(共63张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
第一章 空间向量与立体几何
情境导学·探新知
NO.1
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
空间中的点与空间向量
位置向量
空间中的直线与空间向量
平行或重合
方向向量
平行
方向向量
v∥l
空间中两条直线所成的角
0
异面直线与空间向量
相交或异面
不共面
距离
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
空间中的点的位置的确定
利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)
利用空间向量处理平行或垂直问题
当堂达标·夯基础
NO.3
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
谢谢观看
THANK
YOU!
A
点此进入
答案
●●●●。●
发现规律
●●●。
QBP4
y
C1
C1
M
A1
B
D
B1
C
D
B
2
D1
C
N
A
B
尝武与发现
C1
Bi
FD
E
y
了4
D1
A
\o
D
c
y
反思领悟
●●●。
C
E
----------/-
C
A1
E
A
课堂小结1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解空间中的点与空间向量的关系．2．理解直线的方向向量．(重点)3．掌握利用空间向量求空间中两直线所成的角的方法．(重点、难点)4．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．(重点)5．理解公垂线段的概念并会求其长度．
1．通过学习直线的方向向量、公垂线段等概念，培养数学抽象素养．2．利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算素养．
某市中学生运动会上，射箭运动员听到口令后同时把箭射出，假设箭运动的轨迹都是平行直线，如图．箭在运动过程中，每处在一个位置都表示该直线的方向向量．
问题：直线的方向向量有何特点？
知识点1 空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．
空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．
1．空间直角坐标系中，O为坐标原点，若点P的坐标为(1，2，3)，则点P的位置向量＝________．
(1，2，3) [由点P的坐标知＝(1，2，3)．]
知识点2 空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l．
(1)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个方向向量．
1．直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？
[提示] 直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行．
2．空间中的直线l的位置由v能确定吗？
[提示] 空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定．
(2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l的方向向量是唯一的．
( )
(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
( )
(3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] (1)× 与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量．
(2)√
(3)× k≠0．
知识点3 空间中两条直线所成的角
(1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin
θ＝sin〈v1，v2〉，cos
θ＝|cos〈v1，v2〉|．
(2)〈v1，v2〉＝?l1⊥l2?v1·v2＝0．
(1)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等．当两方向向量的夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．如：若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角为30°．
(2)用向量方法求两条直线所成的角时，若能建立空间直角坐标系，则相关向量可用坐标表示，通过向量坐标运算求解；若建系不方便，则可选用基向量表示其他向量，通过向量运算求解．
3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－ B． C．－ D．
B [∵|a|＝，|b|＝2，a·b＝(0，－2，－1)·(2，0，4)＝－4，
∴cos〈a，b〉＝＝－．
∵异面直线夹角的范围是，∴选B．]
知识点4 异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
(1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
(2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面．
“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
(3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，不共面．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面．
“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
(4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．
4．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则( )
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1，l2相交但不垂直
D．不能确定
B [∵a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2，故选B．]
类型1 空间中的点的位置的确定
【例1】 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．
(1)若＝(－)，求P点的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
[解] (1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)，
＝(－)＝(2，2，0)＝(1，1，0)，
∴P点的坐标为(1，1，0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知＝．
设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，
即解得
因此P点的坐标为．
如何在空间直角坐标系中确定点的坐标？
[提示] 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可．
[跟进训练]
1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1．
求点P和点Q的坐标．
[解] 由已知，得＝2，
即－＝2(－)，
＝＋．
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得
(x，y，z)＝(2，4，0)＋(1，3，3)，
即x＝＋＝，y＝＋＝，
z＝0＋1＝1．
因此，P点的坐标是．
因为AQ∶QB＝2∶1，
所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2，
设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，
得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，
即x′＝0，y′＝2，z′＝6．
因此，Q点的坐标是(0，2，6)．
综上，P点的坐标是，Q点的坐标是(0，2，6)．
类型2 利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)
【例2】 (对接教材人教B版P32例3)已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A． B．
C．
D．
C [法一：以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，在平面ABC内，过点B且垂直于BC的直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，B1(0，0，1)．因为∠ABC＝120°，设A点坐标为(xA，yA，0)，则xA＝AB·cos
120°＝－1，yA＝AB·sin
120°＝，即A(－1，，0)．易得＝(1，0，1)，＝(1，－，1)．设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则cos
θ＝＝＝．
法二：如图，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MN∥AB1，NP∥BC1，所以∠PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．易知MN＝AB1＝，NP＝BC1＝．取BC的中点Q，连接PQ，MQ，可知△PQM为直角三角形，PQ＝1，MQ＝AC．在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×＝7，所以AC＝，MQ＝．在△MQP中，MP＝＝，则在△PMN中，cos∠PNM＝＝＝－，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
法三：如图所示，将直三棱柱ABC?A1B1C1补成直四棱柱ABCD?A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝．在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos∠B1AD1＝＝，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．]
如何用向量法求异面直线所成的角？
[提示] (1)确定空间两条直线的方向向量；
(2)求两个向量夹角的余弦值；
(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
[跟进训练]
2．侧棱垂直底面的三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1＝2，点O，M分别是BC，A1C1的中点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)写出三棱柱各顶点及点M的坐标；
(2)求异面直线CM与BA1夹角的余弦值．
[解] (1)根据图形可求得下列点的坐标：
A(，0，0)，B(0，－1，0)，C(0，1，0)，A1(，0，2)，B1(0，－1，2)，C1(0，1，2)，M．
(2)＝，＝(，1，2)，
∴·＝5，||＝，||＝2，
∴cos〈，〉＝＝．
类型3 利用空间向量处理平行或垂直问题
【例3】 如图，已知四棱台ABCD?A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD．点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ．
[证明] 由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)，Q(6，m，0)，其中m＝BQ，0≤m≤6．
若P是DD1的中点，则P，＝(6，m－，－3)．又＝(3，0，6)，于是·＝18－18＝0，所以⊥，即AB1⊥PQ．
【例4】 如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE．
两条平行直线的方向向量有什么关系？
[提示] 设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l∥m?a∥b?a＝λb.
