2.3
1.（多选）单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（ ）
A.摆线质量不计
B.摆线不可伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.只要是单摆的运动就一定是简谐运动
解析：只有在偏角很小的情况下才能视单摆运动为简谐运动.
答案：ABC
2.某单摆在摆动过程中由于阻力作用，机械能逐渐减小，则单摆振动的（ ）
A.频率不变，振幅不变
B.频率改变，振幅不变
C.频率不变，振幅改变
D.频率改变，振幅改变
解析：单摆振动的能量与振幅有关，故当机械能减小时，振幅减小；单摆的频率只与摆长和重力加速度有关，与振幅无关，故频率不变，故C正确.
答案：C
3.把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动（ ）
A.变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长
B.变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长
C.变快了，要使它恢复准确，应增加摆长
D.变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长
解析：把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g变小，则周期T＝2π>T0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了.要使它恢复准确，应缩短摆长，B正确.
答案：B
4.（多选）如图所示为在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图像，其中实线表示A的运动图像，虚线表示B的运动图像.关于这两个单摆的以下判断中正确的是（ ）
A.这两个单摆的摆球质量一定相等
B.这两个单摆的摆长一定不同
C.这两个单摆的最大摆角一定相同
D.这两个单摆的振幅一定相同
解析：从题中图像可知，两单摆的振幅相等，周期不等，所以两单摆的摆长一定不同，故B、D正确，C错误；单摆的周期与质量无关，故A错误.
答案：BD
5.将秒摆（周期为2
s）的周期变为4
s，下面哪些措施是正确的（ ）
A.只将摆球质量变为原来的
B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍
D.只将摆长变为原来的16倍
解析：由T＝2π可知，单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A、B均错误；对秒摆，T0＝2π＝2
s，对周期为4
s的单摆，T＝2π＝4
s，l＝4l0，故C正确，D错误.
答案：C
6.如图所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是（ ）
A.把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小
B.把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小
C.将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长
D.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T
解析：根据单摆的周期公式T＝2π知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的倍，故A、B、D错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝2π知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C正确.
答案：C
7.（多选）一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O点（单摆），在O点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕O点在竖直平面内做简谐振动，由传感器测出拉力F随时间t的变化图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A.小球振动的周期为2
s
B.小球速度变化的周期为4
s
C.小球动能变化的周期为2
s
D.小球重力势能变化的周期为4
s
解析：单摆振动一个周期经过底部两次，则周期为4
s，A错误，B正确；由于动能、重力势能均是标量，故单摆一个周期内它们经过了两个周期，C正确，D错误.
答案：BC
8.如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，求小球应从多高处自由落下（OA?R）.
解析：小球由A点开始沿球壳内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动.
因为OA?R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等.
设小球由A点由静止释放运动到O点的时间为
t＝（2n－1）（n＝1，2，3，…），T＝2π.
由于从O点正上方自由落下的小球到O的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以
h＝gt2＝g（2n－1）2＝（n＝1，2，3，…）.
答案：（n＝1，2，3，…）
B级 等级提升
9.一物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的四分之一，在地球表面走时准确的摆钟，搬到此行星表面后，秒针走一圈所经历的时间是（ ）
A.240
s
B.120
s
C.30
s
D.15
s
解析：由物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的，所以该星球的重力加速度g′＝g
.由单摆的周期公式T＝2π，摆钟在该星球的周期是在地球上周期的两倍，所以此钟的秒针走一整圈所经历的时间实际上是地球上秒针走一圈的两倍即120
s，故A、C、D错误，B正确.
答案：B
10.（多选）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示.不计空气阻力，g取10
m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（ ）
A.单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin（πt）
cm
B.单摆的摆长约为1
m
C.从t＝2.5
s到t＝3
s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D.从t＝2.5
s到t＝3
s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
解析：由振动图像可读出周期T＝2
s，振幅A＝8
cm，由ω＝得到圆频率ω＝π
rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asin
ωt＝8sin（πt）
cm，故A正确；由公式T＝2π，解得l≈1
m，故B正确；从t＝2.5
s到t＝3
s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C、D错误.
答案：AB
11.如图所示，甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置.设摆球向右方向运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像.根据图像回答下列问题.
（1）单摆振动的频率是多大？
（2）开始时刻摆球在何位置？
（3）若当地的重力加速度为9.86
m/s2，试求这个摆的摆长.
