2020——2021苏科版七年级数学下册培优训练第7章平面图形的认识(二) 章末复习(2)（机构）（word版含解析）

7章：平面图形的认识(二) 章末复习(2)-苏科版七年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B． C． D．
2、如图，将△ABC向右平移8个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝4，则BC的长度是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
3、如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．70°
4、如图，在△ABC 中，CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F，AC∥ED，CE 是∠ACB 的平分线， 则图中与∠FDB 相等的角（不包含∠FDB）的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5、如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）

A. 75° B. 72° C. 78° D. 82°
6、如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）
A．32° B．45° C．60° D．64°
7、如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A. BF＝CF B. ∠C＋∠CAD＝90° C. ∠BAF＝∠CAF D.
8、一副直角三角板叠放在一起可以拼出多种图形，如图①—④，每幅图中所求角度正确的个数有（ ）

①∠BFD=15°； ②∠ACD+∠ECB=150°； ③∠BGE=45° ； ④∠ACE=30°
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9、如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1＝20°，∠2＝116°，则∠3的大小为（　　）
A．136° B．138° C．146° D．148°
10、如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分ADB；
③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11、如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（　　）
A．α，β的角度数之和为定值 B．α，β的角度数之积为定值
C．β随α增大而增大 D．β随α增大而减小
12、如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；
④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC． 其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13、从n边形的一个顶点可以引出2020条对角线，则n的值为　 　．
14、若一个多边形的内角和是其外角和的1.5倍，则这个多边形的边数是　 　．
15、如图，AB∥CD∥EF，且CF平分∠AFE，若∠C＝20°，则∠A的度数是　 　．
16、如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝　 　．
17、如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝　 　度．
18、如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，（1）左转了　 　次；（2）一共走了　 　米．
19、如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，连接DE，
则∠BDE=_____________°．

20、一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，
则∠1+∠2＝　 　°．
21、如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．
22、如图：AB∥CD，AE⊥CE，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，则∠AFC＝　 　．
三、解答题
23、已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H；GM平分∠FGB，∠3＝60°．
求∠1的度数．
24、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，若∠BAD＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．
25、按要求完成下列证明
已知：如图，若∠ADE＝∠ABC，BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠ADE＝∠ABC（　 　），
∴DE∥BC（　 　），
∴∠1＝∠EBC（　 　）．
∵BE⊥AC，MN⊥AC（已知），
∴BE∥MN（　 　），
∴∠2＝（　 　），
∴∠1＝∠2（　 　）．
26、如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1．
（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角．
（2）求证：DF∥AC．
（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值．
27、如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．
（1）请你判断∠1与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．
28、（1）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC；
（2）（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE＝360°
（3）（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，
若∠EFG＝36°，求∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的度数．
29、直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
30、如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
7章：平面图形的认识(二) 章末复习(2)-苏科版七年级数学下册 培优训练（解析）
一、选择题
1、下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B． C． D．
解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
2、如图，将△ABC向右平移8个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝4，则BC的长度是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
解：由题意，BE＝CF＝8，
∵EC＝4，
∴BC＝BE+EC＝8+4＝12，
故选：B．
3、如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．70°
解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
4、如图，在△ABC 中，CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F，AC∥ED，CE 是∠ACB 的平分线， 则图中与∠FDB 相等的角（不包含∠FDB）的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B
【解析】∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴DF∥CE，∴∠ECB=∠FDB，
∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ECB，∴∠ACE=∠FDB，
∵AC∥DE，∴∠ACE=∠DEC=∠FDB，
∵DF∥CE，∴∠DEC=∠EDF=∠FDB，
即与∠FDB相等的角有∠ECB、∠ACE、∠CED、∠EDF，共4个，故选B.
5、如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B的度数为（ ）

A. 75° B. 72° C. 78° D. 82°
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠A=30°，则∠B+∠C=150°…①；
根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD，∠BCD=∠C；
在△CBD中，则有：∠CBD+∠BCD=180°-82°，即：∠B+∠C=98°…②；
①-②，得：∠B=52°，解得∠B=78°．故选：C．
6、如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）
A．32° B．45° C．60° D．64°
解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，
∴∠1﹣∠2＝64°．
故选：D．
7、如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A. BF＝CF B. ∠C＋∠CAD＝90° C. ∠BAF＝∠CAF D.
【答案】C
【解析】解：∵AF是△ABC的中线，∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，∴∠BAE=∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF，∴S△ABC=2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
8、一副直角三角板叠放在一起可以拼出多种图形，如图①—④，每幅图中所求角度正确的个数有（ ）

