苏科版九年级下册数学单元测试卷 第5章二次函数综合能力检测卷（word解析版）

苏科版九年级下册数学单元测试卷 第5章二次函数综合能力检测卷
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.给出下列函数:①y=x+1x;②y=5-2x2;③y=-πx2;④y=3(x-2)2-3x2;⑤y=mx2+2x+3(m为常数).其中y是x的二次函数的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.对于二次函数y=-x2+bx+c,若b+c=0,则它的图像一定过点(　　)
A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,1)
3.将抛物线y=x2-2x+3向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的函数表达式为(　　)
A.y=(x-1)2+3 B.y=(x-4)2+3 C.y=(x+2)2+5 D.y=(x-4)2+5
4.对于二次函数y=-14x2+x-4,下列说法正确的是(　　)
A.当x>0时,y随x的增大而增大 B.当x=2时,y有最大值-3
C.图像的顶点坐标为(-2,-7) D.图像与x轴有两个交点
5.若点A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)在二次函数y=2x2+4x-1的图像上,则y1,y2,y3的大小关系是(　　)
A.y1C.y36.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数表达式是y=60t-32t2,飞机着陆至停下来共滑行(　　)
A.20 m B.40 m C.400 m D.600 m
7.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)在同一平面直角坐标系内的图像可能是(　　)
　　A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D
8.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1A.2≤t<11 B.t≥2 C.69.如图,抛物线y=-112x2+23x+53与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若点P是线段AC上方的抛物线上一动点,当△ACP的面积取得最大值时,点P的坐标是(　　)
A.(4,3) B.(5,3512) C.(4,3512) D.(5,3)
10.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过点(-1,0)和(m,0),且10; ②a+b>0; ③若点A(-3,y1),点B(3,y2)都在抛物线上,则y1
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.抛物线y=-3(x+5)2+8的顶点坐标是　　　　.?
12.函数y=x2+bx-c的图像经过点(2,4),则2b-c的值为　　　　.?
13.若二次函数y=x2-4x+n的图像与x轴只有一个公共点,则实数n=　　　　.?
14.二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a的值是　　　　.?
15.已知抛物线y=ax2-2ax+c与x轴的一个交点为(-1,0),则一元二次方程ax2-2ax+c=0的根为　　　　.?
16.已知二次函数y1=x2+c与一次函数y2=x+c的图像如图所示,则当y1第16题图　　　　　第17题图　　　　　
17.如图,菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2+2ax+2(a<0)的图像上.若点A,B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,则点D的坐标为　　　　.?
18.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作 AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为　　　　.?

三、解答题(共76分)
19.(8分)一个二次函数图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-52
0
32
2
32
0
m
-6
-212
…
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求m的值;
(3)在给定的平面直角坐标系(如图)中,画出这个函数的图像.
20.(10分)如图,已知抛物线y=ax2-4ax+c过原点且与x轴交于点A,顶点的纵坐标是-4.
(1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标.
(2)根据图像回答:当x为何值时抛物线位于x轴上方?
(3)若该抛物线先向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度,请直接写出平移后的抛物线的函数表达式.
21.(10分)如图,已知抛物线过点A(4,0),B(-2,0),C(0,-4).
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图,点M是抛物线AC段上的一个动点,当图中阴影部分的面积最小时,求点M的坐标.
22.(10分)甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1 m的点P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.
(1)当a=-124时,
①求h的值;
②通过计算判断此球能否过网;
(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m,离地面的高度为125 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.
23.(12分)李明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=-10x+500,在销售过程中销售单价不低于成本价,而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设李明每月销售台灯获得的利润为w(元),求每月销售台灯获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式,并确定自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时,每月销售台灯可获得最大利润?最大利润是多少?
(3)如果李明想要每月销售台灯获得的利润不低于2 000元,那么李明每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
24.(12分)已知抛物线y=x2-2bx+c.
(1)若抛物线的顶点坐标为(2,-3),求b,c的值.
