人教A版2019必修二第六章平面向量期末复习

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平面向量期末复习
一　向量的有关概念
名称
定义
向量
既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模)
零向量
长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
平行向量
表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相反向量
长度相等且方向相反的向量
?易误提醒　
1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．
一、选择题
1．下列结论中，正确的是（
）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若向量与都是单位向量，则
C．若向量与是平行向量，则与的方向相同
D．若两个向量相等，则它们的模相等
2．已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（
）
A．或
B．与平行
C．与方向相同或相反
D．存在实数，使得
3．给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若，则或；
则所有正确命题的号是（
）
A．③
B．①
C．①③
D．①②
4．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．下列说法正确的是（
）
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫作相等向量
C．与任一向量都平行的向量是零向量
D．共线向量是在一条直线上的向量
6．下列关于向量的命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，则
7．命题“若，，则”
（
）
A．当时成立
B．当时成立
C．总成立
D．当时成立
8．下列命题正确的是（
）
A．与共线，与共线，则与也共线
B．单位向量都相等
C．向量与不共线，则与都是非零向量
D．共线向量一定在同一直线上
9．数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（
）
A．﹣1
B．2
C．1
D．3
10．（共线向量的概念）下列命题中，正确的是（
）
A．若∥，则与方向相同或相反
B．若∥，∥，则∥
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，，则
二平面向量的线性运算
（1）向量的加法运算
1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2.向量加法的方法：向量加法的三角法则
已知非零向量，在平面内任取一点A，做=，=，则向量叫做与的和，记作，即,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点
平行四边形法则
以同一O为起点的两个已知向量，，以，为邻边做OACB，则以O为起点的向量，（OC是OACB的对角线）就是向量与的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量，我们规定+=+=
平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同
（2）向量的减法运算
定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算叫做向量的减法.
相反向量：我们规定，与向量,长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作﹣
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和﹣互为相反量，于是-（-）=.
由两个向量和的定义易知
即任意向量与其相反向量的和是零向量
几何意义：已知向量，，在平面内任取一点O，作，，则，即可以表示为从的终点指向向量的终点的向量
（3）、向量的数乘运算
向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设，为实数，那么
特别的，我们有
向量的加、减数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量，以任意实数，，，恒有
（四）、向量的数量积
1.向量的夹角
已知两个非零向量,,O是平面上的任意一点，作=,=,则∠AOB=叫做向量与的夹角.
显然，当时，与同向；当时，与反向.
如果与的夹角是，我们说与垂直，记作
2.向量数量积的定义
已知两个非零向量与，他们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积，记作
即；=
规定；零向量与任一向量的数量积为0.
一、选择题
1．若，，与的夹角是，则（
）
A．12
B．
C．1
D．
2．已知向量满足，且与的夹角是，则的值是（
）
A．7
B．
C．19
D．
3．，是半径为1的圆的两条直径，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（
）
A．
B．1
C．
D．
5．已知是的外心，，且，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，已知在中，O是重心，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知两非零向量与的夹角为，且，则（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
8．设向量，为互相垂直的单位向量，若向量与垂直，则（
）
A．
B．1
C．2
D．
9．设向量，满足，，则（
）
A．
B．1
C．4
D．
10．已知向量的夹角为，，则（
）
A．2
B．
C．4
D．
二、解答题
11．已知向量与的夹角，且，．
（1）求，，在上的投影向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
12．已知向量.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）在矩形中，设为的中点，F为的中点，求的值．
13．已知两个不共线的向量的夹角为，且，x为正实数．
（I）若与垂直，求；
（Ⅱ）若，求的最小值及对应的x的值．
14．已知单位向量的夹角为，向量，向量．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
15．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
三平面向量基本定理及坐标表示
1、平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使，=.
若，不共线，我们把（，）叫做表示这一平面内使用向量的出一个基底.
2平面向量加、减运算的坐标
两个向量的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.
作向量,,则
=-
=
=.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
3.平面向量数乘运算的坐标表示
已知，即
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4.平面向量数量积的坐标表示
（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）若=,则=+，或=.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么
5.平面向量垂直的坐标表示
设=，=，则
设=，=
，则∥=
x1y2-x2y1=0
1．已知平面向量，若与共线，则k等于（
）
A．1
B．
C．
D．4
2．已知点，则向量（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，，则，则（
）
A．8
B．
C．
D．2
4．已知向量，，若，则实数的值为（
）
A．9
B．17
C．7
D．21
5．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，其中.
（1）若与平行，求实数k的值；
（2）若，证明：对任意实数，与垂直.
7．已知向量，若，
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
8．（1）已知向量，.若，求实数的值.
