2020-2021学年苏科版七年级数学下册12.2证明专题复习提升训练（Word版，附答案解析）

专题复习提升训练卷12.2证明-20-21苏科版七年级数学下册
一、选择题
1、如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）
A．∠C=∠1
B．∠A=∠2
C．∠C=∠3
D．∠A=∠1
2、如图，下列条件：①；②；③；
;⑤；其中能判断直线的有（
）
A．②③④
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②④
3、如图，平行线，被直线所截．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4、如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件不可以是（
）
A．∠1＝∠3
B．∠B＋∠BCD＝180°
C．∠2＝∠4
D．∠D＋∠BAD＝180°
5、如图，a∥b，c∥d，则图中与∠1互补的角有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是
A．
B．
C．
D．
7、一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1=115°，则∠2的度数为（　　）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
8、如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°；⑤DB平分∠ADC．其中正确的结论有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
9、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）
A．∠1+∠2＝2∠A
B．∠1+∠2＝∠A
C．∠A＝2（∠1+∠2）
D．∠1+∠2=∠A
10、如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β
B．γ＝α+2β
C．γ＝2α+β
D．γ＝α+β
二、填空题
11、如图，已知AB∥CD，∠1=130°，则∠2=___________．
12、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________度．
13、如图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有_____(填写所有正确的序号)．
14、如图，直线a平移后得到直线b，∠1＝60°，∠B＝130°，则∠2＝________°．
15、如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝35°，∠AFC＝15°，则∠C＝_____．
16、如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，则∠AEB=______．
17、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于
__________．
18、如图，直线，，，则的度数是___________度.
19、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝　
　．
20、如图，△ABC中，∠A＝100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC＝　
　，若BM、CM分别平分∠CBD、∠BCE，则∠1+∠2＝　
　，∠M＝　
　．
三、解答题
21、完成下面的证明．
如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：AB∥DG
证：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F（　
　）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义）
∴AD∥EF（　
　）
∴∠1＝　
　（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2　
　（　
　）
∴AB∥DG（　
　）
22、如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．根据提示将解题过程补充完整．
解：∵∠CDM+∠CDN＝180°（平角），
又∵∠AEM+∠CDN＝180°（已知），
∴∠AEM＝∠CDM
∴AB∥CD，（　
　）
∴∠AEF+（　
　）＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EFC＝62°，
∴∠AEF＝（　
°　）
∵EC平分∠AEF，
∴∠AEC＝（　59°　）．（角平分线的定义）
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝（　
　）（两直线平行，内错角相等）
23、如图①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.
(1)证明：BC∥EF；
(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.
24、（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　
　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；
（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用:
如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
25、如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．
（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．
26、阅读下面内容，并解答问题．
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：　
　．
（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择　
　题．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为　
　．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为　
　．
27、已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
(1)如图①，若∠A=20°，∠C=40°，则∠AEC=______°．
(2)如图②，若∠A=x°，∠C=y°，则∠AEC=______°．
(3)如图③，若∠A=α，∠C=β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．
28、某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　
　；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　
　
°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，
则∠R＝　
°．
29、问题1:
现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　
　
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　
　
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
问题2:
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边
形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　
　．
专题复习提升训练卷12.2证明-20-21苏科版七年级数学下册（解析）
一、选择题
1、如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）
A．∠C=∠1
B．∠A=∠2
C．∠C=∠3
D．∠A=∠1
【答案】D
【提示】直接根据平行线的判定定理对各选项进行逐一提示即可．
【详解】解：A、∠C=∠1不能判定任何直线平行，故本选项错误；
B、∠A=∠2不能判定任何直线平行，故本选项错误；
C、∠C=∠3不能判定任何直线平行，故本选项错误；
D、∵∠A=∠1，∴EB∥AC，故本选项正确．
故选：D．
2、如图，下列条件：①；②；③；
;⑤；其中能判断直线的有（
）
A．②③④
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②④
【答案】D
【提示】根据平行线的判定方法，对每一项进行提示判断即可解决.
