四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习04(竞赛辅导)
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,换句话说:正方形是各边都相等的矩形,正方形是各角都相等的菱形,正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形和菱形的一切性质.
矩形、菱形,正方形都是特殊的四边形,它们的概念交错,关系复杂,性质有许多相似之处,一些判定和性质定理又是可逆的,所以在学习中注重概念的理解,着眼于概念间的区别与联系.
连正方形的对角线,能得到特殊三角形、全等三角形,由于正方形常常与直角三角形联系在一起,所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质,具有代数风格,体现数形结合思想.熟悉以下基本图形,基本结论:
例题求解
如图,若四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形,则∠EAB的度数为
.(北京市竞赛题)
思路点拨 图中还有等腰三角形,利用等腰三角形性质计算.
注 可以证明,在所有用长相等的四边形中,正方形的面积最大.
我们熟悉的“七巧板”,那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块,用它可以拼出许多巧妙的图形,“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶.
【例2】 如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,过O作OC⊥OF,分别交AB、BC于E、F,若AE=4,CF=3,则EF的长为( )
A.7 B.5 C.4 D.3
(江苏省泰州市中考题)
思路点拨 AE、CF、EF不在同一个三角形中,运用全等三角形寻找相等的线段,使分散的条件集中到同一个三角形中.
【例3】 如图,正方形ABCD中,E、F是AB、BC边上两点,且EF=AC+FC,DG⊥EF于G,求证:DC=DA.
(重庆市竞赛题)
思路点拨 构造AE+FC的线段是解本例的关键.
【例4】 已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲).
(1)求证:MD=MN
(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“MD=MN”还成立吗 如果成立,请证明:如果不成立,请说明理由.
(上海市闽行区中考题)
思路点拨 对于图甲,取AD中点F,通过构造全等三角形证明MD=MN;这种证法能否迁移到图乙情景中去 从而作出正确的判断.
注 探索是学习的生命线,深入探究、学会探索是时代提出的新要求.数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行:
(1)在题设条件不变情况下,发现挖掘更多的结论;
(2)通过强化或弱化来改变条件,考查结论是否改变或寻求新的结论;
(3)构造逆命题.
对于例3,请读者思考,在不改变题设条件的前提下,
(1)∠EDF等于多少度
(2)怎样证明明逆命题
例4改变点的位置,赋以运动,从特殊到一般,(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据,又为猜想设置了障碍,前面的证明思路是后面的证明模式.
【例5】 操作:将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.
探究:设A,P两点间的距离为x
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系 试证明你观察得到的结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的关系式,并写出x的取值范围;
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形 如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;
如果不可能,试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同,图1供操作、实验用,图2、图3备用).
思路点拨 本例是探究式的操作型试题,第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量,画出滑动中一般情形的图形,通过观察提出猜想,再给予论证,第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形.
注 数学学习是一个生动活泼的过程,动手实践,自主探索是学习数学的重要形式,它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的,解这类问题,需边操作,边观察、边思考,综合运用相关知识方法探究结论.
学力训练
1.如图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合,若PB=3,则PP′= . 河南省中考题)
2.如图,正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,CE=CF,若∠BEC=60°,则∠EFD的度数为 . (苏州市中考题)
3.如图,∠POQ=90°,边长为2㎝的正方形ABCD的顶点B在OP上,C在OQ上,且∠OBC=30°,则A、D到OP的距离分别为 . (南京市中考题)
4.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,若∠MCE=35°,则∠ANM的度数是 .
5.如图,E是边长为l的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值为( ) (河北省中考题)
A. B. C. D.
6.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,,则BC的长为( )
A.2 B.3 C. D. (武汉市选拔赛试题)
7.如图,在正方形ABCD中,C为CD上的一点,延长月C至F,使CF=CE,连结DF,BE与DF相交于G,则下面结论错误的是( )
A.BE=DF B.BG⊥DF C.∠F+∠CEB=90° D.∠FDC+∠ABG=90°
(山东省临沂市中考题)
8.如图,已知正方形ABCD的面积为256,点F在AD上,点E在AB的延长线上,Rt△CEF的面积为200,则BE的值是( )
A.15 B.12 C .11 D.10
9.(1)如图甲,若点P为正方形ABCD边AB上一点,以PA为一边作正方形AEFP,连BE、DP,并延长DP交BE于点H,求证:DH⊥BF;
(2)如图乙,若点P为正方形ABCD内任一点,其余条件不变,(1)的结论是否成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(泰州市中考题)
10.如图,P为正方形ABCD的对角线BD上任一点,PF⊥CD,PE⊥BC,C、F分别为垂足,探索AP与EF的关系.
