第二章 平面解析几何
2．1 坐 标 法
必备知识·自主学习
1.平面直角坐标系中的基本公式
(1)定义：平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式都称为平面直角坐标系中的基本公式．
(2)公式：点A，B，中点M，
则＝，M.
2．坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法．
利用坐标法解决几何问题的前提是什么？
提示：建立平面直角坐标系．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)解析几何中，点A与点B之间的距离表示为AB.( )
(2)已知A(3，0)，B(0，－4)，则AB的中点坐标为.( )
(3)点A，B，则＝
.( )
提示：(1)×.点A与点B之间的距离表示为.
(2)×.中点坐标为.
(3)√.＝＝.
2．(教材例题改编)已知点A(1，2)，B(－3，0)，则线段AB的中点坐标为( )
A．(－1，1)
B．(－2，2)
C．(－2，－1)
D．(－4，－2)
【解析】选A.点A(1，2)，B(－3，0)，则线段AB的中点坐标为，化为(－1，1).
3．已知点A(2，0)和点B(－4，2)，则|AB|＝( )
A．
B．2
C．
D．2
【解析】选D.因为A(2，0)，B(－4，2)，
所以|AB|＝＝2.
关键能力·合作学习
类型一 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式(数学运算)
1．已知A(－6)，＝4，则点B的坐标为( )
A．2
B．－2或－10
C．10
D．2或10
【解析】选B.设B点的坐标为x，则＝＝4，所以x＝－2或x＝－10.
2．已知A(a)，B(a2＋1)，线段AB的中点C，则a的值为( )
A．1
B．2
C．1或－2
D．－1或2
【解析】选C.由题意得，＝，所以a2＋a－2＝0，所以a＝1或－2.
3．已知M，N，P是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，则＝________．
【解析】因为M，N，P是数轴上三点，
|MN|＝5，|NP|＝3，
(1)当点P在点M，N之间时(如图所示)，
＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.
(2)当点P在点M，N之外时(如图所示)，
＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.
综上所述，|MP|＝2或8.
答案：2或8
数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式的关注点
(1)熟练运用公式；
(2)求参数的值或取值范围时，若由绝对值的定义去绝对值符号时，一定要分类讨论，从而确定出参数的值或范围．
【补偿训练】
已知数轴上两点A(a)，B(5).求：当a为何值时，
(1)两点间距离为5?
(2)两点间距离大于5?
(3)两点间距离小于3?
【解析】数轴上两点A，B之间的距离为|AB|＝|a－5|.
(1)根据题意得|a－5|＝5，
解得a＝0或a＝10.
(2)根据题意得|a－5|>5，
即a－5>5或a－5<－5，
所以a>10或a<0.
(3)根据题意得|a－5|<3，即－3
类型二 平面内两点之间距离公式与中点坐标公式(数学运算)
两点之间的距离公式
【典例】已知点A(2，1)，点B(5,
a)，若|AB|＝，则a＝________．
【思路导引】代入距离公式，解方程求a.
【解析】点A(2，1)，B(5，a)，则|AB|＝＝，解得a＝－1或3.
答案：－1或3
本例若改为：
已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
【解析】设所求点P(x，0)，
于是由|PA|＝|PB|得
＝，
即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以所求P点坐标为(1，0)，
|PA|＝＝2.
中点坐标公式
【典例】已知△ABC的顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为( )
A．8
B．13
C．2
D．
【思路导引】先求出BC的中点，再利用距离公式求值．
【解析】选D.由B(10，4)，C(2，－4)，
设BC中点为M(xM，yM)，
得xM＝＝6，yM＝＝0，
即M(6，0).又A(7，8)，
所以|AM|＝＝.
1．关于两点之间的距离公式
(1)注意公式特征，一是括号内是对应纵横坐标的差；二是作差的顺序必须一致．
(2)运算结果要进行开方化简．
2．关于中点坐标公式的应用
(1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系，三个点的坐标“知二求一”；
(2)点A关于点P的对称点坐标为.
1．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.AB的中点D的坐标为(－1，－1)，
所以|CD|＝＝.
2．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则的值为( )
A．
B．
C．3
D．2
【解析】选D.由两点间的距离公式，
得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，
故＝＝2.
3．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
【解析】因为|AB|＝＝5，
所以a＝－5或a＝1.
答案：1或－5
类型三 坐标法的应用(数学直观、逻辑推理)
【典例】
如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，用坐标法证明：
(|AB|2＋|BC|2＋|AC|2)＝|AD|2＋|BE|2＋|CF|2.
