2020-2021学年苏科版七年级数学下册 12.3互逆命题（2）培优训练（机构）（word版含解析）

12.3互逆命题（2）-苏科版七年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2、如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
3、如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　）
A．∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠2
4、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
5、如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．70°
6、如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
7、如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC的度数为（　　）
A．115° B．120° C．125° D．130°
8、将一个正五边形按如图方式放置．若直线m∥n，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝180°
C．∠1﹣∠2＝36° D．2∠1﹣∠2＝108°
9、如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
10、如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3＝90° B．∠1﹣∠2+∠3＝90°
C．∠1+∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
二、填空题
11、如图，请填写一个条件，使结论成立：∵　 　，∴a∥b．
12、已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝　 　．
13、如图，若∠1+∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝　 　．
14、AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数为　 　．
15、如图，∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝76°，则∠4的度数为　 　度．
16、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，
∠1＝57°，则∠2＝　 　．

17、如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于点G，若∠1＝130°，则∠2的度数为　 　．
18、如图，BD平分∠ABC，EF∥BC，AE与BD交于点G，连接ED．若∠A＝22°，∠D＝20°，∠DEF＝2∠AED，则∠AGB的大小＝　 　（度）．
三、解答题
19、如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN　 　，
∴∠GMN＝∠BMN　 　，
同理∠GNM＝∠DNM．
∵AB∥CD　 　，
∴∠BMN+∠DNM＝　 　，
∴∠GMN+∠GNM＝　 　，
∵∠GMN+∠GNM+∠G＝　 　，
∴∠G＝　 　，
∴MG与NG的位置关系是　 　．
20、完成以下证明，并在括号内填写理由．
已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．
求证：∠ABC+∠4+∠D＝180°．
证明：∵∠1＝∠2
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠A＝∠4（　 　）
∠ABC+∠BCE＝180°（　 　）
即∠ABC+∠ACB+∠4＝180°
∵∠A＝∠3
∴∠3＝　 　
∴　 　∥　 　
∴∠ACB＝∠D（　 　）
∴∠ABC+∠4+∠D＝180°．
21、（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．
求证：∠B+∠F＝180°．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．

22、如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
23、如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．
24、如图，直线，被所截，，，分别平分和．
（1）判定与之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：
如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相　 　．
（3）由此可以探究并得到：
如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相　 　 ．

25、(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠2，请说明：FG∥DC；
(2)若把条件中的DE∥BC与结论中的FG∥DC对调，命题还成立吗？试证明；
(3)若把条件中的∠1＝∠2与结论中的FG∥DC对调,命题还成立吗？试证明．
26、（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，，则　　（用“”、“ ”或“”填空）；
（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用:如图②，已知，在的平分线上取两个点、，使得，求证：．

27、问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝　 　°；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由．
12.3互逆命题（2）-苏科版七年级数学下册 培优训练（解析）
一、选择题
1、下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题；
②若，则的逆命题是若，则是真命题；
③锐角与钝角互为补角的逆命题是互补的角是锐角与钝角，是假命题；
④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；
故选：．
2、如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；
C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；
D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
3、如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　）
A．∠EDC＝∠EFC B．∠AFE＝∠ACD C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠2
解：∠EDC＝∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行；
∠AFE＝∠ACD，∠1＝∠2是EF和BC被AC和EC所截得到的同位角和内错角，因而可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC；
∠3＝∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC．
故选：C．
4、如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（　　）
A．110° B．115° C．120° D．130°
解：∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，
∴∠3＝∠2＝＝65°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
5、如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．70°
解：∵AB∥CD，∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．

6、如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，则∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
7、如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC的度数为（　　）
A．115° B．120° C．125° D．130°
解：Rt△ABE中，∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°，
由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF，
而∠BED＝180°﹣∠AEB＝110°，∴∠DEF＝55°，
∵AD∥BC，∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝125°．
故选：C．
8、将一个正五边形按如图方式放置．若直线m∥n，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝180°
C．∠1﹣∠2＝36° D．2∠1﹣∠2＝108°
解：（5﹣2）×180°÷5＝108°，
180°﹣108°＝72°，
则∠3＝360°﹣72°×2﹣（180°﹣∠1）＝36°+∠1，
过A点作AB∥n，
∵m∥n，∴m∥AB∥n，
∴∠4＝180°﹣∠3，∠2＝∠5，
∵∠5＝108°﹣∠4，∴∠1﹣∠2＝36°．
故选：C．
9、如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
解：∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∵直线AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝55°，
故选：B．
10、如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3＝90° B．∠1﹣∠2+∠3＝90°
C．∠1+∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，
∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，
∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，
即∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：D．
二、填空题
11、如图，请填写一个条件，使结论成立：∵　 　，∴a∥b．
解：∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°，
∴a∥b．
故答案为：∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°．
12、已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝　 　．
解：过点B作EF∥a．
∵a∥b，∴EF∥a∥b．
∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．
∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．
∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．
故答案为：35°．
13、如图，若∠1+∠2＝180°，∠3＝110°，则∠4＝　 　．
解：如图，∵∠1+∠2＝180°，∴a∥b，∴∠3＝∠4，
又∵∠3＝110°，∴∠4＝110°．
故答案为：110°．
14、AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数为　 　．
解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠EFD＝∠1＝58°，
∵FG平分∠EFD，∴∠GFD＝∠EFD＝×58°＝29°，
∵AB∥CD，∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°．
故答案为151°．
15、如图，∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝76°，则∠4的度数为　 　度．
解：∵∠1＝80°，∴∠5＝100°．
∵∠2＝100°，∠3＝76°，∴∠2＝∠5，∴a∥b．
∴∠4＝∠3＝76°．
故答案为：76．
16、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，
∠1＝57°，则∠2＝　 　．