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)．
所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)，
因为DA?平面ADE，
AE?平面ADE，
且(0，2，1)＝0×(2，0，0)＋1×(0，2，1)，
即＝0×＋1×，
所以有FC1?平面ADE或FC1∥平面ADE，
又因为FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE．
1．(变问法)例4中G，H分别为AD，B1C1的中点，求证：EGFH为平行四边形．
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系．
则E(2，2，1)，G(1，0，0)，F(0，0，1)，H(1，2，2)．
所以＝(－1，－2，－1)，＝(1，2，1)．
所以＝－，所以∥．
显然EG与FH不重合，故EG∥FH．
又||＝＝，
||＝＝，∴EG＝FH，
∴四边形EGFH为平行四边形．
2．(变问法)例4条件不变，求平面ADE∥平面B1C1F．
[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，D(0，0，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，
得＝(2，2，1)，＝(2，2，1)，
＝(2，0，0)，＝(－2，0，0)，
所以＝，＝－，
又相互不共面，
所以DE∥FB1，DA∥B1C1，
又DA∩DE＝D，FB1∩B1C1＝B1，
所以平面ADE∥平面B1C1F．
用向量法证明空间中两条直线相互平行或垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互平行或垂直，具体有如下方法：
?1?坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其共线或数量积为0.
?2?基向量法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，证明其共线或数量积为0.
?3?要证线面平行或垂直，根据线面平行或垂直的判定定理，只需证线线平行或垂直?平面内的两直线必须相交?.
[跟进训练]
3．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明] 法一：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，
B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，
F(a，a，2a)．
∴＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)，
＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)，
＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)．
∵·＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0，
·＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC．
法二：设＝a，＝c，＝b，连接BD(图略)，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
∵＝＋＝a＋b，
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0，
∴⊥，即EF⊥AB1．同理可证EF⊥B1C．
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC．
1．若A(1，0，1)，B(2，3，4)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(－1，3，3)
B．(1，3，3)
C．(3，3，5)
D．(2，4，6)
B [＝(2，3，4)－(1，0，1)＝(1，3，3)．]
2．向量a＝(x，1，－2)，b＝(3，x，4)，a⊥b，则x＝( )
A．8 B．4 C．2 D．0
C [∵向量a＝(x，1，－2)，b＝(3，x，4)，a⊥b，
∴a·b＝3x＋x－8＝0，解得x＝2．故选C．]
3．已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
C [＝－＝－，＝－，∵||＝，||＝1，且·＝·(－)＝－，∴cos〈，〉＝＝＝－，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为．]
4．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1，1，2)，直线l2的方向向量为v2(－2，0，－1)，则直线l1与l2的位置关系为________．
垂直 [∵v1·v2＝－1×(－2)＋1×0＋2×(－1)＝0，
∴v1⊥v2．]
5．已知向量a＝(1，0，－1)，向量b＝(，0，0)，则〈a，b〉＝________．
45° [∵a·b＝1×＋0×0＋(－1)×0＝，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝．
又0≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？
[提示] (1)非零性：直线的方向向量是非零向量．
(2)不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．
(3)给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．
2．利用空间向量如何证明线线平行或垂直？
[提示] 若直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．(注：下面的λ，k∈R)．
(1)如果l1∥l2，那么u1∥u2?u1＝λu2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)；
(2)如果l1⊥l2，那么u1⊥u2?u1·u2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．
3．求异面直线所成角的常用方法有哪些？
[提示] 在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题．
PAGE(共56张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.2 空间中的平面与空间向量
第一章 空间向量与立体几何
情境导学·探新知
NO.1
知识点1
知识点2
平面的法向量
非零向量
垂直
平行
l⊥α
l∥α，或l?α
三垂线定理及其逆定理
一条斜线
射影
斜线
一条直线
一条斜线
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
求平面的法向量
利用法向量证明空间中的位置关系
三垂线定理及其逆定理的应用
当堂达标·夯基础
NO.3
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
谢谢观看
THANK
YOU!
