高中数学必修五课件资源（共31套）

(共30张PPT)
3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域
教学目标
(1)、知识目标：能作出二元一次不等式（组）表示平面区域并能用其解决一些实际问题。
(2)、能力目标：增强学生数形结合的思想，提高分析问题解决问题的能力。
(3)、情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
重点：二元一次不等式表示平面区域。
难点：建立相应的数学模型并寻求一元二次不等式组所表示的平面区域。
教学教学重点难点
一、引入:
本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点圣诞晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？
二、新知探究：
1、建立二元一次不等式模型
（1）引入问题中的变量：
设购买大球x个，小球y个。
（2）把文字语言转化为数学符号语言：
少于100元的钱购买
大球数不少于10个
（3）抽象出数学模型：
购买方式应满足的条件：
小球数不少于20个
，
，
观察上述不等式组的特点
两个未知数
最高次数为1
2、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；
（2）二元一次不等式组：
由几个二元一次不等式组成的不等式组；
（3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合；
（4）二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
思考讨论（1）：
一元一次不等式（组）的解集所表示的图形
如：不等式组
的解集为数轴上的一个区间（如图）。
思考讨论（2）：在直角坐标系内，二元一次方程的解集表示什么图形？
——数轴上的区间。
探究
具体问题：二元一次不等式x – y < 6的解集所表示的图形。
作出x – y = 6的图像——一条直线，
直线把平面分成三部分：直线上、左上方区域和右下方区域。
O
x
y
x – y = 6
左上方区域
右下方区域
不等式表示的区域：
已知直线l:Ax+By+C=0,它把坐标平面分为两部分，
每个部分叫做开半平面，
开半平面与l的并集叫做闭半平面。
以不等式解（x,y）为坐标的所有点构成的集合，
叫做不等式表示的区域或不等式的图象。
验证：设点P（x，y 1）是直线x – y = 6上的点，选取点A（x，y 2），使它的坐标满足不等式x – y < 6，请完成下面的表格，
横坐标 x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3
点 P 的纵坐标 y1
点 A 的纵坐标 y2
O
x
y
x – y = 6
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
( A点纵坐标大于P点纵坐标)
O
x
y
x – y = 6
直线x – y = 6左上方点的坐标是否都满足不等式x – y < 6？
（左上方点的坐标满足不等式）
直线x – y = 6右下方点的坐标呢？
（右下方点的坐标不满足不等式）
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x – y < 6的解为坐标的点都在直线x – y = 6的左上方；反过来，直线x – y = 6左上方的点的坐标都满足不等式x – y < 6。
O
x
y
x – y = 6
在平面直角坐标系中，二元一次不等式x – y < 6
的解表示哪个区域？
不等式x – y < 6表示直线x – y = 6左上方的平面区域；
不等式x – y > 6表示直线x – y = 6右下方的平面区域；
直线叫做这两个区域的边界（不可取时画为虚线）。
从特殊到一般情况：
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表示什么图形？
直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
结论一
二元一次不等式表示相应直线的某一侧区域
O
x
y
Ax + By + C = 0
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
∵ 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同
∴ 只需在直线的某一侧任取一点进行验证
当C≠0时，常把原点作为特殊点
结论二
直线定界，特殊点定域。
请总结：求二元一次不等式AX+BY+C>0所表示区域的步骤？
一、画方程AX+BY+C=0所表示的直线
注：不等号形如≥、≤，直线用实线表示；
不等号形如＞、＜，直线用虚线表示。
一般在C≠0时，取原点作为特殊点。
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
x+4y―4=0
x
y
解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线）
(2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y - 4，因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0
所以，原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内，
不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。
三、例题示范：
平面区域的确定常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
例2：画出不等式组
表示的平面区域
不等式组表示的平面区域是各不等式
所表示平面区域的公共部分。
探究：如何表示二元一次不等式组的平面区域？
O
x
y
x+y=0
x=3
x-y+5=0
①画直线x-y+5=0，确定不等式x-y+5≥0表示的区域；
解 ：
②画直线x+y=0，确定不等式x+y≥0表示的区域；
③画直线x=3，确定不等式x≤3表示的区域；
④取公共区域部分。
⑴ 二元一次不等式表示平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。
⑵ 判定方法：
直线定界，特殊点定域。
方法总结：
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。
------若不等式中不含有等号是，则边界应画成虚线，
画出下列不等式表示的平面区域：
　 （1）２ｘ＋３ｙ－６＞０
（2）2ｘ＋５ｙ≥1０
（3）４ｘ－３ｙ≤１２　
O
X
Y
3
2
O
X
Y
5
2
O
Y
X
3
-4
（1）
（2）
（3）
练习1：
(1)
(2)
4
o
x
Y
-2
O
X
Y
3
3
2
练习2 :.画出下列不等式组表示的平面区域
2
四、达标检测：
1．不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是（ ）
（A）(0，0) （B）(1，1)
（C）(0，2) （D）(2，0)
D
2．不等式x+2y－6<0表示的平面区域在直线x+2y－6=0的（ ）
（A）右上方 （B）左上方
（C）右下方 （D）左下方
D
3．不等式x－2y>0表示的平面区域是（ ）
C
（A） （B） （C） （D）
4．能正确表示满足不等式(x－y)(x+2y－
2)≥0的点所在的平面区域的是（ ）
A
（A） （B） （C） （D）
5．不等式组 表示的
平面区域是一个（ ）
（A）三角形 （B）直角梯形
（C）梯形 （D）矩形
C
6．已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
（A）a<－7或a>24 （B）a=7或a=－24
（C）－7C
解：设购买大球x个，小球y个。
购买方式满足的不等式组
，
，
所标示的平面区域
解决引例中的实际问题：
⑴ 二元一次不等式表示平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法：
直线定界，特殊点定域。
小结：
⑶ 二元一次不等式组表示平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。
知识点
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
否则应画成实线。
课后作业
P89
练习A3 练习B 1
在引例中花钱最少的是哪种方案？
花钱最多的是哪种方案？
课后思考(共26张PPT)
等比数列前n项
和的公式(1)
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明者的要求吗？
分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是
于是发明者要求的麦粒总数就是
S64=1+2+22+…+262+263 (1)
2S64=2+22+23…+263+264 (2)
S64=1+2+22+23 … +263 (1)
2S64= 2+22+23 … +263+264 (2)
S64=1+2+22+23+…+263 (1)
2S64= 2+22+23+…+263+264 (2)
(2) – (1)得 S64=264 –1
想一想：如何计算
说明：　　　超过了1 .84 ,假定千粒麦子的质量为　　40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。铺在地球表面厚度可达9毫米厚.
所以国王是不可能满足发明者的要求。
* 等比数列{an}中，
已知a1,q,an,求Sn。
qSn=a1q+ a1q2 + ---+ a1qn-1 +a1qn（2）
（1）
（1）—（2）得
当q=1时，
当q≠1时，
（法1）错位相减法
等比数列前n项和公式
等比数列前n项和公式的推导
当 q = 1 时 Sn = n a1
因为
所以
(法2) 用等比性质推导
（法3）
借助和式的代数特征进行恒等变形
当q=1时，
当q≠1时，
上述几种求和的推导方式中第2种依赖的是 进行推导,第3种则是根据 而得,而第1种方法我们称之为
等比定理
方程思想
错位相减法
例1求和：
变题1：去掉
例1求和：
变题1：去掉
变题2：
解: 由于
n=8，得
变题:求此数列的第5项到第10项的和.
例3：
求和：9+99+999+
+999
99
证明：
即它们的比值是常数
因此这个数列是以 为公比的等比数列.
例4 已知无穷数列，
求证：
这个数列是等比数列；
这个数列中的任意一项是它后面第5项的 ；
这个数列中的任意两项的积仍然在这个数列中.
证明：
所以这个数列中的任意一项是它后面第5项的
(2)
证明：
因为n≥1，m≥1，所以n+m≥2， n+m-1∈N
属于这个数列，并且是数列的第n+m-1项.
(3)
例5
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？
分析：第1年产量为 5000台
第2年产量为
5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为
5000×(1+10%) ×(1+10%)
……
第n年产量为
则n年内的总产量为：
解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列
其中
∴
即
两边取常用
对数，得
∴
(年)
答：约5年可以使总销售量量达到30000台
例5
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？
例6.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，
a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3
分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10。
练.设{an}为等比数列，Tn＝na1+(n一1)a2+…+2an-1+an，
已知T1＝1，T2＝4．
(1)求数列{an}的首项和公比；
(2)求数列{Tn}的通项公式．
思考题：
(1)求 前n项的和。
(2)求
小结
( q=1).
(q≠1).
1.已知　　　　则
( q=1).
(q≠1).
　已知　　　　则
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
填 表
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
前 n
项 和
公 式
推导方法
S
S
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
.
倒序相加
错位相减
公比是否为1
作业：
第51页A组 3
B组 1 、2(共21张PPT)
知识回顾：
应用：比较法（求差）
关键：将差分解为可以确定符号的若干个因式的积
二、不等式的性质研究
等式
不等式
联想、类比
二、不等式的性质研究
等式的性质
不等式的性质
验证结论
类比、联想（猜想）
运用所学知识进行验证
？
？
？
？
对称性（性质1）
传递性（性质2）
可加原则（性质3）
移项法则（推论1）
二、不等式的性质研究
等式的性质
不等式的性质
验证结论
？
？
？
定理3推论2
性质4
推广？
推论1:
推论2:
推论3:
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，
所得的不等式与原不等式同向
反证法
方法一：(比较法--作差)
方法二:(利用不等式的性质)
收获和体会
不等式的基本性质是什么
和等式的基本性质相比， 有什么相同和不同之处
本节课你还有什么收获
五、课堂小结：
1、不等式的性质(4个性质和5个推论)
（是进行不等式变形的基础和依据）
2、不等式的证明初步
3、研究新问题的一般思路与方法
六.巩固作业
教材67页练习B2、3题
下(共27张PPT)
均值不等式
学习目标：
1．知识与技能：
（1）理解并掌握均值定理及其推导，
（2）培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
（3）会用均值不等式进行简单证明和求最值。
2．过程与方法：渗透数形结合的思想方法。
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，通过数学思维认识世界，提高学习数学的兴趣。
学习重难点：
学习重点：理解均值不等式。
学习难点：均值不等式的应用。
复习回顾：
1、不等式的性质：
2、两个数或式怎样比较大小？
问题1:求函数 的最值
今天要学习的,正是简洁处理这类问题的一种新的思想方法.
定义：
对任意两个正实数a，b：
叫做a，b的算术平均数。
叫做a，b的几何平均数。
数
数
问题2：
两个正数a，b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？
均值定理：
如果a,b R+ ,那么
当且仅当a=b时，式中等号成立。
均值定理应注意：
1、适用条件：
2、等号成立的条件：
当且仅当a=b时，式中等号成立
3、变形
半径不小于半弦
探究一：
1、图中CO,CD的长度分别是多少？
2、CO与CD的大小关系如何？
3、等号何时成立？
课堂互动探究:
如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
重要不等式
1，适用条件，
2，结构特征，
3，等号成立的条件。
变式1：x 函数的最值是什么？还能直接运用均值定理吗？
变式2：去掉限定条件时，函数的值域是什么？
那么均值不等式有什么作用呢？重新思考问题1：求函数 的最值
问题回馈：
作用一：求最值
问题1：a,b 还可以满足上式吗？
问题2：a,b异号时得出什么样的结论？
作用二：证明不等式
例1
（1）我校操场上的生物实验田为矩形，其面积为100m2。问这个矩形试验田的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
河口一中生物实验田
思维提升
结论1：两个正数积为常数时，则和有最小值
（2）我校操场上的生物实验田为矩形，其周长为36m。问这个矩形试验田的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大的面积是多少？
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
已知两个正数x,y，求x+y与积xy的最值：
归纳总结：
探究并归纳：运用均值不等式求最值时注意什么问题？
运用均值不等式求最值时注意：
1、不等式的适用范围
2、运用均值不等式求最值时，要把一端化 为常数（定值）即和为定值积有最大值，积为定值和有最小值。
3、等号是否成立，即是否能取得此最值，若取得要注明等号成立的条件；
一正 、二定 、三相等
例2.下列函数中,最小值为4的函
数是 .