①∠BFD=15°； ②∠ACD+∠ECB=150°； ③∠BGE=45° ； ④∠ACE=30°
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】如图①，根据三角板的特点可知∠EDC=45°, ∠B=30°，∴∠BFD=∠EDC-∠B =15°，正确；
如图② ，根据三角板的特点可知∠DCE=∠BCA=90°,
∴∠DCB+∠BCE=∠BCE+∠ECA=90°,
∴∠ACD+∠ECB=∠BCA+∠DCB+∠ECB=∠BCA+∠DCE=180°，故错误；
如图③，根据三角板的特点可知∠B=30°, ∠E=45°, ∠BCD=∠CDE =90°
∴BC∥DE, ∴∠BHG=∠E=45°∴∠BGE=∠B+∠BHG=75°，故错误；
如图④根据三角板的特点可知∠ACB=90°, ∠DCE=45°
∴∠ACE=∠ACB-∠DCE=45°，故错误；
故选A．
9、如图，直线MN∥PQ，点A是MN上一点，∠MAC的角平分线交PQ于点B，若∠1＝20°，∠2＝116°，则∠3的大小为（　　）
A．136° B．138° C．146° D．148°
解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，∴∠2+∠MAB＝180°，
∵∠2＝116°，∴∠MAB＝180°﹣116°＝64°，
∵AB平分∠MAC，∴∠MAB＝∠BAC＝64°，
△BDQ中，∠BDQ＝∠2﹣∠1＝116°﹣20°＝96°，
∴∠ADC＝180°﹣96°＝84°，
△ADC中，∠3＝∠BAC+∠ADC＝64°+84°＝148°．
故选：D．
10、如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分ADB；
③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴∠FGD＝∠ADB＝90°，∴FG∥AD，故①正确；
∵DE∥AC，∠BAC＝90°，∴DE⊥AB，不能证明DE为∠ADB的平分线，故②错误；
∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，
∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠B＝∠ADE，故③正确；
∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠CFG+∠BDE＝90°，故④正确，
综上所述，正确的选项①③④，
故选：C．
11、如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（　　）
A．α，β的角度数之和为定值 B．α，β的角度数之积为定值
C．β随α增大而增大 D．β随α增大而减小
解：过C点作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，
∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF＝90°，∴∠α+180°﹣∠β＝90°，
∴∠β﹣∠α＝90°，∴β随α增大而增大，
故选：C．

12、如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；
④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC． 其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，
∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD，
∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；
∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ADC=∠ACF=（∠ABC+∠BAC）=（180°﹣∠ACB）
=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABD，故③正确；
由三角形的外角性质得，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠DCF=∠BDC+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴∠DBC=∠ABC，∠DCF=∠ACF，
∴∠BDC+∠DBC=（∠ABC+∠BAC）=∠ABC+∠BAC=∠DBC+∠BAC，
∴∠BDC=∠BAC，故⑤正确；
∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，
∵∠ABC与∠BAC不一定相等，∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
∴BD平分∠ADC不一定成立，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．故选：C．
二、填空题
13、从n边形的一个顶点可以引出2020条对角线，则n的值为　 　．
解：根据题意得n﹣3＝2020，
所以n＝2023．
故答案为2023．
14、若一个多边形的内角和是其外角和的1.5倍，则这个多边形的边数是　 　．
解：设该多边形的边数为n，
由题意可知：（n﹣2）?180°＝1.5×360°
解得：n＝5
故答案为：5．
15、如图，AB∥CD∥EF，且CF平分∠AFE，若∠C＝20°，则∠A的度数是　 　．
解：∵CD∥EF，∠C＝20°，∴∠CFE＝∠C＝20°．
又∵CF平分∠AFE，∴∠AFE＝2∠CFE＝40°．
∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE＝40°．故答案为：40°．
16、如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝　 　．
解：∵OP∥QR∥ST，∠2＝100°，∠3＝120°，
∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠SRQ＝120°，
∴∠PRQ＝180°﹣100°＝80°，
∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝40°，
故答案是40°．
17、如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝　 　度．
解：如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．
在△ABC′中，∠AC′B＝180°﹣72°﹣75°＝33°，
∵∠ECF＝∠AC′B＝40°，∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠FCC′+∠FC′C，
∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝2∠AC′B＝66°，
∵∠1＝32°，∴∠2＝34°，故答案为：34．
18、如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，（1）左转了　 　次；（2）一共走了　 　米．
解：∵360÷30＝12，
∴他需要走12﹣1＝11次才会回到原来的起点，即一共走了12×10＝120米．
故答案为11，120．
19、如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，连接DE，
则∠BDE=_____________°．