关于坐标法解决几何问题
(1)建系：利用坐标法解决几何问题的前提是建立平面直角坐标系，采用对称建系或使尽可能多的顶点在坐标轴上的方法，使数据运算简单．
(2)利用坐标法可以解决线线的垂直、平行，与距离相关的等式等．
△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
【证明】如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，
设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，
则A(－a，0)，C(c，0)，
D，E，
则|AE|＝
＝，
|CD|＝
＝，
所以|AE|＝|CD|.
课堂检测·素养达标
1．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是( )
A．x2－y2＝1
B．x2－y2＝0
C．＝1
D．＝0
【解析】选C.因为点(x，y)到原点的距离等于1，
所以＝1，即＝1.
2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于( )
A．4
B．4
C．2
D．2
【解析】选B.由题意知P(1，1)，Q(5，5)，
所以|PQ|＝＝4.
3．已知点A(－1，2)，点B(2，6)，则线段AB的长为________．
【解析】由两点间距离公式得|AB|＝＝5.
答案：5
4．已知三角形的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，两边AC和BC的中点分别在x轴、y轴上，则顶点C的坐标是________．
【解析】设C(x，y)，由题意可得：＝0，＝0，
解得x＝2，y＝－7.所以C(2，－7).
答案：(2，－7)
5．已知点A(2，5)，B(4，－1)，若在y轴上存在一点P，使|PA|2＋|PB|2最小，求点P的坐标．
【解析】设点P(0，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(0－2)2＋(y－5)2＋(0－4)2＋(y＋1)2＝2y2－8y＋46＝2(y－2)2＋38，
所以y＝2时，|PA|2＋|PB|2最小，此时点P(0，2).
PAGE2.2
直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
必备知识·自主学习
1.直线的倾斜角
(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°，与x轴垂直的直线，倾斜角为90°．
(3)范围：0°～180°.
(1)如图：直线l的倾斜角是30°吗？
提示：不是，直线l的倾斜角为150°.
(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同？
提示：倾斜角相等的直线的倾斜程度相同．
2．斜率的概念
(1)定义：一条直线的倾斜角θ的正切值．
(2)特例：倾斜角是90°的直线没有斜率．
(3)记法：k＝tan
θ.
(1)为什么倾斜角为90°时，直线没有斜率？
提示：当α＝90°时，tan
α不存在，由斜率的定义，可知此时直线斜率不存在．
(2)斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
提示：当k＝tan
α＜0时，倾斜角α是钝角；
当k＝tan
α＞0时，倾斜角α是锐角；
当k＝tan
α＝0时，倾斜角α是0°.
3.经过两个点的直线的斜率公式
经过两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率：k＝．
利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？
提示：不能，当直线与x轴垂直时，k＝无意义．
4．直线的方向向量
(1)如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记为a∥l；
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线；
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量；
(4)如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
①当u＝0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；
②当u≠0时，直线l的斜率是存在的，而且此时(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，且有v＝ku，即k＝，即tan
θ＝.
5．直线的法向量
如果表示非零向量v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)下图中标的α都不是对应直线的倾斜角．( )
(2)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( )
(3)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )
(4)若直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan
α.( )
(5)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( )
提示：(1)√.x轴的正向与直线向上的方向之间所成的角是直线的倾斜角，所以图中的四个α都不是对应直线的倾斜角．
(2)×.倾斜角为90°的直线不存在斜率．
(3)×.倾斜角为135°的直线的斜率为－1.
(4)×.倾斜角α不等于90°时，它的斜率才是k＝tan
α.
(5)√.若两条直线平行，则它们的方向向量也平行，故它们的方向向量的方向相同或相反．
2．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( )
A．45°
B．135°
C．0°
D．无法计算
【解析】选B.根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.
3．(教材二次开发：例题改编)已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A．5
B．8
C．
D．7
【解析】选C.由斜率公式可得＝1，解得m＝.
4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A．
B．
C．1
D．
【解析】选A.由题意可知直线l的斜率k＝tan
30°＝.
5．已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为________；一个法向量为________；斜率为________．
【解析】由已知可得＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)是直线l的一个方向向量．则(－1，3)是直线l的一个法向量，直线l的斜率k＝＝.
答案：(－3，－1)(答案不唯一) (－1，3)(答案不唯一)
关键能力·合作学习
类型一 直线的倾斜角、斜率的概念(数学抽象)
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
2．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α
B．180°－α
C．180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
3．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为( )
A．(2，0)或(0，－4)
B．(2，0)或(0，－8)
C．(2，0)
D．(0，－8)
【解析】1.选D.因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
2．选D.如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
3．选B.设B(x，0)或(0，y)，因为kAB＝或kAB＝，所以＝4或＝4，所以x＝2，y＝－8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，－8).
