(共75张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
第一章 空间向量与立体几何
情境导学·探新知
NO.1
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
大小
方向
大小
有向线段
始点
终点
1
相等
相同
相反
相等
平行
平行
共线
同一平面
共同始点的体对角线
相同
相反
0
|λ||a|
垂直
a⊥b
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
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3
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答案
已知两个向量a2b,在空间任取一点O作OA=,OB=b
则
称为向量a与b的夹角
定义
记
法(空间向量的夹角)画
图示
A
b
反思领悟
●●●。
P
C
A
B
M
B
C
B
尝武与发现
课堂小结第1章
空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
学
习
任
务
核
心
素
养
1.了解空间向量、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量、平行向量、共面向量等概念．(重点)2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点)3.掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点)
1.通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养.2.借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养.3.借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养.
国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
图1 图2
知识点1 空间向量
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
(2)模(或长度)：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||.
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，….
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量就是空间中的一条有向线段．
( )
(2)任意两个空间向量可以比较大小．
( )
[答案] (1)× (2)×
知识点2 几类特殊的向量
(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0.
(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．两个向量平行也称为两个向量共线．
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
1.空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？
[提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个相反向量的和为零向量．
( )
(2)只有零向量的模等于0.( )
(3)空间中任意两个单位向量必相等．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] 大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．
知识点3 空间向量的线性运算
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
图1
图2
(1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
(2)如图2，＋＋＝.
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa.其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：
对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb.
3.(多选题)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
ABCD [根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：对于A，＋＋＝＋＝；对于B，＋＋＝＋＝；对于C，＋＋＝＋＝＋＝；对于D，＋＋＝＋＝.故选ABCD．]
知识点4 空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝，那么向量a与b垂直，记作a⊥b.
对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点：
(1)由概念知两个非零向量才有夹角，零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任意向量a都垂直．
(2)对空间任意两个非零向量a，b，有：
①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；
②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉；
③〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉．
(2)空间向量的数量积的定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积(或内积)，记作a·b.
2.空间向量的数量积的运算符号“·”能省略吗？能写成“×”吗？
[提示] 不能．
(3)数量积的几何意义
①向量的投影
如图所示，
过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.
②数量积的几何意义：
a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.
(4)空间向量的数量积的性质
①a⊥b?a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(1)两个向量的数量积是一个实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定．当θ为锐角时，a·b＞0，但当a·b＞0时，θ不一定是锐角，因为θ也可能为0；当θ为钝角时，a·b＜0，但当a·b＜0时，θ不一定是钝角，因为θ也可能为π.
(2)数量积运算不满足消去律．
若a，b，c(b≠0)为实数，则ab＝bc?a＝c；但对于向量，就不成立，即a·b＝b·ca＝c，由图可以看出．
(3)数量积运算不满足结合律．
数量积运算只满足交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
(4)在求两个复杂向量的数量积时，根据向量数量积满足的运算律，可按多项式的乘法公式展开运算．常用的变形公式有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)对于任意一个非零向量a，我们把称为向量a的单位向量，记作a0，a0与a方向相同．
(6)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量，这是因为对于任意一个与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
4.(1)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，则
①〈，〉＝________；
②〈，〉＝________；
③〈，〉＝________.
(2)下列命题中正确的是( )
A．(a·b)2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0
(1)①45° ②135° ③90° (2)B [(1)①因为＝，所以〈，〉＝〈，〉．
又∠CAB＝45°，所以〈，〉＝45°.
②〈，〉＝180°－〈，〉＝135°.
③〈，〉＝90°.
(2)对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，
∴左边≤右边，故A错误．
对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．
对于D项，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误．
对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，
∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．]
类型1 空间向量的概念及简单应用
【例1】 (1)下列说法中正确的是
( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
(2)如图所示，以长方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
①试写出与是相等向量的所有向量；
②试写出的相反向量；
③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
(1)B [|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律．一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]
(2)[解] ①与向量是相等向量的(除它自身之外)有，及，共3个．
②向量的相反向量为，，，.