①y=x+
x
4
②y=e2x+ 4e-x(x≥0)
④y=log3x+logx81(x>1)
③y=sin2x+
sin2x
4
④
一正
二定
三相等
巩固提升：让我们共同探究：
课堂练习1：下面解法正确吗？问什么？
课堂小结
知识要点： （1）两个不等式: （2）利用均值不等式求最值的两个结论:
（3）利用均值不等式求最值需注意的三个要点：
思想方法技巧： （1）数形结合思想 （2）比较法
（3）简单的配凑等技巧
作业：P72页：A4，B2(共29张PPT)
等比数列
一、设置情境：
（1）、《庄子》一书中说：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（2）一位数学家说过：你如果将一张报纸对折三十八次，你就能顺着它在今天晚上爬上月球。
下面我们来分析这两个实例所包涵的数学问题：
这些数列是等差数列吗？它们的特点是什么？
答：不是等差数列，不符合等差数列的定义。它的特征是从第二项起，每一项与前一项的比值为同一个常数 .
二、探求与研究
上述两个数列都具有很好的特点，它和等差数列一样，是一类重要的数列，谁能为这样的数列起个名字吗？
定义：如果一个数列 从第2项起（n=2,3,4,…… ），每一项（ ）与它前一项（ ）的比等于同一个常数 （ ），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数（ ）叫做公比．
大家类比等差数列来定义等比数列
等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来表示？
＝q (q≠0，n=2,3,4,……)
不一定，当a=0时，是常数列，不是等比数列，因为 =0,a≠0时，为非零常数列，也是等比数列。
②1，2，4，8，12，16，20，…；
③1，1，1，…，1；
④a，a，a，…，a．
是
不是
是
请考虑如下数列是否是等比数列：
由此联想到什么？关于等比数列的项和公比有何限制？
，q是非零常数．
知道数列的通项可以求出数列的指定项，大家能否猜测一下等比数列的通项 ？
猜想：
能否证明这个通项公式呢？
将以上各式左右两边分别相乘得
上面这种证明通项的方法叫做迭乘法,是求通项公式的重要方法之一。
数列与方程的关系:对通项公式
来说，有 、q 、 、
n 四个量，可以知三求一。
几何意义：a n = __________________________________
图象特点：___________________________________
形如指数函数上的一些规律的点
变形结论： (1) a n = ______________
(2) 若 m、n、p 成等差数列，则
_______________
(3) 若 m + n = p + q，则
____________________
a mq n －m
a n2 = a m· a p
a m · a n = a p · a q
等比中项：如果在 a、b 之间插入一个数G，使 a、G、b
成等比数列，则G 为 a、b 的 _______________。有
等比中项
___________________________________
_________________________________
( a, G , b 均不为零且 a , b 同号 )
一般地，在等比数列中，从第二项起，每一项 ( 有穷数列
的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等比中项。
即 ________________________________
a n2 = a n －1 · a n + 1 ( n ≥ 2 )
注： (1) 任意两个同号的数的等比中项都有 ____ 个，它们
互为 _____________；
(2) 已知三数成等比数列且知三数之积时，常设三数
为______________
思考：有无这样的数列，既是等差数列又是等比数列？
项不为零的常数列
相反数
两
例：在等比数列中：
三、例讲（定义辨析与通项应用）
例1： 求下列各等比数列的通项公式：、 = 2, = 8
解：
例2、已知数列 { a n } 中，a 1 = －2 且 a n + 1 －2a n = 0，
(1) 求证： { a n } 是等比数列；(2) 求通项公式。
解: (1) 由题 a n + 1 = 2a n
故{ a n } 是公比为 2 的等比数列
(2) 由 a 1 = －2 且公比 q = 2
∴ a n = (－2 ) ×2 n －1
= －2 n
故 { a n } 的通项公式为 a n = －2 n
例3、在 8 和 5832 之间插入 5 个数，使它们成等比数列，
求这 5 个数。
故所求数为 24，72，216，648，1944
或 －24，72， － 216，648， － 1944
例4、公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数
列，求公比 q ,
∵ q ≠1
故 q = 3
例5、等比数列 { a n } 中， a 4 · a 7 = －512，a 3 + a 8 = 124,
公比 q 为整数，求 a 10.
法一：直接列方程组求 a 1、q。
法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5
法三：由 a 4 · a 7 = a 3 · a 8 = －512
∵ 公比 q 为整数
∴ a 10 = a 3×q 10 －3
= －4×(-2) 7
= 512
世界杂交水稻之父—袁隆平
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。
例6 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？
四、练习与巩固
1、一个等比数列的第二项是10，第三项是20，求它的首项与第四项。
2、等比数列 中
五、定义的辨析与深化
如写成　　　　 行不行？
是等比数列
能否改写为
是等比数列
？
为什么不能？
3.在等比数列{an}中
1) 若a1a9=256, a4+a6=40,求公比q
2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.
六、小结：
3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.
公式；
1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项
类比；
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定 义
公差（比）
定义变形
通项公式
一般形式
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
关 系 式
性 质
中 项
构造三数
构造四数
2b=a+c
b2=ac
a，a+d，a+2d
a, aq, aq2
a-d，a，a+d
或
或
a-3d，a-d，a+d， a+3d
an=am +(n-m) d
an=amqn-m
m+n=s+t an+am=as+at
m+n=s+t anam=asat(共18张PPT)
等差数列前n项和
第2课时
复习回顾：
１．
２．
３．
在　　　　　　　　中，知三可以求二．
一.前n项和公式的结构特点:
(1)
(2) (A,B为常数)
例1 (1) 若数列{an}的前n项和sn=-2n2+n，{an}是否为等差数列？若是，给予证明，若不是，说明理由。
(2) 数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+1，
数列{an}是否为等差数列？若是，给予证明;若不是，说明理由。
例2(1)已知等差数列16，14，12,10， … 问:前多少项的和最大？
(2)已知等差数列15，13，11，9， …
问:前多少项的和最大？
(3)、在等差数列中{an}，若a1=25，且S9=S17，求数列前多少项和为最大？
二.前n项和的性质1:
在等差数列中,每m m项的加在一起构成一个新的等差数列:
例3. 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此能否确定其前n项和的公式？
并求其前30项的和.
例4 (1)等差数列{an}中，共有3m项，前2m项的和为100，后2m项的和为200，求中间m项的和.
(2)一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求其前110项之和。
等差数列前n项和性质2:
在等差数列中，若S奇表示奇数项的和，s偶表示偶数项的和
例5、 一个等差数列的前12项之和为354，
前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，
求公差。
设首项为a1，公差为d, 则
解1：
例5、 一个等差数列的前12项之和为354，
前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，
求公差。
解2、
由：
变式训练：项数为奇数的等差数列，奇数项和
为44，偶数项和为33，求这个数列的中间项
及项数
练习:1.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若
,求 .
2.已知等差数列{an}中，a1=-25,S3=S8,则前n项和Sn中，最小值为________
3.已知等差数列{an}中，a1<0,S9=S12,则该数列前多少项和最小？
-75
10或11
4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=12， S12>0，S13<0.
(1)求公差d 的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.
5、已知数列 前n项和 ，
（1）求证： 为等差数列；
（2）求 的最大值及相应n
（3）记数列 的前项和为 ，
求的表达式
作业：
把本节课的题目整理到笔记本上。(共28张PPT)
[学习内容]
1、不等式的性质和证明。
2、不等式的解法。
3、不等式的应用。
[学习要求]
1、理解不等式的性质。
2、掌握两个函数的算数平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3、掌握简单不等式的解法。
[学习指导]
1、不等式的基本概念：（理解其概念，要有放缩的思想，用好放缩法）
2、实数的运算性质：a-b>0 a>b
a-b<0 aa-b=0 a=b
3、不等式的基本性质：
①对称性：a>b b②传递性：a>b,b>c a>c;
③可加性：a>b a+c>b+c;
④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d;
⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc;
a>b,c<0 ac⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;
⑦倒数法则：a>b,ab>0 ;
⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;
⑨开方法则：a>b>0 ;
⑩绝对值不等式的性质： (1)|x|0);
(2)|x|>a x>a或x<-a. (a>0)
(3)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
4、两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数定理：
即：若 ，则
5、不等式证明的主要依据：
①实数的运算性质。
②不等式的性质。
③基本不等式。
6、一元一次不等式：
（1）一般形式：ax>b
（2）解法：
7、一元二次不等式：
（1）一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)
（2）解法：1）代数法；
2）图象法：
8、简单的高次不等式：
（1）解题思想：降次
（2）方法：1）穿根法；
2）列表法；
3）换元法；
4）因式分解法；
9、绝对值不等式：
（1）解题思想：去绝对值符号
（2）方法：1）零点分区间法；
2）绝对值的性质；
3）平方；
10、分式不等式：
(1)解题思想：去分母
(2)题型与解法：
11、不等式的应用：
常见的题型：①研究函数的性质（包括：定义域、值域、单调性等）
②研究方程的实根分布
③求参数的取值范围
④利用均值不等式求最值
⑤解决与不等式有关的实际应用问题
[高考试题回顾]
1 、解不等式：
答案：
2、设a≠b解关于x的不等式
a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2
答案： {x|0≤x≤1}
3、解关于x的不等式
分析：原不等式转化为：(x-a)(x-a2)<0
当a>a2即0当a1或a<0时，a当a=a2即a=0或a=1时，x∈φ
4、函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a=
2
分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手，以不等式的性质为依据，应用构造法完成证明。
a>b>0 -a<-b<0
0[典型例题解析]
例1，已知c>a>b>0，求证：
例2，求证：lg9·lg11<1
分析：由构成特点：乘积、小于，联想到基本不等式，并用到放缩法。
∴lg9·lg11<1
例3，设a,b,c为不相等的正数，且abc=1
求证：
法1：
法2
法3
例4，若不等式ax2-2x+b≤0的解集是
求a、b的值。
分析：方法1： 3是方程ax2-2x+b=0的二根。
f(- )=0
f(3)=0
方法2：用韦达定理
例5，不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围是 ：
分析：因为不等式中有两个字母x、m，而给出m的范围，求x的范围，可反客为主。把其看成关于m的不等式。通过构造法构造一个关于m的一次函数。然后应用数形结合解之为好。即可设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)
f(2)<0
f(-2)<0
[巩固训练]
1、解关于x的不等式 mx2-(m2+1)x+m≤0，（m∈R）
2、x,y∈R,x>y且xy=1 则
的最小值是 此时x= y= 。
3、已知函数x,y满足x+y=4。则使不等式
恒成立的实数m的最大值是 。
4、f(x)= 在区间（-2,+∞）上是增函数。则a的取值范围是 。
5、若函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值。
[参考答案]
1、当m<-1时，x≥ 或x≤m
当m=-1时，x∈R
当-1当m=0时，x≥0
当0当m=1时，x=1
当m>1时， ≤x≤m
2、 此时x= ,y=
或x= ,y=
3、
4、a>
5、a=-1或a=2(共17张PPT)
正弦定理
复习三角形中的边角关系
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
大角对大边
（一）三角形中的边角关系
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
情境设计：
一艘轮船按照北偏西300的方向从A地出以28
海里每小时的速度航行,一个灯塔M原来在轮
船的北偏东100方向上，经过40分钟到达B
地，测得灯塔在轮船的北偏东700方向上求轮
船和灯塔原来的距离AM
分析：问题的实质是：已知三角形中两角及其夹边，
求其他边的问题
回忆一下直角三角形的边角关系
A
B
C
c
b
a
两等式间有联系吗？
即正弦定理，定理对任意三角形均成立．
利用向量如何在三角形的边长与三角函数之间
建立联系？
探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？
（方法一）
（方法二）
向量的数量积 ， 为向量a 与b 的夹角．
如何构造向量及等式？
j
A
C
B
在锐角 中，过A作单位向量j 垂直于 ，
则有j 与 的夹角为 ， j 与
的夹角为 . 等式
怎样建立三角形中边和角间的关系？
即
同理，过C作单位向量j 垂直于 ，可得
在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引
入单位向量？怎样取数量积？
j
A
C
B
在钝角 中，过A作单位向量j 垂直于 ，
则有j 与 的夹角为 ， j 与
的夹角为 . 等式 .
