2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
必备知识·自主学习
导思
1.怎样求两条直线的交点？2．怎样求两点间的距离？
1.两条直线的交点坐标
(1)定义：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，将方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标．
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．
(2)本质：用代数方法求平面内两条直线的交点坐标．
对于l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组
有无数组解，那么直线l1，l2是什么位置关系？
提示：方程组有无数组解，直线l1，l2有无数个公共点，直线l1，l2重合．
2．两点间的距离公式
(1)公式：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝，特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)本质：用代数方法求平面内两点之间的距离．
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|＝？为什么？
提示：能，因为
＝.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组．( )
(2)两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0.( )
(3)方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，表示经过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的所有直线．( )
(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关．( )
提示：(1)√.由两直线方程组成的方程组的解同时满足两个方程，在两条直线上，所以是交点坐标．
(2)√.两直线l1与l2相交，需≠(分母不为零)，转化为整式即为A1B2－A2B1≠0，也去掉了分母的限制条件．
(3)×.无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
(4)√.两点间的距离公式包含差的平方，所以与两点的先后顺序无关．
2．直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是( )
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(1，1)
D．(2，2)
【解析】选A.直线x＝1与直线y＝2是互相垂直的直线，其交点坐标是(1，2).
3．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于( )
A．5
B．
C．
D．4
【解析】选A.|MN|＝＝5.
4．(教材二次开发：例题改编)已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________.
【解析】l1与l2相交，则有：≠，所以a≠2.
答案：a≠2
关键能力·合作学习
类型一 求两条直线的交点坐标(数学运算)
1．直线4x＋2y－2＝0与直线3x＋y－2＝0的交点坐标是( )
A．(2，2)
B．(2，－2)
C．(1，－1)
D．(1，1)
2．(多选题)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值可以为( )
A．a＝1
B．a＝－1
C．a＝－2
D．a＝2
3．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程是________．
【解析】1.选C.解方程组得所以交点坐标为(1，－1).
2．选ABC.由题意可得
l1和l3平行，或l2和l3平行，或l1和l2平行．
若l1和l3平行，则＝，求得a＝1；
若l2和l3平行，则
＝，求得a＝1.
若
l1和l2平行，则＝，求得a＝±1.
当三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0交于同一个点时，a＝－2；
综上可得，实数a所有可能的值为－1，1，－2，
故选：ABC.
3．方法一：由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2).
因为直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
方法二：因为l2不过原点，所以可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，所以直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
答案：x＋y＝0
过两条直线交点的直线方程求法
求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1，l2交点的所有直线；
②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.
【补偿训练】
1.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A．－24 B．6 C．±6 D．24
【解析】选C.设交点P(0，y)，代入2x＋3y－k＝0，得y＝.
所以P，代入x－ky＋12＝0，得0－＋12＝0，所以k＝±6.
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为( )
A．－2
B．－
C．2
D．
【解析】选B.易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得k＝－.
3．过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程是________．
【解析】解方程组得所以两直线的交点坐标为(－1，0)，
又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，
即3x－y＋3＝0.
答案：3x－y＋3＝0
类型二 过定点的直线(数学运算，直观想象)
【典例】求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
四步
内容
理解题意
条件：直线方程：(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3结论：直线恒过定点
思路探求
给λ任取两个特殊值，得两条直线的方程，联立得交点；也可整理为关于λ的一次式，令系数与常数项都为零解得交点．
续表
四步
内容
书写表达
证明：方法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3，故l1与l2的交点为P(－3，3).将点P(－3，3)代入方程左边，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，所以点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3).方法二：(分离参数法)由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0.则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．由方程组得所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3).
题后反思
交点一定是二元一次方程组的解．
解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标；
(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．
求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．
【解析】方法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
令m＝0，得x－3y－11＝0；
令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3).
将点(2，－3)代入直线方程，得
(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).
方法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，
整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，有解得
所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).
类型三 两点间的距离(数学运算，直观想象)
【典例】已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
【思路导引】计算三角形的各边长，通过长度获得关系；或者由斜率获得关系．
【解析】方法一：因为|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形．
方法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
所以|AC|＝|AB|，所以△ABC是等腰直角三角形．
判断三角形形状的方法
在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理．
已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5).
求证：△ABC是等腰三角形．
【证明】因为|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝2，
所以|AC|＝|BC|.