1．求直线的倾斜角的方法及两点注意事项
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2．解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式k＝tan
α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合求解．
【补偿训练】
已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1，0] B．[0，1]
C．[1，2]
D．[0，2]
【解析】选D.由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区Ｋ
域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.
类型二 直线的倾斜角、斜率的计算(数学运算)
1．若A(1，0)，B(－3，m)，直线AB的斜率为－，则m＝( )
A．－8
B．－2
C．2
D．8
2．若直线过点C(1，3)，D(4，3＋)，则此直线的一个方向向量为________；倾斜角为________．
3．已知点M(0，b)与点N(－，1)连成直线的倾斜角为120°，则b＝________．
【解析】1.选C.A(1，0)，B(－3，m)，直线AB的斜率为－，
所以－＝，解得：m＝2.
2．直线过点C(1，3)，D(4，3＋)，得＝(4，3＋)－(1，3)＝(3，)是直线l的一个方向向量，则直线的斜率k＝＝，所以此直线的倾斜角是.
答案：(3，)(答案不唯一)
3．k＝＝tan
120°，解得b＝－2.
答案：－2
利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(3)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
【补偿训练】
1.直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为( )
A．
B．
C．－
D．－
【解析】选C.斜率k＝＝－.
2．若直线经过两点A(m，2)，B，且倾斜角为45°，则m的值为( )
A．2 B．1 C． D．
【解析】选A.经过两点A(m，2)，B的直线的斜率为k＝，又直线的倾斜角为45°，所以＝tan
45°＝1，即m＝2.
3．已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1，1)，B(1，1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．
【解析】已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．
kAB＝＝0，kAC＝＝－1.
因为B，C两点的横坐标相等，所以直线BC的斜率不存在．
类型三 直线的倾斜角、斜率的应用(数学运算，逻辑推理)
求斜率的范围
【典例】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
【思路导引】作图，让直线与线段有公共点，可得倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，进一步获得斜率取值范围．
【解析】如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
三点共线问题
【典例】若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝________．
【思路导引】利用AB和AC的斜率相等，或利用三点共线的充要条件．
【解析】方法一：因为A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，所以kAB＝kAC，kAB＝＝3，kAC＝＝，所以3＝，即k＝6.
方法二：因为＝(4，3)－(2，－3)＝(2，6)，＝(5，k)－(2，－3)＝(3，k＋3)，又因为与共线，
所以2(k＋3)＝18，解得k＝6.
答案：6
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线?kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
1．若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于( )
A．2
B．3
C．9
D．－9
【解析】选D.方法一：因为三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，所以kAC＝kAB，即＝，解得b＝－9.
方法二：因为＝(－5，b－1)，＝(5，10)，又因为与共线，所以－5×10＝5(b－1)，所以b＝－9.
2．已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，则直线AD的斜率的变化范围是______．
【解析】
如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
又kAB＝＝，
kAC＝＝，
所以直线AD的斜率的变化范围是.
答案：
【补偿训练】
已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1).
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
【解析】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，解得m>－2.
即当m>－2时，直线MN的倾斜角为锐角．
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，解得m<－2.
即当m<－2时，直线MN的倾斜角为钝角．
(3)当直线MN垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角，
此时m＋3＝m－2，此方程无解，
故直线MN的倾斜角不可能为直角．
课堂检测·素养达标
1．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角θ是( )
A．0°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】选A.因为k＝＝0，所以θ＝0°.
2．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－
B．
C．－1
D．1
【解析】选C.kAB＝＝tan
45°＝1，即＝1，
所以y＝－1.
3．(教材二次开发：练习改编)已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________.
【解析】依题意：kAB＝kAC，即＝，
解得a＝.
答案：
4．已知倾斜角为45°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－3)，则m的值为________；直线的方向向量为________．
【解析】由题意可得tan
45°＝kAB＝＝1，解得m＝4.
所以＝(2，－3)－(8，3)＝(－6，－6)是直线的一个方向向量．
答案：4 (－6，－6)(答案不唯一)
5．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
【解析】由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
PAGE2.2.2 直线的方程
第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
必备知识·自主学习
1.直线的点斜式方程和斜截式方程
直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
提示：不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
2．直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b．
符号：可正，可负，也可为零．
直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？
提示：不是，直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3).( )
(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3.( )
(3)直线的点斜式方程也可写成＝k.( )
提示：(1)√.根据点斜式的特征可知正确．
(2)√.在直线y＝2x＋3中令x＝0即得y轴上的截距为3.