同样可证得：
，
（方法三）（传统证法）在任意斜△ABC当中：
S△ABC=
两边同除以 即得： = =
正弦定理的推论：
A
B
D
C
.
O
b
a
c
=2R
(R为△ABC外接圆半径）
证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
BD为直径, 则 ∠A=∠D,
∴
=2R
(R为△ABC外接圆半径）
（方法四）
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
相等，即
正弦定理可以解什么类型的三角形问题？
1. 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；
2.已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
例题讲解
例1 在 中，已知 ，求b（保
留两个有效数字）.
解：∵ 且
思考：已知两边和其中一边的对角，三角形是否存在？
若存在是否唯一？
例2 在 中，已知 ，求 。
例题讲解
解：由
得
∵ 在 中
∴ A 为锐角
注意：大边对大角
变式练习
思考： 三角形的情况：
b
a
C
A
B
无解
当A为锐角
当A为钝角
A
C
B
b
a
无解
例3.已知△ABC，BＤ为角B的平分线，
求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
B
C
D
A
练习：
（1）在 中，一定成立的等式是（ ）
C
（2）在 中，若 ，则 是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三有形
D
练习：
（3）在任一 中，求证：
证明：由于正弦定理：令
左边＝
代入左边得：
∴ 等式成立
=右边
小结：
正弦定理的推导及其简单应用(共19张PPT)
解斜三角形应用举例
初步运用正弦定理余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。
知识与技能目标
学习目标
通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”“测量平面上不能到达的两点间的距离”，初步掌握将实际问题转化为数学问题地方法，进一步提高运用正弦定理和余弦定理解斜三角形的能力，提高应用数学解决问题的能力。
过程与方法目标
学习目标
通过解决测量问题，体会如何将实际问题转化为数学问题，一般与特殊的关系与转化．培养学生的数学应用意识和探索解决问题的能力，学习用数学的思维去解决问题，认识世界．
学习目标
情感、态度与价值观目标
学习重点
如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法解决
学习难点
分析探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路
学习重难点
知识链接
（1）余弦定理
a =b +c-2bccosA
b =c +a-2accosB
c =a +b-2abcosC
2
2
2
2
2
2
2
2
2
（2）余弦定理的作用
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求
第三边和其它两角；
（3）判断三角形的形状。
（3）推论:
（4）三角形的面积公式
（1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅 垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线向上的方向与水平视线的夹角叫仰角，目标视线向下的方向与水平视线的夹角叫俯角，如图1-3-1.
（2）方位角：一般指北方向线 到目标方向线的水平角，如方位角是45°指北偏东45°,即东北方向.
（3）方向角：从指定方向线到目标 的水平角，如南偏西60°指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
顺时针
方向线
图1-3-1
3.相关概念
实例讲解
例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是
，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。
图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，
求什么？
想一想
问题一：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度
例2 隔河可看到两目标A,B，但不能到达，在岸边选取相距 公里的C,D两点，并测得∠ACB=75°,∠ADC=30°,∠ADB=45°，∠BCD=45°(A,B,C,D在同一平面内），如图1-3-5，求两目标A,B之间的距离.
　　【分析】这个问题的数学模型，就是在△ABC中，已知∠ACB=75°,AC= ，求AB边长.为此，借助于△BCD应用正弦定理可求得BC，从而问题迎刃而解.
图1-3-5
问题二：怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的距离
　　【解析】∵∠ADC=30°,∠ACD=120°,∠CAD=30°，
　　∴AC=CD=　.
　　又∵∠BCD=45°,∠BDC=75°,
　　∴∠CBD=60°.
　　在△BCD中,　　　　　　 ,∴BC=　　　 .
　　在△ABC中，由余弦定理，得
　　AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos75°
　　
　　=5.
∴AB= ,即A,B两目标相距 公里.
　　【评析】通过两个斜三角形，将已知量与未知量联系在一起，解题时要注意选择恰当的三角形.
　　【分析】利用向量加法法则及解三角形知识求解.
例3 平面内三个力F1，F2，F3作用于同一点且处于平衡状态.已知F1，F2的大小分别为1 N，　　　 　 N，F1与F2的夹角为45°,求F3的大小及F3与F1的夹角的大小.
　　【解析】如图1-3-8所示，设F1与F2的合力为F，则F3=-F，
　　∵∠F1OF2=45°，∴∠FF1O=135°，
图1-3-8
在△OF1F中，由余弦定理,得
∴　　=1+　 ，即 　　　　 .
又由正弦定理,得
sin∠F1OF=
∴∠F1OF=30°,∴∠F1OF3=150°.
故F3的大小为( +1)N，F1与F3的夹角为150°.
　　【评析】利用正弦定理、余弦定理、向量等知识可以解决物理中力学问题、速度问题等.这说明学好数学是学好其他自然学科的基础和前提.
1、下图为曲柄连杠机构示意图，当曲柄OA在水平位置OB时，
连杠端点P在Q的位置 .当OA自OB按顺时针方向旋转
角
时，P和Q之间的距离是
．已知OA=25cm,AP=125cm,分别
求下列条件下的 值(精确到0.1cm)
(1)
(2)
(3)
(4)
O
B
A
x
Q
P
达标练习
2、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，
已知飞机的高度为海拔20250m,速度为
经过960s后，又看到山顶的俯角为
求山顶的海拔高度
(精确到1m).
189km/h,飞行员先看到山顶的俯角为
3、如图，一艘船以32.2 nmile/h的速度
向正北航行, 在A处看灯塔S在船的
北偏东 ,30min后航行到B处,在B
处看灯塔S在船的北偏东 方向上,
求灯塔S和B处的距离(精确到0.1nmile).
A
B
东
西
南
北
S
第1题
第2题
3291m
7.8 n mile
解三角形应用题的步骤和思路是怎样的？
　　（1）一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的三角形是否符合实际意义，从而得出满足实际问题的解.
　　（2）基本思路：
课堂小结
课后作业：
练习B：1、2(共19张PPT)
均值不等式 (2)
学习目标
1.掌握算术平均值、几何平均值的概念。
2.理解几个平均值之间的关系
3.会用几个平均值之间的关系解决有关
比较大小、证明、
求最值和实际问题。
4.重点：基本不等式的应用
5.难点：利用基本不等式证明不等式和
求最值。
自学提纲
1.回顾算术平均值、几何平均值的概念
2.基本不等式的内容及成立的条件
3.回顾基本不等式的几何意义
4.思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
基础知识
1. 均值定理：
如果 ，那么
当且仅当 时，式中等号成立
2. 定理：(重要不等式）
a2+b2≥2ab
若a,b∈R，那么
（当且仅当a=b时，取“=”号）
基础知识
3.基本不等式的几种特殊变形：
变形（1）：
变形（2）：
变形（3）：
注意等号成立的条件
基础知识
4.几个基本概念：
（1）n个正数的算术平均值：
（2） n个正数的几何平均值：
（3）两个平均值的关系：
注意式中等号成立的条件
基础知识
（4）两个正数的平方平均值：
关系：
注意式中等号成立的条件
基础知识
（5）不等式的变形：
注意式中等号成立的条件
的取值范围
基础知识
5.最值定理：
（1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
（当且仅当a=b时取等号）
（2）若a+b=S(a,b∈R+),则
（当且仅当a=b时取等号）
求最值要注意三点：⑴正数
⑵定值⑶检验等号是否成立
基础训练
1.设x+3y－2=0，则函数z=3x+27y+3的最小值是
D
A. B.3+2 C.6 D.9
2.若t∈(0,1］,则
有最小值
B
3.已知a,b是正数且a+b=1，
求 的最小值
解：（法一）
当且仅当 ，即 时，
当 时，ymin=9
（法二）
当且仅当 时取等号
4.求下列函数的最值
⑴ 的最小值
⑵ 的最小值
⑶ 的最大值
(4).若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围
能力训练
ab≥9
解：
课堂小结
知识要点： 1. 几个平均值之间的关系及应用 2.基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义
思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
课后作业
教材P73，习题3—2 B
1、2、4、6。(共17张PPT)
什么是不等式 主要符号有哪些
用不等号连接的式子
“≤” “≥”
“<” “>” “≠”
数轴的三要素：
原点、长度单位、正方向
如何表示数轴上两个点所对数的大小：
数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数。
如图，A、B是数轴上的两个点，A、B所对数分别为a、b，
试比较a-b与0的大小
a-b>0
a>b
aa-b<0
a=b
a-b=0
。
。
B
A
b
a
1、两个实数大小的比较：
2、不等式的基本性质：
三.性质应用
比较两个实数大小
1.比较-7与-10的大小
解:∵-7-(-10)=3>0
∴-7>-10
2.比较5/6与7/8的大小
作差比较法：通过做差比较大小的方法
例1、比较（a+3)(a-5) 与（a+2)(a-4)的大小。
解: ∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)
∴ （a+3)(a-5) <(a+2)(a-4)
= -7<0
练一练:
比较(x+1)2与2x+1的大小
通过例题和练习请你总结比较实数或代数式的大小的基本步骤.
作差比较法的基本步骤
1.作差
2.变形
3.(与0比较大小)定号
例2.比较x2+12与6x的大小
解: ∵x2 + 12 – 6x
=x2-6x+9-9+12
=(x-3)2+3>0
∴ x2+12> 6x
例4.
设
且
，比较
的大小
解：
当
当
∴总有
例5
解：
1.已知x ≠0,比较（x2+1) 2与x4+x2+1的大小。
本题若去掉条件x ≠0，那么两式的大小
关系如何？有何变化？
四.课堂练习
小结：
主要内容
基本理论:
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
a - b < 0 <=> a < b
基本理论四大应用之一：比较实数的大小.
一般步骤：作差－变形－判断符号
变形是关键：
1°变形常用手段:配方法，因式分解法
2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积
六.巩固作业
教材63页练习A ,B题(共28张PPT)
观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
9，99，999，9999，…
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…
∴通项公式为：
1.观察法
当已知数列为等差或等比数
列时，可直接利用等差或等
比数列的通项公式，只需求
得首项及公差公比。
2.公式法
典例讲解2：
例2： 已知数列{ }是公差为d的等差
数列，数列{ }是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且 = f (d－1)， = f (d+1)， =f (q+1)， = f (q－1)，
求数列{ }和{ }的通项公式；
例2解答：
解：∵a1=f (d－1) = (d－2)2，a3 = f (d+1)= d2，
∴a3－a1=d 2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；
又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2=q4，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b1·qn－1=4·(－2)n－1
3.S n法
（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为
等差数列，则an=a1+(n-1)d
一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。
4. 叠加法
(也称累加法）
也可用横式来写:
累加法
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：
由 an+1=an+f(n)得：当n>1时，有
an　=an-1　+ f(n-1)
an-1 =an-2　+ f(n-2)
…………………
　 a3　= a2　 + f(2)
a2 = a1 + f (1)
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1).
例5 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。
解：an =an-1 + n
an-1=an-2 +（n-1）
… … … …
a3= a2 + 3
a2= a1 + 2
各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2
=1+ n+(n-1)+…+3+2
= n(n+1)/2
当n=1时，a1=(1×2)/2=1,
故，an= n(n+1)/2
例6 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。
解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1)
an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2)
… … … …
a3 - a2 = 22 - 2
a2 - a1 = 21 - 1
各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21)
-[(n-1) +(n-2)+…+2+1]
=1+( 2n-2)+ n(n-1)/2
= 2n + n(n-1)/2 – 1
当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1
已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
备 注：
（1）当f(n)为常数,即： （其中q是不为0的数）,
此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.
5.叠乘法
对于型如：an+1=f(n)·an 类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。
(也称累乘法、累积法）
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
典例分析：
说明：
本题是关于an和an+1的二次齐次式，
可以通过因式分解（一般情况时用求根
公式）得到an与an+1的更为明显的关系式,
从而求出.
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，
6.辅助数列法
这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c
an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。
（构造法或待定系数法）
说明
其通项可通过构造辅助数列来求.
