【单元测评培优卷】第4章 因式分解（原版+解析版）

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2020-2021学年北师大版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第4章
因式分解
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·广东韶关市·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020春?来宾期末）8xmyn﹣1与﹣12x5myn的公因式是（　　）
A．xmyn
B．xmyn﹣1
C．4xmyn
D．4xmyn﹣1
3．（2020·湖南益阳·期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020春?宁远县期中）若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（　　）
A．14
B．16
C．20
D．40
5．（2019秋?奉贤区期末）如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是（　　）
A．x
B．
C．4x
D．
6．（2020·上海浦东新区·七年级期末）如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
7．（2020秋?江夏区期末）若多项式5x2+17x﹣12可因式分解为（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a﹣c的值是（　　）
A．1
B．7
C．11
D．13
8．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）对于任何整数m，多项式都能被（
）整除．
A．8
B．m
C．
D．
9．（2020秋?浦东新区期中）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
10．（2020·浙江省初二月考）如图，设，则的值可以为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021·山东烟台市·八年级期末）多项式，与的公因式为______．
12．（2020·浙江杭州市·七年级期末）分解因式：_______．
13．（2020秋?北碚区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　
　．
14．（2020秋?渝北区校级月考）如果二次三项式x2+px﹣6可分解（x+q）（x﹣2），则（p﹣q）2＝　　．
15．（2021春?南京月考）若A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，则B﹣A的值　
　．
16．（2020秋?涪城区校级期末）已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，c＝2020（x+y）+2021，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝　
　．
17．（2021·河南周口市·八年级期末）若有一个因式为，则m=__________．
18．（2020·上海七年级期末）正数满足，那么______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．利用分解因式计算：（1）5×782﹣222×5．（2）20202﹣4040×1020+10202．
20．（2020秋?绥中县期末）因式分解：
（1）4xy2﹣4x2y﹣y3；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
21．（2020秋?梁平区期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2．
22．（2020秋?青秀区校级期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　
　；
（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；
（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
23．（2021春?渝中区校级月考）如果在一个多位自然数n中，各数位上的数字之和恰好等于10，则称这个数为“十全十美数”，并将它各数位上的数字之积记为F（n）．例如在数1234中，因为1+2+3+4＝10，所以数1234是“十全十美数”，且F（1234）＝1×2×3×4＝24．
（1）若在一个自然数中的任意两个相邻数位上，左边数位上的数字大于或等于右边数位上的数字，则称这个自然数为“降序数”例如：在数32210中，因为3＞2＝2＞1＞0，所以数32210是“降序数”，已知四位自然数a既是“十全十美数”又是“降序数”，它的千位上的数字是5，F（a）＝0．将数a千位上的数字减1，个位上的数字加1，得到数b，F（b）＝24．求出数a；
（2）“十全十美数”P是三位自然数，将数p百位上的数字与个位上的数字交换得到数q，若10p+q＝2882，求F（p）的最大．
24．（2020·福建厦门市·厦门双十中学八年级月考）定义：如果一个数的平方等于，记为?，这个数叫做虚数单位．那么形如（为实数）的数叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2＋）＋（3－4）=5－3．
（1）填空：?=??????????,
?=??????????．（2）计算：①；???②；
（3）试一试：请你参照这一知识点，将（为实数）因式分解成两个复数的积．
25．（2020·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：①
．②
．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
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第4章
因式分解
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·广东韶关市·八年级期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】A、因式分解是把多项式写成整式的积，该选项不符合题意；
B、没有把多项式写成积的形式，该选项不符合题意；C、把多项式写成了整式的积，是因式分解；
D．把整式的乘积写成了多项式，该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义。解题关键是准确理解因式分解的定义．
2．（2020春?来宾期末）8xmyn﹣1与﹣12x5myn的公因式是（　　）
A．xmyn
B．xmyn﹣1
C．4xmyn
D．4xmyn﹣1
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
【解答】解：8xmyn﹣1与﹣12x5myn的公因式是4xmyn﹣1．故选：D．
【点睛】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
3．（2020·湖南益阳·期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可．
【解析】解：A．与符号相同，不能使用平方差公式分解因式；
B．可以使用平方差公式分解因式；
C．，与符号相同，不能使用平方差公式分解因式；
D．是立方的形式，故不能使用平方差公式分解因式；故选：B．
【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
4．（2020春?宁远县期中）若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（　　）
A．14
B．16
C．20
D．40
【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式计算即可．
【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，
∴2（a+b）＝10，ab＝4，∴a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及提取公因式法分解因式，正确得出a+b的值是解题的关键．
5．（2019秋?奉贤区期末）如果多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么在下列单项式中，可以加上的是（　　）
A．x
B．
C．4x
D．
【分析】能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
【解答】解：x2、1作为两个数（或式）的平方和的形式，加上的单项式可以是x或x，
当x2作为两个数（或式）的积的2倍、1作为平方项，加上的单项式可以是，故选：D．
【点睛】本题考查了用完全平方公式分解因式，熟记公式是解答本题的关键．
6．（2020·上海浦东新区·七年级期末）如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
【答案】B
【分析】由已知推出=0即（a-b）（b-c）=0，即可判定三角形边的关系.
