(共22张PPT)
2.3.1 直 线 与 平 面 垂 直
a
b
直线和平面有那些位置关系
α
a
α
A
a
a
α
α
A
a
直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l和一个平面内的任意一条
直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 α互相垂直.
记作l ⊥α
α
l
P
l叫做α的垂线, α叫做 l的垂面,
l与α的交点P叫做垂足
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l和平面 α互相垂直
判断：
（性质定理）
2.b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b
垂线与垂面的唯一性( )
判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交
直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
α
B
m
n
l
α
例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？
A
B
C
D
A
B
C
D
练习题
V
A
B
C
，
例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于
一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
a
b
m
n
，
（1）
1、直线与平面垂直的定义
2、直线与平面垂直的判定与性质
1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的
距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交
练习题
2、在空间，下列命题
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；
（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
正确的是（ ）
A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。
3、判断题：
(2)
E
A
B
C
D
5、求证：平面外一点与这个平面内各点连结
而成的线段中，垂直于平面的线段最短
P
Q
R(共21张PPT)
异面直线的夹角
求直线BA1和CC1所成角的度数。
（1）找
（2）求
∠A1BB1即为异面直线A1B和CC1 的夹角
O
P
A
α
关键：过斜线上一点作平面的垂线
线面所成角
斜线
斜足
线面所成角
（锐角∠PAO）
射影
已知：SB=SC=6,AB=AC=3,SA=
（1）求证SA ⊥平面ABC
（2）求SB 和平面ABC的夹角
（1）找
（2）求
∠SBA即为直线SA和平面ABC的夹角
AB为SB在平面ABC内的射影
二面角
∠AOB即为二面角α-AB-β的
平面角
的
平面角
P 82 A7
（1）找
（2）求
∠VDC即为二面角V—AB—C的平面角
求直线BA1和CC1所成角的度数。
（1）找
（2）求
∠A1BB1即为异面直线A1B和CC1 的夹角
已知：SB=SC=6,AB=AC=3,SA=
（1）求证SA ⊥平面ABC
（2）求SB 和平面ABC的夹角
（1）找
（2）求
∠SBA即为直线SA和平面ABC的夹角
AB为SB在平面ABC内的射影
P 82 A7
（1）找
（2）求
∠VDC即为二面角V—AB—C的平面角
线面垂直的性质
线面垂直性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
平面中 空间中
√
√
垂直于同一条直线的两条直线平行
平面中 空间中
√
╳
两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
平面中 空间中
√
√
P67 A1
P67 A1
作业：
A：小结
B：P82 B1
C. 总结三种角
预习：2.3.4节(共17张PPT)
2.3.1 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定
a
b
A
B
α
B1
C1
C
B
思考？
一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？
(一)直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l和一个平面内的任意一条
直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 α互相垂直.
记作l ⊥α
l叫做α的垂线, α叫做 l的垂面,
l与α的交点P叫做垂足
α
l
P
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l和平面 α互相垂直（ ）
思考：
（性质定理）
2.b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b
错误
a
D
B
A
C
B
D
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
A
（1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面α,你同意他的说法吗
（2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD ⊥ CD,AD ⊥ BD,由此你能得到什么结论
判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交
直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
α
B
m
n
l
α
例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条
长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放
在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条
直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的
距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？
A
B
C
D
P
O
A
B
练习题
V
A
B
C
.
D
m
a
b
例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
，
n
E
A
B
C
D
练习题
，
（3）
1、直线与平面垂直的定义
2、直线与平面垂直的判定与性质
1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的
距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交
练习题
2、在空间，下列命题
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；
（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
正确的是（ ）
A.(1)(3)(4) B.(1)(4) C.(1) D.四个命题都正确。
C
B
探究:(共18张PPT)
二面角
∠AOB即为二面角α-AB-β的
平面角
的
平面角
寻找平面角
D
端点
中点
寻找平面角
中点
E
G
F
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
面面垂直的定义：
(2)日常生活中平面与平面垂直的例子
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢
α
β
a
A
b
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号:
α
β
a
A
简记：线面垂直，则面面垂直
面面垂直
线面垂直
线线垂直
符号:
线面垂直判定定理：
m α
n α
m ∩ n = B
l ⊥ m
l ⊥ n
l ⊥α
A
m
n
B
P76 例3
证明:
设已知⊙O平面为α
探究1：
A
C
B
D
A1
C1
B1
D1
如图为正方体,请问哪些平面与 垂直
面面垂直
线面垂直
线线垂直
探究1：
A
C
B
D
A1
C1
B1
D1
探究1：
A
C
B
D
A1
C1
B1
D1
探究1：
A
C
B
D
A1
C1
B1
D1
探究1：
A
C
B
D
A1
C1
B1
D1
请问哪些平面互相垂直的,为什么
探究2：
A
B
C
D
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角
（2）用面面垂直的判定定理
2、
面面垂直
线面垂直
线线垂直
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
作业
A：小结
B：P81 A3
C：小结二面角及其平面角(共18张PPT)
2.3.4 平面与平面垂直的性质
线面垂直的性质
线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
练习
P79 1
练习：P79 2.