又因为点A，B，C不共线，所以△ABC是等腰三角形．
备选类型 坐标法证题(直观想象，逻辑推理)
【典例】在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AD|2＋|BD|·|DC|＝|AB|2，求证：△ABC为等腰三角形．
【思路导引】在图形中建立坐标系，设点，说明|AB|＝|AC|.
【解析】如图，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0).
因为|AD|2＋|BD|·|DC|＝|AB|2，
所以由两点间距离公式，可得d2＋a2＋(d－b)(c－d)＝b2＋a2，化简得(c＋b)(d－b)＝0.
又d－b≠0，所以c＋b＝0，即－b＝c，
所以|OB|＝|OC|，所以|AB|＝|AC|，
即△ABC为等腰三角形．
坐标法解决几何问题关键
坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．
已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
【证明】如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).所以|AC|＝＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
PAGE2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
必备知识·自主学习
导思
1.怎样求点到直线的距离？2．怎样求两条平行线间的距离？
1.点到直线的距离
(1)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(2)本质：用代数方法求平面内点到直线的距离．
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离？
提示：不能，必须先化成一般式，再代入公式求距离．
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
(3)本质：用代数方法求平面内两条平行直线间的距离．
直线l1，l2的方程具备什么特征时，才能直接应用公式求距离？
提示：直线l1，l2的方程必须是一般式，且一次项系数A，B相同．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.( )
(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.( )
(3)两直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为.( )
提示：(1)×.点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离应为d＝|y0－b|，因为y0与b的大小不确定．
(2)√.点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|，式子中加了绝对值，所以正确．
(3)×.求两条平行线间的距离必须先把x与y的系数变为相同形式．
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1
B．
C．2
D．
【解析】选D.d＝＝.
3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( )
A．3
B．2
C．1
D．
【解析】选C.d＝＝1.
4．(教材二次开发：例题改编)若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________.
【解析】由＝，
得m＝－4或m＝0，
又因为m<0，所以m＝－4.
答案：－4
关键能力·合作学习
类型一 点到直线的距离公式(数学运算)
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B． C．1 D．
2．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0
B．
C．3
D．0或
3．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2)
B．(2，4)
C．(0，－2)或(2，4)
D．(1，1)
4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( )
A．8
B．2
C．
D．16
【解析】1.选B.点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝.
2．选D.点M到直线l的距离d＝＝，
所以＝3，解得m＝0或m＝.
3．选C.直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.
当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；
当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2).
4．选A.x2＋y2＝()2，它表示原点到(x，y)距离的平方，x2＋y2的最小值即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，＝8.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
【补偿训练】
1.若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A． B．[3，4]
C．(0，10)
D．(－∞，0)∪[10，＋∞)
【解析】选A.由≤3，即|3a－16|≤15，
所以≤a≤.
2．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A．
B．－
C．－或－
D．－或
【解析】选C.由点到直线的距离公式可得＝，
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－或－.
3．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是( )
A．(a－b)
B．(b－a)
C．b－a
D．
【解析】选B.因为P(a，b)是第二象限的点，
所以a<0，b>0.所以a－b<0.
所以点P到直线x－y＝0的距离
d＝＝(b－a).
类型二 两条平行线间的距离(数学运算)
【典例】(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________.
【思路导引】(1)首先利用对应系数的比值相等求m，再计算距离；
(2)设出直线l的方程，利用两条平行线间距离公式求解．
【解析】(1)由题意，得＝，所以m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，
由题意，得＝，
解得C＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(1) (2)2x－y＋1＝0
1．求两条平行线间距离的方法
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
2．由两平行直线间的距离求直线方程的两种思路
(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；
(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．
1．若两平行直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．－2
【解析】选A.由直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0平行可得－n＝2即n＝－2，
又因为直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x＋2y－3＝0的距离为，
所以＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，
所以m＋n＝2＋＝0.
2．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
【解析】选D.因为所求与直线2x＋y＋1＝0的距离为，
所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
所以d＝＝，解得c＝0或c＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
类型三 距离的综合应用(数学运算、直观想象)
角度1 计算三角形面积
【典例】已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路导引】计算一条边长和这条边上的高，即第三个顶点到这条边的距离．
【解析】选C.设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.
角度2 求直线方程
【典例】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
【思路导引】先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．
【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).