【详解】根据同为角相等两直线平行可以判断②，④正确；
①非同位角非内错角无法判断直线平行，错误
③，⑤非同旁内角，无法判断两直线平行.
故选D.
3、如图，平行线，被直线所截．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用平行线的性质得出答案．
解：∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°
∵，∴∠2=75°，
故选：A．
4、如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件不可以是（
）
A．∠1＝∠3
B．∠B＋∠BCD＝180°
C．∠2＝∠4
D．∠D＋∠BAD＝180°
【答案】A
【提示】根据B、D中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB∥CD，根据C中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，而根据A中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC．由此即可得出结论．
【详解】解：A．∵∠1=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B．∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；
C．∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
D．∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故选A．
5、如图，a∥b，c∥d，则图中与∠1互补的角有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解析】
∵a∥b，c∥d，
∴∠2＝∠3，∠1+∠2＝180°，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠3＝∠4，∠2＝∠5，
∴∠1+∠4＝180°，∠1+∠5＝180°，
故选：D．
6、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】提示：根据平行线的性质应用排除法求解：
A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．
B、如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠3．
∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．
C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．
D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．
故选B．
7、一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1=115°，则∠2的度数为（　　）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
【答案】B
【提示】先将一缺了一角的等腰直角三角板补全，再由直尺为矩形，则两组对边分别平行，即可根据∠1
求∠4的度数，即可求出∠4的对顶角的度数，再利用等角直角三角形的性质及三角形内角和求出∠2的对顶角，即可求∠2．
【详解】解：如图，延BA，CD交于点E．
∵直尺为矩形，两组对边分别平行∴∠1+∠4=180°，∠1=115°，∴∠4=180°-∠1=180°-115°=65°
∵∠EDA与∠4互为对顶角∴∠EDA=∠4=65°
∵△EBC为等腰直角三角形∴∠E=45°
∴在△EAD中，∠EAD=180°-∠E-∠EDA=180°-45°-65°=70°
∵∠2与∠EAD互为对顶角，∴∠2=∠EAD
=70°
故选：B．
8、如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°；⑤DB平分∠ADC．其中正确的结论有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定、菱形的判定、等边三角形的判定判断即可．
【解析】①∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，
∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD＝∠DAC，
∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠FAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC=∠ABC+∠MBC=×180°＝90°，∴EB⊥DB，故②正确，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BAC+2∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正确，
④∵∠BEC＝180°-（∠MBC+∠NCB）＝180°-（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）
＝180°-（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°-∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确，
⑤不妨设BD平分∠ADC，则易证四边形ABCD是菱形，推出△ABC是等边三角形，这显然不可能，故错误．
故选：C．
9、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）
A．∠1+∠2＝2∠A
B．∠1+∠2＝∠A
C．∠A＝2（∠1+∠2）
D．∠1+∠2=∠A
【分析】根据折叠得出∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，求出2∠ADE＝180°﹣∠1，
2∠AED＝180°﹣∠2，推出∠ADE＝90°-∠1，∠AED＝90°-∠2，
在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），代入求出即可．
【解答】解：如图，延长BD和CE交于A′，
∵把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，
∴∠ADE＝90°-∠1，∠AED＝90°-∠2，
∵在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），
∴∠A=∠1+∠2，
即2∠A＝∠1+∠2．
故选：A．
10、如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β
B．γ＝α+2β
C．γ＝2α+β
D．γ＝α+β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：C．
二、填空题
11、如图，已知AB∥CD，∠1=130°，则∠2=___________．
【答案】50°
【详解】解：如图：
∵∠1=130°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°，
∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°
故答案为：50°．
12、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________度．
【答案】65
【提示】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．