解析：（1）由单摆振动图像得：T＝0.8
s，
故f＝＝1.25
Hz.
（2）开始时刻摆球在负方向最大位移处，故开始时刻摆球在B点.
（3）根据公式T＝2π，
得L＝＝
m≈0.16
m.
答案：（1）1.25
Hz （2）开始时刻摆球在B点 （3）0.16
m
12.简谐运动的条件是“质点所受回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝－kx”.如图，圆弧面上的小球（可看作质点）左右振动，振动幅度较小.小方同学测得圆弧半径R＝1.2
m，小球某次经过圆弧最低点时开始计时，并数“1”，然后小球每经过一次最低点就依次数“2，3，4…”，当数到“31”时停止计时，发现用时33秒.
（1）请论证小球在振动幅度较小时，是简谐运动；
（2）根据题中条件，利用所学知识计算当地的重力加速度（π2取9.8，结果保留两位有效数字）.
解析：利用在角度很小时sin
θ＝，证明小球的回复力表达式满足F回＝－kx形式，类比单摆周期公式，求解重力加速度表达式计算.
（1）回复力F回＝mgsin
θ，
在角度很小时sin
θ＝，
则F回＝mgsin
θ＝mg＝x＝kx，
由于回复力与位移方向相反，所以F回＝－kx，所以是简谐运动.
（2）由单摆周期公式T＝2π，
小球的运动与单摆类似，则有T2＝4π2，得g＝，T＝2.2
s，解得g≈9.7
m/s2.
答案：（1）见解析 （2）9.7
m/s2
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1.（多选）单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（ ）
A.摆线质量不计
B.摆线不可伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.只要是单摆的运动就一定是简谐运动
2.某单摆在摆动过程中由于阻力作用，机械能逐渐减小，则单摆振动的（ ）
A.频率不变，振幅不变
B.频率改变，振幅不变
C.频率不变，振幅改变
D.频率改变，振幅改变
3.把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动（ ）
A.变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长
B.变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长
C.变快了，要使它恢复准确，应增加摆长
D.变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长
4.（多选）如图所示为在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图像，其中实线表示A的运动图像，虚线表示B的运动图像.关于这两个单摆的以下判断中正确的是（ ）
A.这两个单摆的摆球质量一定相等
B.这两个单摆的摆长一定不同
C.这两个单摆的最大摆角一定相同
D.这两个单摆的振幅一定相同
5.将秒摆（周期为2
s）的周期变为4
s，下面哪些措施是正确的（ ）
A.只将摆球质量变为原来的
B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍
D.只将摆长变为原来的16倍
6.如图所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是（ ）
A.把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小
B.把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小
C.将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长
D.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T
7.（多选）一根轻绳一端系一小球，另一端固定在O点（单摆），在O点有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕O点在竖直平面内做简谐振动，由传感器测出拉力F随时间t的变化图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A.小球振动的周期为2
s
B.小球速度变化的周期为4
s
C.小球动能变化的周期为2
s
D.小球重力势能变化的周期为4
s
8.如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，求小球应从多高处自由落下（OA?R）.
B级 等级提升
9.一物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的四分之一，在地球表面走时准确的摆钟，搬到此行星表面后，秒针走一圈所经历的时间是（ ）
A.240
s
B.120
s
C.30
s
D.15
s
10.（多选）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示.不计空气阻力，g取10
m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（ ）
A.单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin（πt）
cm
B.单摆的摆长约为1
m
C.从t＝2.5
s到t＝3
s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D.从t＝2.5
s到t＝3
s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
11.如图所示，甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置.设摆球向右方向运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像.根据图像回答下列问题.
（1）单摆振动的频率是多大？
（2）开始时刻摆球在何位置？
（3）若当地的重力加速度为9.86
m/s2，试求这个摆的摆长.
12.简谐运动的条件是“质点所受回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，即F＝－kx”.如图，圆弧面上的小球（可看作质点）左右振动，振动幅度较小.小方同学测得圆弧半径R＝1.2
m，小球某次经过圆弧最低点时开始计时，并数“1”，然后小球每经过一次最低点就依次数“2，3，4…”，当数到“31”时停止计时，发现用时33秒.
（1）请论证小球在振动幅度较小时，是简谐运动；
（2）根据题中条件，利用所学知识计算当地的重力加速度（π2取9.8，结果保留两位有效数字）.
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