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22．6 正方形
01 基础题
知识点1 正方形的性质
1．正方形具有而矩形不具有的性质是(
)
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相平分且相等
D．对角线互相垂直
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则结论：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AC⊥BD中，正确的有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．(2020·天津)如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是(
)
A．(6，3)
B．(3，6)
C．(0，6)
D．(6，6)
4．【转化思想】如图，正方形ABCD的边长为4
cm，则图中阴影部分的面积为(
)
A．4
cm2
B．8
cm2
C．12
cm2
D．16
cm2
5．(2020·邯郸丛台区期末)如图，已知?ABCD与正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数是(
)
A．75°
B．70°
C．55°
D．50°
6．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(
)
A．8
B．4
C．8
D．16
7．(2020·包头)如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝
（
）
.
8．(2020·呼伦贝尔)已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.
知识点2 正方形的判定
9．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是(
)
A．甲、乙
B．甲、丙
C．乙、丙、丁
D．甲、乙、丙、丁
10．(2020·石家庄模拟)在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(
)
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
11．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED.求证：四边形ABCD是正方形．
易错点 点的位置不确定导致漏解
12．在正方形ABCD的平面内作等边△ADE，则∠AEB的度数为
．
02 中档题
13．(2020·衡水模拟)如图，正方形ABCD的面积为144，菱形BCEF的面积为108，则S阴影＝(
)
A．18
B．36
C．18
D．36
14．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为(
)、
A.
B．2
C．2
D.
15．(2020·河北模拟)如图，在正方形ABCD中，AC＝，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF.AF，BE交于点O，P为AB的中点，则OP＝（
）
16．(2020·邢台沙河市模拟)如图1、图2，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：
甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求．
乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．
对于以上两种作法，可以做出的判定是(
)
A．甲正确，乙错误
B．甲、乙均正确
C．乙正确，甲错误
D．甲、乙均错误
03 综合题
17．(2018·定州期中)如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别是M，N.
(1)求证：AE＝MN.
(2)若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．
22．6 正方形
01 基础题
知识点1 正方形的性质
1．正方形具有而矩形不具有的性质是(D)
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相平分且相等
D．对角线互相垂直
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则结论：①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③AC⊥BD中，正确的有(D)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．(2020·天津)如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是(D)
A．(6，3)
B．(3，6)
C．(0，6)
D．(6，6)
4．【转化思想】如图，正方形ABCD的边长为4
cm，则图中阴影部分的面积为(B)
A．4
cm2
B．8
cm2
C．12
cm2
D．16
cm2
5．(2020·邯郸丛台区期末)如图，已知?ABCD与正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数是(B)
A．75°
B．70°
C．55°
D．50°
6．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(A)
A．8
B．4
C．8
D．16
7．(2020·包头)如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝22°.
8．(2020·呼伦贝尔)已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°.
又∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF.
∴△COE≌△DOF(ASA)．
∴CE＝DF.
知识点2 正方形的判定
9．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是(D)
A．甲、乙
B．甲、丙
C．乙、丙、丁
D．甲、乙、丙、丁
10．(2020·石家庄模拟)在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(C)
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
11．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED.求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵∠AED＝∠CED，
∴∠AEB＝∠CEB.
又∵∠BAE＝∠BCE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(AAS)．
∴AB＝CB.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
易错点 点的位置不确定导致漏解
12．在正方形ABCD的平面内作等边△ADE，则∠AEB的度数为75°或15°．
02 中档题
13．(2020·衡水模拟)如图，正方形ABCD的面积为144，菱形BCEF的面积为108，则S阴影＝(C)
A．18
B．36
C．18
D．36
14．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为(B)、
A.
B．2
C．2
D.
15．(2020·河北模拟)如图，在正方形ABCD中，AC＝，E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF.AF，BE交于点O，P为AB的中点，则OP＝．
16．(2020·邢台沙河市模拟)如图1、图2，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：
甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求．
乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．
对于以上两种作法，可以做出的判定是(B)
A．甲正确，乙错误
B．甲、乙均正确
C．乙正确，甲错误
D．甲、乙均错误
03 综合题
17．(2018·定州期中)如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别是M，N.
(1)求证：AE＝MN.
(2)若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．
解：(1)证明：连接EC，AC
∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝90°.
∴四边形EMCN为矩形．
∴MN＝CE.
又∵BD垂直平分AC，
∴AE＝EC.
∴AE＝MN.
(2)过点E作EF⊥AD于点F.