(2)若b+c=0,是否存在实数x,使得相应的y的值为1?请说明理由.
(3)若c=b+2且抛物线在-2≤x≤2上的最小值是-3,求b的值.
25.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为原点,直线y=-2x-1与y轴交于点A,与直线y=-x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的表达式.
(2)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②若点P的横坐标为t(-1第5章　综合能力检测卷
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
A
D
C
A
B
C
11.(-5,8)　12.0　13.4　14.-1　15.-1,3　16.01.B　【解析】　易知①不是二次函数,②,③是二次函数,④整理后为一次函数,⑤中若m=0,则该函数为一次函数.综上,5个函数中只有②,③一定是二次函数.故选B.
2.A　【解析】　当x=1时,y=-x2+bx+c=-1+b+c,即b+c=y+1.∵b+c=0,∴y=-1,即x=1时,y=-1,故它的图像一定过点(1,-1).故选A.
3.B　【解析】　将y=x2-2x+3化为顶点式,得y=(x-1)2+2.将抛物线y=(x-1)2+2向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的函数表达式为y=(x-1-3)2+2+1,即y=(x-4)2+3.故选B.
4.B　【解析】　二次函数y=-14x2+x-4=-14(x-2)2-3图像的对称轴为直线x=2,其顶点坐标为(2,-3),显然选项C错误;∵a=-14,-14<0,∴抛物线开口向下,顶点为最高点,当x=2时,y有最大值-3,故选项B正确;由抛物线开口向下,对称轴为直线x=2可知,当x>2时,y随x的增大而减小,当x<2时,y随x的增大而增大,故选项A错误;一元二次方程-14x2+x-4=0的根的判别式b2-4ac=1-4×(-14)×(-4)=-3,-3<0,∴抛物线y=-14x2+x-4与x轴没有交点,故选项D错误.故选B.
5.A　【解析】　y=2x2+4x-1的图像的对称轴为直线x=-42×2=-1,∵a=2,2>0,∴x>-1时,y随x的增大而增大.又∵点A(-2,y1)关于对称轴的对称点为(0,y1),且0<1<3,∴y16.D　【解析】　∵y=60t-32t2=-32(t-20)2+600,∴当t=20时,y取得最大值600,即飞机着陆后滑行600 m才能停下来.故选D.
7.C　【解析】　由两个函数的表达式可知,两个函数的图像都过点(0,1),故排除选项A;选项B中,由直线经过第一、三象限知a>0,此时抛物线应开口向上,故排除选项B,同理也排除选项D.故选C.
8.A　【解析】　∵y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2+bx+3-t=0的实数根可以看做抛物线y=x2-2x+3与函数y=t的交点的横坐标.∵方程在-19.B　【解析】　如图,连接PC,PO,PA.设点P的坐标为(m,-112m2+23m+53),令二次函数y=-112x2+23x+53中x=0,则y=53,∴点C的坐标为(0,53),令二次函数y=-112x2+23x+53中y=0,则-112x2+23x+53=0,解得x=-2或x=10,∴点A的坐标为(10,0),点B的坐标为(-2,0),∴S△PAC=S△PCO+S△POA-S△AOC=12×53×m+12×10×(-112m2+23m+53)-12×53×10=-512(m-5)2+12512,∴当m=5时,△PAC的面积取得最大值,为12512,故点P的坐标为(5,3512).故选B.
10.C　【解析】　∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0)和(m,0),且10,由题中图像知抛物线开口向上,与y轴交于负半轴,∴a>0,c<0,∴b<0,∴abc>0,故①正确.∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),∴a-b+c=0,∴-a+b-c=0.由题中图像知,当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,∴3a+3b>0,∴a+b>0,故②正确.∵A(-3,y1)到对称轴的距离大于B(3,y2)到对称轴的距离,∴y1>y2,故③错误.∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0)和(m,0),∴a-b+c=0,am2+bm+c=0,∴am2-a+bm+b=0,∴(m+1)[a(m-1)+b]=0.∵10,∴-4a<0,∴-4a(c+1)≥0,∴b2-4ac-4a=b2-4a(c+1)>0,∴b2-4ac-4a>0,∴b2-4ac>4a,故⑤错误.综上,结论错误的有③⑤.故选C.
