湖北省重点中学2020-2021学年高一下学期5月联考数学试卷 PDF版含答案

湖北省重点中学高一年级五月联考
数学参考答案
一、单选题
1--8 BCAD BDCA
二、多选题
9、BD 10、ACD 11、ABC 12、ACD
三、填空题
20 6 11?
13、 17 14、16.5 15、 16、
3 2
四、解答题
? ? ? r
17.（1）设c ?(x,y)，由c//a 和 c ?2 5
?y?2x?0 ?x?2 ?x ??2
可得? 2 2 ?? 或?
?x ? y ? 20 ?y ? 4 ?y ??4
? ? ?
因为c与a方向相反，所以c ?(?2,?4)．..................................................5分
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
（2）因为(a?2b)?(2a?b) ，所以(a?2b).(2a?b)=0可得a.b= 5
? ? 5
? ?2
a b
所以 ?
cosθ? ? 2
? ? ??1,又因为θ [0，π]，所以θ＝π..................10分
a b 5
5? 2 ∈
1 3 3 2
18.(1)由已知得S△BCD＝ BC·BD·sinB＝ ，又BC＝2，sinB＝ ，∴BD＝ ，cosB
2 3 2 3
1
＝ ．在△BCD中，由余弦定理，得
2
?2? 2 1 28 2 7
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋ 2
? ? －2×2× × ＝ ．∴CD＝ ．........6分
?3? 3 2 9 3
DE 6 BC CD
(2)∵CD＝AD＝ ? ，在△BCD中，由正弦定理，得 ? ，
sinA 2sinA sin?BDC sinB
又∠BDC＝ 2 6
2A，得 ? ，解得 2
cos A＝ ，又A ，
sin2A 2sinAsinB 2 ∈ 0 π
?
所以A＝ ．. ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......12分
4
19.（1）证明：如图，过点A作AE⊥PB，垂足为E
∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB?平面PBC ? PB
1
∴AE⊥平面PBC，又∵BC ?平面PBC
∴AE ? BC 又∵PA?平面ABC,BC ?平面ABC
∴PA?BC 又∵PA?AE ? A ∴BC ?平面PAB ∴BC ?PB ..........6分
(2)解：由（1）中可得，AE⊥平面PBC，过A作AF⊥PC，垂足为F，连接EF
∴AE⊥EF，AE⊥PC，则PC⊥平面AEF，
∴PC⊥EF，则∠AFE为二面角A-PC-B的平面角，设为 ，.........................9分
∵PA?平面ABC∴PA? AB，PA? AC， θ
由（1）可得BC ?平面PAB，则BC⊥AB
在Rt?ABC中：AB=2，BC=1，得AC= 5
在Rt?PAB中：PA=AB=2，得AE ? 2；
2 5
在Rt?PAC中，PA=2，AC= 5，得AF ? ，
3
在 2 2 2 EF 10
Rt?AEF 中，EF ? AF ? AE ? ，则cos?? ?
3 AF 10
10
∴二面角A-PC-B的余弦值为 ..........................................12分
10
20.（1）第二组的频率为1??0.04?0.04?0.03?0.02?0.01??5?0.3，
0.3
所以高为 ?0.06.频率分布直方图如下：
5
............2分
2
120 200
第一组的人数为 ?200，频率为0.04?5?0.2，所以n? ?1000．............4分
0.6 0.2
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000?0.3?300，
195
所以 p? ?0.65．..............................................................................6分
300
第四组的频率为0.03?5?0.15，所以第四组的人数为1000?0.15?150，
所以a ?150?0.4?60．..............................................................................8分
（2）因为?40，45?岁年龄段的“运动达人”与?45，50?岁年龄段的“运动达人”的比值为2：1，
所以采用分层抽样法抽取6人，?40，45?岁中有4人，?45，50?岁中有2人．.. .... 12分
21.??1?连结AC、BD，交于点M，连结ME，
?底面ABCD为矩形，?M 是AC中点，
?PC//平面BDE，?PC//ME，?在?PAC中，ME为?PAC的中位线，
又M为中点，?E为中点 ?AE ? PE．...................................................5分
（2）设点E到平面PCD的距离为h,AD? x，则CD? AB?2x,PD? PA? x,
过P作 3x
PF⊥AD ，垂足为F，则PF= 2
由于平面PAD ?平面ABCD，又? PF ?平面PAD，AD?平面PAD?平面ABCD
∴则PF ?平面ABCD
?四棱锥 1 3x
P?ABCD的体积为9 3，? ?x?2x? ?9 3，解得x?3．.......8分
3 2
由（1）可得PC//ME，且ME ?平面PCD，则ME//平面PCD
∴点M到平面PCD的距离等于点E到平面PCD的距离，即为h，
由AB//CD，PD ? AB可得PD?CD
1 1
由VP?CDM ?VM?PCD可得 ?PF?S?CDM ? ?h?S?PCD
3 3
1 3 3 1 3 1 1 3 3
? ? ?6? ? ?h? ?6?3，则h? ..............................12分
3 2 2 2 3 2 4
?
22.解：（1）OB?2，?AB?2 3，?AOC ? ，OC ?2(1? 3)?2 3?2，
3
3
在 2 2 2 ?
?OAB中，由余弦定理可得AB ?OA ?OB ?2OA?OBcos ，
3
即 2 1
12?OA ?4?2OA?2? ，解得OA?4；....................................2分
2
在 ?
? 2 2 2 2 2 1
OAC中AC ?OA ?OC ?2OA?OCcos ?4 ?(2 3?2) ?2?4?(2 3?2)? ?2 6 ......5分
3 2
OC ?
（2）由 ? 3?1可得BC ? 3BO，设?BAO??，则?ACO? ??
OB 2
在 2? AB BO AO
?ABO中，?ABO? ??，由正弦定理可得： ? ? ．
3 ? sin? sin?ABO
sin 3
? ?
BOsin BCsin( ??)
BC AB
同理在?ABC 中， ? ，? 3 ? 2 ，
? sin?ACO sin? ?
sin sin
6 6
3 ? 6? 2 ? 6? 2
?sin?? ?sin??
2 3cos?
? ? ，化为： 1 ? ?
sin?cos?? ，??(0,?) 4 或 4
? ?
sin? 1 4 ? 6? 2 ? 6? 2
2 ?cos?? ?cos??
? 4 ? 4
（ ? 5? . .... . .... . . ... ... ... ... ... ... ...... 7分
?= 或 ）
12 12
? 6? 2
?sin?? ?
当? 4
? 时，即?= 时，
? 6? 2 12
?cos??
? 4
AOsin? AOsin?
在?ABO中，BO? ? ? 3?2．舍去. .... . . ... ... ... ... ... ......8分
sin?ABO 2?
sin( ??)
3
? 6? 2
?sin?? 5?
当? 4
? 时，即?= 时
? 6? 2 12
?cos??
? 4
AOsin? AOsin? 9?5 3
在?ABO中，BO? ? ? ?2．符合
sin?ABO 2? 2
sin( ??)
3
AB AO ? ?
由正弦定理可得： AO 6 2 3 6
? ．得AB?sin ? ? ...............10分
? sin?ABO 3 sin?ABO 2
sin 3
AC AO ? AO 15 2?9 6
在?ACO中， ? ，得AC?sin ? ?
? sin?ACO 3 ? 2
sin sin( ??)
3 2
则 6 2?3 6 15 2?9 6 21 2?12 6
AB?AC ? ? ? ...........................................12分
2 2 2
4