在Rt△AEF中，AE＝2，∠DAE＝30°，
∴EF＝AE＝1，AF＝＝.
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EDF＝45°.
∴DF＝EF＝1.
∴AD＝AF＋DF＝＋1，即正方形的边长为＋1.
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22.6正方形
冀教版
八年级下
学习目标
1.了解正方形的定义及其与平行四边形、矩形、菱形的关系.
2.探索并掌握正方形的性质，应用正方形的性质解决相关问题.
3.掌握正方形的判定方法，会运用正方形的判定条件进行有关的证明和计算
.
温故知新:
定义
边
角
对
角
线
对
称
性
平行
四边形
矩
形
菱
形
几种特殊四边形的定义及性质
对边平行
且相等
对边平行
且相等
对边平行
，四边都
相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，邻角互补
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角
中心对
称图形
轴对称
图形、
中心对
称图形
轴对称
图形、中
心对称图形
两组对边
分别平行
的四边形
有一个角
是直角的
平行四边
形
有一组邻
边相等的
平行四边
形
有
的平行四边形叫做正方形。
一组邻边相等且有一个角是直角
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。因此正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质。
（2）边：
；
（3）角：
；
（4）对角线：
；
中心对称
轴对称
正方形的四条边都相等、对边平行
正方形的四个角都是直角
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
（1）对称性；正方形是_________图形
对称中心是_________
、
正方形又是_________图形，有
对称轴，对称轴是
。
两条对角线的交点
两条对角线所在的直线和每组对边中点连线所在直线。
4
A
B
C
D
O
1.如图，在正方ABCD中，∠DOC=
°，
∠ABD=
°，∠DAC=
°.
O
A
B
C
D
练一练
2.正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的
三角形
45
45
90
等腰直角
例1.如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么BE与DE相等吗?为什么?
解:
BE
=
DE.理由如下：
连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD
又点E在AC上
∴BE
=DE
A
B
C
D
E
学以致用
还可以用其他方法说明，试试看.
例2.已知：如图，在正方形ABCD中，
ΔBEC是等边三角形，求证：
∠EAD＝∠EDA＝15°
证明：∵四边形ABCD是正方形，△BEC是等边三角形
∴∠EBC=
∠
ECB=
∠
CEB=60°，∠ABC=∠BCD=90°
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∠
ABE=
∠
DCE=30°
∴∠
BAE=
∠
BEA=
∠
CDE=
∠
CED=75°
∴∠
EAD=
∠
EDA=90°-75°=15°
活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.
判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形
正方形
正方形的判定
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形
正方形
对角线（
）的矩形是正方形
对角线（
）的菱形是正方形
互相垂直
对角线相等
判定方法3
判定方法4
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（
）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
练一练
C
例3.在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
M
N
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN
∠A=∠B=∠C=∠D
AN=BE=CF=DM
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）
=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形
.
M
N
证明：∵
DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠DEC=
∠DFC=90°.
又∵
∠C=90
°
∴四边形CEDF是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线
DE⊥AC，DG⊥AB
∴
DE=DG
同理：DG=DF
∴ED=DF
∴四边形CEDF是正方形.
例4.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形
A
B
C
D
E
F
G
1．
判断下列命题是否正确．
（1）
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
（2）
对角线互相垂直的矩形是正方形．
（3）
对角线相等的菱形是正方形．
（4）
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
A
D
B
C
O
E
2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数为
.
22.5°
√
√
√
√
D
A
E
B
C
解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB
=AE=BE,
∠ABE=∠BEA=∠EAB
=60°.
又∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=BC=AE=BE,
∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.
3.如图，已知正方形ABCD
,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE
、
CE
,求∠DEC的度数.
4.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE.试说明：DG＝BE.
证明：根据正方形的性质可得AD=AB，AG=EF
又由旋转可得∠DAG=∠BAE
∴△
DAG≌△
BAE（SAS)
∴DG=BE
5.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值.
A
B
C
D
E
P
F
O
解：连接PO
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=BO=
AC.
∵S△APO+S△BPO=S△ABO
∴
AO·PE+
BO·PF
=
AO·BO
∴PE+PF=
AO=
AC=5.
6.如图，在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分?ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM?AD
,
PN?CD
,垂足分别为M、N.
(1)
求证：?ADB=?CDB;
(2)
若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB
=
BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD
(AAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形
性质
定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
判定
1.一组邻边相等的矩形是正方形
2.有一个角是直角的菱形是正方形
3.对角线互相垂直的矩形是正方形
4.对角线相等的菱形是正方形
布置作业
课本149页A组题和B组题
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