——待定系数法
设an+1+m=c( an+m),得an+1=can+(c-1)m,
与题设an+1=can+d,比较系数得: (c-1)m=d,
所以有：m=d/(c-1)
因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列，
例8：已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式
解：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3）
所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比
的等比数列，
所以:an+3=（ a1+3）× 2n-1
故an=6×2n-1-3
例.10 已知数列{an}中，a1=1,
an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.(共19张PPT)
一元二次不等式解法
一、复习一元二次不等式解法
利用函数把方程与不等式联系起来，这样我们可以通过对二次函数的研究，来讨论方程的解，根据方程的解进一步来解一元二次不等式。
　　二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。
引例.画出函数y=x2-x-6的图象，并根据图象回答：
(1).图象与x轴交点的坐标为 ,
该坐标与方程 x2 -x-6=0的解有什么关系： 。
(2).当x取 时，y=0？
当x取 时，y>0？
当x取 时，y<0
(3).由图象写出：
不等式x2 -x-6>0 的
解集为 。
不等式x2 -x-6<0 的
解集为 。
(-2, 0)，(3, 0)
交点的横坐标即为方程的根
x= -2 或 3
x<-2 或 x>3
-2 < x <3
﹛x|x<-2或x>3﹜
﹛x| -2 y
x
0
-2
3
o
o
o
o
y>0
y>0
y<0
一元二次不等式的解集如下表
⊿=b2-4ac
⊿> 0
⊿=0
⊿< 0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a >0)的图象
　　方程ax2+bx+c=0
　的根
ax2+bx+c>0
的解集
ax2+bx+c<0
的解集
有两个不等
实根 x1≠ x2
有两个相
等实根
x1=x2 = -b/2a
无实根
﹛x|xx>x2﹜
{x|x≠-b/2a}
R
{x|x1Φ
Φ
X
Y
0
x1
X
Y
0
x1
x2
Y
X
0
例如：解不等式: x2－2x－15≥0
解：∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0
方程x2－2x－15＝0的两根为:
x＝－3，或x＝5
y
-3
5
0
x
∴ 不等式的解集
为:{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
。
。
解一元二次不等式的方法步骤是：
（3）根据图象写出解集
步骤：（1）化成标准形式 (a>0)：
　　　ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 　
（2）求⊿，解方程，画图象；
一般地，当二次不等式所对应的方程有两个不等的实根时，不等式的解集的规律为：
a、y同号，解在两边；
a、y异号，解在中间。
方法：数形结合
二、二次不等式的简单应用
解法1：(换元法）
设│x│ =t,则t ≥ 0原不等式可化为
t2 －2t－15≥0
由例1 可知解为t≥5或t≤－3
∵t ≥ 0 ∴ 不等式的解集为{t│t≥5 }
∴ │x│≥5
∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
例1 、解不等式:
分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本点在于不
等式中含│x│，由于│x│ 2 = x2 ，则可以通过换
元令│x│ =t，将不等式转化为t 2－2 t －15≥0求解。
x2－2│x│－15≥0
解法2：当x＞0时，
原不等式可化为x2 －2x－15≥0
则不等式的解为x≥5或 x≤－3
∵x＞0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 }
当x ≤0时，
原不等式可化为x2 ＋2x－15≥0
则不等式的解为x≥3或x ≤－5
∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤－5 }
由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值将不等式转化为不含绝对值的求解。
例1 、解不等式: x2－2│x│－15≥0
例2 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0
的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值.
　解：由条件可知 ：
方程a x2 ＋bx+6＝0的根－2，3
又解在两根之间;
　　分析:二次不等式的解是通过二次方程的根来确定的，
∴a＜0
∵ 6 /a ＝ －2× 3＝ －6 ∴ a＝－1
∵ b /a ＝ －2＋3＝1 ∴ b＝1
则a－b＝－2
由此可以理解为 a x2 ＋bx+6＝0
的根为－2，3。
例2 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0
的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值.
4a－2b+6＝0
9a＋3b+6＝0
　 另解：由条件可知 ：
方程 a x2 ＋bx+6＝0的根－2、3 ，
代入方程可得：
则a－b＝－2
a＝－1
b＝1
解方程组得：
　例3、已知集合A={x│ x2 －(a+1)x+a≤0 } ,
B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A , 求实数a取值范围。
解：A ∩B=A，则 A B
∩
若a＞1 ， 则A＝｛ x│ 1≤x≤a ｝ ，
若a＜1 ， 则 A＝｛ x │ a ≤ x≤ 1 ｝，
∴a取值范围是1≤a≤3
X
3
1
a
A
B
B
A
a
X
1
3
则 1 ＜ a≤3
那么, A不可能是B的子集 ；
a
A
分析: 观察不难发现：a、1是 x2 －(a+1)x +a=0的根.
若a＝1 ， 则A＝｛ 1 ｝，满足条件 ; ∴a ＝1
例4. 函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的定义域为R , 求k的取值范围　　　
解：∵f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8）
的定义域为R ,
U
X
0
即△=(6k)2－4k(k+8)
=32k2－32Ｋ＜ 0
∴ 0 ＜ k ＜ 1
分析：令u= kx2 -6kx+k+8,
对任意的x，u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0
函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方
函数f(x) 的定义域为R
∴ k ≥ 0
当k=0时，f(x)=lg8 满足条件.
当k> 0时，∴只要△ ＜ 0
∴f(x)的定义域为R时， k的取值范围为0 ≤ k ＜ 1
例4. 函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的定义域为R , 求k的取值范围　　　
问题：函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的值域为R , 求k的取值范围。
思考
分析：不等式对任意x∈R恒成立，就是不等式的解集为R。对于二次不等式
的解集为R的条件为
解：将原不等式变形为
以上不等式对x∈R恒成立。
当a-m+1=0时，原不等式化为 –x-1＞0，
与x∈R不符，应舍去。
当a-m+1≠0时，
由②得：
∴a＞m，则有a-m＞0 ③
联立①③得a＞m。
①
②
注意：二次项系数为0的情况一定要考虑，而这往往是容易忽略的，一定要引起大 家的高度重视。
例5、不等式
对任意x∈R恒成立，求a与m之间的关系。
例6、解关于x不等式
解：原不等式可化为
它所对应的二次方程的两 根为-2a，3a。
当-2a＞3a，即a＜0时，
原不等式的解集为{x︱3a＜x＜-2a}；
当-2a=3a，即a=0时，原不等式的解集为 ；
当-2a＜3a，即a＞0时，
原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
小结：解含有参数的不等式时，要利用分类讨论的思想，确定分类的标准，对参数进行分类讨论。
8、解不等式（x-a)(x-1/a)<0,(a>0)
7、已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解：有两种情况，
（1）当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5，m=1时,y=3>0恒成立，m=-5时，不适合；
（2） m2+4m-5>0
△<0
∴1综合(1)(2),得到m的取值范围是{m|1≤m<19}.
1
分析：
解：由数轴标根法（如图），得
0
1
-1
3
+
-
+
+
-
-1＜x＜0 或 1＜x＜3
三、小结：
四、作业：
⒉一元二次不等式的简单应用
⒈一元二次不等式的解法;
1、若A=｛x│－1≤x≤1｝， B={x | x2 + (a+1)x +a≤0｝，若A∩B=B，求a的取值范围。
2、函数的f(x)= 定义域为R求a的取值范围。
3、求函数y= x2+2ax－3 ，x ∈[0,2]的最值。(共24张PPT)
等差数列的前n项和
一.新课引入
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是 “　　　　　　　　　　　　　　　”
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非
常高明，回忆他是怎样算的？
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，……，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。
二.讲解新课
1.公式推导
问题：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
思路一：
得
运用基本量思想，将各项用 和 表示，
有以下等式
，
似乎与 的奇偶有关。
问题是一共有多少个 ，
这个思路似乎进行不下去了。
思路二：
上面的等式其实就是
，
，
为回避个数问题，做一个改写
，
两式左右分别相加，得
于是有： ，这就是倒序相加法。
思路三：
，
于是
受思路二的启发，重新调整思路一，可得
于是得到了两个公式：
和
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式。
等差数列 4, 8, 12, 16 … 的前多少项和是480？
变式①．
若等差数列4，… ,60的各项的和是480，则公差d= ．
变式② ．
已知一个等差数列的前5项和是60,前10项和是220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
变式③ ．
1、计算：
　(1) 1+3+5+…+（2n-1)=　　　　　．
(2) 2+4+6+…+2n=　　　　　．
课堂小练
（4） （结果用 表示）
（3） ；
课堂小练
2求正整数数列中前n个数的和.
课堂小练
解： a1=-10 , d = 4 , Sn = 54
3. 等差数列 –10 , -6 , -2 , 2, ··· 前多少项和是 54？
4、求集合
的元素个数，并求这些元素的和.
课堂小练
5 、一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大的边长等于44cm，公差等于3cm.求多边形的边数.
课堂小练
1.等差数列前n项和Sn公式的推导
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
想一想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量
结论：知 三 求 二(共21张PPT)
复习一元二次不等式解法
利用函数把方程与不等式联系起来，这样我们可以通过对二次函数的研究，来讨论方程的解，根据方程的解进一步来解一元二次不等式。
　　二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。
1
分析：
类型一：解普通的一元二次不等式
解一元二次不等式的方法步骤是：
（3）根据图象写出解集
步骤：（1）化成标准形式 (a>0)：
　　　ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 　
（2）求⊿，解方程，画图象；
一般地，当二次不等式所对应的方程有两个不等的实根时，不等式的解集的规律为：
a、y同号，解在两边；
a、y异号，解在中间。
方法：数形结合
类型二：含参数的一元二次不等式的解法
例2、解关于x不等式
解：原不等式可化为
它所对应的二次方程的两 根为-2a，3a。
当-2a＞3a，即a＜0时，
原不等式的解集为{x︱3a＜x＜-2a}；
当-2a=3a，即a=0时，原不等式的解集为 ；
当-2a＜3a，即a＞0时，
原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
小结：解含有参数的不等式时，要利用分类讨论的思想，确定分类的标准，对参数进行分类讨论。
分析：原不等式转化为：(x-a)(x-a2)<0
当a>a2即0当a1或a<0时，a当a=a2即a=0或a=1时，x∈φ
练习1、(01年)解关于x的不等式
分析：方法1： 3是方程ax2-2x+b=0的二根。
f(- )=0
f(3)=0
练习2：
若不等式ax2-2x+b≤0的解集是
求a、b的值。
分析：不等式对任意x∈R恒成立，就是不等式的解集为R。对于二次不等式
的解集为R的条件为
例3、不等式
对任意x∈R恒成立，求a与m之间的关系。
类型三：恒成立问题
解：将原不等式变形为
以上不等式对x∈R恒成立。
当a-m+1=0时，原不等式化为 –x-1＞0，
与x∈R不符，应舍去。
注意：二次项系数为0的情况一定要考虑，
而这往往是容易忽略的，一定要引起大
家的高度重视。
当a-m+1≠0时，
由②得：
∴a＞m，则有a-m＞0 ③
联立①③得a＞m。
①
②
例4. 函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的定义域为R , 求k的取值范围　　　
解：∵f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8）
的定义域为R ,
U
X
0
即△=(6k)2－4k(k+8)
=32k2－32Ｋ＜ 0
∴ 0 ＜ k ＜ 1
分析：令u= kx2 -6kx+k+8,
对任意的x，u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0
函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方
函数f(x) 的定义域为R
∴ k ≥ 0
当k=0时，f(x)=lg8 满足条件.
当k> 0时，∴只要△ ＜ 0
∴f(x)的定义域为R时， k的取值范围为0 ≤ k ＜ 1
例4. 函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的定义域为R , 求k的取值范围　　　
问题：函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的值域为R , 求k的取值范围。
思考
练习：已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解：有两种情况，
（1）当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5，m=1时,y=3>0恒成立，m=-5时，不适合；
（2） m2+4m-5>0
△<0
∴1综合(1)(2),得到m的取值范围是{m|1≤m<19}.