③||＝
＝＝＝3.
1．在空间中，向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量的相关概念完全一致．
2．两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
[跟进训练]
1．给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同；
②在正方体ABCD?A1B1C1D1中，必有＝；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.
其中不正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD?A1B1C1D1中，必有＝成立，故②正确；③显然正确．故选B．]
2.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [对于①与，③与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．]
类型2 空间向量的线性运算
【例2】 (1)如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，N是A1B的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．(a＋b－c)
B．(a＋b＋c)
C．a＋b＋c
D．a＋(b＋c)
(2)(对接教材人教B版P6例1)如图，已知长方体ABCD?A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
①－；
②＋＋.
(1)B [如图，取AB中点为D，连接DN.＝＋＝(a＋b＋c)，故选B．
]
(2)[解] ①－＝－＝＋＝.
②＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量，如图所示．
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
[跟进训练]
3.如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
[解] (1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
类型3 数量积的运算及应用
【例3】 如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)·；
(2)·；
(3)(＋)·(＋)．
1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？
[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
2．联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量a，b的夹角？如何求|a＋b|?
[提示] 借助cos〈a，b〉＝，求向量a，b的夹角．借助|a＋b|＝＝求模．
[解] (1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，
所以·＝||||cos〈，〉
＝||||cos∠AOB＝1×1×cos
60°＝.
(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，
所以EFAC，
于是·＝||||cos〈，〉
＝||·||cos〈，〉
＝×1×1×cos〈，〉
＝×1×1×cos
120°＝－.
(3)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝2＋·－2·＋·＋2－2·
＝1＋－2×＋＋1－2×＝1.
1．(变条件，变结论)若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长．
[解] 由题意知＝(＋)，＝，
∴＝－＝(＋－)，
∴||2＝(＋2＋2＋2·－2·－2·)，
又||＝||＝||＝1，且〈，〉＝60°，〈，〉＝60°，〈，〉＝60°，
∴·＝，·＝，·＝.
∴||2＝＝，
即||＝，所以EH的长为.
2．(变结论)求异面直线OH与BE所成角的余弦值．
[解] 在△AOB及△BOC中，易知BE＝OH＝，
又＝－，＝(＋)，
∴·＝·＋·－2－·
＝×＋×－－×＝－.
∴cos〈，〉＝＝－，
又异面直线所成角的范围为，故异面直线OH与BE所成角的余弦值为.
1．在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
2．非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a|·|b|.
提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．如本例中〈，〉＝〈，〉＝120°，易错写成60°，为避免出错，应结合图形进行计算．
1．对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
B [显然，〈a，b〉＝0?a∥b.
但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因为a∥b〈a，b〉＝0，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．]
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
A [A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A．]
3．在棱长为2的正四面体ABCD中，若E，F分别是BC，AD的中点，则·等于( )
A．0
B．
C．－1
D．1
D [·＝(＋)·＝(·＋·)＝×(2＋2)＝1.]
4．化简：2＋2＋3＋3＋＝________.
0 [2＋2＋3＋3＋
＝2(＋＋＋)＋＋＋
＝0＋(＋)＝0＋0＝0.]
5．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
22 [∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，
∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484.
∴|a－b|＝22.]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．如何正确认识单位向量和零向量？
[提示] 单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，也与任意向量垂直，零向量与任意向量的数量积为0.
2．两个向量的数量积与数乘向量有何不同？
[提示] 两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如0·a＝0，而0·a＝0.
