(共21张PPT)
教学目标
要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量，了解平面基本定理的证明。
教学重点
平面向量基本定理，应用向量基本定理解决问题。
教学难点
对平面向 量基本定理的理解，应用定理解决平面几何问题
知识链接
1、实数与向量的积
2、两个向量的和（差）的求法
平行四边形法则
三角形法则
3、两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线
有且只有一个实数λ，使得 b =λa
如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。
问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、e2的式子来表示呢？
（2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？请说明理由.
平面向量基本定理
如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使
说明：① e1、e2是两个不共线的向量；
② a是平面内的任一向量；
③ a1，a2实数，唯一确定.
e1
a
e2
o
A
B
C
N
M
OM与OA共线
OM = λ1OA = λ1e1
同理ON= λ2OB = λ2 e2
∴a = λ1e1 + λ2 e2
探究:
a1e1+a2e2=xe1+ye2,
(x－a1)e1+(y－a2)e2=0
（存在性）
唯一性：
我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，
a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式。
已知：向量 e1 ，e2
求作：向量 -2.5 e1 + 3e2
例1
e1
e2
o
A
B
-2.5 e1
3 e2
C
作法：
1、任取一点O作OA = -2.5 e1
OB = 3 e2
2、以OA,OB为邻边作 OACB
3、OC为所求
例2. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，试用基底{a，b}表示
例 3. 已知A, B是l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使 关于基底{ }的分解式为
并且，满足该式的点P
一定在l上
(1)
根据平面向量基本定理，同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得
设点P满足等式 ，
则 ，即P在l上
令t= , 点M是AB的中点，则
由此可知,对直线l上任意一点P,一定存在唯一的实数t
满足向量等式(1);反之,对每一个实数t,在直线l上都有
唯一的一个点P与之对应.向量等式(1)叫做直线l的向量
参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数.
与 的系数之和是1
特征：
用途：
判断点P在直线AB上，即是判定
三点共线的依据。
达标练习:
1、给出下面三种说法：
（1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（3）零向量不可作为基底的向量
其中正确的说法是( )
A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)
B
2.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且 ，用 表示 .
解：设
C
B
A
D
E
F
G
3、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b
试用 a , b 表示AG
A
B
C
D
E
F
4、在正六边形ABCDEF中，AC = a ,
AD = b用 a , b 表示向量AB、BC、
CD、DE、EF、FA。
O
课堂小结:
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性
（２）基底的不唯一性
（３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、解（证）
平面几何问题
课后作业:
P99 练习B 2、3(共28张PPT)
教学目标
（一）知识目标
1、 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律
（二）能力目标
在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明
（三）情感目标
通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
教学重点
向量的加减法的运算法则及其应用
教学难点
向量的概念的理解以及运算法则的推导
知识链接
在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，把它看作一个质点，用点表示它在平面内的位置。如果一个质点从点A运动到点B，如果我们不考虑质点运动的路线，只考虑点B相对于点A的“方向”和“直线距离”，这时，我们就说质点在平面内作了一次位移。
问题：位移和那些因素有关？如何确定位移？
A
B
位移的概念
一、向量的概念
既有大小又有方向的量叫向量
注意：
（1）向量的两要素：大小和方向
请说出下列一些量那些是数量那些是向量
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、加速度、面积、电场强度、温度.
课前预习
（2）自由向量
有些向量不仅有大小方向，还有作用点，
例如力；
有些向量只有大小和方向，而无特定的位置，
例如位移、速度等。
通常后一类向量叫做自由向量。
以后我们学习的向量，无特别指明，指的都是
自由向量。
（3）向量能否比较大小？
以A为起点、B为终点的向量记作：
有向线段的长度表示向量的大小，
箭头所指的方向表示向量的方向．
A
B
用一条有向线段来表示．
②字母表示法：
或用 、 、 等小写字母表示；
二、向量的表示方法：
①几何表示法：
特殊向量：
零向量的方向是任意的.
长度为０的向量叫零向量，记为
长度为１个单位的向量叫单位向量
三、向量的模：
例如向量 的长度记作：
→
AB
| |
→
AB
向量的长度叫做向量的模。
四、两种特殊关系：
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
记作：
, 与它们起点位置无关.
共线向量:
通过有向线段的直线，叫做向量的基线
如果向量的基线互相平行或者重合，则称这些向量共线
或平行。这就是说，共线向量的方向相同或相反。
向量a平行于b,记作
规定：零向量与任一向量平行.
五、用向量表示点的位置
任给一定点O和向量a，过点O作有向线段 ，
则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，
这时向量 ，又常叫做点A 相对于点O的位置向量。
O
A
a
例如，在谈到天津相对于北京的位置时，我们说，
“天津位于北京东偏南50°，114km”如图所示，
北京
天津
50°
点O表示北京的位置，点A表示天津的位置，
那么向量就表示了天津相对于北京的位置。
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同．
（2）不相等的向量一定不平行．
（3）与零向量相等的向量是什么向量？
（4）存在与任何向量都平行的向量吗？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定
是什么向量？
（6）两个非零向量相等的条件是什么？
（7）共线向量一定在同一直线上．
×
×
零向量
零向量
平行向量（共线向量）
模相等且方向相同
×
例2
如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出
图中与向量 、 、 相等的向量.
问题:(1) 与 相等吗
(2) 与 相等吗
(3) 与 长度相等的向量有几个
(4) 与 共线的向量有哪几个
O
B
1.下列说法正确的是 ( )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量.
B) 零向量是0 .
C)长度相等的向量叫做相等向量.
D) 共线向量是在一条直线上的向量.
A
2.已知a、b是任意两个向量,下列条件:
①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反;
④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
其中是向量a与b平行的有_____.
①③④
练习
由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位
移之和是什么？
引例二：
台北
香港
上海
向量的加法定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
1、三角形法则
b
a
A
a
a
a
a
b
b
C
b
a
B
a+b
作法：
⑴在平面内任取一点Ａ
⑵作 ，
b
BC
＝
a
AB
＝
AC ＝ a + b
⑶则向量
首
尾
相 连
(1) 同向
(2)反向
A
B
C
A
B
C
注：
向量和的特点：
（1）两个向量的和仍是一个向量．
（2）当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|．
（3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；
当a与b反向时，
若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；
若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|．
+
b
a
b
a
:
=
+
向量的运算律
⑴交换律
证明：
作AB=a，AD = b
a
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
以AB,AD为邻边做平行四边形ABCD
则，BC=b，DC=a
b
AC=AD+DC=b + a
因为 AC=AB+BC=a + b,
所以 a + b = b + a
)
c
b
(
a
c
)
b
a
(
:
+
+
=
+
+
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
⑵结合律
b
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
B
b
a
D
a
C
b
a+b
2、平行四边形法则
(1)在平面内取一点A
⑵以点A为起点以向量a、b为邻边作平行四边形 ABCD.
（3）则以点A为起点的对角线
AC＝a+b
作法:
首首相连
3、向量求和的多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，异第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量。
例5: 求向量 之和.
课堂小结
1、向量的相关概念及其几何表示
2、向量加法的运算法则及其运算规律
3、在掌握向量加减法的基础上结合图形
进行向量的运算
课后作业
课本83页练习A 、B(共27张PPT)
1.2.4 诱导公式
知识目标
1．理解诱导公式的推导方法．
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值、化简
证明三角函数式
能力目标
1．理解掌握诱导公式及应用，提高三角恒等变
形能力
2．树立化归思想方法，将任意角的三角函数值
问题转化为0°～90°间的角的三角函数值问
题，培养学生化归转化能力
学习目标
学习难点
公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透
学习重点
诱导公式及诱导公式的综合应用
情感目标
1.通过诱导公式的推导,培养学生主动探索,勇
于发现的科学精神, 培养学生的创新意识和
创新精神。
2.培养学生相互协作,互相帮助,互相合作的优
良品质。
1、任意角α的三角函数的定义
α
P(x,y)
知识链接
2、[0,π/2]内特殊角的正弦、余弦、正切值
角α 0
3.象限角的三角函数的符号
一全二正弦，三切四余弦.
为正
为
正
为正
全为正
x
y
0
4. 角α的终边与单位圆的交点P的坐标是什么？
5. 同一个角的三角函数有什么关系？
①平方关系：
②商数关系：
课前预习
问题1：你能快速求出sin750°，cos 750°，
tan 750°的值吗？你的依据是什么
诱导公式(一)
它可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题。
sin( +2k )=sin cos( +2k )=cos
tan( +2k )=tan （其中k∈Z）
小结：
例1：求下列三角函数值.
问题2：如何快速求出sin(-60)°，cos (-60)° ，
tan (-60) °的值？
提示： 角 α 与 -α 的终边关于______对称？
角 α 与 -α 的三角函数有什么关系？
它 说明角- 与角 的同名三角函数值，只有余弦值相等，而其它均互为相反数。
诱导公式（二）
小结：
例2：求下列三角函数值.
问题3：如何快速求出sin240°，cos 240° ，
tan 240°的值？
提示：
角 α 与 的终边关于______对称？
角 α 与 的三角函数有什么关系？
诱导公式（三）
小结：
它 说明角 与角 的同名三角函数值，只有余弦值相等，而其它均互为相反数。
问题4：结合以上三组公式，求出下列各式的值？
因此我们也把这一公式称作诱导公式（三）
诱导公式（四）
公式一：
公式二：
公式三：
公式四：
函数名不变，符号看象限
问题5 对于任意角的三角函数，我们怎样来求出呢？
一般步骤是：
把任意角的三角化为 0到2π之间角的
三角函数（诱导公式一、二）
3. 把0到2π之间角的三角函数化为
锐角三角函数（诱导公式三、四）
例3：求下列三角函数值.
例4．化简:
达标练习
1．以下四种化简过程，其中正确的个数是
① sin(360o+220o)=sin220o
② sin(180o-220o)=-sin220o
③ sin(180o+220o)=sin220o
④ sin(-220o)=sin220o
A、1 B、2 C、3 D、4
2：求下列三角函数值.
3．化简：
4．求证:
α+k·360 （k∈Z），-α，180 ±α，
的三角函数值，等于它的同名三角函
数值，前面加上一个把α看成锐角时
原函数值的符号．
课堂小结
课后作业：
课本27页 练习A 1，2
课本31页 练习B 1，2(共14张PPT)
教学目标 1.知识与技能： 运用向量的有关知识，解决几何中线段的平行、垂直、相等
等问题。 2.过程与方法： 通过应用举例，让学生体会用平面向量解决几何问题的两种
方法——向量法和坐标法。 3.情感、态度与价值观： 通过本节的学习，让学生体验向量在解决何问题中的工具作
用，增强学生的探究意识，培养创新精神。
教学重点、难点 重点：用向量知识解决几何问题。 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题解决。
（3）两向量相等充要条件：
且方向相同。
（4）平面向量基本定理
知识链接
（1）、向量的数量积定义：
（2）、向量夹角公式： 与 的夹角为 则：
（3）、向量共线的充要条件： 与非零向量
共线 存在惟一的 ，使
（4）、两向量平行的充要条件：向量
平行
（5）、两向量垂直的充要条件：向量
（6）、向量不等式：
（7）、向量的坐标运算：向量
则
例1 如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。
证明：由已知设
即边AE、FC平行且相等，AECF是平行四边形
课前预习
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2. 求证平行四边形对角线互相平分．
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设
则
根据平面向量基本定理知，这两个分解式是相同的，所以
解得
所以点M是AC、BD的中点，即两条对角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证DP ⊥EF。
证明：选择正交基底{ }
在这个基底下
设
所以
因此DP⊥EF.