思考：不等式2x-1>m(x2-1)对满足
-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围是 ：
分析：因为不等式中有两个字母x、m，而给出m的范围，求x的范围，可反客为主。把其看成关于m的不等式。通过构造法构造一个关于m的一次函数。然后应用数形结合解之为好。即可设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)
f(2)<0
f(-2)<0
三、小结：
四、作业：
⒉一元二次不等式的简单应用
⒈一元二次不等式的解法;
1、若A=｛x│－1≤x≤1｝， B={x | x2 + (a+1)x +a≤0｝，若A∩B=B，求a的取值范围。
2、函数的f(x)= 定义域为R求a的取值范围。
3、求函数y= x2+2ax－3 ，x ∈[0,2]的最值。
解：由数轴标根法（如图），得
0
1
-1
3
+
-
+
+
-
-1＜x＜0 或 1＜x＜3
类型四：一元高次不等式的解法
注意：
1：先把每项 x 的系数化为正
2：奇穿偶不穿(共15张PPT)
正、余弦定理的应用
回顾:
1.正弦定理
3.在初中判断三角形的形状的依据的什么
即三角形分类的标准,按边或按角判断.
2.余弦定理
a =b +c-2bccosA
b =c +a-2accosB
c =a +b-2abcosC
2
2
2
2
2
2
2
2
2
考试常见题型：
1、利用正、余弦定理进行边角互化，以判别三角形形状及恒等式证明；
2、三角应用问题。
证明：
法二：将右边式子中的角化边，试试看你能否证明等式？
问题1
变式1：
在 ABC中，已知b =a c，证明：
sinB=sinA sinC
2
2
C
A
B
a
c
b
证明：由 得
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
（2RsinB）=（2RsinA）（2RsinC）
2
将此式 代入 b =a c 得
2
即 sin B=sinA sinC
2
变式2：
在 ABC中，已知bcosA=acosB，
判断三角形的形状。
解：由 得
a=2RsinA，b=2RsinB，
将此式 代入bcosA=acosB 得
（2RsinB）cosA=（2RsinA）cosB
sinAcosB - cosAsinB=0 ,
Sin(A – B) =0
由- 所以, 此三角形为等腰三角形
变式3：
解：
故此三角形是等腰直角三角形。
动手实践：
1.在 ABC中，已知acosA=bcosB，判断三角形的形状。
又 0<2A、2B<
所以, 此三角形为等腰三角形或直角三角形。
2.在 ABC中，已知， ,判断三角形的形状。
1.解：由 得
a=2RsinA，b=2RsinB，
将此式 代入acosA=bcosB 得
（2RsinA）cosA=（2RsinB）cosB
sinAcosA = cosBsinB ,
sin2A = sin2B ,
2A=2B或2A= -2B
A=B或A+B=
2.解(略)等腰三角形或直角三角形
在三角形中,已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角A.
问题2：
引导：条件整理变形后有什么特点
解：条件整理变形得
C
A
B
a
c
b
b +c - a = - bc与余弦定理有什么联系
2
2
2
b +c - a = - bc
2
2
2
cosA=
A=120
0
动手实践：
在 ABC中，已知
,求角C.
变式4：
在 ABC中，已知
求角C.
开拓创新：
1.在 ABC中，证明:
2.求
的值.
总结提高:
2. 应用正弦定理、余弦定理不仅可以解斜三角形，还可以将条件统一为边的关系或角的关系.
1.正弦定理的变式
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船向南航行，
在B处测得小岛A在船的南偏东300，航行30海里后，在C处测得
小岛在船的南偏东450，如果此船不改变航向，继续向南航行，
有无触礁的危险？
南
A
B
C
问题3：
课堂小结
通过本节课的学习，你掌握了哪些知识点及解题方法？
总结：
1、复习了三角形中的常见结论：三角形内角和；三角形三边
之间的关系；三角形面积公式；三角形边角之间的不等关系；
三角形中的正余弦定理。
2、知道了正余弦定理适用的题型。
3、解答这部分题的关键是注意数形结合，注重数学中常用的
“化同”法，即化边为角或化角为边。
课后巩固作业:
1.在 ABC中，已知sin(A+B)sinB=sin C，判断三角形的形状。
2
2.在 ABC中，证明下列各式:
(a –b – c )tanA+ (a – b + c )tanB=0
2
2
2
2
2
2
3.在 ABC中，已知
求角C.
4.求
的值.(共10张PPT)
千岛湖
A
C
B
34km
60km
创设情景 引出问题
41°
千岛湖
A
C
B
34Km
用正弦定理能否直接求出A , B两处的距离？
这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.

化
归
问
题
60Km
41°
B
C
A
D
a
b
c
c
B
A
C
D
a
b
AD=bsinC,BD=a-bcosC.
中，运用勾股定理，得
同理可得：
在△ABC中, 已知边a,b及角C，求边c的长
法一
在△ABC中, 已知边a,b及角C，求边c的长
法二
B
C
A
a
b
c
余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
即:
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
作用：
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角求第三边，进而可求出其他的角.
例2. 已知在△ABC中,
解三角形 .
例３. 已知在△ABC中,
求 A 的值.
。
五. 小结
(1) 解三角形时要利用方程的思想正确选用正弦
定理、余弦定理;
(2) 正弦定理、余弦定理的作用可归纳为：已知三角
形的一边和另两个元素，可求其他元素；
（3）在较复杂的图形问题中，要选择够条件的三角
形优先考虑 ;
(4) 由余弦定理 可知:
2.
ABC中,已知A=60°,且AC=2,AB=3则BC=
3.第9页练习B 3(共16张PPT)
简单线性规划（3）
【教学目标】
1．进一步理解二元一次不等式表示平面区域
2.进一步理解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
3.进一步理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
4.会求线性规划的整点最优解。
【教学重点】
用图解法解决简单的线性规划问题
【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解
例1 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的就代表所有可能的日生产安排。
y
x
4
8
4
3
o
提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
把z＝2x＋3y变形为
它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。
M
引申：若甲、乙获利为1万元、2万元，则如何安排生产？
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
规格类型
钢板类型
第一种钢板
第二种钢板
A规格
B规格
C规格
2
1
2
1
3
1
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0
y≥0
作出可行域（如图）
目标函数为 z=x+y
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
X张
y张
x
0
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0, x∈N
y≥0 y∈N
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
作出一组平行直线z=x+y，
目标函数z= x+y
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
当直线经过点A时z=x+y=11.4,
x+y=12
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
调整优值法
2
4
6
18
21
8
27
2
4
6
8
10
15
但它不是最优整数解.
作直线x+y=12
答（略）
x
0
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0, x∈N*
y≥0 y∈N*
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.
答:(略)
作出一组平行直线t = x+y，
目标函数t = x+y
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
在可行域内打出网格线，
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
将直线x+y=11.4继续向上平移，
1
2
1
2
18
27
15
9
7
8
　练习　某工厂家具车间造型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而两类型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产两类型桌子各多少张，才能获利润最大？
目标函数为　　　　　.
获利润为 千元，则
设每天生产　型桌子　张， 型桌子　张，每天所
解：
且与原点距离最大，此时　　　　　取得最大值．
上方平移至的位置　时，直线经过可行域上的点　，
如图，作出可行域，把直线　：
向右
引申：两类型桌子
分别获利润3千元
和1千元，试问工
厂每天应如何安排
生产
答：每天应生产　型桌子2张， 型桌子3张才能
解方程组 　　　　得　　　.
获最大利润．
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的
格式与步骤:
(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
(3)在可行域内求目标函数的最优解;
(4)注意问题的实际意义.
A.-2 B.-1 C.1 D.2
小结:
1．线性规划问题的有关概念;
2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;
3. 求可行域中的整点可行解。
作业：
习题3-5 B组5题(共15张PPT)
【教学目标】
1．了解二元一次不等式表示平面区域；
2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
【教学重点】
用图解法解决简单的线性规划问题
【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解
引例：
化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料需要
磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要
磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.
现有磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，若生产1车皮甲种肥料,
利润为10000元;生产1车皮乙种肥料, 利润为5000元.
那么如何安排生产才能够产生最大的利润
最优化问题
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
在该平面区域上
问题 1：ｘ有无最大(小)值？
问题２：ｙ有无最大(小)值？
x
y
o
x-4y=-3
3x+5y=25
x=1
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
C
A
B
画出 表示的平面区域。
x
y
o
x=1
C
B
　设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件　　　　　　　，
求ｚ的最大值和最小值。　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
Ａ
x-4y=-3
3x+5y=25
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件　　　　　　　 ，
求ｚ的最大值和最小值。　　　　　　　　　　　　　　　　
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
B
Ａ
3x+5y=25
问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形
问题 2: z几何意义_____________________________。
斜率为-2的直线在y轴上的截距
则直线 l：
ｙ=2x+z是一簇与 l0平行的直线,
故 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直
线往右上方平移时z 逐渐增大：
当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3
当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即
zmax＝2×5+2＝12 。
析: 作直线l0 ：y=-2ｘ,
ｙ＝-2ｘ+ z
最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可 行 解。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
深化概念　
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
目标函数：欲求最值的关于x、y的一次解析式。
线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值。
可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。
可行域：所有可行解组成的集合。
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
B
Ａ
3x+5y=25
设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ
满足下列条件　　　　　　　 ，
求ｚ的最大值和最小值。　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
3x+5y≤25
x-4y≤-3
x≥1
B
C
x
y
o
x－4y=－3
3x+5y=25
x=1
Ａ
例1：设z＝2x－y,式中变量x、y满足下列条件
求ｚ的最大值和最小值。
3x+5y≤25
x －4y≤－3
x≥1
解：可行域如图：目标函数变形为y=2x-z
当ｚ＝0时，设直线 l0：y＝2x
当l0经过可行域上点A时，－z 最小，即ｚ最大。
当l0经过可行域上点C时，－ｚ最大，即ｚ最小。
由 得A点坐标_____；
x－4y＝－3
3x＋5y＝25
由 得C点坐标_______；
x=1
3x＋5y＝25
∴ zmax＝2×5－2＝8 zmin＝2×1－4.4＝ －2.4
(5,2)
(5,2)
(1,4.4)
(1,4.4)
平移l0，
平移l0 ，
(5,2)
2x－y＝0
(1,4.4)
(5,2)
(1,4.4)
解线性规划问题的步骤：
2、 在线性目标函数所表示的一组平行线
中，用平移的方法找出与可行域有公
共点且纵截距最大或最小的直线；
3、 通过解方程组求出最优解；
4、 作出答案。
1、 画出线性约束条件所表示的可行域；
画
移
求
答
3x+5y=25
例2：已知x、y满足 ，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ
取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。
3x+5y≤25
x －4y≤－3
x≥1
x
y
o
x-4y=-3
x=1
C
B
Ａ
解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与直线重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有： k l ＝kAC
∵　 kAC＝
k l = -a
∴ 　-a =
∴ 　 a =
练习：
设Z＝ｘ+3ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件　　　　　　　，
求ｚ的最大值和最小值。　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
x - y ≤ 7
2x+3y≤24
x≥0
y ≤6
y ≥0
解:设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,
则:
能够产生利润z万元.
目标函数为z=x+0.5y,
可行域如图.
例3.化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料
需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要
磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.
现有磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，若生产1车皮甲种肥料,
利润为10000元;生产1车皮乙种肥料, 利润为5000元.
那么如何安排生产才能够产生最大的利润
回归引例：
x
0
y
4x+y=10
18x+15y=66
y=2x+z
目标函数z=x+0.5y
M
当直线经过点M时,Z最大.
1
2
3
4
5
10
答（略）
解方程组 ,得M点坐标为(2,2)
所以
作出直线l0 y=2x ，平移l0
小结:
1．线性规划问题的有关概念;
2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;
3. 求可行域中的整点可行解。
作业：
课后练习 1（2）、2(共22张PPT)
数列复习
1、定义：
2、 通项公式：
推广：
等差数列
5.等差数列性质：
（1）
（2）
若
则
（3）若数列 是等差数列，则
也是等差数列
（4）等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列
仍为等差数列
等差数列判定方法：
（1）定义法：
（2）递推公式法：
（3）看通项法：
（4）看前n项和法：
为等差数列
1.
5. S10=100， S100=10，求S110
练习：
0
=-30
=-110
-3；2；-5/2；26
6. 设数列 前 项的和
求 的通项公式.