由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，
解得c＝7或c＝－5(舍)，所以l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
所以设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，
3x－y＋b＝0.
因为正方形中心到四条边的距离相等，
所以＝，得a＝9或a＝－3，所以另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
所以另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．
【解析】由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．因为kOP＝0，
所以此时所求直线方程为x＝－1.
距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
1．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1
【解析】因为A(1，1)，C(4，2)，
所以|AC|＝＝.
又AC边所在直线的方程为x－3y＋2＝0，
根据点到直线的距离公式，可得点B(m，)到直线AC的距离d＝.
所以S＝|AC|·d＝|m－3＋2|
＝|－|.
因为1所以0≤<，
所以S＝.
所以当－＝0，即m＝时，S最大．
故当m＝时，△ABC的面积最大．
2．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
【解析】设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).
所以|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
所以b2＝9，b＝±3.
又b>1，所以b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
课堂检测·素养达标
1．直线6x＋8y－2＝0与6x＋8y－3＝0间的距离为( )
A．1
B．3
C．
D．
【解析】选C.由平行线间的距离公式可知，直线间的距离为d＝＝.
2．点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )
A．a>7
B．a<－7或a>3
C．a<－3
D．a>7或a<－3
【解析】选D.根据题意，得
>3，解得a>7或a<－3.
3．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.由题：直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a，即a2－2a－3＝0解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行，
两直线之间的距离为＝.
4．(教材二次开发：练习改编)若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则实数k的值是____．
【解析】因为＝4，
所以|16－12k|＝52，所以k＝－3或k＝.
答案：－3或
5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，
得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
PAGE2．4 圆
的
方
程
2.4.1 圆的标准方程
必备知识·自主学习
导思
1.确定一个圆的几何要素有哪些？2．怎么确定点与圆的位置关系？
1.圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．
(2)标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程
为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)确定圆的标准方程的几何要素：圆心、半径．
以原点为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么？
提示：x2＋y2＝r2.
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2(2)在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2或d＝r；
(3)在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2或d>r.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( )
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(3)原点在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2上，则x＋y＝r2.( )
提示：(1)√.如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的．
(2)×.当m＝0时，表示点(a，b).
(3)√.原点在圆上，则(0－x0)2＋(0－y0)2＝r2，即x＋y＝r2.
2．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A．(－1，3)，1
B．(1，－3)，3
C．(－1，3)，
D．(1，－3)，
【解析】选D.由圆的标准方程可得圆心为(1，－3)，半径为.
3．(教材二次开发：例题改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．－1B．a<－1
C．a<－1或a>1
D．a>1
【解析】选A.因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，
<2，两边平方得(1－a)2＋(a＋1)2<4，化简得a2<1，解得－1关键能力·合作学习
类型一 求圆的标准方程(数学抽象、逻辑推理)
1．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
2．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
3．求以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程．
【解析】1.方法一：(待定系数法)
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
方法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
2．方法一：(几何法)
如图所示，
由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.
在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.
设点C坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，所以a＝±3.
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
方法二：(待定系数法)
由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
因为圆截y轴线段长为8，所以圆过点A(0，4).
代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3.
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
3．圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
确定圆的标准方程
就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如方法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如方法二，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
【补偿训练】
圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
【解析】AB的垂直平分线方程为y＝－3.
由解得圆心C(2，－3).
半径r＝AC＝＝.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
类型二 点与圆的位置关系(数学抽象、直观想象)
【典例】已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
【思路导引】点A到圆心的距离?d≥r?a的取值范围．
【解析】由题意，圆心C(a，－a)，半径|a|，
点A在圆C上或圆C外部，
所以≥|a|，
所以2a＋5≥0，所以a≥－.因为a≠0，
所以a的取值范围为∪(0，＋∞).
判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
1．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为( )
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．与m的值有关
【解析】选A.因为(m－2)2＋(3－1)2>2，所以点P在圆外．
2．已知圆(x－2)2＋y2＝8上的点P(x，y)，则x2＋y2的最大值为________．
【解析】方法一：因为≤8，解得2－2≤x≤2＋2.圆上的点P，y2＝8－(x－2)2，
所以x2＋y2＝4x＋4≤12＋8.
答案：12＋8
方法二：x2＋y2表示圆上点P到原点距离的平方．
因为圆心到原点距离为2，
所以x2＋y2最大值为(2＋2)2＝12＋8.