圖冷圈
oF
R&nsas
点此进入
答案
E
D
B
AZ
E
C
设向量设平面的法向量为n=(y2)
选向量在平面内选取两不共线向量AB,AC
n·AB=0
列方程组>由
列出等式
n·AC=0,
解方程组>解由程
AB=0
n·AC=0
得出的方程组
赋非零值取其中一个为非零值(常取±1)
得结论
得到平面的一个法向量
反思领悟
●●●。
P
D
二---
C
B
2
C
B
C1
B1
M
E
DI+-
ZC
尝武与发现
Cl
A
B
E
D
B
D
P
P
y
C1
A
C
A
B
C1
C
B
F
A
B
课堂小结1.2.2 空间中的平面与空间向量
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)2．会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面的平行、垂直问题．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)
1．通过本节知识的学习，培养数学抽象素养．2．借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养．
牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
知识点1 平面的法向量
(1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．
1．平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？
[提示] 无数个 平行
2．一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？
[提示] 垂直．
(2)平面的法向量的性质
①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行．
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v?l⊥α，n⊥v?l∥α，或l?α．
(4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2?α1⊥α2，n1∥n2?α1∥α2，或α1与α2重合．
1．(1)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α斜交
(2)平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系为( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不能确定
(1)B (2)C [(1)∵a＝(1，0，2)，u＝－2(1，0，2)＝－2a，∴u与a平行，∴l⊥α．
(2)∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．]
知识点2 三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．
( )
(2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．
( )
(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)× 不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．
(2)× 不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l．
(3)√
类型1 求平面的法向量
【例1】 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解] ∵在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(1，，0)，D(0，，0)，P(0，0，1)，
E，＝，＝(1，，0)，
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
则
取y＝－，得n＝(3，－，3)．
∴平面ACE的一个法向量为n＝(3，－，3)．
求平面的法向量的步骤
[跟进训练]
1．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一个法向量．
[解] 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，
P(0，0，1)．
∴＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
即因此可取n＝(，1，)．
∴平面PAB的一个法向量为(，1，)．
类型2 利用法向量证明空间中的位置关系
【例2】 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．
证明：(1)C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F．
利用空间向量证明线面平行和垂直问题的依据是什么？
[提示] 因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置关系，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间线面、面面间的平行和垂直关系．
(1)设v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则：
①n∥v?l⊥α；
②n⊥v?l∥α，或l?α．
(2)设n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则：
①n1⊥n2?α1⊥α2；
②n1∥n2?α1∥α2，或α1与α2重合．
[证明] (1)以D为原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为1．
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，M，＝(1，0，0)，＝，＝．
设平面ADE的一个法向量为m＝(a，b，c)，
则即
令c＝2，得m＝(0，－1，2)，
∵m·＝(0，－1，2)·＝0＋1－1＝0，
∴⊥m．
又C1M?平面ADE，∴C1M∥平面ADE．
(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F，
得＝(1，0，0)，＝，
设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝2，则n＝(0，2，1)．
∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，
∴m⊥n．∴平面ADE⊥平面A1D1F．
1．(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量．
[解] 如本例建系定坐标，D1(0，0，1)，
E，M，
所以＝，即直线D1E的一个方向向量．
设平面EFM的法向量为n＝(x，y，z)，
因为F，所以＝，＝(0，－1，0)，
由即
所以令x＝1，则z＝－2．
所以平面EFM的一个法向量为(1，0，－2)．
2．(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC．
[证明] 如本例解析，E，N，
A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)．
∴＝，＝(0，1，1)，
＝(－1，1，0)，
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，即EN⊥AB1，EN⊥AC．
又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC．
利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.
提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.
[跟进训练]
2．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD＝1．
证明：(1)PQ⊥平面DCQ；
(2)PC∥平面BAQ．
[证明] 如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz．
(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，
所以·＝0，·＝0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ．
(2)根据题意得，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，
＝(0，1，0)，故有·＝0，·＝0，
所以为平面BAQ的一个法向量．
又因为＝(0，－2，1)，且·＝0，
即DA⊥PC，且PC?平面BAQ，
故有PC∥平面BAQ．
类型3 三垂线定理及其逆定理的应用
【例3】 如图，已知在正方体ABCD?A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C．
[证明] 连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又DD1⊥平面ABCD，
∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影，
∴BD1⊥AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影，
∴BD1⊥AB1．又AB1∩AC＝A，
∴BD1⊥平面AB1C．
利用三垂线定理证明线线垂直的关键点与注意点
(1)关键点：找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影．
(2)注意点：要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．
[跟进训练]
3．在四面体PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB．
[证明] 如图，过P作PH⊥平面ABC，连接AH并延长交BC于E，
连接BH并延长交AC于F，
PH⊥平面ABC，PA⊥BC，
而PA在平面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH，
同理可证BF⊥AC．则H为△ABC的垂心，连CH并延长交AB于G，
于是CG⊥AB，而CH是PC在平面ABC内的射影，故PC⊥AB．
1．若直线l的方向向量a＝(1，2，－1)，平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，则实数k＝( )
A．2 B．－10 C．－2 D．10
A [∵直线l的方向向量a＝(1，2，－1)，
平面α的法向量m＝(－2，－4，k)，l⊥α，
∴a∥m，∴＝＝，解得k＝2．]
2．已知平面α的一个法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
D [∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，∴k＝－5．]
3．若两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为( )
A．(－1，2，－1)
B．(1，2，1)
C．(1，2，－1)
D．(－1，2，1)
A [设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝－1，得平面ABC的一个法向量为(－1，2，－1)．]
4．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．
－9 [由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0．∴z＝－9．]
5．设平面α的一个法向量的坐标为(1，2，－2)，平面β的一个法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于________．
4 [∵α∥β，∴两平面的法向量平行，∴＝＝，∴k＝4．]
回顾本节知识，自我完成以下问题．
1．平面的法向量有何特点？
[提示] 设向量n是平面α的一个法向量．则
(1)n是一个非零向量．
(2)向量n与平面α垂直．
(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．
(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面．
2．用向量法证明空间线面平行和垂直问题有何优势？
[提示] 利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考察图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果．
3．利用三垂线定理证明线线垂直的步骤是什么？
[提示] (1)找平面(基准面)及平面的垂线．
(2)找射影线(平面上的直线与斜线)．
(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直．
PAGE(共61张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.3 直线与平面的夹角
第一章 空间向量与立体几何
情境导学·探新知
NO.1
知识点1
知识点2
知识点3
直线与平面所成的角
90°
0°
射影
最小角定理
射影
最小的角
用空间向量求直线与平面的夹角
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
用定义法解决直线与平面的夹角问题
用向量求直线与平面所成的角
当堂达标·夯基础
NO.3
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
谢谢观看
THANK
YOU!
