,3,5,7中任取一个，均表示直线y＝0；
同理，当B＝0时，均表示直线x＝0；
当A≠0且B≠0时，能表示5×4＝20(条)不同的直线．
故方程表示直线的条数是1＋1＋20＝22.
故答案为：22.
9．（1）10；（2）30
【详解】
（1）分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法；
第二类：选出的是护士，共有5种选法；
第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法；
根据分类加法计数原理，共有3+5+2=10种选法.
（2）分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法；
第二步：选出1名护士，共有5种选法；
第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法；
根据分步乘法计数原理，共有false种选法.
10．（1）34；（2）1404；（3）381.
【详解】
（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，
若选出的是高一学生，有13种情况，
若选出的是高二学生，有12种情况，
若选出的是高三学生，有9种情况，
由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况，
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况，
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况，
由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．
1、分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……在第n类办法中有种不同的方法。那么完成这件事共有：N=++……+种不同的方法。
注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。
（2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则AB=,AB=I（I表示全集）。
（3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。
2、分步乘法计数原理
完成一件事，需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有：N=··……·种不同的方法。
注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。
（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。
（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去做，才能完成这件事，各步之间不能重复也不能遗漏。
3、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别
联系：两个计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题。
区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，是推导排列数与组合数计算公式的依据。要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系。
4、解决基本计数原理问题所用的思想方法及技巧
（1）建模法：建立数学模型，将排列组合问题转化为数学问题，是计数方法中的基本方法。
（2）枚举法：利用枚举法（如树状图）可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想。
总之，对于一些较复杂的既要用分类加法计数原理又要用分步乘法计数原理的问题，恰当地画出表格，合理建模或用树状图枚举全部结果是解决问题的基本思想方法。
例1．算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A．16 B．15 C．12 D．10
【答案】C
【详解】
由题意，拨动三枚算珠，有四种拨法：
①十位拨动0枚，个位拨动3枚，有2种结果：7和3；
②十位拨动1枚，个位拨动2枚，有4种结果：12，16，52，56；
③十位拨动2枚，个位拨动1枚，有4种结果：21，25，61，65，
④十位拨动3枚，个位拨动0枚，有2种结果：30，70，
综上，拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为12.
故选：C
例2．某校开设false类选修课4门，false类选修课3门，每位同学从中选3门.若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【答案】C
【详解】
根据题意，分两种情况讨论：
①若从false类课程中选1门，从false类课程中选2门，有false（种）选法；
②若从false类课程中选2门，从false类课程中选1门，有false（种）选法.
综上，两类课程中都至少选一门的选法有false（种）.
故选：C.
1．鉴于目前国内新冠肺炎疫情防控常态化的形势，2020-2021赛季CBA联赛将分阶段举行，其中常规赛阶段将采取赛会制，即20支参赛球队将根据2019-2020赛季的最终排名蛇形排列分为两组，每组10支球队，组内四循环（每2支球队进行4场比赛）、不同组间双循环（每2支球队进行2场比赛）．那么在常规赛阶段，2020-202赛季CBA联赛一共需要比赛的场数为（ ）
A．360 B．400 C．560 D．720
2．车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论.管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一架完美的马车，没有最好的部件，只有最完美、最平衡的组合.一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥.某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，false，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（ ）
A．26 B．46 C．52 D．126
3．已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1，2，3，4的4个大小相等、形状相同的小球，小明从袋子中有放回地取三次球，每次只取一个球，若三次取出的球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数，则不同的取球方法共有（ ）
A．8种 B．16种 C．24种 D．48种
4．某寝室6名同学打算在“五一假期（1日至5日）”中，随便选择一天参加志愿者活动，则不同的参加种数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知.某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施.高三年级一层楼有false、false、false、false、false、false六个班排队吃饭，false班必须排在第一位，且false班、false班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是
A．false B．false C．false D．false
7．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．
8．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A，B的值，则方程表示不同直线的条数是________．
9．现有3名医生，5名护士、2名麻醉师．
（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？
（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
10．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
---------------------------------------------------------------参考答案------------------------------------------------------------
1．C
【详解】
解：同组内的球队需要比赛的场数为false，不同组间的球队需要比赛的场数为false，
根据分类加法计数原理知，一共需要比赛的场数为false．
故选：C
2．A
【详解】
设分成的两个学习小组为甲组和乙组，这两个小组只是代号，没有区别，
若1，2号，3，4号在同一个小组，那么该小组还差1人，有false种方组方法；
若1，2号与3，4号在不同的小组，则其中一个小组还差3人，有false种方组方法，
所以总共有false种分组方法，
故选：A.
3．C
【详解】
因为三次取出球的编号相乘的结果为偶数，相加的结果为奇数，
所以两次取出的球的编号为偶数，一次取出的球的编号为奇数，
所以不同的取球方法共有false（种），
故选：C．
4．D
【详解】
根据分步乘法计数原理，共有false种不同的参加种数，
故选：D
5．C
【详解】
因为A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置，
所以先将BCF三个班级全排列,排好后有4个空位，有false中排法，
再在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有false中排法，
则有false种排法.
故选：C.
6．C
【详解】
若甲选牛或羊作礼物，则乙有false种选择，丙同学有false种选择，此时共有false种；
若甲选马作礼物，则乙有false种选择，丙同学有false种选择，此时共有false种.
因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为false.
故选：C.
7．19
【详解】
解：由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6，
由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
故答案为：19.
8．22
【详解】
解析：若A＝0，则B从1,2,3,5,7中任取一个，均表示直线y＝0；
同理，当B＝0时，均表示直线x＝0；
当A≠0且B≠0时，能表示5×4＝20(条)不同的直线．
故方程表示直线的条数是1＋1＋20＝22.
故答案为：22.
9．（1）10；（2）30
【详解】
（1）分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法；
第二类：选出的是护士，共有5种选法；
第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法；
根据分类加法计数原理，共有3+5+2=10种选法.
（2）分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法；
第二步：选出1名护士，共有5种选法；
第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法；
根据分步乘法计数原理，共有false种选法.
10．（1）34；（2）1404；（3）381.
【详解】
（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，
若选出的是高一学生，有13种情况，
若选出的是高二学生，有12种情况，
若选出的是高三学生，有9种情况，
由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况，
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况，
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况，
由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．