安徽省芜湖市华星学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 Word版含答案

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华星学校2020-2021学年第二学期期中考试高二年级数学（理）联考试题
总分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本大题共12小题每小题5分，共60分）
1．已知复数（是虚数单位） ，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．对于非零向量，，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．60 B．160 C．180 D．240
4．设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．4
5．双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
6．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
10．四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. B. C. D.
11．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上）
13．命题，使得，则为____________________．
14．短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则△周长为_____________．
15．设，那么的值为 ．
16．抛物线与轴所围图形的内接矩形的最大面积为_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分)
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
18．(本小题满分12分)
已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围．
19．(本小题满分12分)
已知抛物线上的点到焦点的距离为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
22．（本小题满分12分）
已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若常数，求函数在区间上的最大值.
参考答案：绝密★启用前
2018-2019学年第二学期期中考试高二年级数学（理）联考试题
答 案
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D D B A C A B C B C
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．解:（Ⅰ）…4分
（Ⅱ）三角恒等式：．
证明如下：左边

………10分
18．解：(Ⅰ)椭圆的焦距是，所以焦点坐标是，
由题可得，椭圆过点，
椭圆的方程是……………4分
(Ⅱ)由题易得，左焦点右焦点坐标为
若直线垂直于轴，则点
……………6分
若直线不垂直于轴，可设的方程为设点
将直线的方程代入椭圆的方程得到
则
.
，……………10分
的取值范围是……………………12分

19．解:（Ⅰ）由抛物线的定义得，，解得，
所以抛物线的方程为，代入点，可解得．……………4分
（Ⅱ）设直线的方程为，，，
联立消元得，则，，
由，得，所以或（舍去），
即，即，所以直线的方程为，
所以直线过定点．……………12分
20．解:如图，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设.
（Ⅰ）证明：连接交于点，连接.依题意得
.因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，故点的坐标为，则，所以，即,而平面，且平面，因此平面．……………6分
（Ⅱ），因为，故，所以.
由已知得，且，所以平面，
所以平面的一个法向量为.
，设平面的法向量为，
则取，则，即，
则，
设二面角的平面角为，因为，所以．
二面角的正弦值大小为．……………12分
21．解:（Ⅰ）当时，，，
令，解得，所以函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减；
所以当时取极大值，极大值为，无极小值.……………5分
（Ⅱ）函数的定义域为，.
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，解得，所以函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.……………12分
22.【解析】（Ⅰ）由得.，由得，
∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为
，从而得，∴. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.的取值变化情况如下：



2





单调
递增 极大值
单调
递减 极小值
单调
递增
又，所以①当时,；
②当时,
综上可知：当时,；
当时,……………12分