【解析】解：
=0
（a-b）（b-c）=0
即：a=b或b=c，则三角形一定为等腰三角形；故答案为B.
【点睛】本题考查了三角形形状的判定，其关键在于对等式的变形，推导出a、b、c的关系.
7．（2020秋?江夏区期末）若多项式5x2+17x﹣12可因式分解为（x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，则a﹣c的值是（　　）
A．1
B．7
C．11
D．13
【分析】根据“十字相乘法”将多项式5x2+17x﹣12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【解答】解：因为5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）＝（x+a）（bx+c），
所以a＝4，b＝5，c＝﹣3，所以a﹣c＝4﹣（﹣3）＝7，故选：B．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．
8．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）对于任何整数m，多项式都能被（
）整除．
A．8
B．m
C．
D．
【答案】A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【解析】因为=(4m+2)(4m+8)=2(2m+1)×4(m+2)=8(2m+1)(m+2)
所以原式能被8整除．
【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键
9．（2020秋?浦东新区期中）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2020的值为（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【解答】解：∵x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2020＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2020＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2020
＝x2+x3﹣x2﹣2x+2020＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2020＝x﹣x2﹣2x+2020＝﹣x2﹣x+2020
＝﹣（x2+x）+2020＝﹣1+2020＝2019．故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
10．（2020·浙江省初二月考）如图，设，则的值可以为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先用a、b的代数式表示出甲图和乙图的面积，然后利用分式的约分可得k的值，由即可确定k的取值范围，进而可得答案．
【解析】解：甲图中阴影部分的面积=，乙图中阴影部分的面积=，
∴，
∵，∴，∴，观察4个选项，k的值可以为．故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的约分化简以及用代数式表示图形的面积，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021·山东烟台市·八年级期末）多项式，与的公因式为______．
【答案】
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．故答案：．
【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．提公因式时千万别忘了“﹣1”．
12．（2020·浙江杭州市·七年级期末）分解因式：_______．
【答案】（2a-b）（2a-b-1）
【分析】先添加括号，再提取公因式，即可得出答案．
【详解】解：（2a-b）2-2a+b=（2a-b）2-（2a-b）=（2a-b）（2a-b-1），故答案为：（2a-b）（2a-b-1）．
【点睛】本题考查了因式分解，能灵活运用各种方法分解因式是解此题的关键．
13．（2020秋?北碚区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为　
　．
【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案为：（x﹣6）（x+2）．
【点睛】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．
14．（2020秋?渝北区校级月考）如果二次三项式x2+px﹣6可分解（x+q）（x﹣2），则（p﹣q）2＝　　．
【分析】根据多项式的乘法运算，把（x+q）（x﹣2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可．
【解答】解：∵（x+q）（x﹣2）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴p＝q﹣2，﹣2q＝﹣6，解得p＝1，q＝3，∴（p﹣q）2＝（1﹣3）2＝4．故答案是：4．
【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，根据对应项系数相等列式是解题的关键．
15．（2021春?南京月考）若A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，则B﹣A的值　
　．
【分析】根据A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，可以求得B﹣A的值，本题得以解决．
【解答】解：∵A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，
∴B﹣A＝1004×997×11﹣11×996×1005＝[（1005﹣1）×（996+1）﹣996×1005]×11
＝（1005×996+1005﹣996﹣1﹣996×1005）×11＝8×11＝88，故答案为：88．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法求得所求式子的值．
16．（2020秋?涪城区校级期末）已知a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，c＝2020（x+y）+2021，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝　
　．
【分析】根据题意得a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，然后利用完全平方公式将所求式子变形，即可求解．
【解答】解：∵a＝2020（x+y）+2019，b＝2020（x+y）+2020，c＝2020（x+y）+2021，
∴a﹣b＝2019﹣2020＝﹣1，b﹣c＝2020﹣2021＝﹣1，a﹣c＝2019﹣2021＝﹣2，
∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）（a22ab+b2+a2'﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2）
[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc[（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2]＝3．
【点睛】本题考查完全平方公式综合应用以及技巧运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
17．（2021·河南周口市·八年级期末）若有一个因式为，则m=__________．
【答案】-4
【分析】由于多项式分解因式后有一个因式是y-4，所以当y=4时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为()，
