【单元测评培优卷】第5章 生活中的轴对称（原版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年北师大版七年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第5章
生活中的轴对称
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·重庆南开中学九年级月考）下列垃圾分类图标中，是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?青田县期末）如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2020?绵阳期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．70°
4．（2020·江苏苏州中学初二期中）一个三角形分别符合下列条件：①有一个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中能判定是等边三角形的序号有（
）
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③④
5．（2020秋?天津期末）如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）
A．9cm
B．13cm
C．16cm
D．10cm
6．（2020·宁波市海曙区储能学校初二期末）若中刚好有
，则称此三角形为“可爱三角形”，并且
称作“可爱角”．现有
一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（
）．
A．或
B．或
C．或
D．或或
7．（2020秋?甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（　　）
A．A处
B．B处
C．C处
D．D处
8．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则的度数是（
）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
9．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（
）
A．有最小限制，无限制
B．的长
C．的长
D．连接，则垂直平分
10．（2020秋?中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4
B．6
C．3
D．12
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?济南期末）如图所示正五角星是轴对称图形，它有　
　条对称轴．
12．（2021·河南驻马店市·八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．
13．（2020春?章丘区期末）如图，在4×4的正方形网格中，已有4个小方格涂成了灰色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成灰色，使整个灰色部分的图形构成轴对称图形，这样的白色小方格　
　个．
14．（2020秋?福州期末）若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是　
　．
15．（2020秋?仓山区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AB边于点D，AC的垂直平分线交BC边于点N，AC边于点M，则∠NAE＝　
　．
16．（2020秋?历城区期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠CBD＝34°，则∠ABC＝　
　．
17．（2020秋?江汉区期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为　
　．
18．（2021·河北石家庄市·九年级一模）如图，已知，，点为的外心，若，则____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春?南海区校级月考）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
如图所示在角的内部找一点P，使它到角的两边的距离相等，且到A，B两点的距离也相等．
20．（2020秋?南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数．
21．（2020春?商水县期末）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．
（1）请在下面每一个备选图中作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（不能重复）
（2）在这个3×3的正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有　
　个．
22．（2020秋?丹徒区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．
（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．
23．（2020秋?长春期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：如图②，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为　　．
24．（2020秋?朝阳区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，点A关于直线BC的对称点为P，连接PB并延长．过点C作CD⊥AC，交射线PB于点D．
（1）如图①，∠ACB为钝角时，补全图形，判断AC与CD的数量关系：　
　；
（2）如图②，∠ACB为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由．
25．（2020·广西南宁市·八年级期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
2020-2021学年北师大版七年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第5章
生活中的轴对称
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·重庆南开中学九年级月考）下列垃圾分类图标中，是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2020秋?青田县期末）如图，点A、B、C都在方格纸的“格点”上，请找出“格点”D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的点D共有4个．故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
3．（2020?绵阳期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．70°
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
4．（2020·江苏苏州中学初二期中）一个三角形分别符合下列条件：①有一个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中能判定是等边三角形的序号有（
）
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③④
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定选出正确选项．
【解析】解：①不可以，只有一个角是，条件不足；
②可以，一个角是的等腰三角形，即三个角都是，是等边三角形；
③可以，三个外角相等，即外角都是，则每个内角都是，是等边三角形；
④可以，腰上的中线也是腰上的高，说明另一个腰和底边相等，三个边都相等是等边三角形；选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法．
5．（2020秋?天津期末）如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）
A．9cm
B．13cm
C．16cm
D．10cm
【分析】根据图形翻折变换的性质得出BE＝BC＝7，DE＝CD，故可得出AE的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵△BDE由△BDC翻折而成，∴BE＝BC＝7cm，DE＝CD，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣7＝3cm，∴△AED的周长＝AE+（AD+DE）＝AE+AC＝3+6＝9cm．故选：A．
【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
6．（2020·宁波市海曙区储能学校初二期末）若中刚好有
，则称此三角形为“可爱三角形”，并且
称作“可爱角”．现有
一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（
）．
A．或
B．或
C．或
D．或或
【答案】C
【分析】根据三角形内角和为180°且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即可求解．
【解析】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且，
情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°，此时可爱角为∠A=72°，
情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C，
由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°，∴4∠C=180°，即∠C=45°，
此时可爱角为∠A=45°，故选：C．
【点睛】本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角相等及三角形内角和为180°．
7．（2020秋?甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（　　）
A．A处
B．B处
C．C处
D．D处
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．
【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
8．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则的度数是（
）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．
【详解】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180°?100°＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠GAC＝∠C，
∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，∴∠EAG＝100°?80°＝20°，故选B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（2021·江苏南通市·八年级期末）如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（
）
A．有最小限制，无限制
B．的长
C．的长
D．连接，则垂直平分
【答案】B
【分析】直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论的长．
【详解】解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键．
10．（2020秋?中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4
B．6
C．3
D．12
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝6，即可得出选项．
【解答】解：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，∵AD⊥AB，∴DP＝AD，∵AD＝6，∴DP的最小值是6，故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小是解此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?济南期末）如图所示正五角星是轴对称图形，它有　