【答案】50°
【解析】∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°
设∠EBC=x，∠ECB=y，根据BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，
∴3x+3y=120°， 故x+y=40°，
∴∠DBC+∠DCB= 2x+2y=80°
∴在△DBC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=100°
∵BE、CE是∠DBC、∠DCB的角平分线
∴DE是∠BDC的角平分线，
∴∠BDE=∠BDC=50°
故答案为：50．
20、一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，
则∠1+∠2＝　 　°．
解：如图：
由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，故答案为：132．
21、如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．
【答案】66
【解析】解：∵五边形为正五边形，
∴度，
∵是的角平分线，
∴度，
∵，
∴．故答案为66．
22、如图：AB∥CD，AE⊥CE，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，则∠AFC＝　 　．
解：连接AC，设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝3x，∠ECD＝3y，
∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+3x+∠ACE+3y＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x+3y），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x+2y）
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣[180°﹣（3x+3y）]＝3x+3y＝3（x+y），
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（2x+2y）]＝2x+2y＝2（x+y），
∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠AFC＝∠AEC＝×90°＝60°．
故答案为：60°．

三、解答题
23、已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H；GM平分∠FGB，∠3＝60°．
求∠1的度数．
解：∵EF与CD交于点H，（已知），∴∠3＝∠4．（对顶角相等），
∵∠3＝60°，（已知），∴∠4＝60°．（等量代换），
∵AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，（已知），
∴∠4+∠FGB＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠FGB＝120°．
∵GM平分∠FGB，（已知），∴∠1＝60°．（角平分线的定义）．
24、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，若∠BAD＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．
解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝80°，
∵∠C＝70°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣80°＝30°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°，
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．
25、按要求完成下列证明
已知：如图，若∠ADE＝∠ABC，BE⊥AC于E，MN⊥AC于N，
求证：∠1＝∠2．
证明：∵∠ADE＝∠ABC（　 　），
∴DE∥BC（　 　），
∴∠1＝∠EBC（　 　）．
∵BE⊥AC，MN⊥AC（已知），
∴BE∥MN（　 　），
∴∠2＝（　 　），
∴∠1＝∠2（　 　）．
证明：∵∠ADE＝∠ABC（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠EBC（两直线平行，内错角相等）．
∵BE⊥AC，MN⊥AC（已知），
∴BE∥MN（垂直于同一直线的两条直线互相垂直），
∴∠2＝（∠EBC），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：已知，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，
垂直于同一直线的两条直线互相垂直，∠EBC，等量代换．
26、如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1．
（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角．
（2）求证：DF∥AC．
（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值．
解：（1）与∠A构成的同旁内角：∠AFD，∠AED，∠B，∠C；
（2）证明：∵DE∥AB，∴∠BFD＝∠1，
∵∠A＝∠1，∴∠BFD＝∠A，∴DF∥AC；
（3）∵DE∥AB，∴∠B+∠BDE＝180°，
∵DF∥AC，∴∠CDF+∠C＝180°，∴∠B+∠BDE+∠CDF+∠C＝180°+180°，
∵∠BDE+∠CDF＝215°，∴∠B+∠C＝145°．
27、如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．
（1）请你判断∠1与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．
【解答】解：（1）∠1＝∠ABD，理由：
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，∴∠3+∠CBD＝180°，
又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝∠CBD，∴CF∥DB，∴∠1＝∠ABD．
（2）∵∠1＝70°，CF∥DB，∴∠ABD＝70°，
又∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝35°，∴∠2＝∠DBC＝35°，
又∵BC⊥AG，∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．
28、（1）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC；
（2）（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE＝360°
（3）（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，
若∠EFG＝36°，求∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的度数．
解：（1）过E点作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠1，
∵EF∥CD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
（2）过E点作AB∥EG．
∵AB∥CD，∴EG∥CD，
∵AB∥CD，∴∠BAE+∠AEG＝180°，
∵EG∥CD，∴∠CEG+∠DCE＝180°，∴∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°．
（3）过点F作FH∥AB．
∵AB∥CD，∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD＝720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG＝720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG＝720°﹣360°+36°＝396°．
29、直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠E=67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°．
∴∠ABO为60°或45°．

30、如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝BAC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，
由（1）知：AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，∴90﹣x+x﹣35+2x＝180，解得：x＝50，即∠C＝50°．