3．空间向量的数量积运算中哪些性质与实数运算相同？哪些性质与实数运算不同？
[提示] 在空间向量的数量积中，有：①a·b＝b·a；②a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；④a2－b2＝(a＋b)·(a－b)；⑤(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；⑥(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.这些性质与实数运算是类似的．
在空间向量的数量积中：①若a·b＝a·c且a≠0，不能得到b＝c，即数量积等式两边不能同时除以一个向量；②(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量的数量积不满足结合律；③由a·b＝0，不能得到a＝0或b＝0；④由a·b＝k，不能得到a＝或b＝，即向量不能进行除法运算．以上这些性质与实数运算是不一样的．
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1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量基本定理
第一章 空间向量与立体几何
情境导学·探新知
NO.1
知识点1
知识点2
知识点3
唯一
不共面
线性组合
线性表达式
合作探究·释疑难
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发现规律
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反思领悟
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课堂小结1.1.2 空间向量基本定理
学
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1．理解共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、易混点)2．理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题．(难点)
1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．
学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东100米，再向南150米，然后乘1号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．假定每层楼高为3米，你能用e1，e2，e3表示出由咨询处到面试地点的向量p吗？
知识点1 共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．
在此充要条件中，要特别注意b≠0，若不加b≠0，则该充要性不一定成立．例如，若a≠0，b＝0，则a∥b，但λ不存在，该充要性也就不成立了．
1．若非零向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值为________．
1或－1 [若ke1＋e2与e1＋ke2共线，
则有ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
又e1，e2不共线，所以
所以或所以k的值为1或－1．]
知识点2 共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
1．平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？
[提示] 平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．
2．对于空间的任意三个向量a，b
b，2a－3b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
A [根据共面向量定理知a，b，2a－3b一定共面．]
知识点3 空间向量基本定理
(1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．
(2)相关概念
①线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
②基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．
③基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
④分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
2．平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？
[提示] 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．
3．基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？
[提示] 基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．
拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．
( )
(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．
( )
(3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)√ {a，b，c}为空间一个基底，则a，b，c不共面，－a，b，2c也不共面，故{－a，b，2c}也构成空间一个基底．
(2)√ 由共面定理知(2)正确．
(3)× 由c＝λa＋μb知a，b，c共面，不能构成基底．
4．如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________．
[＝－＝－，∴x＝，y＝0，z＝－1，即(x，y，z)＝．]
类型1 向量共线问题
【例1】 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
[证明] 设＝a，＝b，＝c．
∵＝2，＝，
∴＝，＝，
∴＝＝b，
＝(－)
＝(＋－)＝a＋b－c．
∴＝－＝a－b－c＝．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝．
∴E，F，B三点共线．
用向量法证明三点共线所选取的向量是唯一的吗？
[提示] 不是的．如本例中，可选取与，与或与等．
[跟进训练]
1．如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
[解] 与共线．
证明：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．
∴＝＋＋＝＋＋，
又＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－，
∴＝＋2＋＝2(＋＋)＝2，
∴∥，即与共线．
类型2 共面向量定理及应用
【例2】 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解] (1)易知＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
判断三个(或三个以上)向量共面的方法
(1)应用共面向量定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．
(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
[跟进训练]
2．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM．应用共面向量定理证明：E，F，G，H四点共面．
[证明] ∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R为所在边的中点，
顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝．
∵四边形MNQR为平行四边形，
∴＝－
＝－＝
＝(＋)
＝(－)＋(－)
＝＋
＝＋，
∴由共面向量定理得，，共面，
所以E，F，G，H四点共面．
类型3 空间向量基本定理及其应用
【例3】 (1)若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
(2)如图，在三棱柱ABC?A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．
1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？
[提示] 不唯一，不共面．
2．空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？
[提示] 基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来．
[解] (1)假设a＋b，b＋c，c＋a共面．
则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c．
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．
∴
此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
(2)＝＋＝＋
＝＋(＋)＝＋＋(－)
＝b＋a＋(c－b)
＝b＋a＋c－b
＝a＋b＋c．
＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋(－)
＝a＋b＋(c－b)
＝a＋b＋c．
1．(变条件)若把本例3(2)中的＝a改为＝a，其他条件不变，则结果又是什么？
[解] ＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝b＋(a－b)
＝a＋b．
＝＋
＝＋
＝－
＝－(－)
＝a－(c－b)
＝a＋b－c．
2．(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量．
[解] ＝＋＋
＝－－
＝(＋)－－
＝[＋(－)]－－
＝(a＋c－b)－c－a
＝a－b－c．
1．基底的判断方法
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
2．用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则，借助向量的线性运算把所求向量用已知基向量表示出来．
提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量．
[跟进训练]
3．如图所示，已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2)．
[解] 在平行六面体
ABCD?A1B1C1D1中，
连接AC，AD1．
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝a＋b＋c．
类型4 空间向量基本定理的综合应用
【例4】 (对接教材人教B版P15例3)三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则cos〈，〉＝________．
[如图所示，设该三棱柱的棱长为1，依题意有＝＋，＝＋＋＝＋－，
则||2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋2cos
60°＝3，
|1|2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝2，
又·＝(＋)·(＋－)＝·＋·－·＋·＋·－·＝＋－1＋＋1－＝1，
所以cos〈，〉＝＝＝．]
空间向量中，有三个不共面向量的长度和相互间的角度都已知，则以这三个向量为一组基底，可研究其他向量之间的数量积、长度、夹角等问题.