11.如图,正方形ABCD中,AB=,点E,F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,
∠DAF=15°,求△AEF的面积.
( “希望杯”邀请赛试题)
12.如图,已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,AE、AF分别与对角线BD相交于M、N,若∠EAF=50°,则∠CME+∠CNF= .
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,以AB为一边向三角形外作正方形ABEF,正方形的中心为O,OC=,则BC边的长为 .
( “希望杯”邀请赛试题)
14.如图,A在线段BG上,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为7㎝2和11㎝2,则△CDE的面积等于 cm2.(武汉市选拔赛试题)
15.如图,将边长为12cm的正方形ABCD折叠,使得A点落在边CD上的E点,然后压平得折痕FG,若GF的长为13cm,则线段CE的长为 . (北京市竞赛题)
16.将一个正方形分割成n个小正方形(n>1),则n不可能取( )
A.4 B.5 C.8 D.9
(江苏省竞赛题)
17.如图,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD上的点,若∠PAQ=45°,∠BAP=20°,则∠AQP=( )
A.65° B. 60° C .35° D.70°
18.如图,ABCD是边长为1的正方形,EFGH是内接于ABCD的正方形,AE=a,AF=b,若SEFGH=,则等于( )
A. B. C. D. ( “希望杯”邀请赛试题)
19.如图,BF平行于正方形ADCD的对角线AC,点E在BF上,且AE=AC,CF∥AC,则∠BCF等于( )
A.150° B.135° C. 105° D.120°
20.图甲中,正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17,10,13,图乙中,DPQR为矩形,对照图乙,计算图甲中六边形ABCIGH的面积.
(江苏省竞赛题)
21.如图,在正方形ABCD中,P是CD上一点,且AP=BC+CP,Q为CD中点,求证:∠BAP=2∠QAD.
22.如图,有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发,沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动.
(1)判定四边形PQEF的形状;
(2)PE是否总是经过某一定点,井说明理由;
(3)四边形PQEF的顶点位于何处时,其面积最小、最大 各是多少
23.如图a,D为线段AE上任一点,分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG,连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD,DC于P、Q两点.
(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外);
②找出图中三对相等的钝角;
③找出图中一对面积相等的钝角三角形,这两个三角形全等吗
(2)如图b,当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形,且∠GDE=∠ADC时,(1)中的结论哪些成立,哪些不成立 请对不成立的情况说明理由.
(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形,且DA>DC,DE>DG,△ABD∽△EFD时,(1)中的结论哪些不成立,哪些成立?.如果成立,请证明.
(郴州市中考题)
24.如图,正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形,P是EF与GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确定∠HAF的大小,并证明你的结论.(北京市竞赛题)四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习03
一.学习目标:
1.理解正方形的定义, 掌握正方形的性质和判定;
2.能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明.
二.学习重点:正方形的性质理解和掌握;学习难点:正方形形的性质、判定的综合应用.
三.教学过程
知识梳理1:正方形的定义: .
正方形的性质: (边) (角)
(对角线)
(对称性)
正方形的判定:既是 又是 四边形是正方形.集合表示:
1. 已知平行四边形ABCD,在以下4个条件中再选哪两个条件,能使平行四边形ABCD成为正方形?有 种选法. ①AB=BC ②AC⊥BD ③∠ABC=90° ④AC=BD
2. (10 义乌)下列说法不正确的是 ( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
边讲边练:
①正方形与等腰三角形(等边三角形)结合
1. 如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,则∠ACE= °
2. 如图,四边形ABCD是正方形,延长CD到E,使CE=CB,则∠DBE= °.
3. 如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE平分∠DAC,则下列结论:
(1)∠E=22.5°; (2) ∠AFC=112.5°; (3) ∠ACE=135°;(4)AC=CE;(5) AD∶CE=1∶.
其中正确的有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4. 如图,等边△EDC在正方形ABCD内,连结EA、EB,则∠AEB= °;∠ACE= °.
5. (10 孝感)已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是 °.
6. 如图,在正方形ABCD中,△PBC、△QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于F.求证:PM = QM.
