第6章导数及其应用 单元基础测试题-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课时练习（Word含解析）

人教B版（2019）第六章导数及其应用单元基础测试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．－7 B．－3 C．－1 D．4
2．已知某物体的运动方程是，则当时的瞬时速度是（ ）
A． B． C． D．
3．，若，则x0等于（ ）
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
4．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．给出以下命题：（1）；（2）；（3）的原函数为，且是以2为周期的函数，则，（4）设函数可导，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数在处的切线与直线平行，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数恰有两个零点，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的有（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．在x=3处取得极小值 D．在处取得极大值
10．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
12．过曲线上一点作曲线的切线，若切点的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数的导函数_________．
14．若曲线在点的切线方程是，则实数__________．
15．若质子的运动方程为，其中的单位为，的单位为，则质子在时的瞬时速度为_______．
16．已知函数，则的极小值为______．
三、解答题
17．求导：
（1）；
（2）
18．（1）求导：
（2）求函数在处的导数.
19．已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
20．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.
21．已知函数，?，若在处与直线相切.
（1）求，的值；
（2）求在上的极值.
22．已知函数在处有极值.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间.
参考答案
1．B
【分析】
求出的导数，代入，求出，即可求出.
【详解】
，
，则，
，则.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的基本计算，属于基础题.
2．C
【分析】
根据瞬时速度为位移对应导数值求解.
【详解】
当时的瞬时速度是为导函数在的值，因为，所以，因此当时的瞬时速度是，选C.
【点睛】
本题考查导数在物理上的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．B
【分析】
先求得，结合列方程，解方程求得.
【详解】
依题意，
，
由得.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查导数运算，属于基础题.
4．B
【分析】
利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可验证各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数运算正误的判断，考查计算能力，属于基础题.
5．C
【分析】
对于（1）：运用乘法的求导法则可判断；
对于（2）：将原式变形为，逐一计算可判断；
对于（3）：根据积分的定义和周期函数的应用可得，，可判断；
对于（4）：利用在某一点的导函数的定义可判断.
【详解】
对于（1）：，故（1）错误；
对于（2）：
，故（2）正确；
对于（3）： 因为的原函数为，且是以2为周期的函数，
所以，，
所以，故（3）正确；
对于（4）：设函数可导，令，则，故（4）正确，
所以.其中正确命题的个数为3，
故选：C.
【点睛】
本题考查求导函数求积分的定义和运算法则，属于基础题.
6．C
【分析】
先对函数求导，由题意可知，从而可求出的值
【详解】
由函数的解析式可得：，
函数在处的切线与直线平行，则
故选：C
【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，属于基础题
7．A
【分析】
求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间.
【详解】
∵，∴，
令，解得，
即函数的单调递减区间为，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的单调减区间，属于基础题.
8．B
【分析】
通过求导可知：，或，若,则单调，不符题意，显然，由恰有两个零点，所以必有一个极值点为零点，只能是处为零，代入即可得解.
【详解】
，或，
若，则单调，不符题意，故，
恰有两个零点，
必有一个极值点为零点，只能是处，
，解得，
在处取得极大值为．又，
在上的最大值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的零点问题，根据零点个数求参数范围，考查了分类讨论思想，整体计算量不大，属于基础题.
9．B
【分析】
根据导数与函数的单调性、极值之间的关系即可求解.
【详解】
由图可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
在上是减函数，故B正确；
因为在上单调递减，故在x=3处不能取得极值，故C错误；
在上单调递增，故在处不能取得极值，故D错误.
故选：B
【点睛】
本题考查了由函数得导函数图像研究函数得性质，考查了基本知识得掌握情况，属于基础题.
10．D
【分析】
根据曲线，求导得到，进而求得 ，写出切线方程.
【详解】
因为曲线，
所以，
所以 ，
又 ，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
故选：D
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.
11．D
【分析】
对求导，解，可得单调递减区间.
【详解】
，
由 得：
故选：
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数单调性，属于基础题.
12．B
【分析】
求导函数，根据切点的横坐标的取值范围，确定切线斜率的取值范围，从而可得切线的倾斜角的取值范围．
【详解】
解：求导函数可得，，
∵切点的横坐标的取值范围是，∴，
设切线的倾斜角为，则，
∵，∴．
故选：B．
【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，考查倾斜角与斜率的关系，属于基础题
13．
【分析】
利用函数的求导公式和法则计算即可求解.
【详解】
由，
得，
故答案为：.
14．
【分析】
先求得导函数，然后得到处的导数值，即为切线的斜率，根据已知求得的值.
【详解】
，
，
在处的切线方程为，
，
解得，
故答案为：3.
15．
【分析】
求得，由此可求得质子在时的瞬时速度.
【详解】
，，
因此，质子在时的瞬时速度为.
故答案为：.
16．
【分析】
先对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值.
【详解】
因为，所以，
由得；由得；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
【分析】
根据导数的运算法则和复合函数求导法则，结合初等函数的导数，即可求解.
【详解】
（1）；
（2）.
【点睛】
本题考查导数的运算，熟记求导法则和初等函数的导数即可，属于基础题.
18．（1）；（2）1；
【分析】
（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案；
（2）求导后可得，再将代入即可得答案；
【详解】
（1）；
（2）；
【点睛】
本题考查导数的四则运算，属于基础题.
19．（1）；（2）3.
【分析】
（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；
（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案
【详解】
（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.
20．（1）；（2）
【分析】
（1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值；
（2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为,
所以,
解得
所以.
（2）由（1）可知，则，
令，得,
和的变化情况如下表：




2


0



极小值

因为，
所以函数在上的最大值为,
所以，解得,
所以,
由上面可知在上单调递增，在上单调递减；
又因为，
所以函数在上的最小值为.
【点睛】
此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题.
21．（1）；（2）极大值为，无极小值.
【分析】
（1）求得函数额导数，根据题意列出方程组，即可求得的值；
（2）由（1）得，利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
因为函数在处与直线相切，
所以，即，解得.
（2）由（1）得，定义域为，且，
令，得，令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的极大值为，无极小值.
22．（1）；（2）单调增区间为，，单调减区间为.
【分析】
（1）求出函数的导数，利用即可求出；
（2）求出导数，令，得出导数正负即可得出单调区间.
【详解】
解：（1）∵，函数在处有极值，
∴，解得(经检验，符合题意).
（2）由（1）知，
则，
令，得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：



1

0
0

极大值
极小值
∴函数的单调增区间为，，单调减区间为.