点此进入
答案
如图,AB⊥a,则图中0,θ1,02之间的
关系是
最线线角、线面
角的关系式
小角定理
O)°
M
最小角平面的斜线和它在平面内的
所成的
定理角是斜线和这个平面内所有直线所成角中
cosb=cos61·cos62
C日
B
反思领悟
●●●。
A
B
尝武与发现
P
E
B
C
B
P
E
30°
60°
0、90
A1
A
A
PLea
Cβ
●●●●。●
发现规律
●●●。
C
A
M
B
C
B.
A
M
B
P
C
A
课堂小结1.2.3 直线与平面的夹角
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．2．会求直线与平面的夹角．(重点、难点)
通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养．
赛艇比赛，是2022年第19届杭州亚运会主要赛事之一．划杆与水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度．如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这一节学习的内容．
知识点1 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．
( )
(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．
( )
(3)斜线与平面的夹角为[0，90°]．
( )
(4)直线与平面的夹角为[0，90°]．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[提示] (1)× 错误，角的度数还可以是零度．
(2)√ 根据斜线与平面所成的角的定义知正确．
(3)× 斜线与平面的夹角为(0，90°)．
(4)√ 正确．
知识点2 最小角定理
1．一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？
[提示] 是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．
2．已知∠APB在平面α内，大小为60°，射线PC与PA，PB所成的角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是( )
A．－ B． C． D．－
B [设PC与平面α所成的角为θ，则cos
45°＝cos
θ·cos
30°，所以cos
θ＝．]
知识点3 用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos
θ＝sin〈v，n〉或sin
θ＝|cos〈v，n〉|．
2．直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为．
3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
C [设直线l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos
120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．]
类型1 公式cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2的应用
【例1】 ∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．
[解] 法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a．
又∵BC＝a，
∴AB2＋AC2＝BC2．
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理△BOC也为等腰直角三角形．
取BC中点为H，连接AH，OH，
∴AH＝a，OH＝a，AO＝a，
AH2＋OH2＝AO2．
∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH．
又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，
∴AH⊥平面α．
∴OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝＝．
∴∠AOH＝45°．
∴OA与平面α所成的角为45°．
法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线，
作∠BOC的角平分线OH交BC于H．
又OB＝OC＝a，BC＝a，
∴∠BOC＝90°．
故∠BOH＝45°，
由公式cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2，
得cos∠AOH＝＝，
∴OA与平面α所成的角为45°．
求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2求线面角，也是常用的方法．
[跟进训练]
1．如图所示，在四棱锥P?ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ．
[解] 由题意得∠CBD＝45°，
∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ．
∵cos∠PBC＝cos
θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°．
即cos
60°＝cos
θ·cos
45°，∴cos
θ＝，θ＝45°．
类型2 用定义法解决直线与平面的夹角问题
【例2】 如图所示，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？
[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影．
2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？
[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0°；
②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；
③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的射影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
[解] (1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC?平面PAC，
PA?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC．
(2)取PC的中点E，连接DE．
因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC．
连接AE，则AE是AD在平面PAC内的射影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．
因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，
所以BC＝，DE＝，
在直角三角形ABP中，AD＝a，
所以sin∠DAE＝＝＝．
即AD与平面PAC夹角的正弦值为．
1．(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D为PB上的一点，且BD＝PB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．
[解] 由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，则DE⊥平面PAC，连接AE，AD，
则∠DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PA＝AB＝1，因为∠ABC＝60°，
所以BC＝，DE＝×＝，PB＝，BD＝．
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos
45°＝，所以AD＝，所以sin∠DAE＝＝＝．
即AD与平面PAC夹角的正弦值为．
2．(变问法)若本例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值．
[解] 由例题(1)知BC⊥平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC．
过A作AE⊥PC．
所以AE⊥平面PBC．
连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角．设PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝2a．
故AD＝a．