11.(-5,8)
12.0　【解析】　把点(2,4)代入函数y=x2+bx-c,得4+2b-c=4,则2b-c=4-4=0.
13.4　【解析】　∵二次函数y=x2-4x+n的图像与x轴只有一个公共点,∴方程x2-4x+n=0有两个相等的实数根.∴b2-4ac=16-4n=0,解得n=4.
14.-1　【解析】　由题意,得4a·a-424a=3,整理得,a2-3a-4=0,解得a1=4,a2=-1.∵二次函数有最大值,∴a<0,∴a=-1.
15.-1,3　【解析】　解法一　将x=-1,y=0代入y=ax2-2ax+c,得a+2a+c=0,解得c=-3a.将c=-3a代入方程,得ax2-2ax-3a=0,∴a(x2-2x-3)=0,∴a(x+1)(x-3)=0,∴x1=-1,x2=3.
解法二　抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=--2a2a=1,∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),∴根据抛物线的对称性可知另一个交点为(3,0),∴ax2-2ax+c=0的两个根为-1,3.
16.017.(-2,2)　【解析】　∵y=ax2+2ax+2(a<0)的对称轴是x=-2a2a=-1,与y轴的交点坐标是(0,2),∴点B的坐标是(0,2).∵菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2+2ax+2(a<0)的图像上,点A,B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点,∴点B与点D关于直线x=-1对称,∴点D的坐标为(-2,2).
18.1　【解析】　y=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,设点A(x,x2-2x+2),∵AC⊥x轴,∴BD=AC=(x-1)2+1≥1,∴当点A的坐标为(1,1)时,BD取得最小值,最小值为1.
19.【解析】　(1)由题表可知抛物线的顶点坐标为(-1,2),
∴设这个二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2,
∵图像过点(1,0),
∴a(1+1)2+2=0,
∴a=-12,
∴这个二次函数的表达式为y=-12(x+1)2+2.
(2)当x=2时,y=-12(2+1)2+2=-52,
∴m=-52.
(3)函数图像如图所示.
20.【解析】　(1)∵抛物线的对称轴为直线x=--4a2a=2,
∴另设抛物线的表达式为y=a(x-2)2-4,
把(0,0)代入得4a-4=0,解得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-4,
令y=0,解得x1=0,x2=4,∴A点坐标为(4,0).
(2)由(1)知抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0),且开口向上,
∴当x<0或x>4时,抛物线位于x轴上方.
(3)当(2,-4)先向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度后,所得对应点的坐标为(-1,1),
∴平移后的抛物线的函数表达式为y=(x+1)2+1.
21.【解析】　(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-4),
把C(0,-4)代入得-8a=-4,解得a=12,
∴抛物线的函数表达式为y=12(x+2)(x-4),
即y=12x2-x-4.
(2)如图,连接AC,则线段AC与抛物线AC段所围成的图形的面积为定值.
当△ACM的面积最大时,图中阴影部分的面积最小,
过点M作MN∥y轴交AC于点N,设M(m,12m2-m-4),
由A(4,0),C(0,-4)知线段AC所在直线的表达式为y=x-4,
则N(m,m-4),
∴MN=m-4-(12m2-m-4)=-12m2+2m,
∴S△ACM=S△MNC+S△MNA=12·4·MN=-m2+4m=-(m-2)2+4,
当m=2时,△ACM的面积最大,则图中阴影部分的面积最小,
此时点M的坐标为(2,-4).
22.【解析】　(1)①由题意可知,点P的坐标为(0,1),
把(0,1)代入y=-124(x-4)2+h,解得h=53.
②∵点O与球网的水平距离为5 m,
把x=5代入y=-124(x-4)2+53,
解得y=1.625,
∵1.625>1.55,∴此球能过网.
