人教版数学九年级上册 24.3 正多边形和圆 教案

24.3
正多边形和圆
一、教学目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.
二、教学重难点
重点
理解正多边形和圆的关系，了解有关概念，会进行计算.
难点
探索正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系.
重难点解读
1.正多边形的有关计算：
（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；
（2）如图所示，中心角∠AOB=；半径OA，边心距OC和AC（）构成直角三角形；
（3）S=lr（S：正多边形面积，l：正多边形周长，r：正多边形边心距）；
（4）正n边形的每个内角为，每个外角为.
2.边数为奇数的正多边形是轴对称图形；边数为偶数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.什么叫正多边形？
2.从你身边举出几个正多边形的实例，正多边形是轴对称、中心对称图形吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
活动2
探究新知
1.教材第105页.
提出问题：
（1）如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
（2）各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？
（3）思考如何把圆进行三等分、四等分、五等分、n等分.
2.教材第106页
例题.
提出问题：
（1）正多边形的内角、中心角、外角怎样计算？填空：
正多边形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
（2）正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
3.教材第107页.
提出问题：
（1）如何画正多边形？
（2）画正三角形、正方形还有哪些方法？
活动3
知识归纳
1.一个正多边形的各个顶点都在一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的内接正多边形，圆叫做这个正多边形的
外接圆
.
2.一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的
中心
，外接圆的
半径
叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的
中心角
，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的
边心距
.
3.正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有n条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形.
4.正n边形的每个内角都等于
，每个外角都等于
180°-
，中心角等于
.
活动4
典例赏析及练习
例1
如图，⊙O的内接正六边形的半径是4，则这个正六边形的边长为
4
.
例2
如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆的内接正三角形.
【答案】解：方法一：（1）用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°；（2）连接AB，BC，CA，则△ABC为圆的内接正三角形.
方法二：（1）用量角器画圆心角∠BOC=120°；（2）在⊙O上用圆规截取=；（3）连接AC，BC，AB，则△ABC为圆的内接正三角形.
方法三：（1）作直径AD；（2）以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；（3）连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形.
方法四：（1）作直径AE；（2）分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；（3）连接AB，BC，CA（或连接EF，ED，DF），则△ABC（或△EFD）为圆的内接正三角形.
方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法和尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3，4的整数倍的正多边形.
练习：
1.若一个正多边形的每个外角为36°，则这个正多边形的中心角为
36
度.
2.一个正方形的内切圆与外接圆的半径之比为
1∶
.
3.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（
B
）
A.30°
B.36°
C.60°
D.72°
4.如图，⊙O的周长等于8π
cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O.
（1）求圆心O到CD的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积.
【答案】解：（1）如图，连接OC，OD，作OH⊥CD于点H.
∵⊙O的周长等于8π，∴⊙O的半径OC=4.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD==60°.∴∠COH=30°.∴CH=OC=2.
∴圆心O到CD的距离OH===（cm）；
（2）正六边形ABCDEF的面积=×4××6=（cm2）.
活动5
课堂小结
1.正多边形与圆的关系.
2.正多边形的半径、中心角、边长、边心距的计算及其之间的等量关系.
3.画正多边形的方法.
四、作业布置与教学反思