[跟进训练]
4．如图所示，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．证明：B1C1⊥CE．
[证明] 因为·＝(＋＋)·(＋＋)＝(＋＋)·＋(＋＋)·＋(＋＋)·，
又(＋＋)·＝2＋0＋(－1)＝1，
(＋＋)·＝0＋(－1)＋0＝－1，
(＋＋)·＝0，
所以·＝1＋(－1)＋0＝0，因此B1C1⊥CE．
1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则( )
A．，，共线
B．，共线
C．，共线
D．O，A，B，C四点共面
D [由，，不能构成基底知，，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．]
2．给出下列命题：
①若p与a，b共面，则p＝xa＋yb(x，y∈R)；②若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p与a，b共面；③若a，b共线，则a与b所在直线平行；④若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面．
真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [由共面向量定理可知，a，b共线时，①错误，②正确；若a，b共线，则a与b可能在同一条直线上，所以③错误；当b＝0时，a与c不一定共线，所以④错误；向量a，b，c共面是指三个向量能平移到同一个平面上，但三个向量所在的直线可以共面也可以异面，所以⑤错误．故真命题的个数为1．]
3．(多选题)已知下列命题，正确的有( )
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
B．|a＋b|＝|a|＋|b|是a，b共线的充要条件
C．若a，b，c是空间三向量，则|a－b|≤|a－c|＋|c－b|
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
AC [B．当a与b反向时，|a＋b|≠|a|＋|b|，所以B不成立．D．当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，否则不共面，故D错误．]
4．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________．(用a，b，c表示)
－a＋b＋c [＝－＝(b＋c)－a．]
5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则2x＋4y＋2z＝________．
2 [如图，由已知＝＝(＋)
＝
＝＋
[(－)＋(－)]＝＋＋，
∴x＝y＝z＝，∴2x＋4y＋2z＝2．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．用基底表示向量应注意哪些问题？
[提示] (1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；
(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；
(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
2．用基底表示向量有哪些关键步骤？
[提示] (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
PAGE(共77张PPT)
1.1 空间向量及其运算
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
第一章 空间向量与立体几何
情境导学·探新知
NO.1
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
知识点5
两两垂直
单位正交
(x，y，z)
xOy平面
z
垂直
坐标平面
逆时针
135°(或45°)
垂直
横坐标(或x坐标)
纵坐标(或
竖坐标(或z坐标)
y坐标)
八
z＞0}
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
类型4
当堂达标·夯基础
NO.3
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
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答案
E、D
CG多
反思领悟
●●●。
HI
tiye
D
M
CI
B
尝武与发现
Di
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D)人
C
A
C1
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Bi
Cl
N
·mm
B
课堂小结
建系
利用题中垂直关系建立空间直角坐标系
求点
求出相关点的坐标
定坐标>利用向量坐标公式求向量的坐标
计算>代入相关向量公式进行计算
转化
将向量的结论转化为几何结论1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(重点)2．掌握空间向量的坐标运算．(重点)3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(重点、难点)
4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．
1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．
我们所在的教室是一个立体图形，即是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为坐标原点，沿着三条墙缝作射线可以得到三条坐标轴，有了这三条坐标轴，就可以形成一个可以度量的三维空间，也就是建立了空间直角坐标系(类比平面直角坐标系)．如果将图中的小鸟所在的树枝看成“向量”，平行移动这个“向量”，那么它的坐标有变化吗？树枝的端点坐标有变化吗？
知识点1 空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量．
1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示] 不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
1．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则p＝－e1＋2e2＋3e3的坐标为________．
(－1，2，3) [p＝(－1，2，3)．]
知识点2 空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
(4)|a|＝＝；
(5)当a≠0且b≠0时，
cos〈a，b〉＝＝．
2．若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示] 不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是．
空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标)，与平面向量的坐标运算相比，空间向量的坐标运算适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题．
2．(1)已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于( )
A．(16，0，4)
B．(8，－16，4)
C．(8，16，4)
D．(8，0，4)
(2)已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝4，则x＝________．
(1)D (2)6 [(1)4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．