(3)×.方程写成＝k需满足x≠x0，所以会少一个点．
2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( )
A．y＋3＝x－2
B．y－3＝x＋2
C．y＋2＝x－3
D．y－2＝x＋3
【解析】选A.因为直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
所以直线l的方程为y＋3＝x－2.
3．(教材二次开发：例题改编)在y轴上的截距为2，且斜率为－3的直线的斜截式方程为________.
【解析】由斜截式方程可得y＝－3x＋2.
答案：y＝－3x＋2
关键能力·合作学习
类型一 直线的点斜式方程(数学运算)
1．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1
B．y＝1
C．y－1＝(x＋1)
D．y－1＝2(x＋1)
【解析】选C.由条件知已知直线的斜率为，
故所求直线的斜率是，因此所求直线的方程为y－1＝(x＋1).
2．已知三角形三顶点A(4，0)，B(8，10)，C(0，6)，
求过A点且倾斜角等于直线BC的倾斜角的点斜式方程．
【解析】设所求直线的方程为y＝k，由题意得：k＝kBC＝＝，所以所求方程：y＝.
利用点斜式求直线方程的方法
(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；
(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程．
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.
类型二 直线的斜截式方程(数学运算)
【典例】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【思路导引】先确定斜率和截距，再写方程．
【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率
k＝tan
150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan
60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.
过点P(6，－1)的直线l与x轴、y轴的正方向分别交于点A，B，且△AOB的面积为4，则l的方程是________.
【解析】设直线l的方程为y＝kx＋b(k<0，b>0)，
则直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，b)，
因为△AOB的面积为4，直线l过点P(6，－1)，
所以
解得
或(舍去)，所以直线l的方程为y＝－x＋2.
答案：y＝－x＋2
备选类型 直线方程的应用(数学运算，直观想象)
【典例】已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能为( )
【思路导引】根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程k，b的正负后可得正确的选项．
【解析】选C.对于A，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾；
对于B，直线l1方程中的k>0，b<0，直线l2方程中的k>0，b>0，矛盾；
对于C，直线l1方程中的k>0，b>0，直线l2方程中的k>0，b>0，符合；
对于D，直线l1方程中的k<0，b>0，直线l2方程中的k<0，b<0，矛盾．
如果直线方程的形式是斜截式y＝kx＋m，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小(也可以确定它们的符号)，一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负．
直线y＝ax－的图象可能是( )
【解析】选B.由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．
课堂检测·素养达标
1．方程y－y0＝k( )
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
【解析】选D.因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k不能表示与x轴垂直的直线．
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
【解析】选C.直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
3．(教材二次开发：练习改编)直线y＝－3x－6的斜率为k，在y轴上的截距为b，则( )
A．k＝3，b＝6
B．k＝－3，b＝－6
C．k＝－3，b＝6
D．k＝3，b＝－6
【解析】选B.直线y＝－3x－6的斜率为k，在y轴上的截距为b，可得斜率k＝－3，在y轴上的截距为b＝－6.
4．给出下列四个结论：①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；
④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．
其中正确结论的序号为________.
【解析】①不正确．方程k＝不含点(－1，2)；②正确；③正确；④只有k存在时成立．
答案：②③
5．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.
【解析】令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，
所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
PAGE第2课时 直线的两点式方程
必备知识·自主学习
直线的两点式、截距式方程
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？
提示：与x轴、y轴平行的直线，x轴，y轴．
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示？
提示：与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．( )
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( )
(4)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式．( )
提示：(1)×.若直线垂直于坐标轴，此时a或b不存在，不能用＋＝1表示．
(2)√.方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)能表示包含点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在内的直线上所有点．
(3)√.能用两点式方程表示说明直线一定有斜率，所以可用点斜式方程表示．
(4)√.直线不与坐标轴平行或重合，说明直线有斜率，有截距，所以方程可以写成两点式或斜截式．
2．在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选C.由直线的截距式方程可得＋＝1.
3．直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0.
4．(教材二次开发：例题改编)已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为________.
【解析】AB的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得＝，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
关键能力·合作学习
类型一 直线的两点式方程(数学运算)
1．过，的直线方程是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【解析】选B.所求直线过点，，
将两点坐标带入两点式，得＝.
2．已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是( )
A．x－13y＋5＝0
B．x－13y－5＝0
C．x＋13y＋5＝0
D．x＋13y＝0
【解析】选C.因为B，C，
所以BC中点的坐标为，即.
则BC边上的中线应过A，两点，
由两点式得：＝，
整理得x＋13y＋5＝0.
3．已知点A，B，则直线AB的方程是________.
由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
【补偿训练】
已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为( )
A．－ B． C．－ D．
【解析】选A.由两点式方程＝，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)，
所以l的斜率为＝－.