(2)由题意可知点P,Q的坐标分别为(0,1),(7,125),
将两点的坐标分别代入y=a(x-4)2+h,
得16a+h=1,9a+h=125,解得a=?15,h=215.
∴a的值为-15.
23.【解析】　(1)由题意,得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10 000,
∴w=-10x2+700x-10 000(20≤x≤32).
(2)函数w=-10x2+700x-10 000的图像的对称轴是直线x=-7002×(?10)=35,
∵a=-10,-10<0,抛物线开口向下,∴当20≤x≤32时,w随着x的增大而增大,
∴当x=32时,w取得最大值,最大值为2 160.
答:当销售单价定为32元时,每月销售台灯可获得最大利润,最大利润是2 160元.
(3)当w=2 000时,-10x2+700x-10 000=2 000,
解得x1=30,x2=40.
∵a=-10<0,抛物线开口向下,
∴当30≤x≤40时,w≥2 000.
又∵20≤x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2 000.
设每月的成本为P元.
由题意,得P=20(-10x+500)=-200x+10 000,
∵k=-200,-200<0,
∴P随x的增大而减小.
∴当x=32时,P的值最小,P最小值=3 600.
答:想要每月销售台灯获得的利润不低于2 000元,李明每月的成本最少需要3 600元.
24.【解析】　(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,-3),
∴y=(x-2)2-3=x2-4x+1,
∴b=2,c=1.
(2)存在.理由如下:
当y=1时,x2-2bx+c=1,
∴x2-2bx+c-1=0,
若b+c=0,即c=-b,此时一元二次方程x2-2bx+c-1=0的根的判别式b2-4ac=4b2-4(c-1)=4b2+4b+4=(2b+1)2+3>0,
故当b+c=0时,存在实数x,使得相应的y的值为1.
(3)∵c=b+2,
∴y=x2-2bx+b+2,抛物线的对称轴为直线x=b,
①当b≤-2时,∵-2≤x≤2,∴函数在x=-2时取得最小值-3,此时-3=(-2)2-2×(-2)b+b+2,解得b=-95>-2,不合题意;
②当b≥2时,∵-2≤x≤2,∴函数在x=2时取得最小值-3,此时-3=22-2×2b+b+2,解得b=3;
③当-2综上,b=3或b=1?212.
25.【解析】　(1)设过A,B,C三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).
根据题意可知点A的坐标为(0,-1).
令-2x-1=-x得x=-1,代入y=-2x-1可得y=1,因此可知点B的坐标为(-1,1),∴C点坐标为(1,-1).
将A,B,C三点坐标代入抛物线的函数表达式,得c=?1,a-b+c=1,a+b+c=?1,
解得a=1,b=?1,c=?1,∴抛物线的表达式为y=x2-x-1.
(2)①设P点坐标为(p,p2-p-1),连接PQ,如图1所示.
图1
∵C,Q两点分别是B,P关于原点的对称点,
∴OB=OC,OP=OQ.
∴四边形PBQC为平行四边形.
若四边形PBQC为菱形,则必有BC⊥PQ,于是PQ所在直线表达式为y=x,因此p2-p-1=p,解得p1=1+2,p2=1-2,此时P点的坐标为(1+2,1+2)或(1-2,1-2).因此当四边形PBQC为菱形时,P点坐标为(1+2,1+2)或(1-2,1-2).
②如图2,过点P作PD⊥BC,垂足为D,过点P作x轴的垂线,交直线BC于点E,则S四边形PBQC=2S△PBC=2×12BC·PD=BC·PD.
∵线段BC的长固定不变,
∴当PD最大时,四边形PBQC的面积最大.
又∵∠PED=∠AOC(固定不变),
∴当PE最大时,PD也最大.
∵P点在抛物线上,E点在直线BC上,
∴P点坐标为(t,t2-t-1),E点坐标为(t,-t).
∴PE=-t-(t2-t-1)=-t2+1.
∴当t=0时,PE有最大值1,此时PD有最大值,四边形PBQC的面积最大.
图2