18.1.2平行四边形的判定-2020-2021学年人教版八年级数学下册培优训练（Word版 含答案）

18.1.2平行四边形的判定
[必备]☆知识点
一平行四边的判定定理
判定定理
边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线：（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形
4274185220345例1：如图所示，在平行四边形ABCD中，AE,CF分别是∠DAB,∠BCD的平分线.求证：四边形AFCE是平行四边形.
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例2：如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.
①求证：四边形ABCD是平行四边形；②若去掉已知条件中的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.
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2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
例3：已知，如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.
3848100236220求证：DE∥BC，且DE=falseBC.
二、平行四边形的性质与判定的综合应用
3248025391160例1：如图，AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE=FE，试说明BF与AC相等.
例2：已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在AC上，且AF=CE，点G，H分别在AB,CD上，且AG=CH，AC与GH相交于点O。
求证：（1）EG∥FH；（2）GH，EF互相平分.
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例3：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P,Q分别从A,C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，多长时间后四边形ABQP是平行四边形？
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课后练习：
1.四边形的四条边长分别是a,b,c,d，其中a,b为一组对边长，c,d为另一组对边长且a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（ ）
A.任意四边形 B.平行四边形
C.对角线相等的四边形 D.对角线垂直的四边形
38747704114802.已知，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于O,E,F是对角线上的两点，给出下列四个条件；①OE=OF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.如图，点B、E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M,N,∠A=∠F，∠1=∠2.
3442335143510①求证：四边形BCED是平行四边形；
②已知DE=2，连接BB平分∠DBC，求CN的长.
4：如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=AC，CE⊥AD于点E，点F是AB的中点.
349059513970求证：BD=2EF.
5：如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EF，FG,GH,HE.求证：四边形EFGH是平行四边形.
359854570485
6.如图，E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，BF.
3359785175260求证：（1）AC=BE；（2）AB=2OF
35706053797307.如图，已知平行四边形ABCD，分别以BC，AD为边作等边三角形BCM和等边三角形AND，MN与AC交于点O.求证：OM=ON.
8.如图，△ACB，△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，点P，M,N分别为AE，AB，DE的中点.
（1）如图①所示，点D,E分别在AC,BC上时，PM,PN有何关系?
（2）如图②所示，将△CDE绕点C逆时针旋转一个锐角时，上述结论是否仍成立，并证明.
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答案:
一、平行四边形的判定
1.判定定理
例1：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE∥AF，∠DAB=∠DCB，
∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，
∴∠2=∠3，
又∠3=∠CFB，12363451628775
∴∠2=∠CFB，
∴AE∥CF，
又CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
例2:证明：∵AE=AD，CF=CB，
∴∠E=∠ADE，∠CBF=∠F．
在?ABCD中，∠ADC=∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF．
∴∠E=∠F．
在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠E+∠EAF=180°，
∴∠F+∠EAF=180°．
∴AE∥CF．
又∵CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形
2.三角形的中位线定理
例3：证明：
过C作CF//AB，交DE的延长线于F
∵CF//AB
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F
2550160114935∵点E为AC的中点
∴AE=CE
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF，DE=FE
∵点D为AB的中点
∴AD=DB
又CF//AB，即CF//DB
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF//BC，DF=BC
又DE=FE，DE+FE=DF
∴DE//BC，DE=falseBC
平行四边形的性质与判定的综合
例1：解：延长AD到点N，使DN=AD，连接BN、CN，
∵AD是中线，
∴BD=CD.
∴四边形ABNC为平行四边形.
∴BN=AC，BN∥AC.
∴∠1=∠4.
∵AE=FE，
∴∠1=∠2.
且∠2=∠3，
∴∠3=∠4.
∴BN=BF，
∴BF=AC.
例2：解（1）∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD∴∠GAE=∠HCF
∵AF=CE∴AE=AF-EF=CE-EF=CF
在△GAE和△HCF中
AG=CH，∠GAE=∠HCF，AE=CF
∴△GAE≌△HCF（SAS）
∴∠AEG=∠CFH
∴∠OEG=180°-∠AEG =180°-∠CFH=∠OFH
∴EG∥FH
例3：解：∵运动时间为x秒
∴AP=x，QC=2x
∵四边形ABQP是平行四边形
∴AP=BQ
∴x=6-2x
∴x=2
故答案为2．
课后练习：
1.解：∵a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，
∴a2-2ab+b2+c2-2cd+d2=0，
∴（a-b）2+（c-d）2=0，
∴a=b且c=d，
∵a，b为对边，
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴此四边形为平行四边形．
故选：D．
2.答案：B
3.解（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
4.证：∵DC=AC，CE⊥AD于点E
∴E为AD的中点
又∵F是AB的中点
∴EF为△ABD中位线
∴BD=2EF
5，证明：连接AC，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线，
∴EF∥AC，EF＝12AC；HG∥AC，HG＝12AC．
∴EF∥.GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，OA=OC．
∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF．
∵CE=DC，
在平行四边形ABCD中，CD=AB，
∴AB=CE．
∴在△ABF和△ECF中，
∠BAF＝∠CEF
AB＝CE
∠ABF＝∠ECF
，
∴△ABF≌△ECF（ASA），
∴BF=CF．
∵OA=OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB=2OF．
7.证：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，
又∵以BC，AD为边作等边三角形BCM和等边三角形AND
∴AN=CM
∵∠NA0=∠MCO;∠AON=∠MOC
∴△ANO≌△CMO（ASA）
∴OM=ON
8.解：（1）PM⊥PN，PM=PN
（2）成立