答案：12＋8
3．已知圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线y＝kx－2的距离的最小值为1，则实数k＝________．
【解析】由－1＝1解得k＝－或0.
答案：－或0
【补偿训练】
已知两点A，B，点P是圆2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是________．
【解析】AB＝.当点P到直线AB的距离最大时，△PAB的面积最大，圆的圆心到直线AB：＋＝1，
即2x－y＋2＝0的距离为，
则P到直线AB的距离的最大值为＋1.所以△PAB面积的最大值为××＝2＋.
答案：2＋
4．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求的最大值．
【解析】的几何意义是圆上的点P(x，y)到点A(1，1)的距离，因此最大值为点A到圆心的距离加上半径即＋1.
【拓展延伸】
求圆外一点到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得．
课堂检测·素养达标
1．设A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋y2＝2
B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2
D．(x＋3)2＋y2＝8
【解析】选A.弦长AB＝＝2，所以半径为，中点坐标，所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
2．过点A(1，－1)与B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋2＝4
B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．2＋(y－1)2＝4
D．2＋2＝4
【解析】选B.线段AB的中点为(0，0)，AB的斜率为－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＝x.
由解得圆心(1，1).
半径为圆心到点A的距离2，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
3．(教材二次开发：练习改编)若点在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( )
A．(－1，1)
B．(0，1)
C．
D．
【解析】选A.由(2a)2＋(a＋1－1)2<5得
5a2＜5，
所以a2＜1，
所以－14．若圆C的半径为1，点C与点关于点对称，则圆C的标准方程为________．
【解析】圆心(0，0)，所以圆C的标准方程为x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
5．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同圆心且过点P的圆的方程是________．
【解析】由题意可设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2.
由点P在圆上，得r2＝2＋2＝25，
所以所求圆的方程为2＋2＝25.
答案：＋＝25
PAGE2.4.2 圆的一般方程
必备知识·自主学习
导思
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？2．圆的一般方程有什么特点？
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得
＋＝.
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径为的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
根据一般方程怎么求圆心和半径？
提示：配方法．
＋＝，
所以圆心为，半径为.
2．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
(1)圆的一般方程特点．
提示：①x2和y2系数相等，都为1；
②没有xy项．
(2)点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
提示：①圆内：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；
②圆上：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；
③圆外：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)圆的标准方程与一般方程可以互化．( )
(2)方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程．( )
(3)方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．( )
提示：(1)√.圆的标准方程与一般方程可以互化．
(2)×.方程2x2＋2y2－3x＝0即x2＋y2－x＝0，是圆的一般方程．
(3)×.因为(－1)2＋12－4×1＝－2＜0，所以方程不表示任何图形．
2．方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k<2
B．k>2
C．k≥2
D．k≤2
【解析】选B.若方程表示圆，则2＋42－4>0，解得k>2.
3．(教材二次开发：例题改编)已知圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为，则它的半径为( )
A．3
B．
C．5
D．4
【解析】选D.由题得－＝5，
所以a＝－5，所以圆的半径为＝＝4.
关键能力·合作学习
类型一 二元二次方程与圆的关系(数学运算，数学抽象)
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )
A．a<－2或a>
B．－C．－2D．－23．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为( )
A．1或－2
B．2或－1
C．－1
D．2
【解析】1.选A.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，
即2＋2＝0，
所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点.
2．选D.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，
所以a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，
所以3a2＋4a－4<0，
所以(a＋2)(3a－2)<0，所以－23．选C.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，
则有a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，原方程可变为2x2＋2y2＋2x＋1＝0，
配方，得22＋2y2＝－，不表示圆；
当a＝－1时，原方程可变为x2＋y2－2x－1＝0，配方，得(x－1)2＋y2＝2，它表示以(1，0)为圆心，为半径的圆．
二元二次方程表示圆的条件：x2，y2的系数为1，没有xy项，且D2＋E2－4F>0.可以通过配方把圆的一般方程化成标准方程．
【补偿训练】
圆2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0的周长等于( )
A．2πa
B．－2πa
C．2πa2
D．－πa
【解析】选B.原方程配方得2＋2＝2a2.
因为a<0，所以半径r＝－a.
所以圆的周长为2π×＝－2πa.