在△APC中，AP＝2a，
AC＝AB·sin
60°＝2a×＝a，
所以PC＝＝a，设∠ACP＝θ，
则AE＝AC·sin
θ
＝AC×
＝a×＝a
＝a，
所以sin∠ADE＝＝＝．
即AD与平面PBC夹角的正弦值为．
用定义法求直线与平面所成角的关注点
(1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影．
(2)三种情况：①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；
②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；
③若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．
[跟进训练]
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________．
30° [如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，
所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成的角，
设正方体的棱长为1，则OB1＝，CB1＝，
sin∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°．
即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°．]
类型3 用向量求直线与平面所成的角
【例3】 (对接教材人教B版P45例2)如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′中，点H为D′B′上一点，且D′H＝D′B′，DH与BD′交于点P，求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
[解] 如图所示，以点D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz，
则C(0，1，0)，D′(0，0，1)，B′(1，1，1)，
∴＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)．
∵D′H＝D′B′，
∴＝＝，
∴＝＋＝(0，0，1)＋
＝．
∵平面AA′D′D的一个法向量是＝(0，1，0)，
∴cos〈，〉＝＝＝．设DP与平面AA′D′D所成角为θ，则sin
θ＝|cos〈，〉|＝，∴θ＝30°，即DP与平面AA′D′D所成的角为30°．
用向量法求线面角的步骤是什么？
[提示] (1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin
θ＝．
[跟进训练]
3．如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．
(1)求证：B1C∥平面AC1M；
(2)求AA1与平面AC1M所成角的正弦值．
[解] (1)证明：在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．
以C为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B1(0，1，2)，C(0，0，0)，A(1，0，0)，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)，M，＝(0，－1，－2)，
＝(－1，0，2)，
＝，
设平面AC1M的法向量n＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，
∴·n＝0，又B1C?平面AC1M，
∴B1C∥平面AC1M．
(2)＝(0，0，2)，平面AC1M的法向量n＝(2，－2，1)，
设AA1与平面AC1M所成的角为θ，
则AA1与平面AC1M所成角的正弦值sin
θ＝＝＝，
所以AA1与平面AC1M所成角的正弦值为．
1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
D [由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为．]
2．已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
C [连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求．
C1O＝×＝2，
BC1＝＝2，
∴sin∠C1BO＝＝＝．]
3．已知正四棱锥O?ABCD中，OA＝AB，则OA与底面ABCD所成角的正弦值等于( )
A． B． C． D．
C [设O在底面ABCD内的射影为O′，则O′为底面ABCD的中心，O′A＝AB．∵OA＝AB，∴OO′＝AB，∴OA与底面ABCD所成角∠OAO′的正弦值为．]
4．若平面α的一个法向量为(1，1，1)，直线l的方向向量为(0，3，4)，则l与α所成角的正弦值为________．
[设l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝＝＝．]
5．在正三棱锥P?ABC中，PA＝4，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．
[如图，在正三棱锥P?ABC中，PA＝4，AB＝，
设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心，
由已知求得AO＝1，又PA＝4，
∴PO＝＝．
∴sin∠PAO＝＝．
即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你是怎样理解公式cos
θ＝cos
θ1·cos
θ2的？
[提示] 由0≤cos
θ2≤1，∴cos
θ≤cos
θ1，从而θ1≤θ．在公式中，令θ2＝90°，则cos
θ＝cos
θ1·cos
90°＝0．
∴θ＝90°，此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
2．利用向量法求直线与平面夹角的优点是什么？需要注意什么问题？
[提示] (1)利用向量法求直线与平面的夹角的优点在于不需要作出角，只需建立空间直角坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再利用公式sin
θ＝|cos〈v，n〉|求解．
(2)利用法向量求直线和平面所成的角时要注意两点：
①不要认为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角；
②直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值可正可负，要注意直线和平面所成角的范围是．
PAGE(共72张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.4 二面角
第一章 空间向量与立体几何
情境导学·探新知
NO.1
知识点1
知识点2
二面角的概念
每一部分
两个半平面
棱
每个半平面
α?l?β
A?l?B
[0，π]
任取一点O
∠AOB
用空间向量求二面角的大小
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
用定义法求二面角
用向量法求二面角
空间中的翻折与探索性问题
当堂达标·夯基础
NO.3
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
谢谢观看
THANK
YOU!
★北极星
极
地球轨道面
(黄道平面
南极
点此进入
答案
2
A
C
y
Or
B
C
P
T
A
B
C
●●●●。●
发现规律
●●●。
P
B
C
A
P
B
A
D
D
B
C1
B
尝武与发现
D1
D
B
D
y
B1
A冷
F
P秒
12
反思领悟
●●●。
E
y
A1
M
Bl
F
公x
B1
P
1i1
C
D
E
课堂小结1.2.4 二面角
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握二面角的概念、二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2．掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点)
1．通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养．2．借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养．
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为23°26′．黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.今天我们研究的问题便是如何计算二面角的大小.
