18.2.1矩形-2020-2021学年人教版八年级数学下册培优训练（Word版 含答案）

18.2.1矩形
[必备]☆知识点
一、矩形的性质与判定
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.
2.性质：
角：矩形的四个角都是直角
对角线：矩形的对角线相等
3.判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形
③对角线相等的平行四边形是矩形
例1：如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=6.
求：（1）对角线的长；（2）BC的长；（3）矩形ABCD的面积.
341757010795
例2:如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，∠DAE：∠BAE=3:1，求∠BAE,∠EAO的度数.
373570514605
例3：如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证：四边形BCED是矩形.
3639820128905
二、直角三角形斜边中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
381000063500例1：如图，BD,CE是△ABC的高，G,F分别是BC,DE的中点，试说明GF⊥DE.
例2：如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E是AB的中点，若CE=2，则CD=_____.
403225059055
课后练习：
35883851612901：如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M,若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A.5 B.4 C.false D.false
35623501130302：如图，在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点0，若AO=5cm，则AB的长为（ ）
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
38715951047753：如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
3763645596904：如图，矩形ABCD中，点E,F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE,BF的中点M,N，连接AM,CN,MN.若AB=false,BC=false，则图中阴影部分的面积为______.
39573202635255：如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点.若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（ ）
A.14 B.16 C.17 D.18
35134552273306：如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（ ）
A.4 B.8 C.false D.false
7：在Rt△ABC中，∠ACB=90°.斜边AB上的中线CD=1，△ABC的周长为false，求△ABC的面积.
8：在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点.
369189083820求证：（1）四边形AFCE是平行四边形
EG=FH.
9：如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD,EC.
求证：四边形BECD是平行四边形
若∠A=50°，则当∠BOD=_____°时，四边形BECD是矩形.
3305810133985
10：如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A→B→C→D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P,Q分别从A、C同时出发，当其中一点大大D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，当t为何值时，四边形QPBC为矩形？
31673801270
18.2.1矩形答案
一、矩形的性质与判定
例1：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB= 12 BD．
又∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=6，
∴对角线BD的长度是：BD=2OB=12；
（2）由（1）知，矩形ABCD的对角线长是12，则AC=12．
在直角△ABC中，AB=6，AC=12，则由勾股定理得到：BC=AC2+AB2=63；
（3）在矩形ABCD中，AB=6，BC=63，则该矩形的面积=AB?BC=6×63=363．
例2：证明：∵∠DAE:∠BAE=3：1
∠BAD=90°
∴∠BAE=22.5°
∠EAO=∠BAD-∠BAE=67.5°
∵AE⊥BD
即∠AED=90°
∴∠ADE=180-∠AED-∠EAO=22.5°
∵矩形的对角线互相平分
∴AO=DO
∴∠OAD=∠ODA=22.5°
∴∠EAO=∠BAD-∠BAE-∠OAD=45°
例3：证明：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE又DE=BC．
∴四边形BCED为平行四边形．在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAE=∠BAE，
∴△ADC≌△AEB（SAS），∴CD=BE．
∴四边形BCED为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
二、直角三角形斜边中线的性质
例1：证明：如图，连接EG、DG，
∵BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，点G是BC的中点，
∴DG=EG=12BC，
∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE．
例2：答案：4
课后练习：
1.答案：D
2.答案：C
3.答案：A
4.答案：26
5.答案：D
6.答案：D
7.解：∵CD是直角三角形斜边上的高
∴2CD=AB=2
∵AC+BC=2+√6-2=√6
且AC?+BC?=AB?=4
（AC+BC）?-（AC?+BC?）=2AC×BC=2
∴AC×BC=1
S△=1/2AC×BC=1/2
8.证：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=1212AD，CF=1212BC，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE∥AF，
∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，
∵AB∥CD，
∴∠EDG=∠FBH，
在△DEG和△BFH中，∠DGE=∠BHF，∠EDG=∠FBH，DE=BF，∴△DEG≌△BFH（AAS），
∴EG=FH．
9.解（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠OEB=∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO=CO，
在△BOE和△COD中，?????∠OEB=∠ODC∠BOE=∠CODBO=CO{∠OEB=∠ODC∠BOE=∠CODBO=CO，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE=OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=50°，
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD，
∴OC=OD，
∵BO=CO，OD=OE，
∴DE=BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案为：100．
10.解：根据题意得：CQ=2t，AP=4t，
则BP=24-4t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，
∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，
即2t=24-4t，
解得：t=4，
答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形．