设 数列 的前 项和，
即
则
7. 已知 是两个等差数列，前 项
和
分别是 和 且
求
另解：
令：
则
等比数列
5.等比数列的性质
（2）
（1）
（3）若数列 是等比数列，则
也是等比数列
（4）等比数列{an}的任意等距离的项
构成的数列仍为等比数列
等比数列判定方法：
（1）定义法：
（2）递推公式法：
（3）看通项法：
（4）看前n项和法：
答案：（1）必要不充分
（2）充要
1、在等比数列 中，
（1）若 则
（2）若 则
（4）若 则
（3）已知 求
=
30
50
32
4
练习：
2、已知数列 ，满足
（1）设 ，
求证数列 是等比数列；
（2）设 ，
求证 是等差数列.
①累加法
②累乘法
③构造新数列

已知数列递推公式求通项公式：
④分解因式：
⑤取倒数：
1.求数列 通项公式
平方，分解因式
取倒数、累加
构造新数列
(1)
①倒序相加法求和，an=3n+1
②错项相减法求和，an=(2n-1)2n
③拆项法求和， an=2n+3n
④裂项相加法求和，an=1/n(n+1)
⑤公式法求和， an=2n2-5n
一般数列求和法
练习：1.求下列各数列的前n项和
(1)
(2)
2. 求
的值
1.某布匹批发市场一布商在10月20日投资购进4000匹布，21日开始销售，且 每天他都能销售前一天的20%，并新进1000匹新布. 设n天后所剩布匹的数目为 （第一天为20日）.
（1）计算 并求 ；
（2）若干天后，布商所剩布匹能否稳定在4900到5000匹之内？若能，说出是几天后；若不能，说明理由.
应用问题：(共22张PPT)
① 1，4，7，10，13，16；
② 3，0，-3，-6，-9，
，
…
③
，
，
，
这些数列有什么
共同特点呢？
① 1，4，7，10，13，16；
② 3，0，-3，-6，-9，
，
…
③
，
，
，
这些数列有什么
共同特点呢？
4-1=7-4=10-7=13-10=16-13=3
0-3=-3-0=-6-(-3)=-9-(-6)=-3
_ _ _ _ _ _ _
2 1 3 2 4 3 1
= = =
- - -
10 10 10 10 10 10 10
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（1） 定义中的关健词是什么？
（2）公差d是哪两个数的差？
（3） {an}是等差数列，a1是首项，d是公差，则 a2=？，a3=？， a4=？，… ，an=？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（1） 定义中的关健词是什么？
（2）公差d是哪两个数的差？
（3） {an}是等差数列，a1是首项，d是公差，则 a2=？，a3=？， a4=？，… ，an=？
相邻两项后项与前项的差(d=an-an-1 ，n≥2) ，且与 n 无关。
an =a1+(n-1)d
a2=a1+d，
(n≥2)
a3=a1+2d，
a4=a1+3d，…
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（1） 定义中的关健词是什么？
（2）公差d是哪两个数的差？
（3） {an}是等差数列，a1是首项，d是公差，则 a2=？，a3=？， a4=？，… ，an=？
相邻两项后项与前项的差(d=an-an-1 ，n≥2) ，且与 n 无关。
a2=a1+d，
a3=a1+2d，
a4=a1+3d，…
an =a1+(n-1)d (n∈N*)
等差数列的通项公式
a2-a1=d
a2=a1+d
　　　由此得到　 an=a1+(n-1)d
返回
an-a1=(n-1)d
an-an-1=d
a4-a3=d
a3-a2=d
an=a1+(n-1)d
a4=a1+3d
a3=a1+2d
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
●
●
●
●
●
●
●
当p不为零时，等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
当p是零时，等差数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀分布的一群孤立的点。
结论：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次函数，
那么这个数列一定是等差数列
an=pn+q的图像其实就是一次函数y=3x-5当x在正整数范围
内取值时相应的点的集合，斜率p是等差数列的公差
1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式an=pn+q(p,q是常数且p≠0);
2 如果通项公式是关于n 的一次函数形式an=pn+q(p,q是常数且p≠0),则该数列成等差数列;
3 若d>0则数列递增,若d<0则数列递减,若d=0则数列为常数列;
4 图象是一条直线上的一群孤立点
注意:
注意:在 中,
n,an,a1,d四数中已知三个可以求出另一个。
判断下列数列是否为等差数列。若是，则公差 d 是多少
1. 数列 2，4，6 .
2. 数列 2，4，6…
3. 常数数列 3，3，3，3，…
4. 数列{an}，若an-an-1=-2（n≥2)
答：是，公差d是2。
答：不一定是。
答：是，公差d是0。
答：是，公差d 是-2。
思考题:
(1) 若在a,b中插入一个数A, 使得a,A,b成 等差,则A等于多少
(2) 已知等差数列{an}, 取出数列中的所有 奇数项,组成一个新的数列,这个数列是 等差数列吗 如果是, 它的首项与公差 各是多少
关于等差中项：
如果a,A,b成等差数列，则
例： 在 1与7之间顺次插入a,b,c三个数使这五个数成等差数列，求此数列.
例1 （1）求等差数列5，9，13，…的第20项。
（2）-299是不是等差数列-2，-5，-8，…的项？ 如果是，是第几项？
解： （1）由a1=5,d=9-5=4，n=20，得
a20=5+(20-1) ×4=81
（2）由a1= -2，d= -5 －(-2)= -3，得
an= -2+(n-1)(-3)= -3n+1
-299 = -3n+1
n =100
所以 –299 是这个数列的第100项。
例 2. 等差数列{an}中,已知a4=10,a7=19,求首项a1、公差 d
和通项 an。
解:
a4=a1+3d=10 ①
a7=a1+6d=19 ②
②- ① 3d=9, d=3
代入① 得 a1+3×3=10, a1=1
an=1+(n-1) ×3=3n-2
结论：由等差数列的两项就可以确定这个数列。
思考：
已知等差数列的公差为d，第m项为 ,试求其第n项
结论:
例3. 梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽110cm，中间 还有10 级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。
33
110
解：
a1=33，a12=110，n=12
a12=a1+(12-1)d,
即 110 =33+11d
解得 d =7
a4=54，a5=61，a6=68，a7=75， a8=82，a9=89，a10=96，a11=103。
答：梯子中间各级的宽度从上到下依 次是 40 cm, 47 cm, 54 cm, 61 cm, 68 cm, 75 cm, 82 cm,89 cm, 96cm, 103 cm。
∴
a3=40+7=47，
a2=33+7=40，
例4
已知等差数列 的首项 =17，公差d=-0.6,
此等差数列从第几项开始出现负数？
小结:
2. 等差数列的计算问题通常先求 a1 和 d 两 个基本量,再用通项公式an=a1+(n-1)d,求其 它量；
1. 公差 d=an-an-1(n≥2)，且与n无关；
3. 判断一个数列是否为等差数列只需看an-an-1
(n≥2)是否为常数即可；
4. 利用从特殊到一般的思维去发现数学规律
或解决数学问题。
5.等差中项
课堂练习：
2. 求等差数列2，9，16…的第10项,100是不是这个数列 的项。如果是，是第几项？
1. 等差数列-5，-1，3…的公差是（ ）
A. 4 B. - 4 C. 8 D. -8
3. 已知a3=9, a9=3, 则a12 =_____
4. 数列{an}中,a1= , an+1=an- (n∈N*), 则通项an=（ ）
5. 已知等差数列的前三项依次为：a-1, a+1, a+3, 则此数列的通项为（ ）
A. an=2n-5 B.an=a+2n-3
C. an=a+2n-1 D. an=2n-3
A
0
B
A.
B.
D. 不能确定
C.
C(共16张PPT)
数列的递推公式
会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式。
知识与技能目标
学习目标
①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；
②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。
过程与方法目标
学习目标
①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；
②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；
③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。
学习目标
情感、态度与价值观目标
学习重点
根据数列的递推关系式求通项公式。
学习难点
解题过程中方法的正确选择。
学习重难点
按一定次序排成的一列数叫做数列.
如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
1. 数列的概念：
2. 数列的通项公式：
知识链接
浮屠增级歌
远看巍巍塔七层
红光点点倍加倍
共灯三百八十一
请问尖头几盏灯
选自明.程大位<<算法统宗>>
如果用 依次代表第7层到第1层的灯数,请同学们写出这个数列.
情境引入
递推公式：
如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
(初始条件)
(递推关系)
●递推公式也是给出数列的一种方法。
●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
例如 上述表示各层宝塔灯数数列 可表示成：
例1 已知数列｛an｝的第1项是1，以后的各项
由公式 给出，写出这个数列的前5项.
解 据题意可知：a1=1,
分析 题中已给出｛an｝的第1项即a1=1，递推关系：
的前5项是:
解: 由已知得 a1=1,a2=2，
所以 的前4项为1,2,7,23.
例2 已知数列 中，a1=1,a2=2,an=3an－1+an－2
（n≥3)，试写出数列 的前4项.
a3=3a2+a1=7
a4=3a3+a2=23.
例3意大利匹萨饼店的伙计喜欢将饼切成形状各异的一块块.他们发现,每一个确定的刀数,都可以有一个最多的块数.例如,切一刀最多切成2块,切2刀最多切成4块,切3刀最多切成块7块.问切n刀最多可切几块(n是正整数)
分析: 刀数n 1 2 3 4
最多块数 2 4 7
11
1.请写出下面 数列的前5项:
解:
达标练习
2，4，8，16，32
2．已知数列 满足：a1=2,an=2an－1（n≥2）,
这个数列 的前五项为 。
3.已知数列 :1,12,123 ,1234 , ,123456789
(在每一项的数字后面添写后一项的序号,便得到后一项)
求数列 的递推公式.
解:
2.要学会去归纳、猜想数列的递推公式，从而得出其从特殊到一般的结论.
1.数列的递推公式揭示了数列的任一项 与它的前1项 (或前几项)的关系,也是给出数列的一种重要方法。
课堂小结
1.习题2.1 6.7.8
2.预习：课本P35——38 等差数列。
课后作业(共17张PPT)
等差数列的性质
理解等差数列的定义基础上初步掌握等差数列几个特征性质并能运用性质解决一些简单问题．
知识与技能目标
学习目标
通过性质的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．
过程与方法目标
学习目标
通过其性质的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．
学习目标
情感、态度与价值观目标
学习重点
等差数列的通项公式的性质推导及其简单应用．
学习难点
等差数列的性质的探究
学习重难点
上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？
【说明】
3.更一般的情形，an= ，d=
一、等差数列的性质1
1. {an}为等差数列
2. a、b、c成等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）
am+(n - m) d
b为a、c 的等差中项AA
2b= a+c
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq





注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
例1 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
例题分析
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12
及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15
练习：在等差数列{an}中，已知项数m,n,p成等差数列，
试问：am,an,ap是否也组成等差数列
等差数列的性质2
1.
2.
3.
例：
二、
例： 已知数列 的通项公式为 ，其中p,q为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判断 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就 是看 是不是一个与n无关的常数
解：取数列
中的任意相邻两项
求差得
它是一个与n无关的数，所以 是等差数列
三．等差数列通项的设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an=a1+(n-1)d
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设
中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为：
…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…
当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为，
…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对称项设出这个数列，则其各项和为na．
巩固练习
1. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10=
-35
提示：
d=an+1—an=4
2、
巩固练习
4. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数.
设这三个数分别为a-d ，a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
6，4，2或2，4，6
3、已知{an}为等差数列
且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
5. 四个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为0，求此四个数.
