第7章 复数 单元测试B卷-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

2020—2021学年高一数学下学期第七章单元测试卷
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.若 a+2i1?i=2b(a,b∈R) ，则复数 a+bi 在复平面内所对应的点位于(??? )
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
2.在复平面内，复数 z 对应的点为 (x,y) ，若 x2+(y+2)2=4 ，则（??? ）
A.?|z+2|=2??????????????????????????B.?|z+2i|=2??????????????????????????C.?|z+2|=4??????????????????????????D.?|z+2i|=4
3.已知复数 z(1?i)=3+5i ，则 z =（??? ）
A.?1?4i???????????????????????????????B.?1+4i???????????????????????????????C.??1?4i???????????????????????????????D.??1+4i
4.若复数 z 满足 z=i(1?i) ，则 |z|= （??? ）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
5.已知复数z满足 1+2iz=1?i （i为虚数单位），则 z （ z 为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
6.已知复数 z=(a2?1)+(a?2)i(a∈R) ，则“ a=1 ”是“ z 为纯虚数”的（??? ）
A.?充分不必要条件?????????????B.?必要不充分条件?????????????C.?充要条件?????????????D.?既不充分也不必要条件
7.已知复数 z=11+3i ，则下列说法正确的是（??? ）
A.?复数 z 的实部为 12 B.?复数 z 的虚部为 ?34i
C.?复数 z 的共轭复数为 14+34i D.?复数 z 的模为 14
8.i 为虚数单位，复数 ii+1 在复平面内对应的点在第几象限（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
9.若复数 z 满足 z(i?1)=2i ，则下列说法正确的是（?? ）
A.?z 的虚部为 ?i?????????????????????????B.?z 为实数?????????????????????????C.?|z|=2?????????????????????????D.?z+z=2i
10.已知复数 z=12+12i ，其中 i 为虚数单位，则 i?z= （??? ）
A.??12+12i????????????????????????????B.?12+12i????????????????????????????C.??12?12i????????????????????????????D.?12?12i
11.已知 i 是虚数单位，设复数 a+bi=2?i2+i ，其中 a,b∈R ，则a+b的值为（??? ）
A.?75???????????????????????????????????????B.??75???????????????????????????????????????C.?15???????????????????????????????????????D.??15
12.已知复数 z 满足 (1?i)z=2?i ，则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（??? ）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.欧拉公式 eix=cosx+isinx （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 x=π 时， eπi+1=0 ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 eπ3i 所表示的复数记为 z ，那么 |z|= ________.
14.下列命题（ i 为虚数单位）中：①已知 a,b∈R 且 a=b ，则 (a?b)+(a+b)i 为纯虚数；②当 z 是非零实数时， |z+1z|≥2 恒成立；③复数 z=(1?i)3 的实部和虚部都是－2；④如果 |a+2i|<|?2+i| ，则实数 a 的取值范围是 ?115.化简 (21+i)2012+(4?8i)2?(?4+8i)211?7i= ________.点集 D={z||z+1+3i|=1,z∈C} ，则 |z| 的最小值________和最大值________.
16.如图在复平面内，复数 z1 ， z2 对应的向量分别是 OA ， OB ，若 z·z2=z1 ，则 z 的共轭复数 z= ________．
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.已知 m∈R ，复数 z=(m?2)+(m2?9)i .
（1）若 z 对应的点在第一象限，求 m 的取值范围；
（2）若 z 的共轭复数 z 与复数 8m+5i 相等，求 m 的值.
18.已知复数 z=6?4mi1+i （ m∈R ， i 是虚数单位）．
（1）若 z 是纯虚数，求实数 m 的值；
（2）设 z 是 z 的共轭复数，复数 z?2z 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 m 的取值范围．
19.已知复数 z=(a2?2a?3)+(a2?5a+6)i （ a∈R ）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
20.实数 m 取什么值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2?2m?15)i
（1）与复数 2?12i 相等
（2）与复数 12+16i 互为共轭复数?
（3）对应的点在 x 轴上方.
答案解析
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】因为 a+2i1?i=2b(a,b∈R) ，所以 a+2i=2b(1?i) ，即： a+2i=2b?2bi ，
根据复数相等的条件得 {a=2b2=?2b ，解得 {a=?2b=?1 ，
所以 a+bi=?2?i 所对应的点(-2，-1)在复平面内位于第三象限．
故答案为：C
2.【答案】 B
【解析】因为复数 z 对应的点为 (x,y) ，所以 z=x+yi
x ， y 满足 x2+(y+2)2=4 则 |z+2i|=2
故答案为：B
3.【答案】 D
【解析】由题意可知： z=3+5i1?i=(3+5i)(1+i)(1?i)(1+i)=?2+8i2=?1+4i ，
故答案为：D．
4.【答案】 B
【解析】 ∵z=i(1?i)=1+i ，
∴|z|=12+12=2 。
故答案为：B．
5.【答案】 C
【解析】解：因为 1+2iz=1?i ，所以 z=1+2i1?i=(1+2i)(1+i)(1?i)(1+i)=?1+3i2=?12+32i ，
所以 z=?12?32i 在复平面内对应的点为 (?12,?32) ，在第三象限.
故答案为：C.
6.【答案】 A
【解析】复数 z=(a2?1)+(a?2)i 为纯虚数，则 a2?1=0 ，且 a?2≠0 ，解得 a=±1 ，所以“ a=1 ”
是“ z 为纯虚数”的充分不必要条件.
故答案为：A.