②正方形与旋转结合
1. (10 泸州)如图1,四边形ABCD是正方形,E是边CD上一点,若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合,则θ的取值可能为 ( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
2. (10 上海)已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE = 2,EC = 1(如图2所示) 把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为___________.
3. 如图3,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证:DE+BF=EF.
4. 如图4,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合,A′B′交BC于点E,A′D′交CD于点F,若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后,OE=OF吗?两正方形重合部分的面积怎样变化?为什么?
5. (11 烟台)如图5,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 .
6. 如图6,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放,点A1、A2、…、An分别是正方形的中心,则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 .
7. (10 自贡)边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′,两图叠成一个“蝶形风筝”(如图7所示阴影部分),则这个风筝的面积是 .
8. (10 茂名)如图8,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是 .
③正方形对角线的对称性
1. 如图:正方形ABCD中,AC=10,P是AB上任意一点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF= .可以用一句话概括:正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 .
思考:如若P在AB的延长线时,上述结论是否成立?若不成立,请写出你的结论,并加以说明.
2.(10 宜宾)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF给出下列五个结论:①AP =EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;
④∠PFE=∠BAP;⑤PD= EC.其中正确结论的序号是 .
思考:当点P在DB的长延长线上时,请将备用图补充完整,并思考(1)正确结论是否依旧成立?若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.
3.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.试判断PE与PB的关系.
4. 如图,正方形ABCD的面积为12,△ADE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PB+PE的和最小,则这个最小值为 .
④正方形的折叠
1.如图1,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是 .
2. (10 柳州)如图2,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的处,点A对应点为,且=3,则AM的长是 .
3.(11 重庆)如图3,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是 .
4.(10 徐州)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P, 连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长=_____cm;
②求证:EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化 请说明理由.
(11 舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH.
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明);
(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=(0°<<90°),
① 试用含的代数式表示∠HAE;
② 求证:HE=HG;
③ 四边形EFGH是什么四边形?并说明理由.
图1 图2 图3
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
图5 图6 图7 图8四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习06
(一)计算
1.如图4-58,已知E是正方形ABCD的一边AB上任一点,EG⊥BD于G,EF⊥AC于F,AC=10厘米,求EF+EG的长.
2.如图4-59,延长正方形ABCD的BC边于E,使CE= AC,AE的连线交CD于F,求∠AFC.
3.如图4-60,正方形ABCD的对角线相交于O,EF∥AB,并且分别与OA,OB相交于E,F.若BE=3厘米,求CF的长.
4.如图4-61,已知正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,求∠MFD.
5.如图4-62,已知正方形ABCD的边长为10厘米,AC,BD相交于O,BE平分∠DBC交AC于E,EF⊥BC于F,求△EFC的周长.
6.如图4-63所示,已知四边形ABCD是正方形,CE= MN,∠MCE=35°,求∠ANM.
7.如图4-64,已知四边形ABCD是正方形,四边形AEFC是菱形,求∠EAB.
(二)证明
8.已知:如图4-65,正方形ABCD中,M为BC上任一点,AN是∠DAM的平分线,交DC于N点.求证:DN+BM=AM.
9.已知:如图4-66,正方形ABCD中,M为BC上任意一点,N是CD的中点,且AM=DC+CM.求证:AN平分∠DAM.
10.已知:如图4-67,正方形ABDE和正方形ACFG中,DM⊥BC,FN⊥BC.求证:BC=DM+FN.
11.已知:如图4-68,正方形ABCD中,△EAD为等边三角形,
12.已知:如图4-69,∠BAC=90°,正方形ABDE和正方形BCFG中,GA,DC相交于H.求证:GH⊥DH.
13.已知:如图4-70, ABCD,正方形DCEF和正方形BCGH.求证:AC⊥EG.
14.已知:如图4-71,正方形ABCD中,AC,BD相交于O,Q在DC上,P在BC上,且AQ⊥DP.求证:OP⊥OQ.
15.已知:如图4-72,正方形ABCD的对角线BD,AC相交于O,E为OC上任一点,连结BE,作AG⊥BE,交BD于F,交BC于G.求证:EF∥BC.
16.已知:如图4-73,正方形ABCD中,∠EBF=45°,E,F分别在AD和DC上.求证:EF=AE+FC.
17.已知:如图4-74,正方形ABCD中,EF⊥MN.求证:MN=EF.
