启东市高中2020-2021学年第二学期第二次月考
高二数学试题
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知全集为R，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设为虚数单位），则复数的虚部为（
）
A．
B．4
C．
D．
3．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使H3获得10kJ的能量，则需H1提供的能量为（
）
A．
B．
C．
D．
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征．函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如右图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知定义在R上的函数，，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知集合P={1,2,3,4,5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（
）
A．49
B．48
C．47
D．46
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．甲?乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（
）
A．甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数
B．甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数
C．甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数
D．甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差
10．下列说法错误的是（
）
A．“，”的否定形式是“，”
B．若，则
C．若，则或
D．“是”的充分不必要条件
11．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（
）
A．
B．函数在上是减函数
C．若，则
D．函数，则的最大值
12．已知函数y＝f(x)是定义在[0,2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若f(0)＝M，f(2)＝N（M＞0，N＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（
）
A．必存在x∈[0,2]，使得f(x)
B．必存在x∈[0,2]，使得f(x)
C．必存在x∈[0,2]，使得f(x)
D．必存在x∈[0,2]，使得f(x)
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=10，S10≤40，则满足Sn>0的n的最大值为_________．
14．若(2＋x)17＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a17(1＋x)17，则a0＋a1＋a2＋a3…＋a16＝______.
15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为
．
16．已知二次函数(，，均为正数)过点，值域为，则ac的最
大值为______；实数满足，则取值范围为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在中，角的对边分别为，且,
=
.
在①，②，③的面积为．这三个条件中任选一个，补在上面条件中，若问题中三角形存在，求的周长；若问题中三角形不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，首项，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在正整数，使得?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分12分）
国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某市在实施垃圾分类之前，从该市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量X
[12.5，15.5）
[15.5，18.5）
[18.5，21.5）
[21.5，24.5）
[24.5，27.5）
[27.5，30.5）
[30.5，33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数．
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．
（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）
20．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝是偶函数，g(x)＝2x+1－f(x).
（1）若g(a)＝2，求a的值；
（2）设函数h(x)＝f(2x)＋2m?g(x)＋m2－m－4.
①若函数h(x)有两个零点x1，x2，且x1＜0，x2＞1，求m的取值范围；
②若函数h(x)在区间[1,2]上的最小值为，求m的值.
21．已知函数f(x)＝sinx
cosx＋sin2x－．
（1）求f(x)的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g(x)＝f(＋)，其中常数ω＞0，|φ|＜．
(ⅰ)当ω＝4，φ＝时，函数y＝g(x)－4λf(x)在[，]上的最大值为，求λ的值；
(ⅱ)若函数g(x)的一个单调减区间内有一个零点－，且其图象过点A(，1).记函数g(x)的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g(x)的解析式．
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=2cos2x＋ax2．
（1）当a=1时，求f(x)的导函数f′
(x)在[－,]上的零点个数；
（2）若关于x的不等式2cos(2sinx)＋a2x2≤af(x)在R上恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年第二学期第二次月考
高二数学试题答案
ABCB
AC,
AB
填空题
解答题
7.【解析】若选①
ΔABC中由余弦定理得:a
2bC
cos
a
2·(4cosA)·cosA,所
所以b=4cosA
所以三角形周长为
若选
2A得sinB=sin2A,即sinB=2
sin
a
cos
a,即b=2acos
余弦定理得
所以三角形周长为l
3
若选③
得sinB
COS
A
角形△ABC面积S
2
A)
2
以4
所
cos
A
9
是
所
所
角形周长为l
解
对任意n∈N,均有
}为等比数
3·2
成
边为偶数,右边=505为奇数矛盾,舍去
解析】(1)由频数分布表得:=14×5+17×6+20
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为
20×0.5865=50.768≈51,所以这320个社区中“超标”社区的个数为
3)由频数分布表
天的垃圾量至少为30.5吨的社区有
所以Y的可能取值为
P(Y=1)
所以Y的分布列
4
4
解析】(1)因为f(x)是偶函数,所以
化简后得(
所以fx)=2+2
,g(x)=2
)=2得
意到2>0,所以2=1
所
)得f(
所
所
(t+m)2
因为
递增
所以当
因为函数h(x)有两个零点
所以函数p(t
两个零
所以
(x)=p(t
递增
所以p(Ohm=p(3)
所以
或
(舍去
时
递减
所
所以p()
所
述
或
Lr
cosx
解得
所以fx)的最小正周期为π,其
)-4f(
sin(2x
所以sin
当sin(
取
知不符
仅当sin(2x-)=-,y有最大值为
所以
时,当且仅当
y有最大值为-4
解得,
相矛盾
(i)因为函数g(
个
零点
两式相减,化简得,3xo=2(
要使T取最大值,o应该取最小且o>0
取最小值
又<,所以无答案
k1∈Z
所以T的最大
所以T取最大值时函数g(x)的解析式为g(x)=sin(
所以x=0是fx)的一个零
令g
所以g(x)在
调递减
g0)0且9()=2>0,所以在(02)上存在唯一零点x
在(0-)上亦存在唯一零点
因为
奇函数,所以()在(
唯一零
不等
)+a2x2≤a/(x)恒成
不等式cos(2sinx)≤acos2x恒成立
则等价于不等式
寸,不等式(
)显然成立,此时a∈R
时,不等式(
)等
设h(t
0在(2(2,1)上单调递减,在(2)上单调递增
所以q(
(0,1)上恒成
所以h(t)在
递减,则h(t)≤h(0
然h(t为偶函数,故h(在
的最大值为1,因此
所述,满足题意得实数a的取值范围为