知识点1 二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，每个半平面称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α?l?β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A?l?B，二面角的范围为[0，π]．
(3)二面角的平面角：在二面角α?l?β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则∠AOB称为二面角α?l?β的平面角．
二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．
如何找二面角的平面角？
[提示] (1)定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．
(4)射影面积公式法
已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos
θ＝．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的范围是．( )
(2)若二面角α?l?β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉一定相等．
( )
(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)× 范围是[0，π]．
(2)× 不一定．可能相等，也可能互补．
(3)√
知识点2 用空间向量求二面角的大小
如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin
θ＝sin〈n1，n2〉．
二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．
2．(1)已知二面角α?l?β，其中平面α的一个法向量m＝(1，0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角α?l?β的大小可能为________．
(2)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A1?BD?C1的余弦值是________．
(1)60°或120° (2) [(1)cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，
∴二面角α?l?β的大小为60°或120°．
(2)如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，
则
即
令x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
同理，求得平面BC1D的一个法向量m＝(1，－1，1)，
则cos〈m，n〉＝＝，
所以二面角A1?BD?C1的余弦值为．]
类型1 用定义法求二面角
【例1】 如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，求二面角P?AC?B的正弦值．
[解] 如图，取AC的中点D，连接OD，PD，
∵PO⊥底面，∴PO⊥AC，
∵OA＝OC，D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
又PO∩OD＝O，
∴AC⊥平面POD，
则AC⊥PD，
∴∠PDO为二面角P?AC?B的平面角．
∵△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB，
∴PO＝，OA＝OC＝1，OD＝，
则PD＝＝．
∴sin∠PDO＝＝＝，
∴二面角P?AC?B的正弦值为．
用定义求二面角的步骤是什么？
[提示] (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)．
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
(3)解三角形求角．
[跟进训练]
1．已知矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则二面角A?BD?P的正切值为________．
[过A作AO⊥BD，交BD于O，连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，
PA⊥平面ABCD，且PA＝，
∴BD＝＝5，PO⊥BD，
∴∠POA是二面角A?BD?P的平面角，
∵×BD×AO＝×AB×AD，
∴AO＝＝，
∴tan∠POA＝＝＝．
∴二面角A?BD?P的正切值为．]
类型2 用向量法求二面角
【例2】 如图所示，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1?OB1?D的余弦值．
1．所有棱长都相等的四棱柱是正方体吗？
[提示] 不一定是正方体，因为其侧棱不一定垂直于底面，底面是菱形，也不一定是正方形．
2．以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系可以吗？为什么？
[提示] 不可以．因为AB与AD不垂直．
[解] (1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD．
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则m⊥，m⊥，所以x＋2z＝0，y＋2z＝0，
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2，2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝．
由图形可知二面角C1?OB1?D的大小为锐角，
所以二面角C1?OB1?D的余弦值为．
1．(变问法)本例(2)条件不变，求二面角B?A1C?D的余弦值．
[解] 如图建立空间直角坐标系．
设棱长为2，则A1(0，－1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．
所以＝(－，1，0)，＝(0，2，－2)，＝(－，－1，0)．
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即取x1＝，则y1＝z1＝3，
故n1＝(，3，3)．
设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即取x2＝，
则y2＝z2＝－3，故n2＝(，－3，－3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝－＝－．
由图形可知二面角B?A1C?D的大小为钝角，所以二面角B?A1C?D的余弦值为－．
2．(变条件、变问法)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．
[解] 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E，D1(0，1，1)，F，
＝，＝(1，0，1)，＝，＝(0，1，1)．
设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，
所以n1＝(－1，2，1)．
设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即令x2＝2，
则y2＝－1，z2＝1．所以n2＝(2，－1，1)．
所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值为
＝
＝＝．
利用坐标法求二面角的步骤
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2．
(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos
θ＝．
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ．
提醒：正确计算出平面的法向量是关键．
[跟进训练]
2．如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，则二面角A?PB?C的余弦值为________．
[法一：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，易得PC＝BC＝，DC⊥PB，作AE⊥PB于E．
则向量与的夹角的大小为二面角A?PB?C的大小．
易知A(1，0，0)，B(0，，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，又D为PB的中点，∴D．
在Rt△PAB中，＝＝，∴E．
∴＝，＝．
∴·＝．
又||＝，||＝1，
∴cos〈，〉＝＝＝．
即二面角A?PB?C的余弦值为．
法二：如图所示，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故＝(0，0，1)，＝(，1，0)，＝(，0，0)，＝(0，－1，1)．
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则即
令x＝1，则m＝(1，－，0)为平面PAB的一个法向量．
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则
即令y′＝1，则n＝(0，1，1)为平面PBC的一个法向量，
∴cos〈m，n〉＝＝－．
由图可知二面角A?PB?C是锐角，
∴二面角A?PB?C的余弦值为．]
类型3 空间中的翻折与探索性问题
【例3】 如图甲，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图乙．
甲 乙
(1)求证：BC⊥平面DEC；
(2)求二面角C?BF?E的余弦值．
[解] (1)证明：∵DE⊥EC，DE⊥AE，AE∩EC＝E，
∴DE⊥平面ABCE，
又∵BC?平面ABCE，∴DE⊥BC，
又∵BC⊥EC，DE∩EC＝E，∴BC⊥平面DEC．
(2)如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED为x，y，z轴建立空间直角坐标系Exyz，
则E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，
D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1)，