类型二 求圆的一般方程(数学运算，直观想象)
【典例】已知△ABC顶点的坐标为A，B，C，求其外接圆的一般方程．
【思路导引】方法一：把三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组；
方法二：AB，AC的垂直平分线过圆心，圆心到点A的距离为半径，从而求出圆的方程；
方法三：可以判断出这是一个直角三角形，因此斜边为直径．
【解析】方法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，则
解得
因此其外接圆的一般方程为
x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
方法二：(几何法)
AB的垂直平分线方程y－＝x－，
即y＝x－2；AC的垂直平分线方程y－＝－，即y＝－x＋4.
由得圆心(3，1)，半径＝.
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
方法三：(几何法)
因为AB，AC的斜率，满足kAB·kAC＝×＝－1，所以AB⊥AC，△ABC为直角三角形．
所以BC为外接圆的直径．外接圆圆心(3，1)，半径为BC＝＝，
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【解析】方法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a).又该圆经过A，B两点，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
【拓展延伸】
确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【拓展训练】
已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．
【证明】(1)由题意知直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2).
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.①.
又因为直径|CD|＝4，
所以|PA|＝2，所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2).
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)
角度1 直接法
【典例】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，则满足＝2的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
【思路导引】设点P(x，y)，然后代入＝2，化简即可求出圆的方程．
【解析】设点P(x，y)，代入＝2得＝2，
整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.
配方得2＋y2＝.
所以点P的轨迹的圆心为，半径为.圆的面积为π.
答案： π
在【典例】条件下，求△ABP面积的最大值．
【解析】当PC垂直x轴时，面积最大为×4×＝.
角度2 定义法及代入法
【典例】设定点M，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【思路导引】方法一：由平行四边形性质可知|MP|＝|ON|＝2，满足圆的定义，注意去掉不满足条件的点；
方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程．
【解析】方法一：(定义法)|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，
除去点和点.
方法二：(代入法)如图所示，设P，N，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，从而又点N在圆上，
故2＋2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，除去点和点.
求解与圆有关的轨迹问题方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
1．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是和，中线AD的长是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9
D．x2＋y2＝9
【解析】选C.由|AD|＝3知点A在以D为圆心，半径为3的圆上，不包括圆与x轴的交点．
所以轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0).
2．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
【解析】设M(x，y)，则Q(2x＋1，2y)，
因为Q在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
所以轨迹C的方程是＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
3．已知坐标平面上动点M与两个定点P，Q，且＝5.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解析】由题意得
＝5
整理得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
所以点M的轨迹方程是2＋2＝25.
轨迹是以为圆心，5为半径的圆．
课堂检测·素养达标
1．由方程x2＋y2＋x＋y＋m2＝0所确定的圆的最大面积是( )
A．π
B．π
C．3π
D．不存在
【解析】选B.由已知得r＝
＝.
所以当m＝－1时，半径r取得最大值，
此时最大面积是π.
2．(教材二次开发：练习改编)圆心在y轴上，且过点的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
【解析】选B.设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则
＝r，解得r＝5.
所求圆的方程为x2＋(y－5)2＝25，
即x2＋y2－10y＝0.
3．原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0的位置关系是________．
【解析】把代入圆的方程左边，得2.
因为a∈(0，1)，所以2>0，故原点O在圆外．
答案：原点O在圆外
4．已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C，则其外接圆的方程为________．
【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得解得
故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0
PAGE2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
必备知识·自主学习
导思
1.如何利用直线与圆的方程判断位置关系？2．能不能利用几何图形判断位置关系？
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断：
(1)方法：
(2)本质：利用直线与圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．
利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法简单？
提示：一般几何法较为简单．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线．( )
(2)过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交．( )
(3)如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心．( )
提示：(1)×.当点在圆上时，只能作圆的一条切线．
(2)√.过圆内的一点作直线，一定与圆有两个交点，因此一定相交．
(3)√.直径是圆的最长弦，因此直线一定过圆心．
2．已知直线l过点P，圆C：x2＋y2－4x＝0，则( )
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．l与C的位置关系不确定
【解析】选A.将圆的方程化为标准方程得：2＋y2＝4，
所以圆心C，半径r＝2，又P与圆心的距离d＝＝1<2＝r，
所以点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．
3．(教材二次开发：例题改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A．
B．2
C．
D．2
【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程x－y＝0，圆x2＋y2－4y＝0化为标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝＝1，因此弦长为2＝2＝2.