　条对称轴．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：正五角星的对称轴是过中心和每个顶角的直线，共5条．故答案为：5．
【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握好轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
12．（2021·河南驻马店市·八年级期末）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．
【答案】对应点到对称轴的距离相等
【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．
【详解】解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等．
故答案为：对应点到对称轴的距离相等．
【点睛】本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键．
13．（2020春?章丘区期末）如图，在4×4的正方形网格中，已有4个小方格涂成了灰色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成灰色，使整个灰色部分的图形构成轴对称图形，这样的白色小方格　
　个．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：当将1，2，3处涂灰色可以使整个灰色部分的图形构成轴对称图形，故共3个．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
14．（2020秋?福州期末）若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是　
　．
【分析】先根据角平分线的性质、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和．再根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角的度数．
【解答】解：
∵∠BOC＝128°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝104°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣104°＝76°．.故答案为：76°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．首先画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理去求顶角的度数．
15．（2020秋?仓山区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AB边于点D，AC的垂直平分线交BC边于点N，AC边于点M，则∠NAE＝　
　．
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质得到EA＝EB，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，通过计算得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，＝100°﹣80°＝20°，故答案为：20°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（2020秋?历城区期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠CBD＝34°，则∠ABC＝　
　．
【分析】根据折叠的性质得出∠ABC即可．
【解答】解：如图，由折叠的性质可得：∠ABC'＝∠ABC，
∵∠ABC'+∠ABC+∠CBD＝180°，∴∠ABC＝73°，故答案为：73°．
【点睛】此题考查折叠的性质，关键是根据折叠的性质得出∠ABC解答．
17．（2020秋?江汉区期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为　
　．
【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠B（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠BDE＝15°，∴∠AED＝55°，∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，∵DE＝DP1，∴∠DP1E＝∠AED＝55°，∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
②当点P在AC上，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，，∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），∴∠AP2D＝∠AED＝55°，
∵∠BAC＝100°，∴∠EDP2＝150°，
③当点P在AC上，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP（180°﹣55°）＝62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（2021·河北石家庄市·九年级一模）如图，已知，，点为的外心，若，则____．
【答案】140
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠AED，根据点为的外心得到F点在AE的垂直平分线上，再由AB=EB得到BH是AE的垂直平分线，得到BH⊥AE，求出∠FBE，同理求出∠FCD，故可求出．
【详解】∵，∴∠AED==70°
如图，延长BF，交AE于H点
∵点为的外心∴F点在AE的垂直平分线上
又∴BH是AE的垂直平分线，∴BH⊥AE，∴∠FBE=90°-∠AED=20°，
同理可得∠FCD=90°-70=20°∴180°-∠FBE-∠FCD=140°故答案为：140．
【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及外心的定义．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春?南海区校级月考）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
如图所示在角的内部找一点P，使它到角的两边的距离相等，且到A，B两点的距离也相等．
【分析】作∠MON的角平分线OT，作线段AB的垂直平分线GH，GH交OT于点P，点P即为所求作．
【解答】解：如图，点P即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（2020秋?南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图．
【解答】解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及作图，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键．
21．（2020春?商水县期末）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．
（1）请在下面每一个备选图中作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（不能重复）
（2）在这个3×3的正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有　
　个．
【分析】（1）根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解；
（2）依据（1）中的作图结果进行判断即可．
【解答】解：（1）与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示：（答案不唯一）
（2）最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
22．（2020秋?丹徒区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．
（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，由直角三角形的性质可证CF＝EF；
（2）由垂直平分线的性质可证AE＝EC，由等腰三角形的性质可求∠B＝∠ACB＝67.5°，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，
又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；
（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，
又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质是本题的关键．
23．（2020秋?长春期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：如图②，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积为　　．
【分析】定理证明：利用AAS判定△OEP≌△ODP可得PE＝PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得EO＝DO，OF＝DO，然后再利用面积的计算方法可得答案．
【解答】定理证明：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，
在△OEP和△ODP中，∵，∴△OEP≌△ODP（AAS），∴PE＝PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴EO＝DO，OF＝DO，
∵OD＝3，∴EO＝FO＝3，∵△ABC的周长是12，∴AB+BC+AC＝12，
∴△ABC的面积：AB?EOAC?FOCB?DO（AB+AC+BC）12＝18，故答案为：18．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
24．（2020秋?朝阳区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，点A关于直线BC的对称点为P，连接PB并延长．过点C作CD⊥AC，交射线PB于点D．
（1）如图①，∠ACB为钝角时，补全图形，判断AC与CD的数量关系：　
　；
（2）如图②，∠ACB为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由．
【分析】（1）结论：AC＝CD．想办法证明，AC＝CP，CD＝CP即可．（2）结论不变，证明方法类似（1）．
【解答】解：（1）结论：AC＝CD．
理由：如图①中，设AB交CD于O，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，
∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，
∵AC⊥CD，∴∠ACO＝∠DBO＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠A，
∴∠D＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．故答案为：AC＝CD．
（2）结论不变．理由：如图②中，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，
∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，
∵AC⊥CD，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠A+∠BDC＝180°，
∵∠CDP+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠CDP∴∠CDP＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．
【点睛】本题考查轴对称变换．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（2020·广西南宁市·八年级期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；（3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)