18.已知:如图4-75,在正方形ABCD中,CE垂直于∠CAB的
19.已知:如图4-76,正方形ABCD中,P是BD上一点,PE⊥DC,PF⊥BC.求证:AP⊥EF.
20.已知:如图4-77,正方形ABCD中,延长AD到E,使DE=AD,再延长DE到F,使DF=BD,连结BF交CE于P,交CD于Q.求证:PD=PQ.
21.已知:如图4-78,正方形ABCD中,M是CD中点,E是CD上一点,且∠BAE=2∠DAM.求证:
AE=BC+CE.
22.已知:如图4-79,正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC中点,CE,DF交于M.求证:AM=AD.
23.已知:如图4-80,正方形ABCD中,M是BC上一点,MN⊥AM,MN交∠DCE平分线于N,E在BC延长线上.求证:AM=MN.
24.已知:如图4-81,正方形ABCD中,AC,BD相交于O,E,F分别为BC,OD中点.求证:AF⊥EF.
(三)作图
25.如图4-82,已知点P是五边形ABCDE的AB边的中点,求作五边形ABCDE关于点P的对称图形.
26.如图4-83,已知 ABCD及等边三角形ADE,求作点F,使多边形ABFCDE为中心对称图形.正方形性质与判定
1)定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。
2)性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
(正方形是轴对称图形,有两条对称轴。正方形也是中心对称图形。)
3)判定:
① 有一个内角是直角的菱形是正方形;
② 邻边相等的矩形是正方形;
③ 对角线相等的菱形是正方形;
④ 对角线互相垂直的矩形是正方形。
4)正方形的周长和面积:
正方形的周长=边长×4
正方形的面积=边长×边长
强化训练
如图,正方形ABCD中,△EBC是正三角形,求∠EAD的度数。
如图,正方形ABCD中,G是CD上一点,以CG为边做正方形GFEC,
求证:BG=DE
如图,正方形ABCD中,E是AB上一点,BG⊥CE于G交AD于F,
求证:CE=BF。
分别以三角形ABC两边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:BG=CE。
如图,平行四边形ABCD中,△ABE、△BCF是以AB、BC为边的等边三角形,
求证:△DEF是等边三角形。
如图,正方形ABCD对角线BD、AC交于O,E是OC上一点,AG⊥DE交BD于F,
求证:EF∥DC。
如图,正方形ABCD对角线AC、BD交于O,DE平分∠ADB,CN⊥DE于N,
求证:OF=AG。
如图,点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上,BE=CF.
AE与BF相等吗?为什么?
AE与BF是否垂直?说明你的理由。
如图,在正方形ABCD中,取AD、CD边的中点E、F,连接CE、BF交于点G,连接AG。试判断AG与AB是否相等,并说明道理。
如图,正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O,E为AC上一点,AG⊥EB交EB于G,AG交BD于F。
(1)说明OE=OF的道理;
(2)在(1)中,若E为AC延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG、BD的延长线交于F,其他条件不变,如图2,则结论:“OE=OF”还成立吗?请说明理由。
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1四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习02
知识导航:
知识点一 正方形的概念
一组邻边 的矩形叫做正方形
知识点二 正方形的性质
1.四条边 ,四个角是 。
2.对角线 ,互相垂直 ,每一条对角线 。
知识点三 正方形的判定
1.两条对角线相等的 是正方形,两条对角线互相垂直的 是正方形。
2.一组邻边相等的 是正方形,有一个内角是直角的 是正方形。
知识点四:正方形的对称性
正方形是一个轴对称图形,有 条对称轴。
例题赏析:
1、如图,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,且CE=AC,(1)求∠ACE、∠CAE的度数;(2)若AB=4cm,你能求出△ACE的面积吗?
2、 正方形中,,则( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,AB=CD,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为EF.
(1).试说明:DE=DF;
(2).只添加一个条件使四边形EDFA是正方形,请你写出至少两种不同的的添加方法(不另外添加辅助线,无须说明理由)
4. 如图所示,在正方形中,为上一点,延长至,使,连结与相交于,则下面结论错误的是( )
A. B.
C. D.
5、 如图,正方形中,对角线交点为为上的一点,于,交于.求证:.
6.为美化环境,某单位须在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草,计划将这块空地按如下要求分成四块:(1)四块图形的形状相同,(2)四块图形的面积相同.按照上述要求,分别给出四种不同的分割方法。
7. 如图,正方形的对角线相交于点,点在和上,且,连结.请说明:且.