关键能力·合作学习
类型一 直线与圆的位置关系的判断(数学运算、直观想象)
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
3．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，求k的取值范围．
【解析】1.选C.方法一：(几何法)由题意可得，圆的圆心坐标为(a，0)，半径为，
所以≤，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
方法二：(代数法)由消y得，
2x2＋2(1－a)x＋a2－1＝0，
由Δ＝4(1－a)2－8(a2－1)＝－4a2－8a＋12≥0，
即a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1.
2．选A.方法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，
因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
方法二：(几何法).由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
方法三：(代数法)由消去y，
整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)>0，故直线l与圆相交．
3．方法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是
Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－＜k＜.
方法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1.即＞1，解得－＜k＜.
判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr?相离．
(2)代数法：Δ＝b2－4ac
类型二 直线与圆相切的问题(逻辑推理、直观想象)
【典例】过点P画圆2＋y2＝4的切线，求切线方程．
四步
内容
理解题意
条件：①点P(4，5)，②圆2＋y2＝4结论：切线方程
思路探求
讨论切线的斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径，解出切线方程．
书写表达
①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y－5＝k，即kx－y＋5－4k＝0，由＝2得k＝，所以切线方程l：21x－20y＋16＝0.②当切线斜率不存在时，切线l的方程为x＝4.综上切线方程为21x－20y＋16＝0和x＝4.注意书写的规范性：①设直线方程；②根据圆心到直线的距离等于半径列方程；③下结论．
题后反思
设直线方程的点斜式方程时要考虑斜率存在与否．解答题分类讨论，最后要下结论．
求圆的切线方程
设出直线的方程后，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程．设方程时要注意考虑斜率存在与否．
已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
【解析】(1)当斜率不存在时，x＝3与圆相切；
当斜率存在时，设切线y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，
圆心到直线的距离＝2，解得k＝，切线方程为y＝x－.
综上，切线方程为y＝x－和x＝3.
(2)圆心到直线的距离为＝2，解得a＝0，a＝.
【拓展延伸】
1．过圆上一点的切线方程
(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则在点M处的切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.
2．过圆外一点的切线方程
(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.
【拓展训练】
已知点M为圆x2＋y2＝1上一点，求在点M处的切线方程．
【证明】方法一：直接应用结论
所求切线方程为x＋y＝1，即x＋y－2＝0.
方法二：当斜率不存在时x＝，不与圆相切，舍去；当斜率存在时，设y－＝k，
即2kx－2y－k＋＝0，
圆心到直线的距离＝1，
解得k＝－，切线方程为x＋y－2＝0.
综上，切线方程为x＋y－2＝0.
类型三 直线与圆的相交问题(数学运算，直观想象)
角度1 求弦长
【典例】已知圆x2＋y2－6x＝0，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路导引】首先判断点在圆内，然后利用最短弦与点和圆心连线垂直，构造直角三角形求解．
【解析】选B.将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，
设圆心为C，则C点坐标为(3，0)，半径r＝3.
设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，
因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，
则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，
则d＝＝＝2，
所以|BD|min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2.
本【典例】若求最大值呢？
【解析】当直线过圆心时，弦长最大．所以最大弦长为圆的直径6.
角度2 综合问题
【典例】已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，若在圆C中存在弦AB，满足＝2，且AB的中点M在直线2x＋y＋k＝0上，则实数k的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－5，5]
C．(－，)
D．[－，]
【思路导引】把弦长转化为圆心到直线的距离．
【解析】选D.圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
因此其圆心为C，半径r＝2，
由于＝2，且AB的中点为M，
则＝＝1，
因此点M在以C(－1，2)为圆心，1为半径的圆上，又点M在直线2x＋y＋k＝0上，
所以直线2x＋y＋k＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1有公共点，
则≤1，
解得－≤k≤，故实数k的取值范围是[－，].
1．弦长的求法
若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
2．直线与圆的综合问题的求解策略
直线与圆和平面几何、平面向量的联系十分紧密，可充分考虑平面几何、平面向量知识的运用．
1．若直线x－y＝2被圆2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0或4
B．0或3
C．－2或6
D．－1或
【解析】选A.由圆的方程，可知圆心坐标为，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离d＝＝.
又d＝，所以＝2，解得a＝4或a＝0.
