答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1.
C．
2．C．
3．A．
4．D．
5．A．
6．B．
7．A．
8．A．
9．D．
10．B．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．5．
12．6．
13．8．
14．．
15．6﹣π．
16．
三.解答题（共9小题，满分86分）
17
解：原式＝2×1﹣（3﹣）+4
＝2﹣3++4
＝3+．
18
解：原式＝?
＝，
当x＝+1时，
原式＝＝1+．
19
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
求证：BD＝CE
证明：如图所示，
∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵BC＝CB，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（ASA），
∴BD＝CE．
20
解：（1）∵总数量为25÷25%＝100（篇）
∴八年级数量为100﹣25﹣35＝40（篇），
则扇形统计图中“八年级”对应的圆心角360°×＝144°，
补全图形如下：
故答案为：144；
（2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中七年级的为A，
共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖读后感被校广播电台播出的可能性有6种，
∴七年级特等奖读后感被校广播电台播出的概率为＝．
21
解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/件，B种型号健身器材的单价为1.5x元/件，
根据题意得：﹣＝15，
解得：x＝240，
经检验x＝240是原方程的解，且符合题意，
则1.5×240＝360（元），
答：A，B两种健身器材的单价分别是240元，360元；
（2）设购买A种型号健身器材m件，则购买B种型号的健身器材（60﹣m）件，
根据题意得：240m+360（60﹣m）≤17600，
解得：m≥33，
答：A种型号健身器材至少购买34件．
22
解：（1）如图所示：
（2）S△DEF＝S△ABC＝??＝
∵EF＝BC＝3，BE＝2，
∴EC＝BC﹣BE＝1
∴AC∥DF，
∴△ECH∽△EFD，
∴＝＝，
∴四边形DHCF的面积＝S△DEF＝?＝．
23
（1）证明：∵AE∥BC，
∴AE∥BD，
∵AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形；
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝∠DBE＝90°，BD＝AE＝2，
∵∠ABE＝30°，
∴BE＝AE＝2，BC＝2BD＝4，
∴EC＝＝＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝，
∵AE∥BC，
∴∠AEG＝∠CDG，
∵D为BC中点，
∴BD＝DC，
∵AE＝BD，
∴AE＝DC，
在△AEG和△CDG中，
，
∴△AEG≌△CDG（AAS），
∴EG＝CG＝EC＝，
∴FG＝EG﹣EF＝﹣＝．
24
证明：（1）连接OC，如图，
∵CD⊥OB，
∴∠DCB+∠DBC＝90°．
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠BCE+∠DBC＝90°．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠DBC．
∴∠OCB+∠BCE＝90°．
即：OC⊥CE．
∴CE是⊙O的切线．
（2）过点O作OH⊥CF于H，如图，
则CH＝HF＝FC．
∵∠FCE＝2∠ABC，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠FCE＝∠AOC．
∵∠FCE＝∠FCO+90°，∠AOC＝∠E+90°，
∴∠FCO＝∠E．
∵OC⊥CE，CD⊥OE，
∴∠DCO+∠DCE＝90°，∠E+∠DCE＝90°．
∴∠DCO＝∠E．
∴∠DCO＝∠FCO．
∵∠CDO＝∠CHO＝90°，OC为公共边，
∴△OCH≌△ODC（AAS）．
∴CH＝CD＝4．
∴CF＝8．
设OB＝OC＝x，则OD＝x﹣3．
∵OC2＝OD2+CD2，
∴x2＝（x﹣3）2+42．
解得：x＝．
∴OB＝OC＝．
在Rt△CDB中，
BC＝．
∵OC⊥CG，
∴∠GCF+∠FCO＝90°，∠COE+∠E＝90°．
∴∠GCF＝∠COE．
∵AFCB是圆的内接四边形，
∴∠GFC＝∠OBC．
∴△GFC∽△BCO．
∴．
∴．
∴FG＝．
25
解：（1）把A（﹣2，0）代入抛物线y＝mx2﹣2mx+n中得：4m+4m+n＝0，
∴OA＝2，
Rt△AOC中，∵∠CAO＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴AC＝2OA＝4，OC＝2，
∴C（0，2），
∴n＝2，
∴8m+2＝0，
∴m＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x+x+2，
∴顶点M（1，）；
（2）由（1）知抛物线的对称轴是：x＝1，
设N（1，y），
∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴AC2＝22+（2）2＝16，CN2＝12+（y﹣2）2，AN2＝（1+2）2+y2＝9+y2，
当△CAN是直角三角形时，分三种情况：
①当∠ACN＝90°时，AC2+CN2＝AN2，
即16+1+（y﹣2）2＝9+y2，
解得：y＝，
∴N（1，）；
②当∠CAN＝90°时，AC2+AN2＝CN2，
即16+9+y2＝1+（y﹣2）2，
解得：y＝﹣，
∴N（1，﹣）；