8. 如图,正方形中,,那么和是否相等?请说明理由.
9、 已知正方形中,是的中点,是延长线上一点,且交的平分线于.(如左图)
(1)求证:.
(2)若将上述条件中的“是的中点”“改为是上的任意一点”其余条件不变(如右图),则结论“”还能成立吗?如果成立,请证明:如果不成立,请说明理由.
检测:
1.下列命题正确的是( )
A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B.对角线相等的四边形一定是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2.已知:如图1,正方形ABCD中,CM=CD,MN⊥AC,连结CN,
则∠DCN=_____=____∠B,∠MND=_______=_______∠B.
3.已知如下图,正方形ABCD中,E是CD边上的一点,F为BC延长线上一点,CE=CF
(1)求证:△BEC≌△DFC;(2)若∠BEC=60°,求∠EFD的度数.
拓展:
1. 如图,是正方形对角线的交点,是上任意一点,过点作交于点,求证:是等腰直角三角形.
2. 如图所示,在正方形中,对角线交于点是的中点,是上任意一点,于点,于点.请说明:.
3. 如图,以的边、为边分别向外作正方形和正方形,连结,试判断与面积之间的关系,并说明理由.
4. 操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形上,并使它的直角顶点在对角线上滑动,直角边始终经过点,别一边与射线相交于点.探究:①当点在边上时,线段与线段之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论?②当点P在线段上滑动时,是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使成为等腰三角形的点的位置,并求出相应的的长.如果不可能,试说明理由.
D
A
B
C
E
A
N
D
C
M
B
E
A
B
C
D
E
F
G
A
B
E
D
O
G
F
2
1
C
A
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E四边形学案13-正方形的性质与判定同步练习01
1.正方形的定义:
一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。
正方形是特殊的矩形,又是特殊的菱形。
2.正方形的性质:
正方形具有矩形和菱形的一切性质
(1)边:对边平行四边相等
(2)角:四个角都是直角
(3)对角线:互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组内角
3.正方形的判定:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形
(2)有一个角是直角的菱形是正方形
(3)对角线相互相垂直平分且相等的四边形是正方形
(4)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
【经典例题】
例1.已知,如图,P是正方形ABCD内任一点将绕点B顺时针方向施转至,若PB=3cm,求的长。
例2.如图:已知四边形ABCD和AEFG都是正方形,求证:DG=BE
例3.如图,在正方形ABCD中,E为内部一点且是正三角形,求的度数
例4.如图:正方形ABCD,AE+CF=EF,求证:
【练习】
1.若正方形的面积为4,则它的边长为 ,对角线长为 。
2.把边长为1的正方形对折n次,所得图形面积是 。
3.边长为5的正方形的各边长比为 。
4.已知正方形ABCD中,E是BC上的一点,DE=2,CE=1,那么正方形ABCD的面积为( )
A、 B、3 C、4 D、5
5.正方形ACEF的边AC是正方形ABCD的对角线,则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于( )
A、1: B、:1 C、1:2 D、2:1
6.正方形的四条边____ __,四个角___ ____,两条对角线____ ____.
7.下列说法是否正确,并说明理由.
①对角线相等的菱形是正方形;( )
②对角线互相垂直的矩形是正方形;( )
③对角线垂直且相等的四边形是正方形;( )
④四条边都相等的四边形是正方形;( )
⑤四个角相等的四边形是正方形.( )
8.如图:在正方形ABCD中,CF=CE,求证:
9.如图,已知锐角中,以AB、AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG连接CE、BG,交点为O,求证:(1)EC=BG;(2)
8.在正方形中,O对角线AB、BD的交点,过O作,交AB、BC于E、F,若AE=4,CF=3,求EF的长。
9.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF 求证:EA⊥AF.
10.正方形ABCD中,AE=CF,则四边形BEDF是菱形吗?
请说明理由。(5′)
11(5′)已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC与E,
DF∥AB交AC于,请判断四边形AEDF的形状,并说明理由。
E
12(12′).在正方形ABCD的边上各取一点E、F、G、H,并顺次连结得到四边形EFGH。
⑴问点E、F、G、H怎样取,可使EFGH为正方形?
⑵设AE=a,AH=b,EH=c,求证:a2+b2=c2
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28题图