解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠1＝57°，
由三角形的外角性质得，∠2＝∠A+∠B＝44°+57°＝101°．
故答案为：101°．
17、如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，DG⊥BF于点G，若∠1＝130°，则∠2的度数为　 　．
解：∵AB∥CD，∠1＝130°，∴∠CFB＝∠1＝130°，
∴∠BFD＝180°﹣∠CFB＝180°﹣130°＝50°，
∵DG⊥BF，∴∠DGF＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BFD＝90°﹣50°＝40°，
故答案为40°．
18、如图，BD平分∠ABC，EF∥BC，AE与BD交于点G，连接ED．若∠A＝22°，∠D＝20°，∠DEF＝2∠AED，则∠AGB的大小＝　 　（度）．
解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
设∠ABD＝x°，DE与BC交于点M，
∵∠AGB＝∠DGE，
∵∠AGB＝180°﹣∠A﹣∠ABD，∠DGE＝180°﹣∠D﹣∠AED，∴∠AED＝x+2°，
∵∠DGE＝2∠AED，∴∠DEF＝2x+4°，
∵BC∥EF，∴∠DMC＝∠DEF＝2x+4°，
∵∠DMC＝∠D+∠DBC，∴2x+4°＝20°+x，解得：x＝16°，
∴∠AGB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣22°﹣16°＝142°，
故答案为：142．
三、解答题
19、如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN　 　，
∴∠GMN＝∠BMN　 　，
同理∠GNM＝∠DNM．
∵AB∥CD　 　，
∴∠BMN+∠DNM＝　 　，
∴∠GMN+∠GNM＝　 　，
∵∠GMN+∠GNM+∠G＝　 　，
∴∠G＝　 　，
∴MG与NG的位置关系是　 　．
解：∵MG平分∠BMN 已知，
∴∠GMN＝∠BMN 角平分线的定义，
同理∠GNM＝∠DNM．
∵AB∥CD 已知，
∴∠BMN+∠DNM＝180°，
∴∠GMN+∠GNM＝90°，
∵∠GMN+∠GNM+∠G＝180°，
∴∠G＝90°，
∴MG与NG的位置关系是 垂直．
故答案为：已知；角平分线的定义；已知；180°；90°；180°；90°；垂直．
20、完成以下证明，并在括号内填写理由．
已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．
求证：∠ABC+∠4+∠D＝180°．
证明：∵∠1＝∠2
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠A＝∠4（　 　）
∠ABC+∠BCE＝180°（　 　）
即∠ABC+∠ACB+∠4＝180°
∵∠A＝∠3
∴∠3＝　 　
∴　 　∥　 　
∴∠ACB＝∠D（　 　）
∴∠ABC+∠4+∠D＝180°．
证明：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∠ABC+∠BCE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠ABC+∠ACB+∠4＝180°，
∵∠A＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴AC∥DE
∴∠ACB＝∠D（两直线平行，同位角相等），
∴∠ABC+∠4+∠D＝180°，
故答案为：AB，CE，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，
两直线平行，同旁内角互补， ∠4， AC， DE， 两直线平行，同位角相等，
21、（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．
求证：∠B+∠F＝180°．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．

【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠1＝180°，∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，
∴∠B+∠F＝180°；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：
同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
22、如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【解析】已知：，, 求证：
证明：,又,, ,
又,
,

23、如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACD，根据平行线的性质定理证明结论；
（2）根据题意写出一个真命题，仿照（1）的证明过程证明结论．
【解析】（1）证明：∵CD平分∠BCA，∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．
（2）解：如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．
证明：∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠DEF，
∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BCD＝∠ACD，即CD平分∠BCA．
24、如图，直线，被所截，，，分别平分和．
（1）判定与之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：
如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相　 　．
（3）由此可以探究并得到：
如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相　 　 ．

【解析】（1）．
证明：，，，，
．
，分别平分和，
，．
（2）由（1）可知，
可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行．
故答案为：平行．
（3）由“两直线平行，同旁内角互补”可得出：
如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直．
故答案为：垂直

25、(1)如图，DE∥BC，∠1＝∠2，请说明：FG∥DC；
(2)若把条件中的DE∥BC与结论中的FG∥DC对调，命题还成立吗？试证明；
(3)若把条件中的∠1＝∠2与结论中的FG∥DC对调,命题还成立吗？试证明．
解：(1)∵DE∥BC(已知)，
∴∠1＝∠DCB(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠DCB＝∠2(等量代换)，
∴FG∥DC(同位角相等，两直线平行)．
(2)命题还成立．证明如下：
∵FG∥DC(已知)，
∴∠2＝∠DCB(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠1＝∠DCB(等量代换)，
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)．
(3)命题还成立．证明如下：
∵DE∥BC(已知)，
∴∠1＝∠DCB(两直线平行，内错角相等)．
又∵FG∥DC(已知)，
∴∠2＝∠DCB(两直线平行，同位角相等)，
∴∠1＝∠2(等量代换)．
26、（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，，则　　（用“”、“ ”或“”填空）；
（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用:如图②，已知，在的平分线上取两个点、，使得，求证：．

【解析】（1）解：过作，如图①所示：则，，，
，即；
故答案为：；
（2）解：逆命题为：若，则；
该逆命题为真命题；理由如下：
过作，如图①所示：则，
，，
，，
，，
，；
（3）证明：过点作，交于点，如图②所示：则，
，，
是的一个外角，
，
又，，
，
，
平分，，．

27、问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝　 　°；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由．
解：（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，
又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，
∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；
理由：过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α．