③当∠ANC＝90°时，AN2+CN2＝AC2，
即9+y2+1+（y﹣2）2＝16，
解得：y1＝y2＝，
∴N（1，）；
综上，点N的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，）；
（3）如图，过点C作CG使CG于CO的夹角为30°，CG交x轴于点G，作BH⊥CG交CG的延长线于点H，则点G为所求点，
此时GC+2GB＝2（GB+GC）最小，理由：
∵OG＝CGsin30°＝CG，
则GC+2GB＝2（GB+OG）＝2OB为最小，
则最小值为2×4＝8；
则OG＝OC＝6，
故点G的坐标为（6，0）．2020-2021学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为（ ）
A．77×10﹣5
B．0.77×10﹣7
C．7.7×10﹣6
D．7.7×10﹣7
3下列四个立体图形中，从正面和左面看到的形状图有可能不同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4若4＜k＜5，则k的可能值是（ ）
A．
B．
C．
D．+
5关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
6（我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．若设1一个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
8如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
9如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（2，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（ ）
A．x≤1
B．x≥1
C．x≥2
D．x≤2
10已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或0
B．﹣4或2
C．﹣5或3
D．﹣6或4
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的中位数为 ．
12已知二元一次方程组，则2a+4b＝ ．
13若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是 ．
14如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝ ．
15如图，AB是⊙O的直径，点E是弧BF的中点，连接AF交过E的切线于点D，AB的延长线交该切线于点C，若∠C＝30°，⊙O的半径是4，则图形中阴影部分的面积是 ．
16如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，点B是x轴正半轴上一点，∠OAB＝45°，双曲线y＝过点A，交AB于点C，连接OC，若OC⊥AB，则tan∠ABO的值是 ．
三.解答题（共9小题，满分86分）
17计算：2tan45°﹣|﹣3|+（）﹣2．
18先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．
19证明：等腰三角形两底角的角平分线相等．
20某校开展以“学习朱子文化，弘扬理学思想”为主题的读书月活动，并向学生征集读后感，学校将收到的读后感篇数按年级进行统计，绘制了以下两幅统计图（不完整）．
据图中提供的信息完成以下问题
（1）扇形统计图中“八年级”对应的圆心角是 °，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇读后感荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖读后感中任选两篇在校广播电台上播出，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖读后感被校广播电台播出的概率．
21倡导健康生活推进全民健身，德州某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件．
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共60件，且费用不超过17600元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？
22如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝3，将△ABC沿射线BC平移，使边AB平移到DE，得到△DEF．
（1）作出平移后的△DEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AC、DE相交于点H，BE＝2，求四边形DHCF的面积．
23如图，在△ABC中，AE∥BC，AB＝AC，D为BC中点，AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形．
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求FG的长．
24如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．若CD＝4，BD＝3，求线段FG的长．
25已知，顶点为M的抛物线y＝mx2﹣2mx+n与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于点C，其中A（﹣2，0），∠CAO＝60°．
（1）求抛物线的解析式和M的坐标；
（2）若点N是抛物线的对称轴上的一个动点，且满足△CAN是直角三角形，求出点N的坐标；
（3）已知点G是x轴上的一个动点，直接写出GC+2GB的最小值及此时点G的坐标．