7.【答案】 C
【解析】 z=11+3i=1?3i(1+3i)(1?3i)=1?3i4=14?34i ，
实部是 14 ，虚部是 ?34 ，共轭复数是 14+34i ，
|z|=(14)2+(?34)2=12 。
故答案为：C．
8.【答案】 A
【解析】因为 ii+1 =i(1?i)(1+i)(1?i)=1+i2 ，所以复数 ii+1 在复平面内对应的点 (12,12) 在第一象限，
故答案为：A。
9.【答案】 C
【解析】因为 z(i?1)=2i ，所以 z=2ii?1=2i(?i?1)(i?1)(?i?1) =2?2i2=1?i ，
所以 z 的虚部为 ?1 ， z 为虚数， |z|=|1?i|=1+1=2 ， z+z=1?i+1+i=2 ，
故 A，B，D 错误，C符合题意.
故答案为：C
10.【答案】 A
【解析】 i?z=i(12+12i)=12i2+12i=?12+12i ，
故答案为：A
11.【答案】 D
【解析】 a+bi=2?i2+i=(2?i)2(2+i)(2?i)=3?4i5 ，
所以 a=35,b=?45,∴a+b=?15 .
故答案为：D
12.【答案】 D
【解析】 ∵(1?i)z=2?i ， ∴z=2?i1?i=(2?i)(1+i)(1?i)(1+i)=3+i2=32+12i ， ∴z=32?12i ，
因此， z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限.
故答案为：D.
二、填空题
13.【答案】 1
【解析】解：由题意， eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i ，
∴|z|=(12)2+(32)2=1 .
故答案为：1.
14.【答案】 ②③④
【解析】对于①， a ， b∈R 且 a=b ，若 a=b=0 时，则 (a?b)+(a+b)i 不是纯虚数，①错误；
对于②，当 z 是非零实数时，根据基本不等式的性质知 |z+1z|?2 恒成立，②正确；
对于③，复数 z=(1?i)3=?2?2i ， ∴z 的实部和虚部都是 ?2 ，③正确；
对于④，如果 |a+2i|<|?2+i| ，则 a2+4<4+1 ，
解得 ?1对于⑤，复数 z=1?i ，则 1z+z=11?i+(1?i)=32?12i ， ∴ ⑤错误．
综上，正确的命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
15.【答案】 -1；1；3
【解析】解： (21+i)2012+(4?8i)2?(?4+8i)211?7i
=[2(1?i)(1+i)(1?i)]2012+(4?8i)2?(4?8i)211?7i
=(22?22i)2012+0
=(22?22i)2012+0
=[(22?22i)2]1006
=(?i)1006=i1006=i251×4+2=i2=?1
设 z=x+yi(x,y∈R) ，因为 D={z||z+1+3i|=1,z∈C}
即 |x+yi+1+3i|=1
根据复数的几何意义可知 D={z||z+1+3i|=1,z∈C} 表示以 (?1,?3) 为圆心， 1 为半径的圆上的点集，
则 |z|max=(?1)2+(?3)2+1=3 ， |z|min=(?1)2+(?3)2?1=1 ，
故答案为：-1；1；3.
16.【答案】 12+32i
【解析】由题意知 z1=1+2i ， z2=?1+i ，
因为 z·z2=z1 ，
所以 z(?1+i)=1+2i ，
即 z=1+2i?1+i=(1+2i)(1+i)(?1+i)(1+i)=1?3i2=12?32i ，
∴ z=12+32i ．
故答案为： 12+32i ．
三、解答题
17.【答案】 （1）解：由题意得 {m?2>0m2?9>0 ，解得 m>3 ，
所以 m 的取值范围是 m>3 ；
（2）解：因为 z=(m?2)+(m2?9)i ，所以 z=m?2+(9?m2)i ，
因为 z 与复数 8m+5i 相等，所以 {m?2=8m9?m2=5 ，解得 m=?2 .
【解析】（1）利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再结合复数z对应的点所在的象限，进而利用复数 z 对应的点在第一象限，从而求出 m 的取值范围。
(2)利用复数与共轭复数的关系结合复数相等的判断方法，进而求出m的值。
?
?
18.【答案】 （1）解： z=(6?4mi)(1?i)(1+i)(1?i)=3?2m?(3+2m)i ，
因为 z 为纯虚数，所以 {3?2m=03+2m≠0 ，解得 m=32 ．
（2）解：因为 z 是 z 的共轭复数，所以 z=3?2m+(3+2m)i ，
所以 z?2z=2m?3+(9+6m)i ．
因为复数 z?2z 在复平面上对应的点位于第二象限，所以
{2m?3<09+6m>0 ，解得 ?32【解析】 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解；
（2）化简 ?z?2z?,再由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
19.【答案】 （1）解：由题意， {a2?2a?3=0,a2?5a+6≠0, 解得 a=?1
（2）解：∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴ {a2?2a?3<0a2?5a+6>0 ，
解得： ?1 ∴实效a的取值范围是 (?1,2) ．
【解析】(1)结合已知条件由纯虚数的定义即可求出关于a的方程组求解出结果即可。
(2)根据题意由复数的几何意义即可求出复数所对应的点的坐标，结合点的象限即可得到关于a的不等式组求解出a的取值范围即可。
?
20.【答案】 （1）解：根据复数相等的充要条件得
{m2+5m+6=2m2?2m?15=?12 解得m＝－1.
（2）解：根据共轭复数的定义得
{m2+5m+6=12m2?2m?15=?16 解得m＝1
（3）解：根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5
【解析】（1）利用复数相等的判断方法建立关于m的方程组，从而解方程组求出m的值。
（2）利用复数与共轭复数的关系建立关于m的方程组，从而解方程组求出m的值。
（3）利用复数的代数表达式求出复数的实部和虚部，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用对应点所在的位置，从而求出关于m的一元二次不等式，从而解一元二次不等式求出m的取值范围。