人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角 教案

24.1.4
圆周角
第1课时
圆周角定理及推论
一、教学目标
1.理解圆周角的概念，识别圆心角和圆周角.
2.理解圆周角定理及其推论.
3.熟练掌握圆周角定理及其推论的灵活运用.
二、教学重难点
重点
掌握圆周角定理和推论及运用.
难点
运用分类思想证明圆周角定理.
重难点解读
1.圆周角定理及其推论1成立的前提是在同圆或等圆中.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
3.由圆周角定理推论2可知，如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.
4.求一条弦所对的圆周角的度数时，应注意这条弦所对的圆周角有两种情况.
5.在同圆或等圆中，一条弦两侧所对的两个圆周角的度数之和是180°.
6.圆心角与圆周角是圆内经常出现的两种角，巧用“一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”这一结论，可以帮助我们实现圆周角与圆心角之间的转化.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.什么叫圆心角？
2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系？
3.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE的大小是（
）
A.40°
B.60°
C.80°
D.120°
活动2
探究新知
1.将圆心角的顶点进行移动，如图1.
（1）当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB.∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
（2）观察图2，你能仿照圆心角的定义给这类角取一个名字并下个定义吗？
（3）比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？
2.教材第85页
探究.
提出问题：
（1）经过测量，图24.1-11中的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB之间有什么关系？
（2）任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？
（3）一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个？
（4）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现了什么？
（5）如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结论还正确吗？
（6）观察下图，BC是⊙O的直径.请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？
（7）如图，若圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？
活动3
知识归纳
1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半
.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角
相等
.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是
直角
，90°的圆周角所对的弦是
直径
.
活动4
典例赏析及练习
例1
如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC=130°，∠ACB=40°，则∠BOC=
50°
.
例2
如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=55°，则∠ADC的度数是（
C
）
A.55°
B.45°
C.27.5°
D.25°
例3
教材第87页
例4.
涉及直径时，通常利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.
练习：
1.教材第88页
练习第1题.
2.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且AC=CD.连接BC，BD，若∠CBD=20°，则∠A=
70
°.
3.如图，A，D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D=40°，则∠ACO=（
D
）
A.80°
B.70°
C.60°
D.50°
4.教材第88页
练习第3题.
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=30°.
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD=，求BD的长.
【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
∵∠B=∠ACD=30°，∴∠BAD=90°-∠B=60°；
（2）在Rt△ADB中，∵∠B=30°，∴AD=AB.
∴AB=，BD==3.
活动5
课堂小结
1.圆周角的概念.
2.圆周角定理及推论.
四、作业布置与教学反思
第2课时
圆内接四边形
一、教学目标
1.掌握圆内接多边形、多边形的外接圆的概念.
2.理解圆内接四边形的性质.
3.通过探究圆内接四边形的性质，发展学生的推理能力.
二、教学重难点
重点
圆内接四边形对角互补的探索与运用.
难点
圆内接四边形性质的灵活应用以及添加辅助线.
重难点解读
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.回顾圆周角定理及其两个推论.
2.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB=10
cm，∠A=30°，则BC的长为_________cm.
3.如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO=25°，则∠C=_________.
活动2
探究新知
教材第87页
思考.
提出问题：
（1）图24.1-17中，∠A是圆周角吗？∠ABC，∠C，∠ADC呢？
（2）∠A与∠C，∠ABC与∠ADC之间有什么关系？用圆周角定理尝试证明；
（3）由此你能得出圆内接四边形的什么结论？
活动3
知识归纳
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的
外接圆
.
2.圆内接四边形的对角
互补
.
活动4
典例赏析及练习
例1
如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B=100°，则∠ADE=
100°
.
例2
如图，点A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠A=70°，则∠C为（
C
）
A.35°
B.70°
C.110°
D.120°
练习：
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=
130
°.
2.圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7，则∠D=
120
°.
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD，若∠C=68°，则∠ABD为（
A
）
A.34°
B.56°
C.68°
D.112°
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE=AD，连接DE.求证：四边形AOCD是菱形.
【答案】证明：如图，连接OD.
∵点D是的中点，∴=.
∴AD=DC，∠AOD=∠DOC.
∵∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOD=∠DOC=60°.
∵OC=OD，∴OA=OC=CD=AD，
∴四边形AOCD是菱形.
活动5
课堂小结
1.圆内接多边形和多边形外接圆的概念.
2.圆内接四边形的性质.
四、作业布置与教学反思