【详解】解：如图，由题意可知，
AB∥CD，∴∠1+∠2=130°，
由折叠可知，∠1=∠2，∴2∠1＝130°，
解得∠1＝65°．故答案为：65．
13、如图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有_____(填写所有正确的序号)．
【答案】①③④
【提示】根据平行线的判定逐项提示即可．
【详解】解：①∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD；
②∵∠1=∠2，∴AD∥CB；
③∵∠3=∠4，∴AB∥CD；
④∵∠B=∠5，∴AB∥CD，
一定能判定AB∥CD的条件有①③④，故答案为：①③④．
14、如图，直线a平移后得到直线b，∠1＝60°，∠B＝130°，则∠2＝________°．
【答案】70．
【详解】解：过B作BD∥a，
∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴BD∥b，∴∠4=∠2，∠3=∠1=60°，∴∠2=∠ABC-∠3=70°，
故答案为：70．
15、如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝35°，∠AFC＝15°，则∠C＝_____．
【答案】20°
【提示】由平行线的性质可得∠A＝∠AFE＝35°，∠C＝∠CFE，由角的数量关系可求∠C的度数．
【详解】∵AB∥CD∥EF，∴∠A＝∠AFE＝35°，∠C＝∠CFE，
∵∠CFE＝∠AFE﹣∠AFC＝35°﹣15°＝20°∴∠C＝20°,
故答案为：20°
16、如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，则∠AEB=______．
【答案】75°．
【解析】过点E作EF∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥EF∥BD，
∴∠AEF=∠CAE=30°，∠BEF=∠DBE=45°，∴∠AEB=∠AEF+∠BEF=75°．
17、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于
__________．
【答案】180°
【详解】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD
∵∠2+∠EFC=∠3,
∠EFD=180°-∠EFC,
∴∠1+∠3—∠2=180°
故答案为：180°
18、如图，直线，，，则的度数是___________度.
【答案】
【提示】首先过点A作AB∥a，由a∥b，可得AB∥a∥b，然后利用两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，同位角相等，即可求得答案．
【详解】解：过点A作AB∥a，
∵a∥b，∴AB∥a∥b，∴∠2+∠4=180°，
∵∠2=140°，∴∠4=40°，
∵∠1=65°，∴∠3=∠1+∠4=65°+40°=105°（两直线平行同位角相等）．
19、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝　
　．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，
即∠BFD＝45°，
故答案为：45°．
20、如图，△ABC中，∠A＝100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC＝　
　，若BM、CM分别平分∠CBD、∠BCE，则∠1+∠2＝　
　，∠M＝　
　．
解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°，
∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝40°，
∵∠BIC+∠IBC+∠ICB＝180°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣40°＝140°；
∵∠ABC+∠DBC＝180°，∠ACB+∠ECB＝180°，∴∠ABC+∠DBC+∠ACB+∠ECB＝360°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣80°＝280°，
∵BM、CM分别平分∠CBD、∠BCE，∴∠1＝∠DBC，∠2＝∠ECB，
∴∠1+∠2＝（∠DBC+∠ECB）＝140°，
∵∠1+∠2+∠M＝180°，∴∠M＝40°．
故答案为140°；140°；40°．
三、解答题
21、完成下面的证明．
如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，求证：AB∥DG
证：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F（　
　）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义）
∴AD∥EF（　
　）
∴∠1＝　
　（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2　
　（　
　）
∴AB∥DG（　
　）
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【答案】证明：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义）
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠BAD（等量代换）
∴AB∥DG（
内错角相等，两直线平行）；
故答案为：已知；同位角相等，两直线平行；∠BAD；＝∠BAD；等量代换；内错角相等，两直线平行．
22、如图，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度数．根据提示将解题过程补充完整．
解：∵∠CDM+∠CDN＝180°（平角），
又∵∠AEM+∠CDN＝180°（已知），
∴∠AEM＝∠CDM
∴AB∥CD，（　
　）
∴∠AEF+（　
　）＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EFC＝62°，
∴∠AEF＝（　
°　）
∵EC平分∠AEF，
∴∠AEC＝（　59°　）．（角平分线的定义）
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝（　
　）（两直线平行，内错角相等）
【分析】根据同角的补角相等可得出∠AEM＝∠CDM，利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，由“两直线平行，同旁内角互补”及∠EFC＝62°可求出∠AEF＝118°，结合角平分线的定义可求出∠AEC的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠C的度数．
【答案】解：∵∠CDM+∠CDN＝180°（平角），
又∵∠AEM+∠CDN＝180°（已知），
∴∠AEM＝∠CDM（同角的补角相等），
∴AB∥CD，（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF+（∠EFC）＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EFC＝62°，
∴∠AEF＝（118°）
∵EC平分∠AEF，
∴∠AEC＝（59°）．（角平分线的定义）
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝（59°）（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠EFC；118°；59°；59°．
23、如图①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.