1 证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
A
B
D
C
已知：平行四边形ABCD。
求证：
解：设 ，则
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 其它线段对应向
量用它们表示。
∴
达标练习
2、证明直径所对的圆周角是直角
A
B
C
O
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即
即 ，∠ACB=90°
1.向量的基本知识点
2.向量在代数中的应用
3.向量在平面解析几何中的应用
课堂小结：
课后作业
P120 练习A 1 练习B 1(共18张PPT)
一、学习目标：
(一)知识与技能
1．同角三角函数的基本关系式．
2．已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值．
3．利用同角三角函数关系式化简、证明三角函数式．
(二)过程与方法
1．牢固掌握同角三角函数的八个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的思维能力．
2．灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法．
二、教学重点、难点
教学重点：理解并掌握同角三角函数关系式．
教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．
1、复习：任意角三角函数定义
上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图
所示，任意角 的六个三角函数是如何定义的呢？
在 的终边上任取一点 ，它与原点的距离
是 ，则角 的六个三角函数的值是：
； ；
； ；
2、推导同角三角函数关系式
观察 及 ，
当时 ，有何关系？
通过计算发现 与 互为倒数：
∵ ．
及 有没有商数关系？
当 且 时 、
因为 ，所以有商数关系．
还存在平方关系，请计算 的值．
由三角函数定义我们可以看到：
同角三角函数的基本关系式：
①平方关系：
②商数关系：
③倒数关系：
例1 已知 ，且 是第二象限角，
求 ， ， 的值．
同角三角函数关系式的应用
解：
又因为角 是第二象限角，所以
从而
例2 已知 ，求 的值．
解：
所以 是第二或第三象限角.
如果 是第二象限角，那么
如果 是第三象限角，那么
为什么？
反馈练习1：
1. 已知 ,求 的值.
例3：
（1） ；（2） ．
例4：化简下列各式：
化简：
反馈练习2：
例5:证明下面恒等式：
本课小结：
因此 ， ……．
（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，
（2）诸如 ， ，……它们都是
条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．
所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角
达标训练：
3、 （1）α是第三象限角，化简
（2）若 =2tanα，求α的范围.
2、已知cotα=m(m≠0)，求cosα.
1、下列结论中能成立的是（ ）
A．sinα= 且cosα=
B．tanα=2且cotα=
C．tanα=1且cosα=
D．sinα=1且tanα·cosα=1
课后作业：
25页A组3、
B组2、（1）（4）
4、(共13张PPT)
o
y
x
知识与技能目标：
能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数
图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在
规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
过程与方法目标：
通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，
数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，
从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
情感、态度价值观目标：
通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。
教学重点：
考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，
理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。
教学难点：
对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括
最值
单调性
2π
周期性
奇函数
奇偶性
[-1,1]
值域
R
定义域
正弦函数的性质
复习：
1.求使y＝sin2x，x∈R
并说出最大值是什么
2.求y＝1+
的定义域
取得最大值的自变量x的集合，
补偿练习：
3.求函数 的最值
4.求下列函数取最大值时X的取值集合
（1）
（2）
5.求下列函数的单调区间
（1）
（2）
例1.作y=2sinx及y= sinx的图像.
解：两个函数的周期都是2 ，先作〔0,2 〕上的简图.
列表：
x 0
sinx 0 1 0 - 1 0
2sinx 0 2 0 - 2 0
sinx 0 0 - 0
y
x
o
2
-2
y=2sinx
y=sinx
y= sinx
.
.
.
.
一、y=Asinx的图像
小结:一般地函数y=Asinx,x∈R(其中A>0,且A≠1)的图像,可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A>1时)或缩短(当0
A称为振幅.
由y=sinx到y=Asinx的变换称为振幅变换.
例2.作y=sin2x及y=sin x的图像
解:两个函数周期分别为 和4 ,先作一个周期内的图像
列表:
x 0 x 0 2 3 4
2x 0 2 x 0 2
sin2x 0 1 0 -1 0 sin x 0 1 0 -1 0
4
x
y
o
2
1
-1
y=sin2x
y=sinx
y=sin x
二、y= sin x的图像
小结：一般地函数y=sin x，x∈R（其中 >0且 ≠1)的图像,可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(当 >1时)或伸长(当0< <1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到.
T= 称为周期,
y=sinx到y=sin x的变换称为周期变换.
例3.作函数y=sin(x+ )及y=sin(x- )的图像
解:易知y=sin(x+ )的图像可以看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个长度单位而得到.y=sin（x- ）的图像可以看作把正弦曲线上所有的点向右平行移动 个单位长度而得到.
y=sin(x+ ) x 〔- , 〕
y=sin(x- ) x 的图像如图所示
∈
∈〔 , 〕
x
o
y
1
-1
-
2
三、y=sin（x+ ）的图像
例3.作y=sin（x+ ）及y=sin（x- ）的图像
小结：一般地函数y=sin（x+ ），x R（其中
0）的图像，可以看作把正弦曲线上所有的点向左（当 >0时)或向右(当 <0时)平行移动︳ ︳ 个单位长度而得到.
x+ 叫相位， 叫初相.
由y=sinx到y=sin（x+ ）的变换叫相位变换.
∈
≠
练习:
不画图,说明下列函数的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换得到:
1.y=4cosx 2.y=sin x 3.y= sin4x
4.y=sin(x+ )
总结: 1.会用五点作图法作
y=Asinx y=sin x y=sin(x+ )的简图
2.A﹑ ﹑ 有关名称及意义:
振幅﹑周期﹑频率﹑初相
3.掌握: y=Asinx﹑y=sin x﹑y=sin(x+ ) 的图像与y=sinx的图像的关系
作业:
49页 A 2、（1）（4），
3、4(共30张PPT)
教学目标
1.知识与技能:
(1)理解掌握向量共线的条件(平行向量基本定理)
及其应用;
(2)了解单位向量、轴上向量、基向量、轴上向量
的坐标等概念;
(3)理解掌握轴上向量的坐标公式、数轴上两点间
距离公式及公式的应用.
2.过程与方法:
(1)借助几何直观引导学生理解平行向量基本定理和轴上
向量的坐标运算;
(2)通过平行向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般
的思维方法;
(3)通过解题实践,体会平行向量基本定理的应用.
3.情感、态度与价值观:
通过本节课的学习,使学生体会到向量的深刻的几何背
景,它是解决几何问题的有力工具,从而激发学生的学
习兴趣.
教学重点难点
教学重点：平行向量基本定理.
教学难点：平行向量基本定理的应用.
知识链接
1.共线向量（平行向量）：
（1）方向相同或相反非零向量，称为共线向量
（2）如果向量的基线互相平行或重合，则称
这些向量共线。
注意：
向量的共线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重合不同，直线共线即为重合。
2.数乘向量
一般地，实数λ与向量b的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λb，
它的长度和方向规定如下：
(1) |λb|=|λ| |b|
(2) 当λ>0时,λb的方向与b方向相同；
当λ<0时,λb的方向与b方向相反；
特别地，当λ=0或b=0时, λb=0
课前预习
思考1：
若记a = λb,则a 与 b 有什么关系？
λb和b有什么关系？
由数乘向量的定义，
结论1：
如果a = λb,则a ∥ b
如果a = λb,则a ∥ b
思考2：上式有什么用途？
思考3：
如果a = λb,则a ∥ b 的逆命题是否
正确？
结论2：
如果a ∥ b，且b ≠ 0，则一定存在唯一实数λ，
使a = λb,
由结论1、2得平行向量基本定理：
如果a = λb,则a ∥ b ；反之，
如果a ∥b，
且b ≠ 0，则一定存在唯一实数λ，使a =λb,
即：
单位向量:
非零向量a的单位向量:
给定一个非零向量 a , 与 a 同方向且长度等于1的向量,叫做向量a的单位向量.
如果a的单位向量记作a0, 由数乘向量的定义可知: a=|a|·a0或
有何差别
例1：已知a=3e，b=－2e，试问向量a，b是否平行？并求|a|:|b|.
解：由b=－2e，得e=－ b，代入a=3e，得
a=－ b，
因此，a与b平行且|a|:|b|= .
例2：如图MN是△ABC的中位线，求证：
MN= BC，且MN//BC.
例3：如图：已知 AD = 3AB，DE =3BC ，试证明 A、C、E 三点共线．
A
B
D
E
C
解：AE=AD+DE
=3AB+3BC
=3(AB+BC)
=3AC
∴A、C、E三点共线
∴AE//AC 又∵ AE和AC有公共点A，
轴上向量的坐标及其运算
轴：
规定了方向和长度单位的直线。
l
已知轴l，取单位向量e, 使e的方向与l同方向, 根据向量平行的条件,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x,使a=xe.
l
若a=xe b=ye ,则x，y唯一吗？
反过来, 任意给定一个实数x, 我们总能作一个向量a=xe, 使它的长度等于这个实数的绝对值, 方向与实数的符号一致.
基向量和坐标：
这里的单位向量e叫做轴l的基向量, x叫做a在l上的坐标(或数量). x的绝对值等于a的长, 当a与e同方向时, x是正数, 当a与e反向时, x是负数.
l
例如： AB=3 e ，则AB 的坐标记为AB=3
轴上的向量a与实数x建立起一一对应关系.于是可用数值表示向量（轴上的向量）.
A
B
轴上两个向量相等的条件 ：
轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;
轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.
轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.
AB+BC=AC 公式(1)
设e是l上的一个单位向量，在l上任取三点A，B，C，则
ABe+BCe=ACe, 因为e ≠ 0,
所以 AB+BC=AC.
设e是轴l的基向量, 向量a平行于轴l,以原点O为始点作 =a, 则点P的位置被向量a所唯一确定。
则 =xe(平行向量基本定理)
其中数值x是点P的位置向量在轴l上的坐标;
在数轴l上, 已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2.
由公式(1)得 AB=AO+OB
=－OA+OB
=x2－x1 .
结论：AB =x2－x1 公式(2)
轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标
|AB|=|x2－x1| 公式(3)
数轴上两点的距离公式
例3：已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是
4, －2, －6, 求 的坐标和长度.
解：AB=－6，|AB|=6;
BC=－4，|BC|=4；
CA=10，|CA|=10.
巩固练习
（ ）
（ ）
（ ）
√
√
×
×
（ ）
②若
则
③若
则
①若
则
④若
则存在实数
取
使得
．
2. 已知向量a , b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b共线的条件是（ ）
① 2a－3b=4e 且a+2b=－3e
② 存在相异实数λ，μ，使λa －μb=0
③ xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0)
④ 已知梯形ABCD，其中 =a , =b
A．①② B．①③
C．② D．③④
A
3. 设a，b是两个不共线的向量，
试确定实数k,使ka+b和a+kb共线
小结回顾:
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
1.平行向量基本定理及其应用
2. 轴上的向量坐标运算
思考:学行向量基本定理,有何作用
作业:
P93 练习 B 2, 3
A
B
C
D
M
A
B
C
O
平行向量基本定理的应用（选做）(共23张PPT)
教学目标
知识与技能目标 掌握平面向量的数量积的定义、性质及其物理意义 过程与方法目标 （1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和
数学的关系 （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严
谨定义的区别 （3）通过向量数量积性质的学习，体会类比，猜想，
证明的探索式学习方法
情感、态度与价值观目标 通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
教学重点
平面向量数量积的定义及性质
教学难点
对向量数量积定义及性质的理解和应用
情境1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W与哪些因素有关？是不是力越大所做的功就越大？
s
F
θ
课前预习
一、两个向量夹角
已知非零向量a与ｂ，作 ＝a， ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.记作 ＜a，b＞。
规定1： 0≤＜a，b＞≤π
在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。
规定2： 当＜a，b＞=π/2，我们说向量 a 与向量 b 互
相垂直，记作a⊥b。
问题1 当θ为何值时，向量 a 与向量 b 同向？
当θ为何值时，向量 a 与向量 b 反向？
当向量 a 与向量 b 共线时，θ为多少？
Fcosθ
情境2：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，在这个过程中，真正使物体前进的力是哪一个？
s
F
θ
二、向量在轴上的正射影
该射影在轴l上的坐标，叫做a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量。
l
O
A
A1
O1
已知向量a和轴l。作OA=a，
过点O,A分别作轴l的垂线，
垂足分别为O1，A1 。
则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影）。
问题2 设向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，
则向量a在轴l上的数量al等于多少？
l
O
A
A1
O1
θ
al =|a|cos
例1 已知轴l，向量
练习1 已知轴l，向量
情境3：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？
s
F
θ
三、力做功的计算
W＝︱F︱︱s︱cosθ
定义 ︱a|︱b︱cos＜a，b＞叫做向量a与b的数量积
（或内积），记作a·b，即
a·b=︱a|︱b︱cos ＜a，b＞.
