2020-2021学年安徽省合肥三十八中七年级（下）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省合肥三十八中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，满分40分）
1．﹣的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．x6÷x2＝x3 B．（3x）2＝3x2 C．（x2）3＝x5 D．x2?x3＝x5
3．估计65的立方根大小在（　　）
A．8与9之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
4．在3.14，，﹣，，π这几个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）
A． B． C． D．8
6．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2
7．不等式组的整数解之和为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2 D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
9．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2
10．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有（　　）
A．29人 B．30人 C．31人 D．32人
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11．比较大小：﹣4　 　（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．某种生物孢子的直径为0.00058m．把0.00058用科学记数法表示为　 　．
13．已知a+b＝3，ab＝2，则a﹣b＝　 　．
14．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．如果[]＝4，那么x的取值范围是　 　．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17．因式分解：16x3﹣9xy2．
18．先化简、再求值：（2a+3b）2﹣（2a+b）（2a﹣b），其中a＝1，b＝﹣1．
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4×　 　2＝　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）写出m的值；
（2）求|m﹣1|﹣的值．
六、（本大题满分12分）
21．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am?an，am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，ambm＝（ab）m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）52021×（）2021＝　 　；
（2）若3×9m×27m＝311，求m的值；
（3）比较大小：a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d的大小关系是什么？（提示：如果a＞b＞0，n为正整数，那么an＞bn）
七、（本大题满分12分）
22．某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
（1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解）
（2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
八、（本大题满分14分）
23．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　 　）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，满分40分）
1．﹣的绝对值是（　　）
A． B．﹣ C． D．
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
解：﹣的绝对值是，
故选：C．
2．下列运算正确的是（　　）
A．x6÷x2＝x3 B．（3x）2＝3x2 C．（x2）3＝x5 D．x2?x3＝x5
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方法则进行运算，然后即可作出判断．
解：A、x6÷x2＝x4，故本选项错误；
B、（3x）2＝9x2，故本选项错误；
C、（x2）3＝x6，故本选项错误；
D、x2?x3＝x5，故本选项正确．
故选：D．
3．估计65的立方根大小在（　　）
A．8与9之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【分析】由＜＜求解可得．
解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴估计65的立方根大小在4与5之间，
故选：C．
4．在3.14，，﹣，，π这几个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：＝3，
﹣，π是无理数，共有2个，
故选：B．
5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　　）
A． B． C． D．8
【分析】把x＝64代入数值转换器中计算确定出y即可．
解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，
∵8是有理数，
∴结果为无理数，
∴y＝＝2．
故选：A．
6．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2
【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变，即﹣＞﹣，故本选项错误；
D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；
故选：D．
7．不等式组的整数解之和为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
解：解不等式x﹣1＞2（x﹣2），得：x＜3，
解不等式x≤+2，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为1、2，
∴不等式组整数解之和为1+2＝3，
故选：D．
8．下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2 D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
【分析】直接利用提取公因式以及公式法分解因式得出答案．
解：A、2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），无法分解因式，故此选项错误；
C、x2﹣2xy+4y2，无法直接利用公式法分解因式，故此选项错误；
D、﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，故此选项正确．
故选：D．
9．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2
【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．
解：阴影部分的面积：（a﹣b）2，
还可以表示为：a2﹣2ab+b2，
∴此等式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：A．
10．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有（　　）
A．29人 B．30人 C．31人 D．32人
【分析】首先设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶（4x+28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组，解出不等式组后再找出符合条件的整数．