2．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y－4＝0内，过点O(0，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
【解析】选D.＋＝9，由题意可得：最长弦为直径6，最短的弦是4，则四边形ABCD的面积为12.
3．已知直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0交于A，B两点，直线mx＋y＋2＝0垂直平分弦AB，则m的值为________，弦AB的长为________．
【解析】设直线CD：mx＋y＋2＝0可化为y＝－mx－2，由垂直得2×(－m)＝－1，m＝.
直线CD的表达式为y＝－x－2.
圆的标准方程为2＋(y＋1)2＝，
圆心C，半径.
代入直线CD的表达式得－1＝－×－2，解得a＝4.
所以圆心C(－2，－1)，半径为2.
弦AB的长为2＝.
答案：
课堂检测·素养达标
1．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为( )
A．y＝x＋
B．y＝－x＋
C．y＝x＋或y＝－x＋
D．x＝1或y＝x＋
【解析】选C.在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，
所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋.
2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
【解析】由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝，又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，
由＝r2－d2，
得|AB|2＝4＝10，即|AB|＝.
答案：
3．(教材二次开发：练习改编)已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
【解析】因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.
答案：0或
4．已知直线4x－y＝b被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则b的值为________．
【解析】该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，故该圆的圆心(1，1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线必过圆心．所以4－1＝b，b＝3.
答案：3
5．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值为________．
【解析】将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0整理可得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由已知圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，得b＝a－3.
由点向圆所作的切线长d2＝2－2，又b＝a－3，则d2＝2a2－8a＋24＝2(a－2)2＋16，故当a＝2时，切线长d有最小值为4.
答案：4
PAGE2.5.2 圆与圆的位置关系
必备知识·自主学习
导思
1.如何通过两个圆的方程判断位置关系？2．从几何图形如何判断位置关系？
1.若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆外离
0
d>r1+r2
两圆内含
d<|r1-r2|
两圆相交
2
|r1-r2|两圆内切
1
d=|r1-r2|
两圆外切
d=r1+r2
2.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？
提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若两圆有唯一的公共点，则两圆外切．( )
(2)若两圆没有公切线，则两圆内含．( )
(3)若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d<|r1－r2|时，两圆相交．( )
提示：(1)×.两圆也可能内切．
(2)√.只有两圆内含时，两圆才没有公切线．
(3)×.当d<|r1－r2|时，两圆内含．
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【解析】选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
因为3－23．(教材二次开发：例题改编)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝( )
A．－24
B．－16
C．24
D．16
【解析】选D.C1(0，0)，r1＝2，C2(3，4)，r2＝，
由外切得＝2＋，
解得m＝16.
关键能力·合作学习
类型一 两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
2．圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为( )
A．0
B．3
C．2
D．1
3．圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为( )
A．外切
B．相交
C．内切
D．内含
【解析】1.选B.O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0，故圆心坐标与半径分别为O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，O1O2＝，r2－r1＝1，1<<3，所以两圆相交．
2．选D.因为圆B：(x－2)2＋y2＝1，其圆心为B(2，0)，半径为1，圆A的圆心为A(0，0)，半径为1，所以圆心距为|AB|＝2，半径之和为1＋1＝2，所以两圆外切，只有一个公共点．
3．选C.两圆的标准方程分别为x2＋(y－1)2＝1，(x－)2＋y2＝9.
圆心分别为(0，1)，(，0)，半径分别为1，3.圆心距＝3－1，
所以两圆内切．
几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程．
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．
类型二 有关相切的问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.若圆C1：＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于( )
A．16
B．7
C．－4或16
D．7或16
2．已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程．
【解析】1.选C.圆心分别为(1，0)，(4，－4).半径分别为1，.因为两圆相切，所以当外切时，＝1＋，解得m＝16；
当内切时，＝|1－|，解得m＝－4.
2．圆O1的方程变为＋＝16，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2)2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16.
解决两圆相切问题的两个步骤
(1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【解析】圆C的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，
则圆心C(1，0)，半径为1，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意可得
解得或
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
【拓展延伸】
圆O1(x－a)2＋(y－b)2＝r，圆O2(x－c)2＋(y－d)2＝r.两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程．
【拓展训练】
已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相外切．若圆C2关于直线l：－＝1对称，求由点(a，b)向圆C2所作的切线长的最小值．
【解析】圆C1的圆心C1(0，0)，半径为3.