0，2，4，6(共34张PPT)
数列求和
学习内容：
1、数列求和的基本方法。
2、数列求和过程中相关的数学思想
学习要求：
1、整理化简数列的通项公式，应
是数列求和首先考虑的问题
2、数列求和的基本方法
学习指导：
重点：化简数列的通项公式，非等差、等比数列转化为等差、等比数列，把多项求和转化为少项求和， 把无规律的求和化为有规律的求和。
难点：数列求和中和式的项数。
关键：数列特征。
（一）知识归纳
1、数列求和方法：公式法，倒序
相加法，错位相减法，拆项法，
裂项相消法。
2、常用数列和
（二）典型例题：例1：求前n项和
（1）
(2)
（3）
②
①
①
②
–
(4)
解：
①
①
②
②
+
例3、
（1）求数列1，3+4，5+6+7，
7+8+9+10,
的前n项和
解：
（2）求数列
的前n项和
解：
–
解：
（3）已知数列 的通项公式
求数列 的前n项和
解：
解：
解：
(4)已知数列 中，
求数列 的前n项和
解：
解：
（5）求数列
的前n项和
解：
解：
解：
解：
解：
②
①
①
②
–
解：(共26张PPT)
教学目标：
1、掌握建立不等式模型解决实际问题
2、培养学生解决实际问题的能力。
教学重点：
掌握建立不等式模型解决实际问题
例1．一般情况下，建筑民用住宅时。民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？
分析：只要比较增加相等的面积后，窗户的总面积和占地面积的比值的大小，即可作出正确的判断。
解：设a，b分别表示住宅原来窗户的总面积好占地面积的值，m表示窗户和占地所增加的值（面积单位都相同），
由题意得00，
则
，
因为b>0，m>0，所以b(b+m)>0，
又因为a0，
因此
即
答：窗户和住宅的占地同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了。
例2．由纯农药药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？
分析：如果桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药药液后，桶内剩下的纯农药药液还有(x－8)升，用水加满，桶内纯农药药液占容积的 ，
第二次又倒出4升，则倒出的纯农药药液为 ，此时桶内还有纯农药药液
升
解：设桶的容积为x升，显然x>8，
则原不等式化简为:
9x2－150x+400≤0，
依题意有 ，
由于x>8，
解得
即 (3x－10)(3x－40)≤0，
从而
答：桶的最大容积为 升。
例3．根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元。预测2003年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数n满足条件40%解：设食品消费额的平均每年的增长率为x (x>0)，
则到2005年，食品消费额为0.6(1+x)2万元,
消费支出总额为1+2×0.3=1.6万元。
依题意得
即
解不等式组中的两个二次不等式，
由x>0，解得
因此
因为
所以该乡镇居民生活如果在2005年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值，也就是说，平均每年的食品消费额至多是增长15.5%。
例4.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？
a
b
B
A
H
P
a
b
B
A
H
P
练习
1．用一根长为100ｍ的绳子能围成一个面积大于600ｍ2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形的一边长为x（ｍ），则另一边的长为50－x（ｍ），0＜x＜50．
由题意，得x(50－x)＞600，
即x2－50x＋600＜0．解得20＜x＜30．
所以，当矩形的一边长在（20，30）的范围内取值时，能围成一个面积大于600ｍ2的矩形．
用S表示矩形的面积，则
S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625（0＜x＜50）
当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25即当矩形长、宽都为25ｍ时，所围成的矩形的面积最大．
2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p（元／件）之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？
解：由题意，得
(160－2x)x－(500＋30x)≥1300，
化简得x2－65x＋900≤0，
解之得 20≤x≤45，
因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．
3. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40km／h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．
事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，
又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km／h）之间分别有如下关系：
s甲 ＝0.1x＋0.01x2，s乙 ＝0.05x＋0.005x2,问：甲、乙两车有无超速现象？
分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．
解：由题意知，对于甲车，
有0.1x＋0.01x2＞12，
即x2＋10x－1200＞0，
解得x＞30，或x<-40（不合实际意义舍去）
这表明甲车的车速超过30km／h．但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km／h．
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，
即x2＋10x－2000＞0，
解得x＞40或x＜－50（不合实际意义，舍去），
这表明乙车的车速超过40km／h，超过规定限速．
4. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R％），则每年的销售量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元，R应怎样确定？
解：由题意得生产销售的酒为(100－10R)万瓶，可以卖得70×(100－10R)万元，
附加税为70×(100－10R)×R%万元，
所以
70×(100－10R)×R%≥112，
即R2－10R+16≤0，
解得2≤R≤8.
答：R的取值范围为2≤R≤8。
解实际应用题的思路：
实际问题
抽象
数学模型
数学模型的解
还原解释
实际问题的解
一般步骤：(1)分析题意，设未知数
(2)找数量关系（相等、不等关系）
（3）列出关系式（函数式、不等式）
（4）求解作答
作业：
P83 习题3-4
B 3、5(共27张PPT)
数 列
4，
5，
6，
7，
8，
9，
10
问题：从下往上钢管的数目有什么
规律？钢管的总数是多少？如果增
加钢管的层数，有没有更快捷的方
法求出总数？
1----
2----
3----
4----
5----
6----
7----
西洋棋是由一个数学家希萨(Sissa)发明的，那时印度国王，很喜欢西洋棋，欣赏西洋棋的娱乐性。有一天国王召见希萨，国王就问你要什麼，希萨就说他要麦子，并要求一个西洋棋盘，在西洋棋的第一格放一粒小麦，第二格放两粒小麦，第三格放四粒，第四格放八粒 ，依此类推。当时，国王认为西洋棋只有64格小格，满足西萨所需的麦子并不多，所以准许了他的请求。
1
2
22
23
24
25
26
27
…

263
你想得到
什么样的
赏赐？
陛下赏小
人几粒麦就
搞定。
OK
国王要给多少麦粒？
陛下全国三年生产的麦子都不够小人搬啊！
=18446744073709551615
1+2+22+…+263
请你观察：
⑶1，
…
⑷3，3.1，3.14，3.141，…
⑸-1，1，-1，1，…
⑴4，5，6，7，8，9，10
⑵1，2， 22 ，23，24，…， 263
数列的定义
按一定的次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的各项依次叫做这个数列的
第1项（或首项）用 表示，
第2项用 表示，
…，
第n项用 表示，
…，
数列的一般形式可以写成：
…，
…，
简记作：
根据数列的定义知数列是按一定次序排列的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列。
如：数列（5）－1，1，－1，1，···改为 数列（5’）1，－1，1，－1，···它们不是同一数列。
数列（1）4，5，6，7，8，9，10。改为数列（1’）10，9，8，7，6，5，4。它们不是同一数列。
数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。如数列（1）
项 4 5 6 7 8 9 10
序号 1 2 3 4 5 6 7
这说明：数列的项是序号的函数，序号从1
开始依次增加时，对应的函数值按次
序排出就是数列，这就是数列的实质。
问题：上述5个数列中的项与序号的
关系有没有规律？如何总结这些规律？
如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式。
并不是所有的数列都有通项公式，如数列⑷。
有些数列的通项公式不唯一，如数列⑸
y=f（x）
an
n
？
函数值
自变量
通项公式
如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
1. 数列 4，5，6，7，8，9，10.的通项公式是：
(n≤7)
2. 数列 1，4，7，10，… 的通项公式是：
通项公式
例如，数列
简记为：
例如，数列1，2，3，4，5，6，…
简记为：
例如，数列2，4，6，8，10，12，…
简记为：
通项公式
例如，数列1，3，5，7，9，11，…
简记为：
例如，数列1，10，100，1000，…
简记为：
例如，数列1，-1，1，-1，1，-1，…
简记为：
例如，数列5，10，15，20，25，…
简记为：
数列 4，5，6，7，8，9，10.的图象
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
●
0
数列 的图象
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
1、按项数n的取值范围分:
有穷数列和无穷数列
2、按项与项之间的大小关系来分:
递增数列、递减数列、常数列、
3、按任一项的绝对值是否都小于某一正数来分:
有界数列、无界数列
数列的分类
例1 根据数列 的通项公式，写出它的前5项。
解：(1) 在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列 的前5项为
解：(2) 在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列 的前5项为
例题
数列的例题
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解(1):
解(2):
解(3):
解(4):
(4)的数列就是0，-1，0，-1也可以写为
思考与讨论：
是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个
这样的数列的通项公式？
数列练习1
练习1 根据数列 的通项公式，写出它的前5项。
1，4，9，16，25.
10，20，30，40，50.
5，-5，5，-5，5.
数列练习2
练习2 根据数列 的通项公式，写出它的第7项与第10项。
数列练习3
练习3 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
数列练习4
例4 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出一个通项公式.
2,4,( ),8,10, ( ),14.
2,4,( ),16,32,( ),128,( )
( ),4,9,16,25,( ),49.
( ),4,3,2,1,( ),-1,( ).
1, ,( ),2, ,( ), .
6
12
8
64
1
36
5
0
-2
256
数列练习5
练习5 根据数列 的通项公式，写出它的前5项。
1. 5，8，11，14，17
2. 2，4，8，16，32
3. 3，6，3，-3，-6
4. 1，2，5/2，29/10，941/290
观察数列：
1、cos1,cos(cos1),cos(cos(cos1)), …
它的通项公式不易求得，但相邻两项之间的关系却非常简单，即
像上面那样，如果已知数列的第一项（或前几项），且从第二项
（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以
用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
数列小结：
按一定的次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的各项依次叫做这个数列的
第1项（或首项）用 表示，
第2项用 表示，
第n项用 表示，
如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
递推公式
数列的表示
数列的分类(共24张PPT)
1、不等式的基本概念：（理解其概念，要有放缩的思想，用好放缩法）
2、实数的运算性质：a-b>0 a>b
a-b<0 aa-b=0 a=b
3、不等式的基本性质：
①对称性：a>b b②传递性：a>b,b>c a>c;
③可加性：a>b a+c>b+c;
④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d;
⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc;
a>b,c<0 ac⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;
⑦倒数法则：a>b,ab>0 ;
⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;
⑨开方法则：a>b>0 ;
⑩绝对值不等式的性质： (1)|x|0);
(2)|x|>a x>a或x<-a. (a>0)
(3)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
4、两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数定理：
即：若 ，则
5、不等式证明的主要依据：
①实数的运算性质。
②不等式的性质。
③基本不等式。
6、一元一次不等式：
（1）一般形式：ax>b
（2）解法：
7、一元二次不等式：
（1）一般形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)
（2）解法：1）代数法；
2）图象法：
8、简单的高次不等式：
（1）解题思想：降次
（2）方法：1）穿根法；
2）列表法；
3）换元法；
4）因式分解法；
9、绝对值不等式：
（1）解题思想：去绝对值符号
（2）方法：1）零点分区间法；
2）绝对值的性质；
3）平方；
10、分式不等式：
(1)解题思想：去分母
(2)题型与解法：
11、不等式的应用：
常见的题型：①研究函数的性质（包括：定义域、值域、单调性等）
②研究方程的实根分布
③求参数的取值范围
④利用均值不等式求最值
⑤解决与不等式有关的实际应用问题
[高考试题回顾]
1 、解不等式：
答案：
2、设a≠b解关于x的不等式
a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2
答案： {x|0≤x≤1}
3、解关于x的不等式
分析：原不等式转化为：(x-a)(x-a2)<0
当a>a2即0当a1或a<0时，a当a=a2即a=0或a=1时，x∈φ
4、函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a=
2
分析：此题要根据不等式的构成特征，从已知条件入手，以不等式的性质为依据，应用构造法完成证明。
a>b>0 -a<-b<0
0[典型例题解析]
例1，已知c>a>b>0，求证：
例2，求证：lg9·lg11<1
分析：由构成特点：乘积、小于，联想到基本不等式，并用到放缩法。
∴lg9·lg11<1
例3，设a,b,c为不相等的正数，且abc=1
求证：
法1：
法2
法3
例4，若不等式ax2-2x+b≤0的解集是
求a、b的值。
分析：方法1： 3是方程ax2-2x+b=0的二根。
f(- )=0
f(3)=0
方法2：用韦达定理
例5，不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围是 ：
分析：因为不等式中有两个字母x、m，而给出m的范围，求x的范围，可反客为主。把其看成关于m的不等式。通过构造法构造一个关于m的一次函数。然后应用数形结合解之为好。即可设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)
f(2)<0
f(-2)<0
[巩固训练]
1、解关于x的不等式 mx2-(m2+1)x+m≤0，（m∈R）
2、x,y∈R,x>y且xy=1 则
的最小值是 此时x= y= 。
3、已知函数x,y满足x+y=4。则使不等式
恒成立的实数m的最大值是 。
4、f(x)= 在区间（-2,+∞）上是增函数。则a的取值范围是 。
5、若函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值。(共13张PPT)
简单线性规划（2）
【教学目标】
1．进一步理解二元一次不等式表示平面区域
2.进一步理解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
3.进一步理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
4.会求线性规划的整点最优解。
【教学重点】
用图解法解决简单的线性规划问题
【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解
例1 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的就代表所有可能的日生产安排。
y
x
4
8
4
3
o
提出新问题： 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
把z＝2x＋3y变形为
它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。
M
引申：若甲、乙获利为1万元、2万元，则如何安排生产？
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
规格类型
钢板类型
第一种钢板
第二种钢板
A规格
B规格
C规格
2
1
2
1
3
1
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0
y≥0
作出可行域（如图）
目标函数为 z=x+y
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
X张
y张
x
0
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0, x∈N
y≥0 y∈N
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
作出一组平行直线z=x+y，
目标函数z= x+y
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
当直线经过点A时z=x+y=11.4,
x+y=12
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
调整优值法
2
4
6
18
12
8
27
2
4
6
8
10
15
但它不是最优整数解.