类型二 直线的截距式方程(数学运算)
【典例】已知直线l过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为( )
A．2x－y＝0
B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－2＝0
D．2x－y＝0或2x＋y－4＝0
【思路导引】直线l在两坐标轴上的截距成倍数关系，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点求得直线方程．
【解析】选D.根据题意，直线l分2种情况讨论：
①当直线过原点时，又由直线经过点，
所以所求直线方程为y＝2x，整理得2x－y＝0，
②当直线不过原点时，
设直线l的方程为＋＝1，
代入点的坐标得＋＝1，解得a＝2，
此时直线l的方程为＋＝1，
整理为2x＋y－4＝0.
故直线l的方程为2x－y＝0或2x＋y－4＝0.
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数．当直线过原点时直线方程为y＝2x；
当直线不过原点时设直线方程为＋＝1，
又因为截距互为相反数，则b＝－a，
将点代入有＋＝1，
解得a＝－1，此时直线方程为：x－y＋1＝0.
综上，满足过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条．
备选类型 直线方程的应用(数学运算)
对称问题
【典例】已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1，2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．
【思路导引】入射光线和反射光线是关于镜面的法线对称的．
【解析】作点A关于x轴的对称点A2，则A2(1，－2).
设点A关于l：x－y＋3＝0的对称点为A1(x0，y0)，
则解得
即A1点坐标为(－1，4).由已知条件知点A1，A2均在直线BC上，
所以由直线的两点式方程，得＝，
即3x＋y－1＝0.
故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
最值问题
【典例】如图，已知直线l过点P(2，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________.
【思路导引】利用直线l过点P(2，1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系，由均值不等式得解．
【解析】设直线l为＋＝1(a>0，b>0)，
因为直线l过点P(2，1)，则有＋＝1，
三角形OAB的面积为S＝ab.对＋＝1，
利用均值不等式得1＝＋≥2＝，
即ab≥8.于是，三角形OAB的面积为S＝ab≥4.
当且仅当a＝4，b＝2时等号成立．
答案：4
1．解决对称问题的方法
两点关于直线对称，则两点连线必定垂直于对称轴，并且对称两点的中点一定在对称轴上，简称为“一中点二垂直”，这是解决对称问题通用的工具．
2．计算最值问题的方法
对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用均值不等式、二次函数等方法，求得最大(或最小)值，需注意变量的限制条件．
1．入射光线从P(2，1)出发，经x轴反射后，通过点Q(4，3)，则入射光线所在直线的方程为________.
【解析】利用反射定理可得，点Q(4，3)关于x轴的对称点Q′(4，－3)在入射光线所在直线上，
故入射光线所在的直线PQ′的方程为＝，
化简得2x＋y－5＝0.
答案：2x＋y－5＝0
2．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.
【解析】直线AB的方程为＋＝1，设P(x，y)，则x＝3－y，
所以xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
答案：3
课堂检测·素养达标
1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3
B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2
D．y＝－x－2
【解析】选A.由两点式方程可得，＝，即y＝x＋3.
2．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b|
B．－b2
C．b2
D．±b
【解析】选B.令x＝0，得y＝－b2.
3．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1
B．－1
C．7
D．－7
【解析】选B.直线－＝1的横截距为3，纵截距为－4，
所以直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为－1.
4．经过两点M(4，3)，N(1，5)的直线交x轴于点P，则点P的坐标是________.
【解析】由直线的两点式方程，得MN所在直线的方程为＝，即y＝－x＋.
令y＝0，得x＝，
故P点坐标为.
答案：
5．(教材二次开发：练习改编)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________.
【解析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为a－1，
由截距式可得：＋＝1，
将代入直线方程，解得：a＝2或3，
所以代入直线方程可得，＋y＝1或＋＝1.
答案：＋y＝1或＋＝1
PAGE第3课时 直线的一般式方程
必备知识·自主学习
直线的一般式方程
(1)方程：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0
(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)本质：直线的一般式方程是直线的定量刻画，直线是二元一次方程的几何意义．
(3)应用：直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化为一般式，用一般式表示直线方程．
(1)方程y－y0＝0是二元一次方程吗？
提示：是，是A为0的二元一次方程．
(2)直线与二元一次方程的关系是什么？
提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )
(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点．( )
(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )
(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( )
(5)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A·B≠0.( )
提示：(1)√.二元一次方程能表示所有直线．
(2)√.C＝0时，点(0，0)满足方程Ax＋By＝0，说明直线过原点．
(3)×.当C＝0时，直线与y轴重合．
(4)×.当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．
(5)×.方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是A，B不同时为0，若A＝0，B≠0，或A≠0，B＝0时，方程也表示直线．
2．直线－2x＋y＋3＝0的斜率k＝( )
A．2
B．－2
C．
D．－
【解析】选A.直线方程化为斜截式为y＝2x－3，
所以斜率k＝2.