（2）若向量，不共线，向量与共线，求实数的值.
9．已知平行四边形中，，点E是线段的中点．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
10．已知向量，.
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求的值．
综合练习通关
一、单选题
1．化简得（
）
A．
B．
C．
D．
2．中，为边上一点，且满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是（
）
A．＝(0，0)，＝(1，2)
B．＝(－1，2)，＝(5，－2)
C．＝(3，5)，＝(6，10)
D．＝(2，－3)，＝(－2，3)
4．若向量，，则向量与的夹角等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知点，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知向量，，若
，则（
）
A．
B．
C．2
D．3
7．已知向量，，那么向量与的位置关系是（
）
A．平行
B．垂直
C．夹角是锐角
D．夹角是钝角
8．已知如图，在平行四边形中，，
，，
，分别是线段与的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（
）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若（，，是单位向量），则，．
C．向量与共线存在不全为零的实数，，使
D．已知，，三点共线，为直线外任意一点，若，则
10．已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（
）
A．
B．若且，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．如图，在矩形中，分别为和上的中点，若，其中则的值为_______．
14．已知点，则向量与的夹角余弦值为___________.
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．
16．已知平面向量，，，满足，，，，则的取值范围为______.
四、解答题
17．已知向量在同一平面上，且.
（1）若，且，求向量的坐标﹔
（2）若，且与垂直，求的值.
18．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.
（1）用，表示，，
（2）求与夹角的余弦值.
19已知，.
（1）若，求；
（2）若，的夹角为，求.
20．已知向量，，且．
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
21．已知平面向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
22．在的边，上分别有一点，，已知，，连接，，设它们交于点，若，.
（1）用与表示；
（2）过作，垂足为，若，，与的夹角，求的范围.
一平面向量的概念
一、选择题
1．下列说法错误的是（
）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【详解】
A.和长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
2．在等式①;
②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【详解】
零向量与任何向量的数量积都为0，错误；
0乘以任何向量都为零向量，正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误；
向量模的平方等于向量的平方，正确；
不一定有，故错误；
故选：C
3．下列说法中正确的是（
）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若满足且与同向，则
D．对于任意向量，必有
【答案】D
【详解】
解：对于A，平行向量也叫共线向量，故A不正确；
对于B，单位向量的模相等，方向不一定相同，故B不正确；
对于C，因为向量有方向，所以向量不能比较大小，故C不正确；
对于D，若与共线同向，则，
若与共线反向，则，
若与不共线，则根据向量的加法的平行四边形法则和三角形法则中，
得出在三角形中两边之和大于第三边，则，
综上可知，对于任意向量，必有，故D正确.
故选：D.
4．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③若
(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若，则共线．
其中错误的命题的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】
①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误，当时，不论λ为何值，.
④错误，当λ=μ=0时，，此时，与可以是任意向量．
故选C．
5．以下说法正确的是（
）
A．空间异面直线的夹角取值范围是
B．直线与平面的夹角的取值范围是
C．二面角的取值范围是
D．向量与向量夹角的取值范围是
【答案】C
【详解】
A项：空间异面直线的夹角取值范围是，A错误；
B项：直线与平面的夹角的取值范围是，B错误；
C项：二面角的取值范围是，C正确；
D项：向量与向量夹角的取值范围是，D错误，
故选：C.
6．下列说法正确的是（
）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，（），则与是平行向量
【答案】D
【详解】
解：对于，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以错误；
对于，当时，其模长与可能相等或，或，所以错误；
对于，当时，不一定有，因为要且与同向，所以错误；
对于，，（），则与是平行向量，正确．
故选：．
7．下列各量中是向量的是（
）
A．时间
B．速度
C．面积
D．长度
【答案】B
【详解】
解：既有大小，又有方向的量叫做向量；
时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．
而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．
故选：．
8．下列命题中，正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【详解】
若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确;
若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确;
向量不能比较大小,C不正确;
若，则,D,不正确.
故选:B.
9．下列四个命题正确的是（
）
A．两个单位向量一定相等
B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等
D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
【答案】B
【详解】
解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；
若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；
共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；
两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．
故选：B．
10．下列关于向量的描述正确的是
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
【答案】D
【详解】
对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；
对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；
对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；
对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；
故选：D.
二平面向量的线性运算
一、选择题
1．若，，与的夹角是，则（
）
A．12
B．
C．1
D．
【答案】C
【详解】
由题意，向量，，与的夹角是，
所以.
故选：C.
2．已知向量满足，且与的夹角是，则的值是（
）
A．7
B．
C．19
D．
【答案】B
【详解】
,
.