设平面EFB的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
由＝(1，0，1)，＝(2，2，0)，
所以
∴取x1＝1，得平面EFB的一个法向量n1＝(1，－1，－1)，
设平面BCF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由＝(1，－2，1)，＝(2，0，0)，
∴
∴取y2＝1，得平面BCF的一个法向量n2＝(0，1，2)，
设二面角C?BF?E的大小为α，
则cos
α＝＝＝．
1．与空间角有关的翻折问题的解法
要找准翻折前后图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．
2．关于空间角的探索问题的处理思路
利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．
[跟进训练]
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)．
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在实数λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
[解] 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
由题意得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．
故＝(－2，0，2)，＝(－1，0，λ)，＝(1，1，0)．
(1)当λ＝1时，＝(－1，0，1)．
∵＝(－2，0，2)，∴＝2，又B?FP，∴BC1∥FP．
又FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ．
(2)设平面EFPQ的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝1，则平面EFPQ的一个法向量为n＝(λ，－λ，1)．
同理，平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．
若存在实数λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±．
故存在实数λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，此时λ的值为1±．
1．三棱锥A?BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1·n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A?BD?C的大小为( )
A． B． C．或 D．或
C [当二面角A?BD?C为锐角时，等于〈n1，n2〉＝．
当二面角A?BD?C为钝角时，等于π－〈n1，n2〉＝π－＝．]
2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A?BC?D的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
C [如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
∴∠AED＝60°，即二面角A?BC?D的大小为60°．]
3．如图所示，在正四棱锥P?ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A．
B．
C．
D．
D [设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin
θ＝，即θ＝．]
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．
[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E，
∴＝(1，0，1)，
＝．
设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0，即
令x＝1，得y＝－，z＝－1．
∴n＝，又平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1)，则cos〈n，〉＝＝．]
5．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．
120° [设二面角大小为θ，由题意可知
cos(π－θ)＝＝＝，
所以θ＝120°．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．构成二面角的平面角有几个要素？
[提示] (1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．
2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？
[提示]
条件
平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系
θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cos
θ＝cos
φ
cos
θ＝－cos
φ
PAGE(共66张PPT)
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.5 空间中的距离
第一章 空间向量与立体几何
情境导学·探新知
NO.1
知识点1
知识点2
知识点3
空间中两点之间的距离
两个点连线的线段长
点到直线的距离
一个平面
垂线段
垂线段的长
点到平面的距离
垂线段的长
相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面
之间的距离
任意一点到平面的距离
任意一点
公垂线
公垂线段
d＝
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
类型4
空间两点间的距离
点到直线的距离
点到平面的距离
当堂达标·夯基础
NO.3
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
1
3
5
2
4
谢谢观看
THANK
YOU!
点此进入
答案
1A
P
A′S
2
A
B
M
A
C
M
PF
y
反思领悟
●●●。
B1
B、
y
B1
A1
CI
B
2
DE
C1
E
D
y
D1
建坐标系]合图形的特点建立恰当的空间直角
在坐标系中求出点到平面内任
求向量
应的向量A
设出平面的法向量,利用向量垂直
求法向量
件转化为求解方程组,求出法向量
得答案代
A
d
求得答案
M
CD
B
M
C
D
阝y
2
B
C
BIl
D
c
y
C1
A
B1
C
A
B
课堂小结1.2.5 空间中的距离
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握向量长度计算公式．(重点)2．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．(重点、难点)
通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养．
立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥．1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥．1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．
问题：在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？
知识点1 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．
1．在空间中怎样求两点之间的距离？
[提示] 利用向量法转化为求向量的模．
1．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )
A． B． C． D．
C [∵M点坐标为，
∴|MC|＝eq
\r(?2－0?2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))＋?3－0?2)＝．]
知识点2 点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离．
2．如何用向量法求点到直线的距离？
[提示] 如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．
作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝．
s0是s同方向的单位向量．点A到直线l的距离公式也可以写成d＝．
2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为( )
A． B． C． D．
A [＝(2，0，1)，由点到直线的距离公式得d＝＝＝．]
知识点3 点到平面的距离
(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．
点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度．
(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝．
若点A是平面α内一点，则约定A到平面α的距离为0．
3．已知平面α的一个法向量n＝(1，0，1)，点A(－1，1，0)在α内，则平面外点P(－1，1，1)到平面α的距离为________．
[＝(0，0，1)，n＝(1，0，1)，d＝＝＝．]
知识点4 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离．如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．
(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．
(3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．
3．线面距、面面距与点面距有什么关系？
[提示]
4．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P?ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
