7.3离散型随机变量的数字特征 课堂讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（机构适用）（含答案）

7.3离散型随机变量的数字特征
1离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变 量X的分布列为
X
false
false
false
false
false
false
P
false
false
false
false
false
false
则称false为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数， 它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么false
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为false，false
一般地，下面的结论成立:false
2离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
false
false
false
false
P
false
false
false
false
考虑X所有可能取值false与false的偏差的平方false,false，…false,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值false的偏离程度，我们称false为随机变量X的方差，有时也记为false，并称false为随机变量X的标准差，记为false
2.几个常见的结论
（1）false
（2）如果随机变量X服从两点分布，那么false
例1．设false，随机变量false的分布列是
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
则当false在false内增大时，（ ）
A．false增大 B．false减小
C．false先减小再增大 D．false先增大再减小
【答案】D
【详解】
由分布列的性质可得false，false，
false，
false
false，
因为false，当false时，false随着false的增大而增大，
当false时，false随着false的增大而减小.
故选：D.
例2．随机变量false的分布列为
false
false
false
false
false
false
false
false
若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】
由分布列性质知：false，解得：false；
false，false；
false.
故选：A.
1．设false，随机变量false的分布列是
false
0
1
2
false
false
false
false
若false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
2．已知随机变量X的分布列如下：
若随机变量Y满足false，则Y的方差false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知p，q∈R，X～B(5，p).若E(X)=2，则D(2X+q)的值为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．2.4+q D．4.8+q
4．设false，则随机变量false的分布列是：
则当false在false内增大时
A．false增大 B．false减小
C．false先增大后减小 D．false先减小后增大
5．若随机变量false的分布列如下表，则false
false
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A．false B．false C．false D．false
6．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为false；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为false，则
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
7．随机变量false的分布列如下表：
false
1
2
3
false
false
false
false
其中false，false，false成等差数列，若false，则false______．
8．一个袋子里装有大小相同的2个白球和2个黑球，从中任取2个球，其中含有白球个数为false，则false的方差false______．
9．某企业有甲?乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如下：
所用的时间(单位：天)
10
11
12
13
甲生产线的频数
10
20
10
10
乙生产线的频数
5
20
20
5
假设订单false约定交货时间为11天，订单false约定交货时间为12天(将频率视为概率，当天完成即可交货).
（1）为最大可能在约定时间交货，判断订单false和订单false应如何选择各自的生产线(订单false互不影响)；
（2）已知甲?乙生产线每次的生产成本均为3万元，若生产时间超过11天，生产成本将每天增加5000元，求这100次生产产品分别在甲?乙两条生产线的平均成本.
10．某企业有甲?乙两条生产同种产品的生产线，据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如下：假设订单A约定交货时间为11天，订单B约定交货时间为12天.(将频率视为概率，当天完成即可交货)
所用的时间(单位：天)
10
11
12
13
甲生产线的频数
10
20
10
10
乙生产线的频数
5
20
20
5
（1）为尽最大可能在约定时间交货，判断订单A和订单B应如何选择各自的生产线(订单A，B互不影响)；
（2）已知甲?乙生产线的生产成本分别为3万元?2万元，订单A，B互不影响，若规定实际交货时间每超过一天就要付5000元的违约金，现订单A，B用（1）中所选的生产线生产产品，记订单A，B的总成本为false(万元)，求随机变量false的期望值.
---------------------------------------------------------------参考答案------------------------------------------------------------
1．B
【详解】
由分布列可知：false.
false，
false，即false
所以联立方程组得：falsefalse，解得：false
故选：B
2．D
【详解】
由题意可知，false则false，
则false，
所以false．
故选：D
3．B
【详解】
因为X～B(5，p).，E(X)=2，所以有false，因此false，
false.
故选：B
4．D
【详解】
方法1：由分布列得false，则
false，则当false在false内增大时，false先减小后增大.
方法2：则false
故选D.
5．D
【详解】
false
6．B
【详解】
false可能的取值为false；false可能的取值为false，
false，false，false，
故false，false.
false，false，
故false，false,
故false，false.故选B.
7．false
【详解】
falsefalse，false，false成等差数列，falsefalse，
falsefalse，则false，false，
false，
false，
falsefalse，
故答案为：false.
8．false
【详解】
根据题意，摸得白球的个数false可能取的值为0，1，2.
计算false，
false，
false.
所以随机变量false的数学期望为：false，
所以随机变量false的方差为：false.
故答案为：false.
9．（1）订单false选择甲生产线，订单false选择乙生产线；（2）甲生产线的平均成本为false万元，乙生产线的平均成本为false万元.
【详解】
（1）频率分布表如下：
所用的时间(单位：天)
10
11
12
13
甲生产线的频率
false
false
false
false
乙生产线的频率
false
false
false
false
设false分别表示订单false选择甲?乙生产线在约定时间交货；false分别表示订单false选择甲?乙生产线在约定时间交货.
则false
false，
false，
false，
所以订单false选择甲生产线，订单false选择乙生产线.
（2）记false为甲生产线的生产成本的取值，false为甲生产线的生产成本的取值，
由题意可得，false可能取的值为false，false，false；false可能取的值为false，false，false；
由（1）可知false，false，false，
false，false，false，
甲生产线的平均成本为false万元，
乙生产线的平均成本为false万元.
10．（1）订单false选择甲生产线，订单false选择乙生产线；（2）false万元.
【详解】
解：（1）频率分布表如下：
所用的时间(单位：天)
10
11
12
13
甲生产线的频率
false
false
false
false
乙生产线的频率
false
false
false
false
设事件false分别表示订单false选择甲?乙生产线在约定时间交货；
事件false分别表示订单false选择甲?乙生产线在约定时间交货.
false，
false，
false，
false，
所以订单false选择甲生产线，订单false选择乙生产线.
（2）设false表示订单false实际交货时间超过约定时间的天数，false表示订单false实际交货时间超过约定时间的天数false的分布列分别如下：
false：
false
0
1
2
false
false
false
false
false：
false
0
1
false
false
false
设false，则false的分布列如下：
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
false
所以false万元false，
所以订单false的总成本false的期望值为false万元.