故选：B
3．，是半径为1的圆的两条直径，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
如图所示，，是半径为1的圆的两条直径，且，即为的中点，
则
，
故选：B.
4．已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影是（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【详解】
在方向的投影为.
故选：A.
5．已知是的外心，，且，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
如图，过点O作,垂足分别为D,E.
则,,
，，
又，同理可得：，代入上式，
，又，
解得，
故选：A
6．如图所示，已知在中，O是重心，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
连接并延长交于点，因为是重心，则是的中点.
，
所以.
故选：B.
7．已知两非零向量与的夹角为，且，则（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【详解】
，
整理可得：，解得：或（舍）.
故选：C.
8．设向量，为互相垂直的单位向量，若向量与垂直，则（
）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】C
【详解】
向量，为互相垂直的单位向量，则，
向量与垂直，则，
．
故选：C．
9．设向量，满足，，则（
）
A．
B．1
C．4
D．
【答案】B
【详解】
解：，，
，
，
将两式相减可得，
故选：B.
10．已知向量的夹角为，，则（
）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】A
【详解】
，，，
，
，
故选：A.
二、解答题
11．已知向量与的夹角，且，．
（1）求，，在上的投影向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)
,
,
在上的投影向量为：
;
(2)
【详解】
（1），所以
，所以
在上的投影向量为：
（2）
设向量与夹角为，则
12．已知向量.
（1）若，求向量与的夹角；
（2）在矩形中，设为的中点，F为的中点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）由，则，
，则，
所以，
因为向量与的夹角在上，则，
即向量与的夹角为.
（2）
.
13．已知两个不共线的向量的夹角为，且，x为正实数．
（I）若与垂直，求；
（Ⅱ）若，求的最小值及对应的x的值．
【答案】（1）；（2）时，取得最小值．
【详解】
（1）因为与垂直，所以，
所以；
（2），
所以时，取得最小值．
14．已知单位向量的夹角为，向量，向量．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）若，则存在实数，使得，即，
因为不共线，所以，解得；
（2）单位向量的夹角为，则，
由得，
解得，
，所以．
15．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】
（1）因为，所以，，解得；
（2）由已知可得，，
由平面向量数量积的定义可得，即，整理得，
解得或，
，所以，或都符合题意.
三平面向量的基本定理及坐标表示
1．已知平面向量，若与共线，则k等于（
）
A．1
B．
C．
D．4
【答案】B
【详解】
由题，若与共线，则，解得.
故选：B.
2．已知点，则向量（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，，
故选：A
3．已知向量，，则，则（
）
A．8
B．
C．
D．2
【答案】C
【详解】
∵，∴，∴.
故选：C.
4．已知向量，，若，则实数的值为（
）
A．9
B．17
C．7
D．21
【答案】B
【详解】
根据题意得，因为，
所以，得.
故选：B.
5．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，
，，即，
，，即，
又，，
，解得，，
故选：B
6．已知，，其中.
（1）若与平行，求实数k的值；
（2）若，证明：对任意实数，与垂直.
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【详解】
（1）因为，，
所以，，
因为与平行，所以，
整理得，
又，所以，解得；
（2）若，则，解得，即，
所以，，
则
，
因此，对任意实数，与垂直.
7．已知向量，若，
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1），，
，，解得，
，，，
，
又，所以
所以与的夹角为；
（2），
.
8．（1）已知向量，.若，求实数的值.
（2）若向量，不共线，向量与共线，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由向量，，得，
又，∴，解得.
（2）∵，
∴存在实数，使得，即.
又向量，不共线，∴，解得.
9．已知平行四边形中，，点E是线段的中点．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）4；（2）.
【详解】
(1)以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以；
(2)，，
因为，
所以，
解得.
10．已知向量，.
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由已知可得；
（2），，
因为向量与互相垂直，则，
解得.
综合练习通关
1．D
【分析】
根据向量加法减法运算法则即可化简.
【详解】
原式.
故选：D.
2．A
【分析】
由、代入化简可得关于、的表达式.
【详解】
，则，解得，
故选：A.
3．B
【分析】
确定是否不共线，不共线的就可以作为基底表示
【详解】
A．＝(0，0)，，
不可以作为平面的基底；不能表示出；
B．由于，不共线，，
可以作为平面的基底；能表示出；
C．，，
不可以作为平面的基底；不能表示出；
D．，，
不可以作为平面的基底；不能表示出．
故选：B．
4．C
【分析】
先利用坐标运算计算向量与的坐标，再根据向量积的定义式求解夹角的余弦值，即得结果.