3．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________.
【解析】线段AB的中点坐标为(1，1)，代入直线方程得m＋3－5＝0，所以m＝2.
答案：2
4．(教材二次开发：例题改编)已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过第______象限．
【解析】直线ax＋by＝c，即y＝－x＋，
因为ab＜0，bc＜0，所以斜率k＝－＞0，
直线在y轴上的截距＜0.故直线过第一、三、四象限．
答案：一、三、四
关键能力·合作学习
类型一 直线的一般式方程(数学运算)
1．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
A．3x＋4y＋7＝0
B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0
D．3x＋4y－42＝0
2．直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A．
B．－5
C．
D．－3
3．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).
【解析】1.选B.将一般式化为斜截式，斜率为－的有B、C两项．又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项符合题意．
2．选D.令y＝0，可得x＝－3，所以直线在x轴上的截距等于－3.
3．(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.
求直线的一般式方程的方法
1．当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；
若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．
因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件．
【补偿训练】
直线＋＝1，化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4
B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0
D．4x＋3y＝12
【解析】选C.直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.
类型二 含参数的直线的一般式方程(数学运算)
【典例】(1)设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R).若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________.
(2)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
①直线l的斜率为－1；
②直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
【思路导引】(1)由方程获得斜率和截距后，通过限制斜率和截距的符号，即可限制直线的位置．
(2)分别将直线l的方程化为斜截式和截距式求解．
【解析】(1)把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即
解得a≥1.所以a的取值范围为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
(2)①因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.
由题意得－＝－1，解得k＝5.
②直线l的方程可化为＋＝1.
由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
1．典例(1)中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，则a的取值范围为________.
【解析】(1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即
解得a＞1.由(1)(2)可知a≥1.
答案：a≥1
2．若典例(1)中的方程不变，将“直线l不过第三象限”改为“直线l不过第二象限”，则a的取值范围为________.
【解析】把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，
因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即解得a≤－2.
答案：a≤－2
含参数的一般式的处理方法
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
1．若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为( )
A．
B．－6
C．－
D．6
【解析】选B.依题意知直线过点(3，0)，
代入直线方程得3(m＋2)＝2m，解得m＝－6.
2．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________.
【解析】依题意可知k＝tan
45°＝1，所以－＝1，且a2－9≠0.解得a＝－或a＝3(舍去).
答案：－
课堂检测·素养达标
1．直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为( )
A．，
B．－，－
C．－，－
D．，
【解析】选C.直线3x＋4y＋5＝0可化为y＝－x－.
所以直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为－，－.
2．若方程(m2－m)x＋(2m2＋m－3)y＋4m－2＝0表示一条直线，则实数m满足( )
A．m≠0
B．m≠－
C．m≠1
D．m≠－，m≠0，m≠1
【解析】选C.根据题意，若方程(m2－m)x＋(2m2＋m－3)y＋4m－2＝0表示一条直线，则m2－m＝0与2m2＋m－3＝0不同时成立，由m2－m＝0可得m＝0或1，
由2m2＋m－3＝0得m＝1或－；故m≠1.
3．(教材二次开发：练习改编)已知直线mx＋ny＝－1的斜率为－，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为( )
A．4和3
B．－4和3
C．－4和－3
D．4和－3
【解析】选C.由题意得n≠0，于是直线可化为y＝－x－.
由－＝－，－＝，
得m＝－4，n＝－3.
4．若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是________.
【解析】直线方程可化为y－1＝m(x＋2).
由直线的点斜式可知直线过定点(－2，1).
答案：(－2，1)
5．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________.
【解析】由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上的截距为4.
根据题意，直线l的斜率为，在y轴上的截距为8，
所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.
答案：x－3y＋24＝0
PAGE2.2.3 两条直线的位置关系
必备知识·自主学习
1.两条直线的相交、平行与重合
(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：
l1与l2相交?k1≠k2；
l1与l2平行?k1＝k2且b1≠b2；
l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2．
(2)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件是C1＝C2．
2．两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2?k1k2＝－1．
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
两直线互相垂直，一定能得到两直线的斜率之积等于－1吗？
提示：不一定，因为两直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( )
(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )
(5)若直线l1，l2的方程组成的方程组有解，则l1与l2一定相交．( )
提示：(1)×.两条直线的斜率相等，这两条直线可能平行，也可能重合．
(2)×.两条直线平行，也可能两条直线都不存在斜率．
(3)×.两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，这两条直线才垂直．
(4)√.两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都垂直于x轴，所以一定平行．
(5)×.因为直线l1与l2有可能重合．
2．(教材二次开发：例题改编)已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A．－3
B．3
C．－
D．
【解析】选B.kAB＝＝3，
因为l∥AB，所以k＝3.