四、向量的数量积（内积）
例2 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的夹角120°，
求a·b.
－10
练习2 课本109页 练习A 1（1）（2）
何时为正数？何时为负数？何时为零？
问题3 两向量的数量积是向量还是数量？
a·b=︱a|︱b︱cosθ
当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；
当90°＜θ≤180°时，a·b＜0；
当θ＝90°时，或者有一个为0时，a·b＝0.
当没有零向量时
问题4：根据投影的概念，数量积
a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的正投影的数量︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的正投影的数量的︱a︱cosθ的乘积，
练习3
的数量。
数量为2，
五、向量的数量积（内积）的性质
问题5 a·b与b·a是什么关系？为什么？
a·b＝b·a
特别的，如果b是单位向量e，则得到什么结论？
a·e＝e·a = |a| cos＜a，e＞
问题6 若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
a⊥b a·b＝0
当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；
当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；
a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝
问题7 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
问题8 对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
问题9 ︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？
︱a·b︱≤︱a︱︱b︱
达标练习
边长为4，
时，三角形各是什么样的三角形？
课堂小结
3.向量的数量积。
a·b=︱a|︱b︱cos ＜a，b＞.
2.向量在轴上的正射影的数量
al =|a|cos
1.两个向量夹角
0≤＜a，b＞≤π
4、向量的数量积（内积）的性质
︱a·b︱≤︱a︱︱b︱
a·e＝e·a = |a| cos＜a，e＞
a⊥b a·b＝0
a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝
课后作业：
课本109页 练习A 2（3）（4）
练习B 2(共25张PPT)
教学目标：
知识目标
1.由三角函数值求角；
2.三角函数求值.
能力目标
会由已知的三角函数值求角；
德育目标
1.培养学生的应用意识；
2.培养学生的逻辑推理能力；
3.提高学生的解题能力；
4.培养学生的思维能力.
教学重点：
由已知三角函数值求角 .
教学难点：
1.根据[0,2π)范围确定有已知三角函数值的角 。
2.对函数arcsinx，arccosx，arctanx的正确认识。
3.用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示所求的角。
1.三角函数线
正弦、余弦、正切函数的图像与性质。
知识链接:
已知一个角（定义域内），能求出它的一个三角函数值，
反之，已知一个三角函数值，如何求出与它对应的角？
问题
课前预习:
1.已知正弦值，求角
p
Q
2
-2
为使符合条件sinx=a (-1≤a ≤1）的角x 有且只有一个，选择：
反正弦函数的定义：
2
-2
-2
2
一般地，对于正弦函数y=sinx如果已知函数值y（y∈ [-1，1]）那么在 上有唯一的x值
和它对应，记为x=arcsiny,
（其中 ）称为反正弦函数。
即arcsiny（-1≤y≤1）表示 上正弦值等于y的那个角。
（1）定义域是[-1，1]，值域
（2）sinα=b, α
arcsinb=α,b [-1，1]
反正弦函数的性质：
例2.（1）已知sinx=0.5，且
求x。
（2）已知sinx=0.5，且x∈[0，2π]
求x。
（3）已知sinx=-0.5，且x∈[0，2π]
求x。
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
练习1：
（1） 表示什么意思？
表示 上正弦值等于 的那个角，即角 ，
故
（2）若
，则x=
（4）若 ，集合 且
，则x的值为
（3）若
，则x=
当三角函数值不是1或0时，已知角x的一个三角函数值求角，解法分以下几步：
1、决定角x 可能是第几象限角.
2、如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1 ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.
3、根据角x可能是第几象限角，得出( 0 , 2π ) 内对应的角____
第二象限角：π - x1；第三象限角： π + x1
第四象限角： 2π - x1
方法小结:
例 3（ 1）已知 ，且 ，
求x ；
（2）已知 ，且 ，
求 x 的取值集合；
（3）已知 ，且 ，
求 x 的取值集合。
2.已知余弦值和正切值，求角
2
-2
为使符合条件cosx=a (-1≤a ≤1）
的角x 有且只有一个，选择：
在区间[0，π]上符合条件cosx=y（-1≤y≤1）的角x，记x=arccosy。叫做y的反余弦。
（1）定义域是[-1，1]，值域[0， ]
（2）cosα=b,
arccosb=α,b [-1，1]
反余弦函数的性质：
练习2：
（1）已知 ， ，求x的取值集合．
（2）已知 ， ，求x的取值集合
（3）若 ，则x的值（ ）
B
（1）定义域是______，值域_______
（2）tanα=b, a∈
arctanb=α,b∈ R
反正切函数的性质：
达标训练:
课本60页 练习A 1，3
4、 （1）（2）（3）
5、（1）（2）（3）（4）
课本61页 练习B 2
1、给值求角的步骤，当三角函数值不是 1和0时可概括为： 定象限，找锐角，写形式，如果要求出[ 0 ，2π]范围以外的角则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果。
2、若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。
3、用反正弦符号表示角。
课堂小结:
课后作业:
课本61页 练习B 2
1、（1）（2）（4）
3(共19张PPT)
角的概念的推广
复习提问:
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线组成的几何
图形叫做角。
顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。
A
B
o
顶点
始边
终边
2.角是如何度量的
角的单位是度.规定:周角的1/360为1度的角.
3.我们学过那些角 它们的大小是多少
锐角:大于0度小于90度 直角等于90度
钝角:大于90度小于180度 平角等于180度
周角等于360度
我们以前所学过的角都是大于0度小于或等于360度的角.
生活中的角是不是都在范围(00 ,3600 ]内？
体操运动员转体720°，跳水运动员向内、向外转体1080°.
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
汽车在前进和倒车时，车轮转动的角度如何表示才比较合理
工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度如何表示比较合适
引入
新授
逆时针
顺时针
1.任意角定义：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
任意角
记法：角 或 ，可简记为
说明：
1：角的正负由旋转方向决定
2：角可以任意大小，绝对值大小由
旋转次数及终边位置决定
A
O
B
始边
终边
终边
始边
A
B
O
45°
45°
∠AOB=45°
∠AOB=-45°
例1、射线OA绕端点O旋转90°到射线OB位置，
接着再旋转-30°到0C位置，求∠AOC
90°
-30°
A
O
B
C
∠ABC=∠AOB+∠BOC
=90°+(-30°)
=90°-30°=60°
规律：各角和的旋转量等于各角旋转量的和
练习：射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接 着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，求∠AOD的大小
2.象限角的定义
1)将角的顶点与原点重合
2)始边重合于X轴的非负半轴终边落在第几象限就是第几象限角
x
y
o
始边
终边
Ⅰ
终边
Ⅱ
终边
Ⅲ
终边
Ⅳ
坐标轴上的角：
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：角的终边落在x轴或y轴上。
轴线角的定义:终边落在坐标轴上的角叫做轴线角.
例2
1、锐角是第几象限的角？
2、第一象限的角是否都是锐角？
3、小于90°的角都是锐角吗？
答：锐角是第一象限的角。
答：第一象限的角并不都是锐角。
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限，就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角；
③-300°的角与160°的角的终边相同
④相等的角的终边一定相同；
⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是
(1).(2).(4).
例3 试在图上画出下列大小的角α的终边
(1)3900 (2)7500 (3)-3300
3900
= 3600 + 300
7500
= 2×3600 + 300
-3300
=(-1)×3600 + 300
(k=1)
(k=2)
(k=-1)
与α终边相同的角的一般形式为
注意： ⑴k∈Z， ⑵a是任意角，
⑶ k·360°与a之间是“＋”
⑷终边相同的角不一定相等，但相等的角终边相同，
终边相同的角有无数多个，它们的差是360°的整数倍。
例4、在0 °到360 °范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？
（1）-120°（2）640 °（3） -950 °12'
解（1）-120°=-360 °+240 °
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角，它是第三象限角。
（2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角。
（3）-950°12’ = -3×360°+129°48'
所以与-950°12’ 角终边相同的角是129°48 ’ 角，它是第二象限角。
例5 写出终边落在x轴上的角的集合。
解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=00+k 3600, k ∈Z}
={β| β=0°+2 k 180°, k ∈Z}
终边落在x轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=1800+ k 3600, k ∈Z}
={β| β=1800+2 k 1800, k ∈Z}
={β| β=(2 k +1) 1800, k ∈Z}
S=S1∪S2
所以 终边落在x轴上的角的集合为
∪
={β| β=m 1800 ，m∈Z}
={β| β=2 k 180°, k ∈Z}
{β| β=(2 k +1) 1800, k ∈Z}
例6 写出与下列各角终边相同的角的集合
S,并把S中适合不等式-3600≤ ＜7200
的元素 写出来
（1） 600
（2）-210
（3）363014’
（1）β=k·3600+600其中k=-1,0,1.
（2）β=k·3600+(-21)0其中k=0,1,2.
（3）β=k·3600+363014ˊ其中k=-2,-1,0.
提示：(共30张PPT)
学习目标：
1.理解三角函数的定义。
2.会利用三角函数的定义求简单角的函数值。
3.理解并掌握三角函数在各象限的符号。
教学重点：
会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。
求角的函数值时对象限符号的判定。
教学难点：
1.初中学过的锐角三角函数的定义:
在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数.
2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：
以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy,
则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内，
记∠MOP= α
sinα= ，cosα= ，tanα= 。
若点P (x,y)是角α终边上的任意一点，点P到原点O的距离是r , 试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来。
3. 任意角的三角函数 :
（1）确立任意角α在直角坐标系中的位置；
以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy ；
（2）在其终边上取点A，使OA=1，点A的坐标为(l, m)，再任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP =r（r≠0），根据三角形的相似知识得：
因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得
叫做角α的余弦，记作cosα ,即
cosα= ；
不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。即当点P在α的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。
叫做角α的正弦，记作sinα，
即sinα= ；
叫做角α的正切，记作tanα，
即 tanα=
角α的正割，记作secα= = ；
角α的余割，记作cscα= = ；
角α的余切，记作cotα= = ；
y
x
依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应： 当α≠kπ (k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应. 因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数。
4. 几点说明：
(1) 这里提到的角α是“任意角” 。
（2）锐角三角函数是以边长的比来定义的，都是正值；任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的，不一定都是正值。
(3)三角函数是以角为自变量，以“比值”为函数值的函数。
正弦函数可记作:
f(α) = sinα
余弦函数可记作:
正切函数可记作:
h(α)=cosα
g(α)=tanα
体会对应法则
对于正弦函数sinα= , 因为r>0，所以恒有意义，即α取任意实数， 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域是R；
三角函数函数的定义域
对于正切函数tanα= , 因为x=0时， 无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当α的终边落不在y轴上时， 恒有意义，即tanα= 恒有意义，所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+ （k∈Z）}
从而三角函数的定义域是
y=sinα, α∈R
y=cosα, α∈R
y=tanα ,α≠kπ+ （k∈Z）
y
x
o
( )
( )
( )
( )
y
x
o
( )
( )
( )
( )
y
x
o
( )
( )
( )
( )
例3.设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的角。
解：因为sinθ<0，所以θ可能是第三、四象限的角，又tanθ>0，θ可能是第一、三象限的角，综上所述，θ是第三象限的角。
例4. 确定下列三角函数值的符号:?
