北师大版八年级数学下册图形的旋转、中心对称、平行四边形辅导（Word版，无答案）

知识详解
一、图形的旋转 1.旋转的定义及其有关概念
在平面内，把一个图形绕着某一定点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
注：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角
1.如图，可以看到点A旋转到点A′，OA旋转到OA′，∠AOB旋转到∠A′OB′，这些都是互相对应的点、线段与角. 那么，点B的对应点是点 ；线段OB的对应线段是线段 ；线段AB的对应线段是线段 ；∠A的对应角是 ；∠B的对应角是 ；旋转中心是点 ；旋转的角度是 .
2.旋转的基本性质
1．对应点到旋转中心的距离相等.
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3. 旋转前后的图形全等.
2.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是____________.
3.如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角α的大小可以是________________.
4.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90?,∠ABC=30?,AC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上,连接BB′,则BB′的长度为_____________________.
5.如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45?,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75?,点E的对应点N恰好落在OA上,则的值为_________________
3.旋转作图的步骤：
明确旋转的三要素
找出原图形中各顶点在新图形中对应点的位置
按照原图形中各点的排列规律，将对应点连接起来。
6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90?，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E.
(1)求证：△ABC≌△BDE；
(2)△BDE可由△ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法).
二、中心对称和中心对称图形
1._??????????§°_：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，_???è??_180°后重合的两个点叫做_????§°???_。
如图，△ABC绕着点O旋转180°，和△A′B′C′能够完全重合，则这两个三角形关于点O对称，点O叫对称中心，A与A′，B与B′，C与C′叫关于O的对称点．
注意：中心对称是指两个图形的关系，成中心对称的两个图形只有一个对称中心，并且一个图形上的所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反过来，另一个图形上的所有点关于这个中心的对称点都在这个图形上。
2.中心对称的特征及识别方法
(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
关于中心对称的两个图形是全等形；
（3）中心对称的两个图形中的对应线段平行相等
(4)如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形关于这点成中心对称；
(5)中心对称图形的特征. 如上图所示，如果△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则：①A、O、A′；B、O、B′；C、O、C′均三点共线，且OA=OA’,’OB=OB′，OC=OC′；②△ABC≌△A′B′C′；
(6)如果已知△ABC与△A′B′C′关于某点成中心对称，则点O必为AA′、BB′、CC′的中点，且它们是同一点，故也可以连结AA′、BB′，则其交点即为对称中心。
3._??????????§°??????_：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
常见的中心对称图形有：_??????_，_??????_，_è?±???_，_?????????_，_???è?????è?????_，_???_,边数为偶数的_????¤?è?????_等。
4.中心对称与中心对称图形之间的关系
区别：①中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形.
②成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上.
联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体也就是中心对称图形
1.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，AC交BD于点O，点E、F分别为AO、BO的中点，则下列关于点O成中心对称的一组三角形是（ ）．
A． B．△AOD与△BOC
C． D．
2.下列4个图形中是中心对称图形的有（ ）
A.1个 B.2个 C . 3 个 D.4个
3.如图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有__________组.
.
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
三、平行四边形
1.平行_???è?????_的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行_???è?????_
平行_???è?????_的性质
边：
角：
对角线：
对称性：
面积：
平行_???è?????_的判定
边：
角：
对角线：
1.有下列命题:①一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行四边形;②一组对边相等,一组邻角互补的四边形是平行四边形;③一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;④一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,其中错误的有(　　)
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图，过四边形对角线的交点作直线交、分别于、，又、分别为、的中点，求证：四边形为平行四边形．
3.如图所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．
4.已知：如图，在□ ABCD中，AE⊥AD交BD于E．若CD=,求证：∠ADB=∠BDC
5.在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点，DE∥AC交直线AB于E，DF∥AB交直线AC于点F，解答下列各问：
（1）如图1，当点D在线段BC上时，有DE＋DF＝AB，请你说明理由；(6分)
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE、DF、AB之间的关系并加以证明．
教学反思
数学教研组