(2)由题意得a·b＝－3×1＋2x－5＝4，解得x＝6．]
知识点3 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
(1)当a≠0时，a∥b?b＝λa?(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)?当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b?＝＝．
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为( )
A．，－6
B．－，6
C．－6，
D．6，－
A [若a⊥b，则2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝．若a∥b，则＝＝，解得x＝－6．]
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章．《说文解字》有对这句话的注释．首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”．因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话．联系我们学过的数轴和平面直角坐标系的建立过程，就可以推广到空间，建立空间直角坐标系．
知识点4 空间直角坐标系
(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．
(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．
(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)称为点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)．
点的坐标与向量的坐标表示方法不同，如点A(x，y，z)，向量a＝(x，y，z)．
(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．
4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同．
( )
(2)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点一定是(0，b，c)．
( )
(3)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标为(a，0，c)．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (2)× 坐标应为(a，0，0)．
知识点5 空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离OP＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．
(3)空间直角坐标系中的中点坐标公式x＝，y＝，z＝．
5．已知空间中两点A(－3，－1，1)，B(－2，2，3)，在z轴上有一点C，它到A，B两点的距离相等，则点C的坐标为________．
[设点C的坐标为(0，0，z)，则＝，即10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2，
解得z＝，所以点C的坐标为．]
类型1 空间向量的坐标运算
【例1】 (1)如图，在棱长为1的正方体ABCD?A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．
①，，；
②，，．
(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝．求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q)．
[解] (1)①＝＋＝＋＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝．
②＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋＝，
＝－＝－
＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝．
(2)由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．
①p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)；
②3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)；
③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26．
1．用坐标表示空间向量的步骤
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
[跟进训练]
1．已知向量{a，b，c}是空间向量的一组基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间向量的另外一组基底，若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
B [设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
所以
解得
故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为．]
类型2 空间中点的坐标的确定及应用
【例2】 (对接教材人教B版P22例5)在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标，并求GH的长度．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，
故其坐标为．
由F作FM⊥AD于M点、FN⊥DC于N点，由平面几何知识知FM＝，FN＝，
则F点坐标为．
点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝，故G点坐标为．
由H作HK⊥CG于K点，由于H为C1G的中点，故HK＝，CK＝．
∴DK＝，故H点坐标为．
GH＝eq
\r(?0－0?2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(7,8)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2))))＝．
1．建立空间直角坐标系时应遵循的原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
[跟进训练]
2．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
[解] 如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
∵N为CD1的中点，
∴N．
∵M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
∴M(1，1，2)．由两点间距离公式，得
MN＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＋?3－1?2＋?1－2?2)＝．
类型3 空间向量的平行与垂直
【例3】 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝．
(1)若|c|＝3，c∥．求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．
1．空间向量的平行与垂直和平面向量的平行与垂直有什么关系？
[提示] (1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．