（1）cos250 ; （2）
（3）tan(－672 )；（4）
解： （1）250 在第三象限，所以cos250 <0.
(2) － 在第四象限，所以sin(－ )<0.
(3) －672 在第一象限，所以tan(－672 )>0.
(4) 在第四象限，所以tan( )<0.
例6.若 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合, 求 的各三角函数值.
解: ∵ 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合,
∴ 是第三或第四象限的角.
若 是第三象限的角, 取终边上一点 P(-1, -2), 则 r= 5 .
从而 sin = =- 5 , cos = =- , tan = =2,
y
r
2
5
x
r
5
5
y
x
cot = = , sec = =- 5 , csc = =- .
x
y
r
x
r
y
1
2
5
2
若 是第四象限的角, 取终边上一点 P(1, -2), 则 r= 5 .
从而 sin = =- 5 , cos = = , tan = =-2,
y
r
2
5
x
r
5
5
y
x
cot = =- , sec = = 5 , csc = =- .
x
y
r
x
r
y
1
2
5
2
课后练习
4.已知角 的终边上一个点 P 的坐标为(4t, -3t)(t 0), 求 的正弦、余弦和正切值.
解: 由已知有 x=4t, y=-3t,
∴ |OP|=r=5|t|.
当 t>0 时, sin = = = =- ,
y
r
-3t
5|t|
-3t
5t
3
5
cos = = = = ,
x
r
4t
5|t|
4t
5t
4
5
tan = = =- ;
y
x
-3t
4t
3
4
当 t<0 时, sin = = = = ,
y
r
-3t
5|t|
-3t
-5t
3
5
cos = = = =- ,
x
r
4t
5|t|
4t
-5t
4
5
tan = = =- .
y
x
-3t
4t
3
4
5.若点p(-8，y)是角α终边上一点，且 sin α=3/5，则y的值是__________.
6、已知角α=3π/2 ，分别求sinα，cosα，tanα
设α是一个任意角，α的任意一点Ｐ(除端点外)的坐标(x,y),它与原点的距离是r,那么：
(1)比值y/r叫做α的正弦，记作sinα,即sinα=y/r;
(2)比值x/r叫做α的余弦，记作cosα,即cosα=x/r;
(3)比值y/x叫做α的正弦，记作tanα,即tan=y/x;
小结：本节课我们学习了三角函数的定义，即
这一过程反应了人们认识数学概念的分划过程.即数学概念是在人们的认识不段深化的过程中逐步完善起来的．
o
x
y
P(x,y)
y
x
r
作业：
课本18页A组3、4
B组5(共13张PPT)
请大家回忆二倍角的正弦、余弦、正切的公式 。
(1)你能从中求出 , 吗
(2)我们发现 的半角,那么 是谁的半角呢 代入后会有什么结论呢
知识链接
课前预习
因为cosα＝2cos2
－1＝1－2sin2
所以sin
＝±
cos
＝±
tan
＝±
我们把
称为半角公式．
sin
＝±
cos
＝±
tan
＝±
思考讨论：
1.公式的“本质”是用 角的余弦表示 的正弦、余弦、正切。
2.根号前均有“± ”它由角“ ”所在象限来确定
的，如果没有给定角的范围，“± ”应保留。
注意：
3.公式（3）成立的条件:
4.半角之间的相对性。
公式的应用：
例1 求 值。
讲评：
解题关键是定号。
因为 是第一象限角
例2：已知 求 值。
（1）欲求 的三角函数值，只需已知角 的余弦值
（2）由角 的范围求角 的范围，再根据 角的
所在象限确定符号。
讲评：
(1).运用了分类讨论思想；
已知 是第三象限角,
求 值。
变式1：
讲评:
(2). 解题关键是定号。
变式2：已知 求 值。
分析：
（1）已知角 和所求角 均与角 具有“倍、半”关系；
讲评：
由角的变换 体会“半、倍”关系的相对性。
（2）由 求 值；
（3）再由 求“ ” 的值。
例3求证：
证明:
或
讲评：
（1）三角变换选择公式的依据是：使角统一；名统一；结构统一。
(2)成立的条件分别是：
（3）
例4.求证：
讲评：
（1）选择公式的依据：三统一即角统一、名统
一、结构统一。
（2）注意化归转化思想、整体考察思想的运用。
证明：
1.求 的值域、单调性、周期性并判断其奇偶性。
2.化简：
达标练习
1.记忆今天所学习的半角公式、升幂公式降幂公
式及半角正切的有理表达式。
2.注意公式定义域，求值时符号的选择，及公式
的灵活运用即正用、逆用、和变用。
3.三角变换过程中常用的思维策略的： “三统一”
即角统一；名统一；结构统一，它是选择公式
的依据。
4.注意化归转化思想、方程思想与分类讨论思想
及整体考察思想的运用。
课堂小结(共8张PPT)
用平面向量坐标表示向量共线条件
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ，使 a= λb
探究： 共线向量如何用坐标来表示呢？
这个结论如果用坐标表示，可写为
（x1，y1）= λ(x2，y2)
即 x1= λx2
y1= λy2
消去λ后得
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0
x1y2-x2y1=0
这是在假设b≠0的条件下推出的。事实上，如果
在讨论平行问题时，规定零向量可以与任意向量
平行，所以可以去掉b≠0的假设。
如果向量b不平行于坐标轴，即 ，
上式可以化为：
上式用语言可以表述为：
两个向量平行的条件是，相应坐标成比例
例2、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断A、B、C三点的位置关系。
A
B
C
1、 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的是（ ）
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )
（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )
练习：
小结：
作业：
105页练习B 1、2(共20张PPT)
教学目标：
（1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质．
（2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．
（3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．
教学重点：
掌握正切函数的基本性质．
教学难点：
正切函数的单调性及证明．
一、引入：
如何用正弦线作正弦函数图象呢？
用正切线作正切函数y=tanx的图象
类 比
正切函数的图像和性质：
问题1、正切函数 是否为周期函数？
∴ 是周期函数， 是它的一个周期．
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
利用正切线画出函数 ， 的图像:
为什么？
二、探究用正切线作正切函数图象：
作法:
(1) 等分：
(2) 作正切线
(3) 平移
(4) 连线
把单位圆右半圆分成8等份。
，
，
，
，
，
问题2、如何利用正切线画出函数 ，
的图像？
0
正切曲线是由通过点 且与 y 轴相互平
行的直线隔开的无穷多支曲线组成
渐进线
渐进线
⑴ 定义域：
⑵ 值域：
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：
正切函数图像性质：
奇函数，图象关于原点对称。
R
⑸ 单调性：
(6)渐近线方程：
(7)对称中心
增函数。
)
2
,
2
(
p
p
p
p
k
k
+
+
-
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
， 内都是增函数。
问题讨论：
3. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三
强调：
2.正切函数在每个单调区间内都是增函数
1.不能说正切函数在整个定义域内是增函数
例1．求函数 的定义域．
解：
令 ，那么函数 的定义域是:
由 ，可得
所以函数 的定义域是
解题回顾：这种解法可称为换元法。
典例剖析：
练习1：求函数 的定义域。
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
解：（1）∵
又 ∵ ，在 上是增函数
∴
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
（2）∵
又∵ ，函数 ，
是增函数，
∴ 即 ．
解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决．
练习2：比较大小：
求函数 的周期.
这说明自变量 x ,至少要增加 ，函数的值才能重复取得，所以函数 的周期是
例３
练习3：求下列函数的周期：
解：
解：
解法1
解法2
例４
y
x
T
A
0
解：
0
y
x
解法1
解法2
例４
（1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数
且 ）相交的相邻两点间的距离是（ ）
D．与 值有关
A．
B.
C.
（2）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合
① ②
C
练习4：
（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
（2） 性质:
定义域
值域
周期
奇偶性
单调增区间
对称中心
渐近线方程
奇函数
小结：
达标训练：
答案: 1.
2.
3.
作业：
课本57页B组3、4(共19张PPT)
一、三维目标：
1、知识与技能：
1、了解任意角的概念和弧度制，能正确地进行弧度和角度的互化。
2、使学生理解任意角的定义。
3、理解同角三角函数的基本关系式。
2、能力目标：
用运动的观点了解角的概念的推广时解决现实生活和生产中实际
问题的需要，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、
概括的能力。
3、情感态度与价值观：
1、通过对角的概念的推广，培养学生学习数学的兴趣；理解并
认识角度值和弧度制的辩证统一关系。
2、通过对同角三角函数的基本关系的学习，揭示事物之间普遍
联系的规律，培养辩证唯物主义思想。
二、重点与难点：
任意角的三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式。
角度制与
弧度制
弧长与扇形
面积公式
任意角的
三角函数
同角三角函数
的基本关系
三角函数的
图象和性质
三角函数的
诱导公式
任意角
的概念
三角函数
的应用
计算、化简、
证明恒等式
三角函数复习
（1）在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边
与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
（2）象限角：
注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。
（3）所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：
（角度制）
（弧度制）
原点
x轴的非负半轴
角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
知识回顾：
1.角的概念：
(1)什么是1弧度的角
O
A
B
r
r
(2)弧度的计算：
角度的符号由旋转
方向确定
(3)角度与弧度的换算：
(4)、扇形面积公式：
2.角度与弧度：
3、任意角的三角函数：
（1）三角函数的定义
(2)
x
y
x
y
x
y
+
+
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
4：同角三角函数的基本关系式：
（注意“同角”两字）
公式的主要用途：
a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值
b) 化简同角三角函数式；
c) 证明同角的三角恒等式。
5、正弦、余弦的诱导公式：
对于 加减：
函数名不变，符号看象限。
对于 加减：
函数名改变，符号看象限。
诱导公式的类型：
2kπ+α(k ∈z)， π+α ，π-α ，-α ，2π-α
（π/2的奇数倍）
（π/2的偶数倍）
【例1】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积.
②若扇形的周长是一定值l(l＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值 并求出这一最大值
【解题回顾】
1、扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.
2、解答实际应用题的关键是建模，有关最优问题往往归结为求函数的最值，恰当选择自变量，其定义域源于问题中各量的实际意义，此题②中以半径R为自变量较好，其定义域由弧长大于0而小于周长确定.
二、典型例题分析
1.在(0，2π)内，使sinα·cosα＜0，sinα＋cosα＞0，
同时成立的α的取值范围是( )
(A)(π/2，3π/4） (C)(π/2，3π/4)∪(7π/4，2π)
(B)(3π/4，π) (D)(3π/4，π)∪(3π/２，7π/4)
C
练习：
2、函数
的值域是 .
{-2,0,2}
【例2】（全国理，1）若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
练习1、若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练习2、已知“θ是第三象限角，则θ/2是第几象限角
【例3】已知 是第三象限的角
(1)化简
(2)若 ，求 的值；
(3)若 =–1860°，求 的值.
