湖北省公安三中2011-2012学年高二3月考试数学（理）试题

公安三中2011-2012高二3月考试 数学（理）试题
出题：黄远生
选择题
1.已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
4.设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
5.关于的函数有以下命题：
①，； ②，
③，都不是偶函数； ④，使是奇函数．
其中假命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
6.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)
A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3
7.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在
该正方体各个面上的射影可能是(　 　)
　
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②
9.与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（ ）
A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个
10.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A、 B、
C、 D、不确定
填空题
11.已知命题p：“ x∈R， m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，且命题非p是假命题，则实数m的取值范围为________．
12.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________．
13.若点在双曲线的左准线上，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为
14.设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．
15.若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ， 属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X ＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{ ， {a}, {c}, {a, b, c}}； ②τ＝{ ， {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}}；
③τ＝{ ， {a}, {a, b}, {a, c}}； ④τ＝{ ， {a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是________．
解答题
16.已知函数的图像经过（0，1），且
（1）求的值域；
（2）设命题，命题q：函数g(x)=x2+mx+m与X轴无交点，是否存在实数m满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由
17.一个多面体的三视图和直观图如下：(其中为线段中点，为线段上的点)
（I）求多面体的体积；
（II）若，求二面角的余弦值.
18.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．
(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；
(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．
19. 椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离
为，过的直线交椭圆于两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线交轴于,,求直线的方程.
20.若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an.
(1)写出一个E数列A5满足a1＝a3＝0；
(2)若a1＝12，n＝2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2011；
(3)在a1＝4的E数列An中，求使得S(An)＝0成立的n的最小值．
21．已知圆，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上（C为圆心），且满足，设点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点B（m，0）作倾斜角为的直线交曲线E于F、D两点．若点Q（1，0）恰在以线段FD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围
参考答案
1C2. B3. D4C5A 6C7.D8.A 9D10B11（-，1，12. 8,　13 ,14. －1,15.②④
16.(0,1];
18（1）取中点，连结，则平面，
（2）法一：取三等分点，作于，连结，
即为所求，所求二面角的余弦值为
17. 解法1：过E作EN⊥AC于N，连结EF.
(1)如图①，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，
又底面ABC∩侧面A1C＝AC，且EN 底面ABC，所以EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，
在Rt△CNE中，CN＝CEcos60°＝1，则由＝＝，得NF∥AC1.
又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，由三垂线定理知EF⊥A1C.
(2)如图②，连结AF，过N作NM⊥AF于M，连结ME，由(1)知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C－AF－E的平面角，即∠EMN＝θ，
设∠FAC＝α，则0°<α≤45°.在Rt△CNE中，NE＝EC·sin60°＝，
在Rt△AMN中，MN＝AN·sinα＝3sinα，故tanθ＝＝.又0°<α≤45°，∴0故当sinα＝，即当α＝45°时，tanθ达到最小值，tanθ＝×＝，此时F与C1重合．
解法2：(1)建立如图③所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(0,4,1)，于是＝(0，－4,4)，＝(－，1,1)，
则·＝(0，－4,4)·(－，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF⊥A1C.
(2)设CF＝λ(0<λ≤4)，平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，λ)，
＝(，3,0)，＝(0,4，λ)，于是由m⊥，m⊥可得
即取m＝(λ，－λ，4)，
又由直三棱柱的性质可取侧面A1C的一个法向量为n＝(1,0,0)，
于是由θ为锐角可得cosθ＝＝，sinθ＝，所以tanθ＝＝，由0<λ≤4，得≥，即tanθ≥＝，
故当λ＝4，即点F与点C1重合时，tanθ取得最小值…
19..解：(Ⅰ)设右焦点为，则……2分
(Ⅱ) 设，，，因为，所以 …① ………………………………………7分
易知当直线的斜率不存在或斜率为0时①不成立，于是设的方程为，
联
由①③得，代入④整理得，于是，此时
当时，， 当时，，
20. (1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5. (答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是满足条件的E数列A5)
(2)必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak＋1－ak＝1(k＝1,2，…，1999)．
所以An是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000＝12＋(2000－1)×1＝2011，
充分性：由于a2000－a1999≤1.a1999－a1998≤1.……a2－a1≤1.所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999.又因为a1＝12，a2000＝2011.所以a2000＝a1＋1999.故ak＋1－ak＝1>0(k＝1,2，…，1999)，即E数列An是递增数列．综上，结论得证．
(3)对首项为4的E数列An，由于a2≥a1－1＝3，a3≥a2－1≥2，a8≥a7－1≥－3，……
所以a1＋a2＋…＋ak>0(k＝2,3，…，8)．
所以对任意的首项为4的E数列An，若S(An)＝0，则必有n≥9.
又a1＝4的E数列A9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S(A9)＝0，所以n的最小值是9.
21． 解：（Ⅰ）由得，故．所以，所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点的直线的方程为．
代入抛物线方程，得．设、，则
∴＝＝0．
∴． （2）设、，直线的方程为，代入，得于是．
从而，．
代入，整理得．∴原点到直线的距离为定值．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O