a
b
b
b //α或b在α内
面面垂直的性质
α
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
D
E
F
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
面面垂直的性质
面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
面面垂直 线面垂直
α
β
a
A
l
例5.
α
β
A
b
a
解：设
l
在α内作直线b ⊥l
画图
面面相交
a
画图
面面垂直
α
β
l
画图
一个平面和两个平行平面相交
a
b
画图
三个平面两两垂直
α
β
l
γ
画图
面面相交 面面垂直
一个平面和两个平行平面相交 三个平面两两垂直
a
α
β
l
a
b
α
β
l
γ
P81 A5
α
β
l
γ
a
b
m
n
解：设
在α内作直线a ⊥n
在β内作直线b⊥m
面面垂直性质
线面平行判定
线面平行性质
练习P81
α
β
l
γ
m
n
P77 练习
动手做模型
要求（1）不能太小
（2）标上字母
作业
A：小结
B：P81 A5(共41张PPT)
2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α互相垂直，记作 l ⊥α。（如图）
直线 l 叫做平面α的垂线。
平面α叫做直线 l 的垂面。
直线 l 和平面α的交点叫做垂足。
α
P
l
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
返回
二、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥ m， l ⊥ n。
求证： l ⊥α。
α
m
n
B
l
α
m
n
B
l
l
α
m
n
B
l
l
α
m
n
g
B
l
α
m
n
g
B
g
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
AB=A’B
l
α
m
n
B
g
A
A’
l
α
m
n
g
A
B
A’
C
D
E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
l ⊥m
l
α
m
A
B
C
A’
l ⊥m
l
α
m
A
B
C
A’
l ⊥m
AC=A’C
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AD=A’D
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
CD=CD
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
△ACD≌△A’CD
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
∠ACE=∠A’CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AC=A’C
CE=CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
△ACE≌△A’CE
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AE=A’E
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l
α
g
A
B
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l
α
g
A
B
A’
E
AE=A’E
AB=A’B
l ⊥g
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的判定定理
注：m α
n α
m ∩ n = B
l ⊥ m
l ⊥ n
l ⊥α
这个定理还说明这样一个事实，的确存在着和一个平面内一切直线都垂直的直线，从而得证了直线和平面垂直的合理性。
这个定理不仅提供了判定直线和平面垂值得一种方法，而且还是证明直线和直线互相垂直的一种常用的方法，即要想证明a⊥b，只需证a与b所在平面内的两条相交直线垂直（或证b与a所在平面内的两条相交直线垂直）。
小结
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线确定的平面？为什么？
5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边，能否断定这条直线和三角形的第三条边垂直？为什么？
练习
α
a
b
m
n
已知：a∥b，a ⊥α
求证：b⊥α
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。（此定理可看作线面垂直的判定公理二）
证明：在平面α内作两条相交直线m，n
∵ a⊥α
∴ a⊥m ,a⊥n
∵ b∥a
∴ b⊥m ，b⊥n
∴ b⊥α
α
a
b
m
n
α
β
γ
a
b
c
E
例2 已知：b α，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，d⊥γ。
求证：a⊥α。
证明：
∵ b⊥β， β∩γ=a，
∴ b⊥a ；
∵ c⊥γ，β∩γ=a，
∴ c⊥a ；
∵ b∩c=E，
b α，
c α,
∴ a⊥α。
α
β
γ
a
b
c
E
例3 已知：正方体中，AC是面对角线，BD’是与AC 异面的体对角线。
求证：AC⊥BD’
A
B
D
C
A′
B ′
C
D
′
′
证明：
连接BD
∵正方体ABCD-A’B’C’D’
∴DD’⊥正方体ABCD
∵AC、BD 为对角线
∴AC⊥BD
∵DD’∩BD=D
∴AC⊥△D’DB
∴AC⊥BD’
A
B
D
C
A’
B’
C’
D’
l
α
m
n
g
A
B
C
D
A’
E