【详解】
向量，，则，，
故，,
则向量与的夹角满足，，
故.
故选：C.
5．A
【分析】
由向量的坐标运算公式可得答案.
【详解】
因为，，，，
所以，
所以.
故选：A.
6．A
【分析】
先计算的坐标，再利用可得，即可求解.
【详解】
，
因为，所以，
解得：，
故选：A
7．D
【分析】
首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角.
【详解】
因为，，
，
所以向量与的位置关系是夹角为钝角，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.
8．B
【分析】
将和用和表示，结合和即可求解.
【详解】
，
，
，
故选：B.
9．CD
【分析】
A．根据基底概念进行判断；B．考虑共线的情况；C．根据向量共线的条件和共线向量定理进行判断；D．先根据点共线分析出向量共线，再根据共线向量定理进行证明并判断.
【详解】
A．一个平面内不共线的非零向量有无数对，每一对都可以作为表示该平面内所有向量的基底，故错误；
B．当共线时，如：，可取，此时，故错误；
C．当与均为零向量时，显然符合要求，且存在不全为零的实数，，使；
当时，由与共线可知，即，符合题意，故正确；
D．不妨设，所以，所以，
所以，故正确；
故选：CD.
【点睛】
结论点睛：向量问题中的常见结论：
（1）两个向量能作为基底的条件：同一平面内不共线的非零向量；
（2）共线向量定理：若向量与非零向量共线，则有且仅有一个实数使得；
（3）已知平面中三点共线
(O在该直线外)，若，则必有.
10．BCD
【分析】
本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；
再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.
【详解】
解：因为，，
所以B是的中点，P是的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；
因为，故选项B正确；
因为，所以，，故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
11．ABD
【分析】
根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.
【详解】
，正确；
，正确；
，错误；
，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
12．AC
【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.
【详解】
对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，
对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，
对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，
则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；
对于D，已知，且与的夹角为锐角，
可得即可得，解得，
当与的夹角为0时，，所以
所以与的夹角为锐角时且，故D错误；
故选:AC.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
13．
【分析】
由平面向量的线性运算，化简得到，即可求解的值得到答案．
【详解】
由题意，，
因为,,
所以两式相加得，,
所以，
得，所以，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，合理进行向量的线性运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
14．
【分析】
由点，分别求得向量与的坐标及模，代入夹角公式求解.
【详解】
因为点，
所以向量,
,
所以向量与的夹角余弦值为:
故答案为：
15．
【分析】
根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可.
【详解】
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵,
,，
故答案为：.
16．
【分析】
用几何意义求解．不妨设，，，则在圆心在原点，半径为2的圆上，设，则在以为圆心半径为1的圆上，运动后，形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，表示圆环内的点与定点的距离，由图形可得最大值和最小值．
【详解】
令，，，设的坐标为，的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.
设，的坐标为，的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.表示与点的距离，
由图可知，故的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设，，，，固定后得出了的轨迹，然后由模的几何意义得出最值．
17．（1）或；（2）.
【分析】
（1）由条件设，则，求出，即可得出答案.
(2)由条件可得，，则，由此可得答案.
【详解】
（1），设
，即
，则.
，
或.
（2），
，，即
即则
18．（1），；（2）.
【分析】
（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；
（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.
【详解】
解法一：
（1）由图可知.
因为E是CD的中点，所以.
（2）因为，为等边三角形，所以，，
所以，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以在与夹角的余弦值为.
解法二：（1）同解法一.
（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
因为E是CD的中点，所以，
所以，，
所以，
.
设与的夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
【点睛】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
19．（1）详见解析；（2）1.
【分析】
（1）根据向量平行可知两向量的夹角为或，再根据向量数量积的定义求解；（2）根据模的公式可知，代入数量积的公式求解.
【详解】
（1），与的夹角是或，
当夹角为时，，
当夹角为时，；
（2）
.
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）求出，然后由数量积的定义求得夹角；
（2）计算出后可得所求模．
【详解】
（1）由题意，，∴，
∴，，∴；
（2），
∴．
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，得，由此能求出．
（2）由，得，推导出，，由此能求出．
【详解】
解：（1）平面向量，，，
，
解得，
．
（2），，
，
若，则，不满足上式，舍，
，，
．
【点睛】
本题考查三角函数值的求法，考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用三点共线和三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；
（2）设，利用，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到关于的函数形式，利用的范围即可求得结果.
【详解】
（1）设，
三点共线，，
又，，；
设，同理可得：，，
不共线，，，解得：，，
即.
（2）设，则，
，
又，
，，
，
整理可得：，
，，，
即的取值范围为.
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精品试卷·第
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