(1)证明：BC∥EF；
(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.
【答案】(1)见解析；(2)
见解析.
【提示】（1）由条件可证明∠AFE=∠BCF，根据平行线的判定可证明BC∥EF；
（2）由条件可先证明DF∥EH，可得∠DFE=∠FEG，再结合（1）的结论和已知条件可证明∠3=∠DFE，可证得结论．
【详解】证明：（1）∵∠1+∠AFE=180°，∠1+∠BCF=180°，∴∠AFE=∠BCF，∴BC∥EF；
（2）∵∠BEG=∠EDF，∴DF∥EH，∴∠DFE=∠FEH，
又∵BC∥EF，∴∠FEH=∠2，
又∵∠2=∠3，∴∠DFE=∠3，∴DF平分∠AFE．
24、（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　
　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；
（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用:
如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．
【分析】（1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（3）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．
【答案】（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D＝∠BED；
故答案为：＝；
（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作EF∥AB，如图①所示：则∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，
∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，
∵EF∥AB，∴AB∥CD；
（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：
则NG∥AB∥CD，∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，∴∠ACM＝∠NCD，∴∠CAM＝∠BAN．
25、如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．
（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．
【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．
（2）利用（1）中结论，设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，可得∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，两式相加可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：结论：2∠E＝∠A+∠C．
理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，
∴可以假设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，
∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，
∴∠A+∠C＝∠E+∠E，
∴2∠E＝∠A+∠C，
26、阅读下面内容，并解答问题．
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：　
　．
（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择　
　题．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为　
　．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为　
　．
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．
B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．
【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．
故答案为EG⊥GF．
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD=（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．
27、已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
(1)如图①，若∠A=20°，∠C=40°，则∠AEC=______°．
(2)如图②，若∠A=x°，∠C=y°，则∠AEC=______°．
(3)如图③，若∠A=α，∠C=β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．
【答案】(1)60;(2)
360°﹣x°﹣y°(3)详见解析
【解析】提示：首先都需要过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF．
（1）根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEC的度数；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEC的度数；
（3）根据两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEC的度数．
详解：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF．
（1）∵∠A=20°，∠C=40°，∴∠1=∠A=20°，∠2=∠C=40°，∴∠AEC=∠1+∠2=60°；
（2）∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠1+∠2+x°+y°=360°，∴∠AEC=360°﹣x°﹣y°；
（3）∠A=α，∠C=β，
∴∠1+∠A=180°，∠2=∠C=β，
∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣α，∴∠AEC=∠1+∠2=180°﹣α+β．
28、某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　
　；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　
　
°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，
则∠R＝　
°．
【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与
∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．
【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=ABC，∠PCB=∠ACB（角平分线的性质），
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（
∠ABC+∠ACB）＝180°-（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°+∠A
＝90°+∠A
＝90
＝122°．
故答案为：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=∠ACB，∠ECD=∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD=∠ABD=（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC=∠A=；
（3）结论∠BQC＝90°-∠A．
∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，
∴∠QBC=（∠A+∠ACB），∠QCB=（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB，
＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC），
＝180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），
＝180°-∠A﹣90°
＝90°-∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°-∠A＝90°=58°，
由（1）可知∠BPC＝90°+∠BQC＝90°=119°；
由（2）可知，∠R=∠BQC＝29°
故答案为119，29．
29、问题1:
现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　
　
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　
　
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
问题2:
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边
形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　
　．
【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
（3）利用两次外角定理得出结论；
（4）与（2）类似，先由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，再由两平角的和为360°得：∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，根据四边形的内角和得：∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，代入前式可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，
∵∠A＝∠A′，∴∠2＝2∠A+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠A；
（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，
∵∠DNA+∠BMC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，
∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，
故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．