所以当y=4时多项式的值为0，即16-12+m=0，解得m=-4．故答案为：-4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
18．（2020·上海七年级期末）正数满足，那么______．
【答案】64
【分析】将式子因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可．
【详解】解：∵，∴ab-bc+2(a-c)=0,即(a-c)(b+2)=0,
∵b﹥0,∴b+2≠0,∴a-c=0,∴a=c,同理可得a=b,b=c,∴a=b=c,
∴=12可化为a2+4a-12=0∴(a+6)(a-2)=0,
∵a为正数，∴a+6≠0,∴a-2=0,∴a=2,即a=b=c=2,
∴(2+2)
×(2+2)
×(2+2)=64故答案为64．
【点睛】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．利用分解因式计算：（1）5×782﹣222×5．（2）20202﹣4040×1020+10202．
【分析】（1）先利用提公因式法，在利用平方差公式进行因式分解可简化计算；
（2）利用完全平方公式进行因式分解可简化计算．
【解答】解：（1）5×782﹣222×5＝5×（782﹣222）5×（78+22）（78﹣22）＝5×100×56＝28000．
（2）20202﹣4040×1020+10202＝20202﹣2×2020×1020+10202＝（2020﹣1020）2＝10002＝1000000．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．
20．（2020秋?绥中县期末）因式分解：
（1）4xy2﹣4x2y﹣y3；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）直接提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）
＝﹣y（2x﹣y）2；
（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
21．（2020秋?梁平区期末）观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；（2）x2﹣2xy﹣9+y2．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可；（2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4+3﹣4＝（x﹣2）2﹣1
＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2＝（x2﹣2xy+y2）﹣9＝（x﹣y）2﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
【点睛】本题考查了分解因式，完全平方公式和平方差公式等知识点，注意：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
22．（2020秋?青秀区校级期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　
　；
（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；
（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A＝x2﹣6x，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2
＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，
故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
23．（2021春?渝中区校级月考）如果在一个多位自然数n中，各数位上的数字之和恰好等于10，则称这个数为“十全十美数”，并将它各数位上的数字之积记为F（n）．例如在数1234中，因为1+2+3+4＝10，所以数1234是“十全十美数”，且F（1234）＝1×2×3×4＝24．
（1）若在一个自然数中的任意两个相邻数位上，左边数位上的数字大于或等于右边数位上的数字，则称这个自然数为“降序数”例如：在数32210中，因为3＞2＝2＞1＞0，所以数32210是“降序数”，已知四位自然数a既是“十全十美数”又是“降序数”，它的千位上的数字是5，F（a）＝0．将数a千位上的数字减1，个位上的数字加1，得到数b，F（b）＝24．求出数a；
（2）“十全十美数”P是三位自然数，将数p百位上的数字与个位上的数字交换得到数q，若10p+q＝2882，求F（p）的最大．
【分析】（1）设四位数a的百位上数字是m，十位上数字是n，由已知可得m+n＝5，再由F（b）＝24，可得mn＝6，求出m、n即可；
（2）设p的百位数是x，十位数是y，个位数是z，则p＝100x+10y+z，q＝100z+10y+x，由10p+q＝1001x+110y+110z，x+y+z＝10，10p+q＝2882，可求x＝2，y+z＝8，即可确定相应的p是208，217，226，235，244，253，262，271，280（舍去），再求F（p）的最大值即可．
【解答】解：（1）设四位数a的百位上数字是m，十位上数字是n，
∵F（a）＝0，∴个位上数字是0，∴m+n＝5，
∵数a千位上的数字减1，个位上的数字加1，得到数b，
∴b的千位上数字是4，个位上数字是1，∵F（b）＝24，∴mn＝6，
∵m≥n，∴m＝3，n＝2，∴a是5320；
（2）设p的百位数是x，十位数是y，个位数是z，则p＝100x+10y+z，q＝100z+10y+x，
∵10p+q＝1001x+110y+110z，∵x+y+z＝10，
∴1001x+110y+110z＝1001x+110（10﹣x）＝1100+1001x﹣110x＝2882，∴x＝2，∴y+z＝8，
∴p是208，217，226，235，244，253，262，271，280（舍去），
∴F（208）＝0，F（217）＝F（271）＝14，F（226）＝F（262）＝24，F（235）＝F（253）＝30，F（244）＝32，∴F（p）的最大值为32．
【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
24．（2020·福建厦门市·厦门双十中学八年级月考）定义：如果一个数的平方等于，记为?，这个数叫做虚数单位．那么形如（为实数）的数叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2＋）＋（3－4）=5－3．
（1）填空：?=??????????,
?=??????????．（2）计算：①；???②；
（3）试一试：请你参照这一知识点，将（为实数）因式分解成两个复数的积．
【答案】（1）-i，2；（2）①5；②3＋4i；（3）（m＋5i）（m?5i）
【分析】（1）根据i2＝?1，则i3＝i2?i，i4＝i2?i2，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为?1计算；
（3）利用平方差公式进行变形处理，即可．
【详解】解：（1）∵i2＝?1，∴i3＝i2?i＝?1?i＝?i，
2i4＝2i2?i2＝2（?1）?（?1）＝2，故答案是：-i，2；
（2）①（2＋i）（2?i）＝
4
-i2＝4+1＝5；
②（2＋i）2＝i2＋4i＋4＝?1＋4i＋4＝3＋4i；
（3）=m2＋52＝（m＋5i）（m?5i）．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．
25．（2020·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：①
．②
．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．
【解析】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键．
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精品试卷·第
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