圆C2的圆心C2(3，4)，半径r.
＝＝5.
因为两圆相外切，所以＝3＋r＝5，解得r＝2.
因为圆C2关于直线l：－＝1对称，
所以－＝1，化为a＝b＋3.由点(a，b)向圆C2所作的切线长＝
＝，所以当b＝2时，切线长取得最小值2.
类型三 两圆相交问题(数学运算、直观想象)
角度1 与公共弦相关的问题
【典例】两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直线的方程是( )
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
【思路导引】把两圆方程作差可得公共弦所在直线方程．
【解析】选C.两圆方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相减，可得公共弦所在直线方程为6x＋8y－3＝0.
求【典例】中两圆相交所得公共弦的弦长．
【解析】x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成标准方程得，
(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
所以弦长为2＝2
＝.
角度2 圆与圆位置关系的应用
【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
【思路导引】切线垂直转化为过切点的两个半径垂直．
【解析】如图所示，在Rt△OO1A中，OA＝，O1A＝2，
所以OO1＝5，所以AC＝＝2，所以AB＝4.
答案：4
公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
1．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8
B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8
D．E＝4，F＝8
【解析】选C.由圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0.所以E＝－4，F＝－8.
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
【解析】选B.由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)，可得公共弦的方程为y＝，又x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为r＝2，由圆的弦长公式可得l＝2＝
2＝2，解得a＝1.
【补偿训练】
若圆＋＝b2＋1始终平分＋＝4的周长，则a，b应满足的关系式为( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
【解析】选B.因为圆2＋2＝b2＋1始终平分2＋2＝4的周长．
所以两圆交点的直线过2＋2＝4的圆心，两圆方程相减可得x＋y－a2－1＝0，
将代入可得－2－2a－2－2b－a2－1＝0，
即5＋2a＋2b＋a2＝0，所以B选项是正确的．
备选类型 圆系方程
【典例】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
【思路导引】方法一，联立两圆方程，求出交点坐标，再求圆的方程；方法二，利用圆系方程求解．
【解析】选A.
方法一：(几何法)
由
得A(－1，3)，B(－6，－2)，
线段AB的垂直平分线方程为x＋y＋3＝0.
由得圆心坐标为.
半径＝.
所求圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二：(圆系方程)
根据题意，要求圆经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，
设其方程为＋λ＝0，变形可得x2＋y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0,
其圆心为，
又由圆心在直线x－y－4＝0上，
则有－－4＝0，解得λ＝－7;
则圆的方程为x2＋y2＋6x－42y＋192＝0,
即x2＋y2－x＋7y－32＝0，所以A选项是正确的．
求经过两圆交点的圆方程
已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
当λ＝－1时，表示公共弦所在直线方程；
当λ≠－1时，表示过两圆交点的圆．
过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点的圆的方程是________．
【解析】根据题意，设所求圆的方程为＋λ＝0，要求圆经过点，则有4＋10λ＝0，
解可得λ＝－，则要求圆的方程为
x2＋y2－x＋y＋2＝0.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
课堂检测·素养达标
1．已知圆M的圆心M(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】选B.两圆圆心距2，圆M的半径为2－1＝1，
所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
2．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．外离
C．外切
D．相交
【解析】选D.由题意可得两圆方程为x2＋y2＝1和2＋2＝9.则两圆圆心分别为和；半径分别为r1＝1和r2＝3，
则圆心距：d＝＝，
则<<，所以两圆相交．
3．(教材二次开发：练习改编)已知直线y＝－x被圆M：x2＋y2＋Ey＝0截得的弦长为2，且圆N的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则圆M与圆N的位置关系为( )
A．相交
B．外切
C．相离
D．内切
【解析】选A.圆M：x2＋y2＋Ey＝0的圆心为，半径为－.
所以＝2＋()2，解得E＝－4.
所以圆M的圆心为(0，2)，半径为2.
圆N的圆心为(1，1)，半径为1.
因为|MN|＝＝，且2－1<|MN|<2＋1，所以两圆相交．
4．已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.则两圆公共弦所在直线的方程为________．
【解析】两圆方程作差得两圆公共弦所在直线方程x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
5．已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝________．
【解析】因为两个圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，
内切时，＝4，外切时＝6，
所以a＝±2或0.
答案：±2或0
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