题型2：诱导公式
解：
【例4】已知 ，求下列各式的值:
题型3：同角三角函数关系
解：由条件，
【例5】已知 是关于 的方程
的两个根.
课后练习：
已知
为锐角，利用单位圆证明：
（１）
（２）
若
均为锐角，
试比较
的大小
１．
２．
，
（利用（１）的结论）
角度制与
弧度制
弧长与扇形
面积公式
任意角的
三角函数
同角三角函数
的基本关系
三角函数的
图象和性质
三角函数的
诱导公式
任意角
的概念
三角函数
的应用
计算、化简、
证明恒等式
三角函数复习
作业：
课本69页8、（2）（4）
9、10(共22张PPT)
复习引入
知识链接
问题：如何利用两角和的余弦公式推导
两角和的正弦公式？
两角和的正弦公式
问题4
用 代替
两角差的正弦公式
两角和与差的正弦公式
S
S
S
S
c
c
c
c
+
+
②公式中三角符号的顺序;
③公式中的运算符号.
①公式中角的顺序;
注意：
“异名积，同号连”
“同名积，异号连”
两角和与差的余弦公式
两角和与差的正弦公式
例题精析
公式逆用
能力提升
利用正弦公式化简
设 p (a , b)
x
y
o
p(a,b)
b
a
用已知角“整体”表示未知角
例3、已知向量 =(3，4) , 逆时针旋转45°角到 的位置，求点P’(x’，y’)的坐标。
又因为
所以
同理
所以
思维升华
已知点P(x, y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转角θ到点P’(x’, y’)
达标练习
3、求下列函数的最值和周期
课堂小结
1、两角和与差的正弦公式
2、正弦公式在求值、化简等方面的
灵活应用
课后作业
课本 138页
练习A 2(2)(3)，3，5(共15张PPT)
复习回顾：
（１）
（２）
（３ ）
（４）
（５）
（６）
研究：
我们如何根据公式：
利用 的正弦和余弦来求 的值．
解：只要使 即可得
同学们可以用上述方法自己求下
和 的公式
思考1：
解得：
可以用单独的
或 来表示吗？
思考2：
利用
注:
1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数
公式与和角的三角函数公式之间关系.
2、二倍角三角函数公式表示了一个角的三角
函数和它的二倍的角的三角函数间的关系,
不仅限于2α与α,也同样适用于α与α/2,
或α/2与α/4 等等,要注意倍数关系.
（1）sin4α=2sin( )cos( );
（2）sinα=2sin( )cos( );
（3）cos 6α=cos2( )-sin2( )
=2cos2( )-1
=1-2sin2( );
（4）cos25α-sin25α=cos( );
练习:
2α
2α
3α
3α
3α
3α
10α
4α
3α
例１已知 为锐角，求
的值．
解：
因为 为锐角．
所以
例２ 用二倍角公式求值：
例 3 化简
1．
2．
3.
4.
例４一个半径为Ｒ的圆
里面有一个内接矩形，
问：什么时候矩形面积
最大？
4sin2α －2=
3、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。
达标训练:
１．
２．
３．
课堂小结:(共23张PPT)
正弦型函数（2）
y = A sin(ωx+ )
学习目标
1、使学生会用“五点法”作函数 y = A sin(ωx+ )的图像。
3、会求函数y = A sin(ωx+ )的最大值、最小值、周期和单调区间等。
2、使学生掌握函数y = A sin(ωx+ )中A ,ω, 对于图象的影响。
学习难点
学习重点
用“五点法”作函数 y = A sin(ωx+ )的简图。
当ω不为1时，弄清函数y = A sinx与 y = A sin(ωx+ )的图像的关系。
知识链接
y = A sin(ωx+ )
A为振幅，ω为角速度，
为 频率，
ωx+ 为相位，x=0 时的相位 为初相。
周期T的倒数
为周期
（其中A 、ω 、 为常数。)
最值
单调性
2π
周期性
奇函数
奇偶性
[-1,1]
值域
R
定义域
正弦函数的性质
一、正弦函数的对称性
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=sinx的图象对称轴为：
y=sinx的图象对称中心为：
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
知识链接
的振幅是____，频率是______，
初相是______
例1：
课前预习：
例2、指出将函数y=sinx的图象变换成
的图象的两种方法。
方法1：y=sinx
横坐标缩短为原来的
y=sin2x
向左平移 个单位
方法2：y=sinx
向左平移 个单位
横坐标缩短为原来的
练习1 函数
的图象经过怎样的
变换可得到y=sinx的图象。
将此图象左移 个单位 ，再向上移 个单位得y= sin2x
再将此图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐
标伸长到原来的2倍就得到y=sinx的图象。
例3求 函数的对称轴和对称中心
解（1）令
则
的对称轴为
解得：对称轴为
的对称中心为
对称中心为
2)求函数的最值和取最值时时自变量x的集合。
4)求该函数的单调区间并总结方法
1)求该函数的图象最小正周期和奇偶性。
3)求该函数的对称轴方程和对称点坐标。
例4
（1）当 时，若 ，求
例5：
已知函数
分析：
由诱导公式有
答：
（2）用五点法作出函数 在一个周期
内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心
x
y
0
0
3
0
-3
0
x
y
o
3
-3
（3）如何将 的图象
的图象？
变换到
解：
（3）
向右移
个单位
（4）若
时，
恒成立，求实数k
的取值范围。
解：
法1：图象法；
x
o
3
-3
y
法2：值域法
由图可得
y=k
例6、求函数 的值域.
解：
又∵-1≤sinx≤1
∴原函数的值域为：
1、要得到y=sin(2x- )的图象,只要将y=sin2x的图象
A、向左平移 个单位 B、向右平移 个单位
C、向左平移 个单位 D、向右平移 个单位
D
达标练习
3、函数y=sin(x+ )的对称轴方程为
B
2、
3、将函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移
个单位，得到曲线y= sinx的图象相同，则y=f(x)的函
数表达式为
D
4、函数y=sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则
B
5、要得到函数y= cosx的图象，只需将函数
的图象上所有的点的
A、横坐标缩小到原来的 ，再向左平移 个单位
B、横坐标缩小到原来的 ，再向右平移 个单位
C、横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位
D、横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位
C
对称中心坐标为__________
的图象上各点向右平移 个单位,
再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的5倍
最后把整个图象向下平移4个单位，则所得图象的函数
解析式是________________
6.
7.
课堂小结
对于正弦型函数y = A sin(ωx+ )，
的周期，最值，单调区间，对称轴，
对称中心的求法及相关知识的综合应
用。
P49 练习A 4
练习B 2 （2）
课后作业(共15张PPT)
正弦函数的图像
教学目标:
一、知识与技能
⑴会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像；
⑵会用“五点作图法”画出正弦函数的图像；
⑶会用“五点作图法”画出与正弦函数有关的简单函数图像。
二、过程与方法
⑴培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；
⑵培养数形结合和化归转化的数学思想方法。
三、情感态度与价值观
⑴培养学生合作学习和数学交流的能力；
⑵培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；
⑶渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，
培养辩证唯物主义观点。
教学重点和难点:
教学重点：“五点法”画长度为一个周期的
闭区间上的正弦函数图像
教学难点：几何法画正弦函数图像
一、复习
1、正弦线
设任意角 的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角 的正弦线
我们利用单位圆中的正弦线，来做正弦函数的图像
在直角坐标系中的 轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与 轴的交点起A起，把圆分为12等分，过圆上各分点分别作 轴的垂线，可以得到弧度为0， 相应地，在把 轴上从0到 这一段，分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，在用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数 的图像。因为
所以正弦函数 在 时的图像与在 的形状完全一样，只是位置不同，因此我们把 的图像。沿 轴平移 ， 就可得到 的图像。
二、讲授新课：
x
y
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
y
o
x
o1
1
-1
·
·
o
y
x
]
2
,
0
[
,
sin
p
=
x
x
y
五点法
o
y
x
x
sinx
0
- 1
0
1
0
0
五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
例1.作出 的图象。
y= -sinx, x [0, ]
解：(1)
x
y=sinx 0 1 0 -1 0
y=-sinx 0 -1 0 1 0
x
y
０
-1
1
.
.
.
.
.
y= -sinx, x [0, ]
例2.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图
解：(2)
0 1 0 -1 0
1 2 1 0 1
x
y
1
-1
o
2
.
.
.
.
.
x
y
o
-1
1
2
2
.
.
.
.
1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图
y=sinx+2, x∈[0， ]
x
y
o
-1
1
2
2
.
.
.
.
.
2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0， ]的简图
y=sinx-1, x∈[0， ]
x 0
sinx 0 1 0 -1 0
3Sinx 0 3 0 -3 0
1
3
o
y
3.
与正弦函数有关的简单图像平移变换
正弦函数图象的五点作图法
本课小结
正弦函数图象的几何作图法
作业：
课本：练习A(共24张PPT)
平 面 向 量
复 面 向 量
表示
运算
实数与向量的积
向量加法与减法
向量的数量积
平行四边形法则
向量平行的充要条件
平面向量的基本定理
三 角 形 法 则
向量的三种表示
一、向量的相关概念:1)定义
（1）零向量：
（2）单位向量：
（3）平行向量：
（4）相等向量：
（5）相反向量：
2)重要概念：
3)向量的表示
4)向量的模（长度）
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义
(2)平面向量数量积的定义
(4)平面向量数量积的几何意义
(3)a在b上的投影
(5)平面向量数量积的运算律
(6)平面向量数量积的性质
③求距离
①垂直的充要条件
②求夹角
三、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
向量垂直充要条件的两种形式:
两个向量相等的充要条件：
四、平面向量的基本定理
注:满足什么条件的向量可作为基底
向量定义：
既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量：
长度为0的向量，记作0.
（2）单位向量：
长度为1个单位长度的向量.
（3）平行向量：
也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量.
（4）相等向量：
长度相等且方向相同的向量.
（5）相反向量：
长度相等且方向相反的向量.
几何表示
: 有向线段
向量的表示
字母表示
坐标表示
: (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2)
则 AB =
(x2 － x1 , y2 － y1)
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ),
则
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
平 面 向 量 复 习
1.向量的加法运算
A
B
C
AB+BC=
三角形法则
O
A
B
C
OA+OB=
平行四边形法则
坐标运算:
则a + b =
重要结论：AB+BC+CA=
0
设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
( x1 + x2 , y1 + y2 )
AC
OC
平 面 向 量 复 习
2.向量的减法运算
1）减法法则：
O
A
B
OA－OB =
2）坐标运算:
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )
则a － b=
3.加法减法运算率
a+b=b+a
（a+b)+c=a+(b+c)
1）交换律：
2）结合律：
BA
(x1 － x2 , y1 － y2)
平 面 向 量 复 习
实数λ与向量 a 的积
定义：
坐标运算：
其实质就是向量的伸长或缩短！
λa是一个
向量.
它的长度 |λa| =
|λ| |a|；
它的方向
(1) 当λ≥0时,λa 的方向
与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向
与a方向相反.
若a = (x , y), 则λa =
λ (x , y)
= (λ x , λ y)
1、平面向量的数量积
（1）a与b的夹角：
（2）向量夹角的范围：
（3）向量垂直：
[00 ，1800]
a
b
θ
共同的起点
a
O
A
B
b
θ
O
A
B
O
A
B
O
A
B
O
A
B
（4）两个非零向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积为0
a · b = |a| |b| cosθ
几何意义：
数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
A
a
b
θ
B
B1
O
B
A
θ
b
B1
a
O
θ
B
b
(B1)
A
a
O
5、数量积的运算律：
⑴交换律：
⑵对数乘的结合律：
⑶分配律：
注意：
数量积不满足结合律
平面向量数量积的重要性质
（1）e· a = a · e =| a | cosθ
（2）a ⊥ b的充要条件是 a · b =0
(3) 当 a与b同向时， a · b = |a | | b | ;
当 a 与b 反向时，a · b = - |a | | b |
特别地：a · a=| a | 2 或 | a | =
（4）cosθ= （5）| a·b | ≤ | a | | b |
ab为非零向量，e为单位向量
向量垂直充要条件的两种形式:
二、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
两个向量相等的充要条件:两个向量的坐标相等.