(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．
2．空间中三点共线的充要条件是什么？
[提示] 三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件是＝＝．
简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为＝λ，即向量与向量共线，其坐标对应成比例，从而有＝＝．
[解] (1)因为＝(－2，－1，2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1．即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因为a＝＝(1，1，0)，
b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0．
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)
＝2k2＋k－10＝0．
解得k＝2或k＝－．
故所求k的值为2或－．
1．(变条件)若将本例(1)中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c．
[解] a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)．
设c＝(x，y，z)．
由题意得
解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，
即c＝(2，－2，1)或c＝(－2，2，－1)．
2．(变条件)若将本例(2)改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．
[解] ∵a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka－b＝(k＋1，k，－2)，
ka＋2b＝(k－2，k，4)．
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，
∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
即(k＋1，k，－2)·(k－2，k，4)＝(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝．
故所求k的值为－2或．
解决空间向量垂直、平行问题的思路
(1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
[跟进训练]
3．若a＝(x，－1，3)，b＝(2，y，6)，且a∥b，则( )
A．x＝1，y＝－2
B．x＝1，y＝2
C．x＝，y＝－2
D．x＝－1，y＝－2
A [∵a＝(x，－1，3)，b＝(2，y，6)，a∥b，
∴存在实数λ，使得a＝λb，
∴解得
]
类型4 利用坐标运算解决夹角、距离问题
【例4】 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
[解] (1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，易知E，
F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G，
H．
∵＝－＝，
＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)，
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C．
(2)由(1)易知＝－(0，1，1)
＝，
＝，
∴||＝，||＝，
·＝×0＋×＋×(－1)＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为．
(3)由(1)知F，H，
∴＝，
∴||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝．
即FH的长为．
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.
[跟进训练]
4．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求与夹角的余弦值．
[解] 如图，以，，为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz．
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为．
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3．
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
即与夹角的余弦值为．
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则3a＋b为( )
A．(－2，－3，－2)
B．(2，3，2)
C．(－2，3，2)
D．(4，3，2)
B [3a＋b＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2)．]
2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1，3，－5)
B．(1，3，5)
C．(1，－3，5)
D．(－1，－3，5)
B [P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1，3，5)．]
3．点P到原点O的距离是( )
A． B．1 C． D．
B [PO＝＝1．]
4．已知向量a＝(2，1，0)，b＝(1，－2，4)，则(a＋2b)·a＝________．
5 [∵a＋2b＝(2，1，0)＋2(1，－2，4)＝(2，1，0)＋(2，－4，8)＝(4，－3，8)，
∴(a＋2b)·a＝(4，－3，8)·(2，1，0)＝4×2＋(－3)×1＋8×0＝5．]
5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是________．
120° [由于＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
所以·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，||＝，||＝，
所以cos
θ＝cos〈，〉
＝＝－，
则θ＝120°．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．怎样建立空间直角坐标系有利于解题？
[提示] 在立体几何中，利用已知的垂直关系，特别是利用两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系是一种很好的方法，这样就可以把几何问题和代数问题结合起来．在建立空间直角坐标系时，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，也就是找“墙角”．
2．空间直角坐标系中找对称点的坐标有何规律？
[提示] 空间直角坐标系中的点P(x，y，z)的对称点的坐标如下表：
对称轴(或对称中心或对称平面)
点P的对称点的坐标
xOy平面
(x，y，－z)
yOz平面
(－x，y，z)
xOz平面
(x，－y，z)
原点
(－x，－y，－z)
x轴
(x，－y，－z)
y轴
(－x，y，－z)
z轴
(－x，－y，z)
求对称点的问题可以用“关于谁对称谁不变，其余均取相反数”的规律来记忆．例如关于x轴对称的点的坐标就是x坐标不变，y，z坐标变为原来的相反数；关于xOy平面对称的点的坐标就是x，y坐标不变，z坐标变为原来的相反数．
3．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤是什么？
[提示]
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