7.3离散型随机变量的数字特征 课后小练-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册（机构适用）（Word含答案）

7.3离散型随机变量的数字特征
1.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史?思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（??? ）
A.?12???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?32???????????????????????????????????????????D.?2
2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为( ??)
A.?89??????????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????????C.?25??????????????????????????????????????????D.?13
3.已知随机变量 X 的分布列为：设 Y=2X+1 ，则 Y 的数学期望 E(Y) 的值是（??? ）
X
-1
0
1
P
12
16
a
A.??16???????????????????????????????????????B.?13???????????????????????????????????????C.?23???????????????????????????????????????D.??23
4.设 0ξ
-1
0
1
P
12
a
b
则当a在 (0,12) 内增大时，（??? ）
A.?E(ξ) 增大， D(ξ) 增大???????????????????????????????????????B.?E(ξ) 增大， D(ξ) 减小
C.?aE(ξ) 减小， D(ξ) 增大?????????????????????????????????????D.?E(ξ) 减小， D(ξ) 减小
5.袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是 13 ，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为 ξ ，则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ （??? ）
A.?2627????????????????????????????????????????B.?2827????????????????????????????????????????C.?89????????????????????????????????????????D.?23
6.已知随机变量 Xi 满足 P(Xi=1)=pi ， P(Xi=0)=1?pi,i=1,2 ，若 12A.?E(X1)E(X2) ， D(X1)C.?E(X1)D(X2)?????????????????????D.?E(X1)>E(X2) ， D(X1)>D(X2)
7.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 p1,p2,p3,p4 ，且 i=14pi=1 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（??? ）
A.?p1=p4=0.1,p2=p3=0.4?????????????????????????????B.?p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.?p1=p4=0.2,p2=p3=0.3?????????????????????????????D.?p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
8.设随机试验的结果只有A和B，且P(A)=m，令随机变量 ξ={1(A出现)0(B出现) ，则 ξ 的方差为（??? ）
A.?m???????????????????????????????B.?2m(1-m)???????????????????????????????C.?m(1-m)???????????????????????????????D.?-m(1-m)
9.已知随机变量 X~B(4,13) ，那么随机变量X的均值 E(X)= （??? ）
A.?89??????????????????????????????????????????B.?43??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?83
10.已知 c>a ，随机变量 ξ,η 的分布列如下表所示，则（??? ）
A.?E(ξ)>E(η),?D(ξ)E(η),?D(ξ)=D(η)
C.?E(ξ)>E(η),?D(ξ)>D(η)???????????????????????????????D.?E(ξ)11.对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2，则检测2次停止的概率为________；设检测次数为 X ，则 X 的数学期望为________．
12.甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为 34 ，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元，设甲所获的奖金总额为 X 元，则甲所获奖金总额的方差 D(X)= ________.
13.自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．
（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作 X ，求 X 的分布列和数学期望．
（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
14.某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本为4元，售价为6元，如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉，奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：
日需求量杯数
20
25
30
35
40
45
50
天数
5
5
10
15
10
10
5
以这60天记录中各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用 ξ 表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求 ξ 的分布列和数学期望；
（2）假设奶茶店每天准备的这款新晶奶茶杯数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由.
15.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”.为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确则闯关成功.若小明回答第一，第二，第三个问题正确的概率分别为 45 ， 12 ， 13 ，各题回答正确与否相互独立.
（1）求小明回答第一，第二个问题，至少一个正确的概率；
（2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为 X ，求 X 的分布列及小明闯关成功的概率.
---------------------------------------------------------------参考答案------------------------------------------------------------
1.【答案】 B 2.【答案】 A 3.【答案】 C 4.【答案】 D 5.【答案】 A 6.【答案】 C 7.【答案】 B 8.【答案】 C 9.【答案】 B 10.【答案】 B
11.【答案】 0.16；2.44
12.【答案】 60
13.【答案】 （1）解：因为 X 可取 0,1,2,3 ，所以 P(X=k)=C3k·C74?kC104,k=0,1,2,3
所以 P(x=0)=C30·C74C104=16 ， P(x=1)=C31·C73C104=12
P(x=2)=C32·C72C104=310 ， P(x=3)=C33·C71C104=130 ．
所以 X 的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
E(x)=0×16+1×12+2×310+3×130=1.2 ；
（2）解：因为实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为0.7，
所以注射一次疫苗的有效率为0.7，
又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，
所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为： 1?(1?0.7)2=91%<96% ，所以无法保证，
设每支疫苗有效率至少达到 t 才能满足要求，
则 1?(1?t)2=96% ，解得 t=80%
所以每支疫苗的有效率至少要达到80%才能满足以上要求.
14.【答案】 （1）解：由题意可得：若当天只卖出20杯，则利润 ξ=20×2?15×4=?20 元；
若当天只卖出25杯，则利润 ξ=25×2?10×4=10 元；
若当天只卖出30杯，则利润 ξ=30×2?5×4=40 元；
若当天卖出35杯，则利润 ξ=35×2=70 元．
ξ 的分布列为：
ξ
-20
10
40
70
P
112
112
16
23
∴E(ξ)=?20×112+10×112+40×16+70×23=1052 （元 ) ．
（2）解：若店主每天准备40杯这款新品奶茶，
若当天需求20杯，则利润 η=20×2?20×4=?40 元， P(η=?40)=112 ；
若当天需求25杯，则利润 η=25×2?15×4=?10 元， P(η=?10)=112 ；
若当天需求30杯，则利润 η=30×2?10×4=20 元， P(η=20)=16 ；
若当天需求35杯，则利润 η=35×2?5×4=50 元， P(η=50)=14 ；
若当天需求大于等于40杯，则利润 η=40×2=80 元， P(η=80)=512 ．
η 的分布列为：
η
-40
-10
20
50
80
P
112
112
16
14
512
∴E(η)=?40×112?10×112+20×16+50×14+80×512=45 （元 ) ．
∵E(η)∴ 不接受这个建议．
15.【答案】 （1）解：设事件 A1 为小明回答正确第一个问题，事件 A2 为小明回答正确第二个问题，则 A1 为小明回答错误第一个问题， A2 为小明回答错误第二个问题， P(A1)=45 ， P(A2)=12 .
所以小明回答第一，第二个问题，至少有一个正确的概率为：
1?P(A1)P(A2)=1?[1?P(A1)][1?P(A2)]=1?(1?45)×(1?12)=910 ；
（2）解：设事件 A3 为小明回答正确第三个问题，
由题知，小明在闯关赛中，回答题目正确的个数 X 的取值为0，1，2，3，
所以 P(X=0)=[1?P(A1)][1?P(A2)][1?P(A3)]=15×12×23=115 ，
P(X=1)=P(A1)[1?P(A2)][1?P(A3)] +[1?P(A1)]P(A2)[1?P(A3)]+[1?P(A1)][1?P(A2)]P(A3)
=45×12×23+15×12×23+15×12×13=1130 ，
P(X=2)=P(A1)P(A2)[1?P(A3)]+P(A1)[1?P(A2)]P(A3)+[1?P(A1)]P(A2)P(A3) =45×12×23+45×12×13+15×12×13=1330 ，
P(X=3)=P(A1)P(A2)P(A3)=45×12×13=215 .
故 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P(X)
115
1130
1330
215
所以小明闯关成功的概率为 P(X≥2)=1330+215=1730 .