即:
那么
三、平面向量的基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 ，有且只有一对实数 使
练习1：判断正误，并简述理由。
( √ ）
( √ ）
( √ ）
( × ）
( × ）
( × ）
2.
设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，
求证：A、B、D 三点共线。
分析：
要证A、B、D三点共线，可证
AB=λBD关键是找到λ
解：
∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
AB∥ BD
练习:已知a=(1,2),b=(-2,n)，a与b的夹角是45°
(1)求b；
(2)若c与b同向，且c-a与a垂直，求c
练习:已知x＝a+b，y＝2a+b且|a|＝|b|＝1，a⊥b.
(1)求|x|及|y|；(2)求x、y的夹角.
思考：
1、已知两点 ， 试用向量的方法证明以AB为直径的圆的方程为(共26张PPT)
三 角 函 数 复 习
（第2课时）
知识与技能目标：
1、正确理解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质。
2、能正确使用“五点法”、“几何法”、“图像变化法”画出函数图像。
3、会用三角函数解决简单的实际应用。
4、会用已知三角函数值求角。
过程与方法目标：
通过图像变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。
情感、态度与价值观目标：
通过图像变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方式，从而表达从感性认识到理性认识的飞跃。
重难点：
正弦函数的性质与图像，正弦型函数的图象和正弦函数图象的关系。综合运用公式进行求值、化简和证明。
图象
1
-1
1
-1
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
R
R
函数
R
奇函数
偶函数
奇函数
增区间
减区间
增区间
减区间
增区间
三角函数的图象和性质
x
y
o
y
x
o
y
x
o
（1）求小球初始位置;经过多少时间小球往复振动一次？
（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
（3）求t=1s时弹簧振子对平衡位置的位移（精确到0.001）
例1：
解：
（1）
在平衡位置以上且距平衡位置
（2）都是
若弹簧振子对平衡位置的位移 x(cm)与时间t(s)之间的
关系由上述关系式决定，回答下列问题.
已知函数
（3） 0.283 cm
经过 s小球往复振动一次
题型一：三角函数图象复习
（1）当 时，若 ，求
例2：
已知函数
分析：
由诱导公式有
答：
例2：
已知函数
（2）用五点法作出函数 在一个周期
内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心
x
y
0
0
3
0
-3
0
例2：
已知函数
（2）用五点法作出函数 在一个周期
内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心
x
y
0
0
3
0
-3
0
x
y
o
3
-3
例2：
已知函数
（2）用五点法作出函数 在一个周期
内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心
x
y
0
0
3
0
-3
0
x
o
3
-3
y
减区间
对称轴
对称中心
例2：
已知函数
（3）如何将 的图象
的图象？
变换到
解：
（3）
向右移
个单位
例2：
已知函数
（4）若
时，
恒成立，求实数k
的取值范围。
解：
法1：图象法；
x
o
3
-3
y
例2：
已知函数
（4）若
时，
恒成立，求实数k
的取值范围。
解：
法1：图象法；
x
o
3
-3
y
法2：值域法
由图可得
y=k
小结：能够正确认识图像平移问题，审清题意，注意起止，把握好要点。
【解题回顾】解此题时，若能充分利用图象与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解.
根据图像求解析式
【解题回顾】这类问题的求解难点是φ的确定，除以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为x=x′+π/6，y=y′，则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′，而x′=x-π/6，故所求函数y=3sin[2(x-π/6)]
练习：.如下图，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5π/12，3)和(11π/12，-3)．
求该函数的解析式
例4、函数 单调递增
区间是
—————————
变题：函数 单调递减
区间是
—————————
题型二：三角函数的性质：(共24张PPT)
诱导公式（2）
(一)知识目标
1．理解诱导公式的推导方法．
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值、
化简或证明三角函数式
(二)能力目标
1．理解掌握诱导公式及应用，提高三角恒等变形能力
2．树立化归思想方法，将任意角的三角函数值问题转化为0°～90°间的角的三角函数值问题，培养学生化归转化能力
学习目标
学习难点：
运用诱导公式求三角函数值，
化简或证明三角函数式
学习重点：
理解并掌握诱导公式
知识链接
诱导公式一：
（ )
诱导公式二：
诱导公式三：
4、角α与π-α之间的三角函数的关系
诱导公式四：
复习：练习一
求下列三角函数值：
（1）sin(-1050 )；
(2) cos1410°
（4）
（3）
（1）cos210 ；(2)sin
求下列三角函数值：
（3）sin(－ )；
(4)cos(－60 )－sin(－210 )
复习练习二
3、化简：
x
y
0
p
M
N
y=x
x
y
0
p
M
N
y=x
诱导公式五：
诱导公式六：
口诀：
“奇变偶不变，符号看象限”
意义：
例1、求下列三角函数的值：
（1）sin120°；(2)cos135°
例2 、将下列三角函数化为0°到45°之间角的三角函数
(1)sin68°
(2)cos75°
(3)tan126°
例3 化简：
tan10°tan20°tan30°tan45°
tan60°tan70°tan80°
巩固练习:
1、课本练习A
课堂小结：
（1）诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（把看作锐角）”来记。
（2）利用诱导公式可以求所有角的三角函数值。
课后作业：
课本33页 练习B(共18张PPT)
思考：下列公式是否正确？
代值验证
思考：如何求一个角的余弦值，以前我们学过哪些类似的方法？
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
知识链接
1.两向量夹角的范围？
2.两向量数量积的坐标运算
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
知识链接
3.求两向量夹角的方法？
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
设点P、Q分别为角 的终边与单位圆的交点
则
思考：∠POQ是否为向量 与 的夹角？
思考：∠POQ是否即为 ？
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
结论
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
两角差的余弦
由上面公式如何推导出两角和的余弦公式？
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
余余正正，符号相反
探究一、应用求值
例1、求值
解：
变式：求值
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
例2、已知 ，
求
解：
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
探究二、逆用公式化简求值
例3、求值
解：
变式：（1）求值
（2）证明
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
（2）证明：
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
逆用和差角公式可以将含正余弦两个三角函数名的式子化为只含有一个三角函数名得式子
探究三、应用公式证明等式
例4、证明
证明：
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
可以用此方法证明诱导公式，还可以进一步推导和差角的正弦公式
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
例5.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB则△ABC是
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)锐角三角形 (D)不确定.
探究四、公式的综合应用
解：由题意得
∴角C为直角，三角形为直角三角形
∴A+B为直角
变式：三角形ABC中，若
则三角形ABC的形状
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
解：由题意得
∴角C为钝角，三角形为钝角三角形
∴A+B为锐角
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
小结：
1.和差角的余弦公式
2.公式的应用中，探究二可以将一个式子化为只含有一个三角函数名得式子；
探究三进一步推导和差角的正弦公式
新课引入
公式形成
应用探究
小结作业
作业：
1.课本135页A组2.（2）（4）
B组2
2. 根据探究三推导和差角的正弦公式，预习下一节，并根据探究二重点探究3.1.2的例4与例5(共30张PPT)
单位圆与三角函数线
x
o
A
T
y
(一)知识目标?
1.单位圆的概念.?
2.有向线段的概念.?
3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.
(二)能力目标?
1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.?
2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.?
(三)德育目标?
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.
学习目标
教学重点
正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
教学难点
正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值
摩天轮
数学源于生活
我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。
设P 点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记
，则由正弦函数的定义可知，
（1）角的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
α
P(x,y)
（2）角α 的正弦、余弦、正切值与终边上P点的位置是否有关？
知识链接
(3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？
(4) 从定义看出：角α 的三角函数是两个变量的比值。为了简单地计算其正余弦、正切我们可以使分母为1。
当r=1时，即p点到原点的距离为1。所有满足条件的点构成什么图形？
数轴上的向量 的坐标是一个实数，这个实数的绝对值为线段的长度，如果方向与轴方向相同取正，反之取负。
A
B
1、单位圆
半径为1的圆
叫单位圆。
课前预习
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).
而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).
N
1
B
(
0
,
1
)
A
(
1
,
0
)
a
M
P
(
cos
a
,
sin
a
)
y
x
O
A
'
(-
1
,
0
)
B
'
(
0
,
-
1
)
问题2：在单位圆中能不能用一条线段直观地表示角α的正弦值、余弦值？如 果能，怎样找 出这条线段？
问题3：在单位圆中，怎样用一条线段来表示α的正切值？
问题1：设角的终边与单位圆交于点P，则p点的坐标是什么？
设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M； 做PN垂直y轴于点N，
则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
2. 三角函数线
根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)
其中cosα=OM，sinα=ON.
这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.
以A为原点建立y’轴与y轴同向，y’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T ’)，则tanα=AT(或AT ’)
我们把轴上的向量
分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
问题5：角与它的三角函数线之间存在着对应关系，这种对应关系是不是函数关系？与三角函数线的数量之间呢？
角的三角函数线是三角函数定义的几何表示，它的数量等于这个角的三角函数值。
问题4：观察思考：三角函数线的方向和符号？当角α的终边在坐标轴上时，它的三角函数线及其数量是如何变化的？
例1：作出
P
M
的正弦线、余弦线和正切线。
o
x
y
A(1,0)
T
典型例题
解：在直角坐标系中作单位圆。以ox轴方向为
始边作 的终边与单位圆交于P点，作
PM⊥ox轴，垂足为M，由单位圆与ox轴正方
向的交点A作ox轴的垂线与OP的反向延长线
交于T点，则
练习1.分别作出 、 的正弦线、余弦线、正切线。
例2.比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3.
解：由三角函数线得
sin1cos1>cos1.5
tan2练习2 若 则下列各式中正确的（ ）
C
例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0 解：由在y轴上找到y=0.5的点，做x轴的平行线，交单位圆于点P和P’两点，由三角函数线知
x1=30 , x2=150 .
变式：去掉 0 sinα=MP, cosα=OM,
由MP+OM>OP 知，
sinα+cosα>1
变式： 比较 与 1 的关系。
y
x
P
M
O
A
α
（1，0）
例4：利用三角函数线证明：
若
解：如图， 单位圆O与 角α的
终边交于点P，与x 轴的正半轴
交于点A，过P作PM垂直于x轴于
点M，则由三角函数的定义可知：
例5 当 ，试比较实数α ，
sin α ，tan α的大小。
分析：如图
单位圆O与 角α的终边交于
点P，与x 轴的正半轴交于
点A，过P作PM垂直于x轴于
M，过A作单位圆的切线，交
α的终边与点T ,连接AP，
则：
由 知
即
y
x
T
P
M
O
A
α
（1，0）
1、下列四个命题中(1)α一定时，单位圆中的正弦线一定；（2）单位圆中有相同正弦线的角相等；（3）α与α+π有相同的正切线；（4）具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上。不正确的命题个数是 （ ）
A：0 B：1 C：2 D：3
2、已知α是第一象限角，则下列等式中可能成立的是 （ ）
A：sinα+cosα=1.2 B： sinα+cosα=-0.9
C： sinαcosα=1.3 D： sinα+cosα=－1.2
课堂练习：
B
A
3、在（0，π/2）内，使sinx>cosx成立的x的取值
范围是 ____________.