[由已知，得AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则
即
∴可取n＝(1，0，1)．又＝(2，0，0)，
AD∥平面PBC，
∴所求距离为＝．]
类型1 空间两点间的距离
【例1】 如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0
(1)求MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小？
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1)．
因为CM＝BN＝a(0所以M，N，
所以＝，
所以||＝(0＜a＜)．
(2)由(1)知MN＝，所以，
当a＝时，MN＝．
即当a＝时，MN的长最小，最小值为．
求空间两点间距离的常用方法
(1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解．
(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
[跟进训练]
1．如图所示，在120°的二面角α?AB?β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
[解] ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
又∵二面角α?AB?β的平面角为120°，
∴〈，〉＝60°，
∴|CD|2＝||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝3×62＋2×62×cos
60°＝144，
∴CD＝12．
类型2 点到直线的距离
【例2】 已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
[解] 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
所以＝(－4，3，0)．
设点E满足＝λ，且BE⊥A1C1，
则＝＋＝(4，0，1)＋λ(－4，3，0)＝(4－4λ，3λ，1)，又⊥，
∴(4－4λ，3λ，1)·(－4，3，0)＝0，
∴λ＝．
∴＝，
∴||＝＝，
∴点B到直线A1C1的距离为．
1．(变问法)条件不变，试求B到AC1的距离．
[解] 建系如本例解法，＝(－4，3，1)，设M满足＝λ且·＝0，则＝＋＝(4，0，0)＋λ(－4，3，1)＝(4－4λ，3λ，λ)．
又·＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4，3，1)＝0，
∴λ＝，
∴＝＝，
∴||＝＝，
∴B到AC1的距离为．
2．(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC?A1B1C1且所有棱长均为2”，求点B到A1C1的距离．
[解] 以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(1，，2)，＝(2，0，2)，
所以＝(－1，，0)，
设E满足＝λ且BE⊥A1C1，
＝＋＝(2，0，2)＋λ(－1，，0)＝(2－λ，λ，2)，
又⊥，
∴(2－λ，λ，2)·(－1，，0)＝0，
∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝，
∴＝．
∴||＝＝，
∴点B到A1C1的距离为．
求点M到直线AB的距离的方法与步骤
(1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：①＝λ，②ME⊥AB．
(2)利用(1)中的两个等量关系求出λ的值，进而求出点E的坐标，求出向量||的模即为M点到AB的距离．
[跟进训练]
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
[解] 以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图．
设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，
＝(－1，2，－1)，＝(1，0，－2)．
∴||＝＝，
||＝＝．
∵·＝1×(－1)＋0×2＋(－2)×(－1)＝1，
∴在上的投影的数量为＝．
∴点A到直线EF的距离d＝＝＝．
类型3 点到平面的距离
【例3】 如图所示，已知正方体ABCD
?A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．
[解] 法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则
V＝×a××a×a＝a3，
V＝×h××(a)2＝a2h，
∵V＝V，
∴h＝a，∴点A到平面A1BD的距离为a．
法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1
xyz，则A1(a，0，0)，A(a，0，a)，D(a，a，a)，B(0，0，a)，
则＝(a，a，0)，＝(0，a，a)，＝(－a，0，0)．
设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
即
∴
令y＝－1，则x＝z＝1，
∴n＝(1，－1，1)．
∴·n＝(－a，0，0)·(1，－1，1)＝－a．
∴点A到平面A1BD的距离d＝＝＝a．
用向量法求点面距的方法与步骤
提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量．
[跟进训练]
3．如图所示，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0，2，0)，
S(0，0，2)，D(－1，4，0)，
∴＝(0，－2，2)，＝(－1，4，－2)．
设平面SND的法向量为n＝(x，y，1)．
则n·＝0，n·＝0，
∴∴
∴n＝(2，1，1)，∵＝(0，0，2)，
∴点A到平面SND的距离为＝＝．
类型4 线面、面面间的距离
【例4】 已知边长为4的正△ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，Q是CE的中点．
(1)求证：AE∥平面PFQ；
(2)求AE与平面PFQ间的距离．
[解] 如图，以A为坐标原点，平面ABC内过点A且垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)．
(1)∵＝，＝(，3，0)，∴＝2．∵与无交点，∴AE∥FQ．又FQ?平面PFQ，AE?平面PFQ，
∴AE∥平面PFQ．
(2)由(1)知，AE∥平面PFQ，
∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．
设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0．
又＝(0，2，－2)，∴n·＝2y－2z＝0，即y＝z．
又＝，∴n·＝x＋y＝0，
即x＝－y．
令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1，1)．又＝(0，2，0)，∴所求距离d＝＝．
求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
[跟进训练]
4．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
[解] 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1，1，1)．
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝．
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为．
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3 C． D．
D [＝(－1，－2，4)，d＝＝．]
2．已知平面α的一个法向量为n＝(2，2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(2，1，3)到平面α的距离为( )
A． B． C．1 D．
A [由题意＝(－3，2，－3)，则d＝＝＝，故选A．]
3．若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A．
B．1
C．
D．
D [如图，
A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1，∴BB1＝．即点A1到平面ABCD的距离为．]
4．在四面体P?ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2，3，6，则点M到顶点P的距离是________．
7 [以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|＝＝7．]
5．在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°．D是BC边的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，DE＝1，则点E到斜边AC的距离是________．
[作DH⊥AC于点H，连接EH(图略)．因为DE⊥平面ABC，所以DE⊥AC，因为DE∩DH＝D，所以AC⊥平面DEH，所以EH⊥AC，所以EH即为所求距离．由∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝2，得BC＝．因为D是BC边上的中点，所以DH＝CD＝BC＝．又DE＝1，所以EH＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何正确理解点A到平面α的距离d＝？
[提示] (1)点B是平面α内的任意一点，可视题目的情况灵活选择．
(2)表示向量在法向量n方向上的投影的大小，因此，点A到平面α的距离也可以表示成或．
(3)由于＝n0是平面的单位法向量，所以点A到平面的距离的实质就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的任一条斜线段AB对应的向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|．
2．求点到平面的距离的常用方法有哪些？
[提示] 定义法、等积转化法、向量法．
PAGE