作直线x+y=12
答（略）
x
0
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y =0
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0, x∈N*
y≥0 y∈N*
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.
答:(略)
作出一组平行直线t = x+y，
目标函数t = x+y
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
在可行域内打出网格线，
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
将直线x+y=11.4继续向上平移，
1
2
1
2
18
27
15
9
7
8
　练习　某工厂家具车间造型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而两类型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产两类型桌子各多少张，才能获利润最大？
目标函数为　　　　　.
获利润为 千元，则
设每天生产　型桌子　张， 型桌子　张，每天所
解：
且与原点距离最大，此时　　　　　取得最大值．
上方平移至的位置　时，直线经过可行域上的点　，
如图，作出可行域，把直线　：
向右
引申：两类型桌子
分别获利润3千元
和1千元，试问工
厂每天应如何安排
生产
答：每天应生产　型桌子2张， 型桌子3张才能
解方程组 　　　　得　　　.
获最大利润．
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的
格式与步骤:
(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
(3)在可行域内求目标函数的最优解;
(4)注意问题的实际意义.
小结:
1．线性规划问题的有关概念;
2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤;
3. 求可行域中的整点可行解。
作业：
习题3-5 B组5题(共17张PPT)
第一课时
等 差 数 列
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。
2.运用等差数列的通项公式解决相关问题。
知识与技能目标
学习目标
过程与方法目标
1．通过对数列的分析探究得到等差数列的概念，提高学生观察、探索、发现的能力。
2、利用等差数列通项公式的推导，培养学生分析、比较、概括、归纳的能力。
3、学会借助实例分析，探究数学问题，培养数学建模的能力。
情感、态度与价值观目标
1、通过学生的主动参与，师生、生生合作交流，提高学生的学习兴趣，激发求知欲
2、通过具体问题，发现等差关系，并利用数列知识予以解决，感受数列的应用价值
3、培养学生严谨求实、一丝不苟的科学态度。
学习重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式的推导和应用
学习难点： 等差数列“等差”特征的理解、把握和应用
知识链接
问题1：数列的定义是什么？如何理解？
问题2： 何为数列的通项公式？
问题3： 通项公式与递推公式的联系与区别？
新知探究
观察分析并在横线填上相应的数:
1 、38、48、58、____、78、88、98…
2 、 1.5；2.0；2.5；____；3.5; 4.0；4.5。
3 、0、5、10 、 、20 、25…。
请同学们思考，这三个数列有何共同特点
68
3.0
15
等差数列的定义
1、等差数列的定义：一般地，如果一数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于
同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
思考： 定义中的关健词是什么？
问题4：如何判断一个数列是否为等差数列？
严格按照等差数列的定义：
an - an-1=d(n≥2,n∈N*)
或 an+1 - an=d(n∈N*)
是
不是
不是
例1
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，0，…
（4）3，3，3，3，…
（6）15，12，10，8，6，…
是
是
是
a1=1,d=2
a1=9,d=-3
a1=-8,d=2
a1=3,d=0
例2．已知数列{an}的通项公式为an=3n－5，这个数列是等差数列吗？
解：因为当n≥2时，
an－an－1=3n－5－[3(n－1)－5]=3，
所以数列{an}是等差数列，且公差为3.
问题5：若数列{an}的通项公式为an=an＋b，
这个数列还是不是等差数列？
问题6：如果三个数x，A，y组成等差数列，A＝？
此时A叫做x和y的等差中项。
问题7：等差数列中哪些项可以作为等差中项？
等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∴a 2＝a1＋d
a 3＝a2＋d＝a1＋2d
a 4＝a3＋d＝a1＋3d
a 5＝a4＋d＝a1＋4d
……
由此得: an＝a1＋(n－1)d （ n∈N+)
由等差数列得定义得： a n＋1＝an＋d
归纳法
问题8：已知首项和公差如何得出等差数列的通项公式？
a2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=d
等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)
+…+(an-an-1)=(n-1)d
∴an-a1=(n-1)d
即an=a1+(n-1)d
累加法
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d（n∈N*）
如何确定数列的通项公式？
由等差数列得定义得： a n＋1－an ＝ d
例3 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
(2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
例4．已知等差数列的公差为d，第m项为am，试求其第n项an.
解：由等差数列的通项公式可知
an=a1+(n－1)d，am=a1+(m－1)d，
两式相减得，
an=am+(n－m)d.
变形
问题9：如何用函数的观点分析等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d（n∈N*）？
分析：an=a1+(n-1)d＝dn+（a1－d）
即an＝dn+b
结论：d=0时，数列为常数列；
d≠0时，an是关于n的一次式；
d>0时{an}为递增数列；
d<0时{an}为递减数列.
例 5. 等差数列{an}中,已知a4=10,a7=19,求首项a1、
公差 d和通项 an。
解法1:
a4=a1+3d=10 ①
a7=a1+6d=19 ②
②- ① 3d=9, d=3
代入① 得 a1+3×3=10, a1=1
an=1+(n-1) ×3=3n-2
解法2: 设an＝an+b
解法3:
课堂小结
1、理解和掌握等差数列的定义及数学表达式：
an+1-an=d(n∈N*);
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d( n ∈N*);.
3、确定通项公式的条件，应用函数与方程的思想可以知三求一。
4、对重要关系式：an=am+(n-m)d和
的理解与应用。
5、等差数列的判定：
巩固练习
2、（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列 2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
3、已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3, 求a12,a3n.
4、已知等差数列{an}，a1=17,d=-0.6, 则此数列从第几项开始出现负数？
课后作业
1、课本38页练习A 1,2 2、根据等差数列的定义和通项进一步推导其性质(共21张PPT)
教学重点：利用均值不等式解决实际问题
教学难点：实际问题数学化（建模）
利用均值不等式求函数的最值
复习旧知识
①均值不等式a2+ b2≥2ab，a+b≥2 · 2√ab
(当且仅当a=b时上述各式取等号)；
a3+ b3 + c3≥3abc，a+ b+ c≥3 · 3√abc
(当且仅当a=b=c时上述各式取等号)。
③利用上述重要不等式求最值时注意三点：各项为正，和或积为定值，当且仅当上述不等式取等号时未知数的取值必须在允许值范围内。
②和为定值，积有最大；积为定值，和有最小值
例1：用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？
解：已知量： 边长为60 cm的正方形铁皮。
需设量： 四角截去的小正方形的边长为：x cm
最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高
60cm
60cm
xcm
60-2x
x
60-2x
xcm
60-2x
60-2x
所求几何体的体积V=（ 60-2x ）·（ 60-2x ） · x
目标函数：
V=(60-2x)·(60-2x)·x
≤
3
=2·(20)3 =16000 (cm)3
当且仅当30-x=2x即x=10时，Vmax =16000(cm) 3
答：截去小正形的边长为10cm时，水箱容积最大，最大容积为16000(cm)3
=2·(30-x)· (30-x) · 2x
例2 : 一块长方形的铁皮长为80厘米，宽为50厘米，从四角处截掉四个同样大小的正方形，然后做成一个无盖的小箱，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大。
80cm
50cm
解：已知量： 长为80 cm，宽为50cm
需设量： 截去小正方形的边长为：x cm
最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高
xcm
xcm
80-2x
50-2x
此题若按例1的解法来解
当且仅当 80-2x = 50-2x
这样的x不存在！！
目标函数： V= (80-2x) ·(50-2x) · x
解: V = (80-2x) (50-2x) x
= 2 (40-x) (50-2x) ·x
=18000(cm) 3
当且仅当40-x=50-2x=3x即小正方形边长x=10时，
Vmax=18000 (cm) 3
解法：V=4(40-x) ·(25-x) ·x
= (40a - ax) ·(25b - bx) ·x · (4/ab)
解得a=1/3，b=2/3，x=10
V=18 (40/3-x/3) ·(50/3-2x/3) ·x
≤18·[(40/3-x/3+50/3-2x/3+x)/3] 3
=18000
当且仅当40/3 - x/3=50/3 - 2x/3 = x
即x=10时 V max =18000(cm) 3
若满足
由同学们来完成下列练习：
用总长29.6m的钢条制做一个长方体的容器的框架，如果所制做容器的底面一边比另一边长1m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解：已知量： 长方体的12条棱长之和为29.6 m，需设量：长方体的底面两边长为：x 和(x+1) m，高为hm最终要研究的量：体积（V）=底面面积×高
而4x+4(x+1)+4h=29.6
即 h = 6.4 - 2x
V=x · (x+1) · (6.4 - 2x)
x+1
x
h
目标函数： V= x· (x+1) · h
V=x·(x+1) ·(6.4 - 2x)
=ax·(bx+b) ·(6.4-2x)/ab
其中 a，b是待定的正常数且满足
a+b=2 且ax = bx + b = 6.4-2x
解得 a=1.2，b=0.8，x=2此时
V= 1.2x·(0.8x+0.8) ·(6.4-2x)/0.96
≤[(1.2x + 0.8x + 0.8 + 6.4 - 2x)/3] 3 / 0.96
=(7.2/3) 3/0.96 =14.4m 3
答：当高h=6.4-2×2=2.4m时，Vmax =14.4m3
例3：制做圆柱形的罐头盒，如果容积一定，它的尺寸怎样取，所用的材料最少？
分析：所用的材料最少的本质是什么意思？
或者说从数学的角度来说是什么意思？
分析出来实质是圆柱体的表面积
已知量： 体积 V（假定为定值）
需设量： 底半径r，高 h 最终要研究的量：
表面积 S=两个底面积 + 侧面积
2r
h
且V = πr2 h
目标函数： S=2πr2 +2πr h
如图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x，下底半径与上底半径之比为k（0课堂小结
1．解应用题的方法与步骤
2．均值不等式求函数的最值
1、弄清已知量、确定目标变量。
2、根据题设建立目标函数。
3、选定求解方法。(共10张PPT)
等比数列的习题课
例１.等比数列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值．
解：
由
得： q=2
所以：
一．在a1,q,n,an,sn中，知三求二．
例３.在等比数列{an}中 ，q=1/2 ，s5=31/8,
求a1与a5 .
例２.在等比数列{an}中 ，a1=2，q=3 ，sn=26,求n，an.
☆
◎
二：等比数列的性质
1.等比数列前n项和公式
2.等差数列中的有关性质
1) 也成等差数列;
2）若{an}为等差数列，则Sn=An2+Bn.
思考：在等比数列中是否有类似性质
1）　　　　　　　　　　　　　　
也成等比数列　　　　　．
结论：在等比数列中：
2）若{an}为等比数列 ，则Sn=aqn-a.
例4．已知Sn=3.4n+a 求{an}，并判断{an}是否为等比
数列？若不是，添加条件使之成为等比数列 。
例5．等比数列{an}中,已知S5=48,S10=60 求S15
　　　　　
三．例题选讲：
例6．一个等比数列有偶数项，全部各项的和等于偶数项和的4倍，前3项之积等于64，求这个数列通项公式．
例7.在等比数列 中, 成等差数列,求证: 成等差数列.
四：an+1=Aan+B的数列通项的求法
例8：求数列{an}的通项公式
（1）在{an}中，a1=2,an+1=3an+2
（2）在{an}中，a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0
作业：非常学案