4、若 则下列各式中正确的（ ）
C
5、如果 和 OM 分别是角 的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是（ ）
6、利用三角函数线比较三角函数值的大小
D
单位圆
三角函数线
正弦线
余弦线
正切线
1、网络结构
2、数学思想：数形结合
课堂小结
（1）给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。
（2） 三角函数线的位置 ：
正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；
余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；
正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段
3、主要内容
（3） 特殊情况：
① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。
② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。
P21 A 1.（2）、（4）
P22 B 1.（2）、2
课后作业：(共16张PPT)
教学目标
知识目标：掌握正弦函数的性质，了解周期函数与最小正周期的意义。
能力目标：培养观察能力和归纳能力。
育人目标：养成严谨的思维习惯。
教学重点：
正弦函数的性质及应用
教学难点：
周期性
知识链接
在上一节课里我们学习了正弦函数的图像以及五点作图法。
想一想：怎样画出正弦函数f(x)=sinx的图象 ？
sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z),
（3）周期性
当x=________________时，
当x=________________时， 值域是：
（2）值域
（1）定义域
一、正弦函数 y=sinx 的性质
周期函数：f(x+T)=f(x)
最小正周期：所有周期中最小的正数
（4）正弦函数的单调性
y=sinx (x R)
增区间为 [ ， ] 其值从-1增至1
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
x
sinx
… 0 … … …
-1
0
1
0
-1
减区间为 [ ， ] 其值从 1减至-1
sin(-x)= - sinx (x R)
y=sinx (x R)是奇函数
图象关于原点对称
（5）正弦函数的奇偶性
y=sinx
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
y=sinx (x R) 图象关于原点对称
二、正弦函数性质的简单应用
例1 比较下列各组正弦值的大小：
分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
解： 1）因为
并且f(x)=sinx在 上是增函数，所以
2）因为
并且f(x)=sinx在 上是减函数，所以
练习、不求值，比较下列各对正弦值的大小：
（１） （２）
解：
（１）
且y=sinx在
上是增函数，
（２）
且y=sinx在
上是减函数，
例2 求函数 在x取何值时到达
最大值？在x取何值是到达最小值？
关键点：把 看作一个整体。
解： 在 处到达最大值1。即，
当 时， 达到最大值1。
在 处达到最小值-1。即，
当 时， 达到最小值-1。
求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值的x值的集合。
解：
使y=2+sinx取得最大值的x的集合是：
使y=2+sinx取得最小值的x的集合是：
周期
例3 求函数f(x)=sin2x的最小正周期。
分析：本题的关键是找到满足f(x+T)=f(x)的最小正数。
解：根据诱导公式（1）得
sin（2x+2 ）=sin2x x R
即 sin2(x+ )=sin2x x R
也就是 f(x+ )=f(x) x R
因此， 是f(x)=sin2x的最小正周期。
解：根据诱导公式（1）得
sin（2x+2 ）=sin2x x R
即 sin2(x+ )=sin2x x R
也就是 f(x+ )=f(x) x R
因此， 是f(x)=sin2x的最小正周期。
解：根据诱导公式（1）得
sin（2x+2 ）=sin2x x R
即 sin2(x+ )=sin2x x R
也就是 f(x+ )=f(x) x R
因此， 是f(x)=sin2x的最小正周期。
解：根据诱导公式（1）得
sin（2x+2 ）=sin2x x R
即 sin2(x+ )=sin2x x R
也就是 f(x+ )=f(x) x R
因此， 是f(x)=sin2x的最小正周期。
解：根据诱导公式（1）得
sin（2x+2 ）=sin2x x R
即 sin2(x+ )=sin2x x R
也就是 f(x+ )=f(x) x R
因此， 是f(x)=sin2x的最小正周期。
解：根据诱导公式（1）得
sin（2x+2 ）=sin2x x R
即 sin2(x+ )=sin2x x R
也就是 f(x+ )=f(x) x R
因此， 是f(x)=sin2x的最小正周期。
解：根据诱导公式（1）得
sin（2x+2 ）=sin2x x R
即 sin2(x+ )=sin2x x R
也就是 f(x+ )=f(x) x R
因此， 是f(x)=sin2x的最小正周期。
思考：一般的，函数
的周期为？
三、巩固练习
1、比较下列各组正弦值的大小：
2、求下列函数在x取何值时到最大值？在x取何值是到达最小值？
四、课堂小结 ：正弦函数的性质
定义域 R
值 域 [-1,1]
奇偶性 奇
周期性
单调性
最值
教材 P43 习题 1-5 A组：2、3题
五、作业布置(共10张PPT)
教学目标 1.知识与技能： 运用向量的有关知识，解决几何中线段的平行、垂直、相等
等问题。 2.过程与方法： 通过应用举例，让学生体会用平面向量解决几何问题的两种
方法——向量法和坐标法。 3.情感、态度与价值观： 通过本节的学习，让学生体验向量在解决何问题中的工具作
用，增强学生的探究意识，培养创新精神。
教学重点、难点 重点：用向量知识解决几何问题。 难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题解决。
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
知识链接
思考：直线的倾斜角、斜率与平行于
这条直线的向量之间的关系？
例1 求通过点A（-1，2），且平行于向量 =
（3，2）的直线方程。
平行于直线l的向量称为该直线的方向向量。
若直线l的方向向量为 =（a1，a2）,则 K=
直线l：Ax+By+C=0的方向向量为 =（1，k）= （-B，A）
说明：
如果知道直线的斜率k= 则向量（a1,a2）一定与该直线平行
例2:已知直线l ：Ax+By+C=0, 向量 =（A，B）
求证： ⊥ l
如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直于该直线，这个向量称为这条直线的法向量。
直线l：Ax+By+C=0的法向量为 = （A，B）
思考：直线l一般方程AX+BY+C=0中变量X、Y
的系数构成的向量（A,B）的几何意义？
例3 求通过点A（2，1），且平行于直线
l：4x-3y+9=0的直线方程。
结论：向量（A,B）与直线l垂直，向量
（-B,A）与直线l平行。
平面上有三个点A（-2，y），B（0， ），C（x，y）.若 ,则动点C的轨迹方程是
_________.
达标练习：
探索与研究：课本120页探索与研究
1.向量的基本知识点
2.向量在代数中的应用
3.向量在平面解析几何中的应用
课堂小结:
课后作业
P120 练习A 3 练习B 3(共22张PPT)
教学目标：
1、知识与技能
掌握平面向量数量积的运算律及其应用。
2、过程与方法
（1）通过向量数量积分配律的学习，体会
类比、猜想、证明的探索性学习方法。
（2）通过解题实践，体会向量数量积的
运算方法。
3、情感、态度与价值观
通过本节的探究性学习让学生初步尝试数学研
究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问
题的能力，有助于发展学生的创新意识。
教学重点
平面向量的数量积定义。
教学难点
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。
平面向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积为0。
知识链接
2、数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的正投影的数量︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的正投影的数量的︱a︱cosθ的乘积，
3、向量的数量积的性质：
练习：
1、下列命题是真命题的是（ ）
D E
2
3
4 已知 a =12，b =9,a.b=- 54 2,求a和b的夹角θ
cos θ=
a . b
a b
=
- 54 2
12
×9
= -
2
2
解：
∵
∴
且 θ∈[０, π]
θ = π
4
3
数量积的运算律：
其中，
是任意三个向量，
注：
课前预习
一个向量与一个轴上的单位向量的数量积等于这个向量在轴上的正射影的数量，如果分配律中的向量c换成它的单位向量c0，则分配律变成 (a+b)·c0=a·c0+b·c0.
证明分配律就成为证明：两个向量的和在一个方向上的正射影的数量等于每个向量在这个方向上的正射影的数量之和。
O
A
B
θ1
C
θ
θ2
A1
B1
例1 求证：
证明：（1）
（2）
（3）
A
B
C
练习 用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。
B
A
C
o
例3 求证菱形的两条对角线互相垂直。
变式 在矩形ABCD中，求证两条对角线AC和BD的长相等。
例4
等价
达标练习
3.下列结论：①a2=|a|2②a·b/a2=b/a
③ (a·b )2=a2·b2 ④若a ≠ 0,则b=c a·b=a·c,其中正确的序号是__________.
（1）
4.
-13
课堂小结
2 、 数量积的运算律：
1、 常用的向量的数量积的性质：
课后作业
达标练习 7，8(共27张PPT)
平面向量
综合复习
向量考查的层次性
v
第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及
基本运算技能，要求考生掌握平面向量的和、差、数乘
和向量的数量积等运算，理解其直观的几何意义，并能
正确地进行运算．
v
第二层次：主要考查平面向量的坐标表示，向量
的线性运算．
v
第三层次：和其他数学内容结合在一起，如可以
和曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和
运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力，
应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知
识有机地结合在一起，能为多角度地展开解题思
路提供广阔的空间。
一、知识盘点
平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现，因此，平面向量成为中学数学知识的一个交汇点。在基础知识复习时，要注意向量考查的层次，分层次进行复习。
1．与平面几何的结合：
A
B
D
C
A
B
D
C
四边形ABCD是菱形
四边形ABCD是矩形
A
B
C
O
A
B
C
D
M
A
B
C
O
M
外心
重心
重心
垂心
A
B
C
O
内心
内心(共16张PPT)
教学目标
（一）知识目标
1、 理解向量减法的概念，掌握向量的几何表示
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律
（二）能力目标
在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明
（三）情感目标
通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
教学重点
向量的加减法的运算法则及其应用
教学难点
向量减法的概念的理解
复习：1、向量加法运算法则：
B
A
C
三角形法则
平行四边形法则
D
A
B
C
2、向量加法的交换律：
结合律：
引例：
已知：两个力的合力为
求：另一个力
其中一个力为
相反向量及其性质
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量。
记作-a，a和-a互为相反向量。
规定：零向量的相反向量仍是零向量。
性质：-(-a)=a;
a+(-a)=(-a)+a=0;
若a、b是互为相反的向量，则有
a=-b,b=-a,a+b=0.
向量减法的定义：
向量a加上b相反向量，叫做a与b的差.
即：a b = a + ( b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法
C
D
如图，已知a、b，求作a-b。
例1
(1)
a
b
(2)
a
b
a
b
(3)
a
b
(4)
2、已知a、b是任意两个向量,下列条件:
①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反;
④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
能判定向量a与b共线的是_____.
①③④
1、下列说法正确的是 ( )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量.
B) 零向量是0 .
C)长度相等的向量叫做相等向量.
D) 共线向量是在一条直线上的向量.
达标练习：
4、 化简
5.一艘船以 的速度和垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为 ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）．
A
B
D
C
课堂小结
1、向量减法的运算法则
2、在掌握向量加减法的基础上结合图形
进行向量的运算
课后作业：
课本 86页练习B 1、2、3(共20张PPT)
向量数量积的坐标运算
与度量公式
教学目标
1、 掌握两个向量数量积的坐标表示法,会进行平面向量数量积的运算.
2、 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
3、 提高学生的运算速度,培养学生的运算能力.
教学重点
向量数量积的坐标运算与度量公式的掌握
教学难点
灵活运用公式解决有关问题
知识链接
1、平面向量的数量积是如何定义的，它有哪些重要的性质？
记作
=
已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量
即有
叫做 与 的数量积（或内积），
2、两非零向量垂直的充要条件是什么？
3、两平面向量共线的充要条件又是什么，
如何用坐标表示出来？
1.向量内积的坐标运算
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
课前预习
-1
-96
-15
2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件.