3．直线l1：x－y＝0与l2：x＋y－2＝0的交点坐标为( )
A．(－2，－2)
B．(－1，－1)
C．(2，2)
D．(1，1)
【解析】选D.联立得所以直线l1与l2的交点坐标为(1，1).
4．直线y＝2与直线x＝0的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．重合
D．以上都不对
【解析】选B.直线y＝2与直线x＝0垂直．
关键能力·合作学习
类型一 两条直线平行的判定与应用(数学运算)
【典例】(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
(2)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x－2y＋7＝0
D．x－2y＋5＝0
【思路导引】(1)根据斜率存在不存在分类讨论，若存在斜率，则斜率相等．
(2)显然斜率存在，两直线平行斜率相等，由点斜式求出直线方程，再化为一般式．
【解析】(1)选C.由两直线平行得，
①当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．
②当k－3≠0时，由＝≠，可得k＝5.
综上，k的值是3或5.
(2)选C.由已知，所求直线的斜率是k＝，由点斜式方程可得y－3＝(x＋1)，即x－2y＋7＝0.
判断两条直线是否平行的步骤
若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行，则m的值为( )
A．
B．－
C．－6
D．6
【解析】选D.直线2x＋3y－1＝0的斜率为－，直线4x＋my＋11＝0的斜率为－，因为两直线平行，所以－＝－，则m＝6.
【补偿训练】直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，
l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．
【解析】(1)当l1，l2斜率都存在时，
所以m≠0且m≠3.
由l1∥l2，得－＝－，解得m＝－4.
此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－＝0，
显然，l1与l2不重合，满足条件．
(2)当l1，l2斜率不存在时，解得m＝3.
此时l1：x＝－，l2：x＝，满足条件．
综上所述，m＝－4或m＝3.
类型二 求两条直线的交点坐标(数学运算)
1．直线4x＋2y－2＝0与直线3x＋y－2＝0的交点坐标是( )
A．(2，2)
B．(2，－2)
C．(1，－1)
D．(1，1)
2．(多选题)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0不能围成三角形，则a的取值为( )
A．a＝1
B．a＝－1
C．a＝－2
D．a＝2
3．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程是________．
【解析】1.选C.解方程组得所以交点坐标为(1，－1).
2．选ABC.由题意可得
l1和l3平行，或l2和l3平行，或l1和l2平行．
若l1和l3平行，则＝，求得a＝1；
若l2和l3平行，则
＝，求得a＝1.
若
l1和l2平行，则＝，求得a＝±1.
当三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0交于同一个点时，a＝－2；
综上可得，实数a所有可能的值为－1，1，－2，故选：ABC.
3．方法一：由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2).
因为直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
方法二：因为l2不过原点，所以可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，所以直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
答案：x＋y＝0
过两条直线交点的直线方程求法
求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；
②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.
【补偿训练】
1.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A．－24 B．6 C．±6 D．24
【解析】选C.设交点P(0，y)，代入2x＋3y－k＝0，
得y＝，所以P，代入x－ky＋12＝0，
得0－＋12＝0，所以k＝±6.
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为( )
A．－2
B．－
C．2
D．
【解析】选B.易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得k＝－.
3．过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程是________．
【解析】解方程组
得所以两直线的交点坐标为(－1，0)，
又所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，
即3x－y＋3＝0.
答案：3x－y＋3＝0
类型三 两条直线垂直的判定与应用(数学运算)
【典例】(1)已知直线l1：x＋ay＋1＝0与l2：x－y＋1＝0垂直，则a＝________．
(2)△ABC的三个顶点分别为A(2，0)，B(4，4)，C(0，3)，求：
①AC边所在直线的方程．
②AC边的垂直平分线DE所在直线的方程．
【思路导引】(1)两直线垂直，斜率乘积为－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在．
(2)显然所求直线斜率存在，由垂直关系可求出斜率，由点斜式求出直线方程，再化为一般式．
【解析】(1)显然l2斜率存在且为1，又因为两直线垂直，所以l1斜率为－1，即－＝－1，解得a＝1.
答案：1
(2)①直线AC的斜率为k＝－，
由点斜式得直线方程为y－0＝－(x－2)，
即3x＋2y－6＝0，
②由①知，直线AC的斜率为k＝－，AC⊥DE，
直线DE斜率为，
线段AC的中点坐标为，
由点斜式可得直线DE的方程为y－＝(x－1)，
即4x－6y＋5＝0.