解：设这个敬老院的老人有x人，依题意得：
，
解得：29＜x≤32，
∵x为整数，
∴x可取值30，31，32，
∴x最少为30，
故选：B．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11．比较大小：﹣4　＜　（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先把﹣4化为﹣的形式，再根据负数比较大小的法则进行比较即可．
解：∵﹣4＝﹣，16＞13，
∴＞，
∴﹣＜﹣，即﹣4＜﹣．
故答案为：＜．
12．某种生物孢子的直径为0.00058m．把0.00058用科学记数法表示为　5.8×10﹣4　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00058＝5.8×10﹣4；
故答案为：5.8×10﹣4．
13．已知a+b＝3，ab＝2，则a﹣b＝　±1　．
【分析】首先根据完全平方公式将（a﹣b）2用（a+b）与ab的代数式表示，然后把a+b，ab的值整体代入求值，然后利用平方根的意义求得a﹣b的值．
解：∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣8＝1，
∴a﹣b＝±1．
故答案是：±1．
14．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．如果[]＝4，那么x的取值范围是　7≤x＜9　．
【分析】根据定义得出4≤＜5，求出即可．
解：根据题意得：4≤＜5，
解得7≤x＜9．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
【分析】原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
解：原式＝3﹣2+2﹣＝3﹣．
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解：，
由①得，x≤2，
由②得，x＞﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
解集在数轴上如下图：
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17．因式分解：16x3﹣9xy2．
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：原式＝x（16x2﹣9y2）
＝x（4x﹣3y）（4x+3y）．
18．先化简、再求值：（2a+3b）2﹣（2a+b）（2a﹣b），其中a＝1，b＝﹣1．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后求出答案即可．
解：（2a+3b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）
＝4a2+12ab+9b2﹣4a2+b2
＝10b2+12ab，
当a＝1，b＝﹣1时，原式＝10×（﹣1）2+12×1×（﹣1）＝﹣2．
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4×　4　2＝　17　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．
解：（1）32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42＝17；
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2＝4n+1，
左边＝（2n+1）2﹣4n2＝4n2+4n+1﹣4n2＝4n+1，
右边＝4n+1．
左边＝右边
∴（2n+1）2﹣4n2＝4n+1．
20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）写出m的值；
（2）求|m﹣1|﹣的值．
【分析】（1）利用数轴上点的移动可求．
（2）先去绝对值，再化简求值．
解：（1）由题意得：m＝﹣+2．
（2）原式＝|﹣+2﹣1|﹣
＝﹣1﹣
＝﹣1．
六、（本大题满分12分）
21．将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am?an，am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，ambm＝（ab）m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
（1）52021×（）2021＝　1　；
（2）若3×9m×27m＝311，求m的值；
（3）比较大小：a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d的大小关系是什么？（提示：如果a＞b＞0，n为正整数，那么an＞bn）
【分析】（1）可利用积的乘方的逆运算计算求解；
（2）可利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算可求解m值；
（3）将a，b，c化为相同的指数，再比较大小即可求解．
解：（1）52021×（）2021＝，
故答案为1；
（2）∵3×9m×27m＝311，
∴3×32m×33m＝31+5m＝311，
∴1+5m＝11，
解得m＝2；
（3）∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，d＝622＝（62）11＝3611，32＜36＜81＜125，
∴3211＜3611＜8111＜12511，
∴a＜d＜b＜c．
七、（本大题满分12分）
22．某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180件，其进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
（1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240元，问甲、乙两种用品应分别购进多少件？（请用二元一次方程组求解）
（2）若商家计划投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
【分析】（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共180件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180﹣m）件，根据“投入资金少于5040元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润＝销售每件的利润×销售数量，可分别求出3个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
解：（1）设购进甲种用品x件，乙种用品y件，
依题意得：，
解得：．
答：购进甲种用品100件，乙种用品80件．
（2）设购进甲种用品m件，则购进乙种用品（180﹣m）件，
依题意得：，
解得：60＜m≤63，
又∵m为正整数，
∴m可以取61，62，63，
∴共有3种购货方案，
方案1：购进甲种用品61件，乙种用品119件；
方案2：购进甲种用品62件，乙种用品118件；
方案3：购进甲种用品63件，乙种用品117件．
方案1可获得的利润为（20﹣14）×61+（43﹣35）×119＝1318（元）；
方案2可获得的利润为（20﹣14）×62+（43﹣35）×118＝1316（元）；
方案3可获得的利润为（20﹣14）×63+（43﹣35）×117＝1314（元）．
∵1318＞1316＞1314，
∴获利最大的购货方案为：购进甲种用品61件，乙种用品119件．
八、（本大题满分14分）
23．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　a2﹣ab+b2　）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
【分析】（1）根据等式的规律填空即可；
（2）利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式进行计算、合并即可．
解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3；
（3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3．