换用两向量的数量积坐标表示,即为:
⑵判断(b1,b2)与 (-b2,b1)是否垂直
判断 (b1,b2)与k(-b2,b1)是否垂直
例如:向量(3,4)与向量____,____,____………都垂直.
3.向量的长度,距离和夹角公式.
向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根
（1）向量的长度
（2）向量的长度（两点之间的距离公式）
（3）两个向量夹角的坐标表达式:
例4
：
达标练习
1、已知a = （ 3，4），b = （5，2），
求a b，| a |，| b |。
2、已知a = （ 2，4），b = （1， 2），则a 与b的关系是 （ ）
A、不共线 B、垂直 C、共线同向 D、共线反向
3、以A（2，5），B（5，2），C（10，7）为顶点的三角形的形状是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、等腰三角形或直角三角形
.
平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几何问题。
（1）两向量垂直的充要条件的坐标表示
（2）向量的长度（模）
（3）两向量的夹角
课堂小结
课本P115
B组 4 、 5
课后作业：(共24张PPT)
教学目标
知识与技能目标 (1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算; ( 2 )上述知识的简单应用
过程与方法目标
(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的几何意义; (2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;
情感、态度与价值观目标
通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.
教学重点
向量的直角坐标运算
教学难点
应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题
1、平面向量基本定理的内容是什么？
2、什么是平面向量的基底？
知识链接
如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2
平面向量基本定理:
不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
向量的基底:
一.向量正交分解的概念:
在正交基底下分解向量,叫做正交分解。
课前预习
如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直
如果基底的两个基向量 互相垂直，则称这两个基底为正交基底。
二 、平面向量的坐标表示
在直角坐标系xoy内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量 、 作为基底,则任一向量
有且只有一对实数 , ，使
（ ， ）叫做向量a的坐标
y
x
O
a
A1
A
A2
B
其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量 ，a2叫做向量a在y轴上的坐标分量。
(1 , 0)
(0, 1)
(0,0)
0 =
=
=
练习：
y
x
O
a
A1
A
A2
B
B1
B2
探究一
过向量的起点、终点分别做x轴y轴的垂线，则坐标分量a1与向量A1B1在x轴上的坐标有什么关系？坐标分量a2与向量A1B1在x轴上的坐标有什么关系？
设A、B的坐标
则向量的坐标为？
结论：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
O
x
y
a
A( , )
探究二
当向量起点与原点重合时，向量的坐标与终点A的坐标有什么关系？
探究三
记以x轴的正半轴为始边，向量a的方向为终边形成的角为θ，能否用θ的三角函数来表示a1，a2？
平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？
探究四：
（1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ，
求 a的坐标 .
如何计算？
三 、平面向量的直角坐标运算
向量的坐标运算
例5 在直角坐标系xoy中，已知点A、B的坐标分别为
（1）求线段AB中点M和三等分点P，Q的坐标。
（2）求向量OA+OB的坐标。
课本101页：例3、例4
例6 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
1、若向量 a 的起点坐标为（3，1）,终点坐标为（－3，－1）求 a 的坐标.
2、已知向量 ＝（6，1），
＝（1 ,－3）， ＝（－1,－2）， 求向量 .
达标训练
3.已知 满足等式 求
课时小结：
2 向量的坐标运算
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1)
λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy)
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
1 向量坐标定义
则 =(x2 - x1 , y2 – y1 )
a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
课后作业：
课本103页：练习B 1、2、3、4(共16张PPT)
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋ （－a）？
a
a
O
a
a
A
B
C
－a
－a
－a
O
M
N
P
a＋a＋a
oc=
→
（－a）＋（－a）＋（－a）
op=
→
思考2：向量a＋a＋a和（－a）＋
（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？
a＋a＋a记为3a，
（－a）＋（－a）＋（－a）记为－3a.
思考3：向量3a和－3a与向量a的大小和方向有什么关系？
a
a
O
a
a
A
B
C
－a
－a
－a
O
M
N
P
思考4：设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？
a
a
a
思考5： 一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时,λa与a方向相同；
λ<0时,λa与a方向相反；
λ=0时,λa =0.
关于向量数乘的几点说明
（1）向量数乘结果是一个与已知向量共线
的向量；
（2）实数与向量不能进行加减运算，
（3）任意实数与零向量的乘积仍为零向量；
三、向量的数乘运算满足如下运算律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反
方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方
向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍.
当 ,沿 的反方向放大了 倍.当
沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
例1：计算：
（1） ；
（2）
（3）
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
例2：若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.
解：记3m＋2n＝a ① m－３n＝b ②
3×②得 ３m－９n＝３b ③
①－③得 11n＝a－３b.
∴ n＝ a－ b ④
将④代入②有：m＝b＋３n＝ a＋ b
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
例3. 设x是未知向量，解方程：
5(x+a)+3(x－b)=0.
解：由已知得 8x=－5a+3b，
所以x= a+ b.
例4. 如图所示，已知
说明向量 的关系。
思考：把例题中的数3改为任意实数k，你是否还能解这个问题？
回想一下初中学过的相似三角形的判定定理，例中的结论
与判定定理有什么关系？
2、下面四个命题中不正确的是_____.
D
(A)对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb
(B)对于实数m、n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na
(C)若ma=mb
，则a=b
(D)若ma=na
，则m=n
作业：
第89页：练习 A3、
练习 B1、3(共22张PPT)
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角， 的角是如何定义的？
O
1°的角
角度制
一个圆周角为３６０°，
实际上就是把圆周角平均分
成３６０份，一份就是１°
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度量角的制度
—弧度制，它是如何定义呢？
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
圆心角、弧长和半径之间的关系：
角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的，
但都对应同一个圆心角。
当 为定值时，这个比值也是定值。
启示：可以用圆的半径作单位去度量弧。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1 ；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，
零角的弧度数是0
(2)角 的弧度数的绝对值
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，
但量数相同（都是0）
(5)用角度制和弧度制来度量任一非零角，
单位不同，量数也不同。
(3)以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制
把角度换成弧度
把弧度换成角度
角度与弧度间的换算
因为半径为r的圆周长为 ，所以周角的弧度数是
注意几点：
1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”
《中学数学用表》进行
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
sin 表示 rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住（见课本P9表）
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，
无论用角度制还是弧度制都能在角的集合
与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
角度制与弧度制互化时要抓住
弧度这个关键．
[例2]把下列 各角化为度：
角度
弧度
写出一些特殊角的弧度数
终边相同的角
（1）用角度表示
（2）用弧度表示
与 终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
与 终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
把下列各角化成
的形式：
[例3]
（1） ；（2） ；（3） ．
[例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 ，图中长度单位： ）．
例5 用弧度制表示
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
① 弧长公式：
由公式：
比公式 简单.
② 扇形面积公式
其中l是扇形弧长，r是圆的半径。
因为圆心角为1弧度的扇形的面积为：
而弧长为l的扇形的圆心角的大小为：
所以它的面积为：
随堂练习
1、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则
A、扇形的面积不变 B、扇形的圆心角不变
C、扇形的面积增大到原来的2倍
D、扇形的圆心角增大到原来的2倍
B
2、时钟经过一小时，时针转过
B
3、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形圆心角的弧度数为
A、1 B、4 C、1或4 D、2或4
C
4、当圆心角α=-216o，弧长L=7πcm时，其半径r=________
5、在半径为 的圆中，圆心角为周角的 的角所对圆弧的长为___________
40
6、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在扇形的面积为_________
4cm2
作业：练习A：2、（2）（5）（6）
3、（1）（3）（5）
练习B：4、5(共18张PPT)
余弦函数图象与性质
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y
y=cosx (x R)
能力目标：
培养学生对图象的认知能力，加强数形结合思想的应用以及解决问题的能力。
情感态度和价值观目标：
1、让学生数形在学习中体会数学美，认识数学的对称、和谐、统一美；
2、渗透数形结合思想；
3、培养辩证唯物主义观点。
知识与技能目标：
1、会用五点作图法作出y＝cosx的图像；
2、能根据正弦函数y＝sinx图像和类比的思想分析归纳余弦函数的重要性质并能简单应用。
3、掌握余弦型函数 的图像和性质。
1、如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
知识回顾：
y
x
o
1
-1
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五点画图法
五个关键点：
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
定义域
值 域
周 期
奇偶性
单调性
对称轴
对称
中心
R
[-1,1]
奇函数
2、正弦函数的性质
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=sin(x+ )=cosx, x R
余弦曲线
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
新授：
五个关键点：
(0,1)
( ,0)
( ,-1)
( ,0)
( 2 ,1)
一、余弦函数和性质：
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=sinx (x R)
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y
y=cosx (x R)
定义域
值 域
周期性
x R
y [ - 1, 1 ]
T = 2
二、余弦函数的奇偶性、单调性：
sin(-x)= - sinx (x R)
y=sinx (x R)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
是奇函数
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y
cos(-x)= cosx (x R)
y=cosx (x R)
是偶函数
定义域关于原点对称
1、余弦函数的奇偶性
增区间为 其值从-1增至1
[ +2k , 2k ],k Z
y=cosx (x R)
减区间为 ， 其值从 1减至-1
[2k , 2k + ], k Z
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
余弦函数的奇偶性、单调性：
2、余弦函数的单调性
-
-
1
-1
-
-
定义域
值 域
周 期
奇偶性
单调性
对称轴
对称中心
R
[-1,1]
偶函数
例1、求下列函数的最大值和最小值：
例2、判断下列函数的奇偶性：
(1) y=cosx+2
(2)y=sinx·cosx
变式练习：
小结：
例4： 求下列函数的单调区间：
(1) y=2cos(-x )
(2) y=3sin(2x- )
求 的单调减区间
(2) y=2cos(3x- )
（3）试判断函数 的奇偶性：
达标训练：
定义域
值 域
周 期
奇偶性
单调性
对称轴
对称中心
R
[-1,1]
偶函数
课堂总结：
1、基础知识梳理：
2、类型题：
（1）求周期
（2）求最值
（3）求单调区间
（4）判断奇偶性
3、数学思想
（1）数形结合
（2）类比推理
作业：
P53 练习A 3
练习B 2 、5(共14张PPT)
复习:
两角和与差的余弦公式
两角和与差的正弦公式
问题:如何根据已有的两组公式推导两角和与差的 正切公式？
两角和的正切公式：
上式中以 代 得
两角和与差的正切公式
1、两角和的正切公式
2、两角差的正切公式
3、变形公式
注意：必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan ，tan ，tan( ± )只要有一个不存
在就不能使用这个公式，只能（也只需）用
诱导公式来解。如:已知tan =2,求
就不能用公式
例1 计算下列各式的值
（1）tan75
tan75 = tan(45 +30 ) =
巩固练习：练习A1,2 练习B2,3
巩固练习：练习A 3（1）练习B 1
解：原式=
能力提升
公式逆用
求值：tan20０+tan40０+ tan20０tan40０.
巩固练习：
(1) tan17 +tan28 +tan17 tan28
(2) tan17 tan43°+tan17 tan30 +tan43 tan30
例2
的值。
达标训练
1、已知tanα、tanβ是方程3x２+5x-1=0的两根，
则tan（α+β）= 。
3、已知tan（α+β）= ，tanα=-2，则 tanβ＝ 。
７
。
2、化简
5、已知tanα=3，tanβ=2，α、β∈（0， ），
求证：α+β=
4、tan10０tan20０+ tan10０tan60０+tan20０tan60０= 。
１
课堂小结：
（１）两角和与差的正切公式的推导和应用
（２）在求值和化简过程中，注意题目隐含的条件以及数的代换
课后作业：
练习A 1 (2)(4)
练习B 1（2）