判断两直线垂直的方法
(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0判断．
(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：
l1⊥l2?k1·k2＝－1判断．
(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断．
已知直线l1：(1－a)x＋ay－2＝0，l2：ax＋(2a＋1)y＋3＝0，若l1⊥l2，则a的值为( )
A．0或2
B．0或－2
C．2
D．－2
【解析】选B.根据直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等价条件是：A1A2＋B1B2＝0，根据题意得到：(1－a)a＋a(2a＋1)＝0整理为：a2＋2a＝0，解得a＝0或－2.
【补偿训练】已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经
过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求实数a的值．
【解题指南】已知l1的斜率存在，又l1⊥l2，所以l2的斜率也存在，设为k2，则由k1·k2＝－1，可得关于a的方程，解方程即可．
【解析】设直线l2的斜率为k2，
则k2＝＝－.
因为l1⊥l2，且k1＝，
所以k1·k2＝－1，
所以×＝1，
即a2－4a＋3＝0，
解得a＝1或a＝3.
课堂检测·素养达标
1．若直线l1：x＋y－a－b＝0与直线l2垂直，则l2的倾斜角为( )
A．135°
B．45°
C．30°
D．60°
【解析】选B.kl1＝－1，kl1·kl2＝－1，
所以直线l2的斜率为1，倾斜角为45°.
2．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4
B．3，4
C．4，3
D．－4，－3
【解析】选B.由得由题意得得
3．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24
B．20
C．0
D．－4
【解析】选B.由垂直性质可得2m－20＝0，m＝10.
由垂足可得
得所以m－n＋p＝20.
4．已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
【解析】设点D(x，0)，
因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
所以4·＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9，0)
5．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________.
【解析】由题意得l1∥l2，所以kAB＝kMN.
因为kAB＝＝－，kMN＝＝3，
所以－＝3，所以a＝－6.
答案：－6
PAGE2.2.4 点到直线的距离
必备知识·自主学习
1.点到直线的距离
(1)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(2)本质：用代数方法求平面内点到直线的距离．
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离？
提示：不能，必须先化成一般式，再代入公式求距离．
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
(3)本质：用代数方法求平面内两条平行直线间的距离．
直线l1，l2的方程具备什么特征时，才能直接应用公式求距离？
提示：直线l1，l2的方程必须是一般式，且一次项系数A，B相同．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.( )
(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.( )
(3)两直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为.( )
提示：(1)×.点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离应为d＝|y0－b|，因为y0与b的大小不确定．
(2)√.点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|，式子中加了绝对值，所以正确．
(3)×.求两条平行线间的距离必须先把x与y的系数变为相同形式．
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1
B．
C．2
D．
【解析】选D.d＝＝.
3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( )
A．3
B．2
C．1
D．
【解析】选C.d＝＝1.
4．(教材二次开发：例题改编)若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________.
【解析】由＝，
得m＝－4或m＝0，
又因为m<0，所以m＝－4.
答案：－4
关键能力·合作学习
类型一 点到直线的距离公式(数学运算)
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3
B．
C．1
D．
2．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0
B．
C．3
D．0或
3．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为( )
A．(0，－2)
B．(2，4)
C．(0，－2)或(2，4)
D．(1，1)
4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( )
A．8
B．2
C．
D．16
【解析】1.选B.点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝.
2．选D.点M到直线l的距离d＝＝，
所以＝3，解得m＝0或m＝.
3．选C.直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，
整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.
当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；
当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2).
4．选A.x2＋y2＝()2，它表示原点到(x，y)距离的平方，x2＋y2的最小值即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，＝8.
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
【补偿训练】
1.若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．
B．[3，4]
C．(0，10)
D．(－∞，0)∪[10，＋∞)
【解析】选A.由≤3，即|3a－16|≤15，
2．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A．
B．－
C．－或－
D．－或
【解析】选C.由点到直线的距离公式可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－或－.
3．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是( )
A．(a－b)
B．(b－a)
C．b－a
D．
【解析】选B.因为P(a，b)是第二象限的点，
所以a<0，b>0.所以a－b<0.
所以点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a).
类型二 两条平行线间的距离(数学运算)
【典例】(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________.
【思路导引】(1)首先利用对应系数的比值相等求m，再计算距离；
(2)设出直线l的方程，利用两条平行线间距离公式求解．
【解析】(1)由题意，得＝，所以m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，
由题意，得＝，
解得C＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(1) (2)2x－y＋1＝0
1．求两条平行线间距离的方法
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
2．由两平行直线间的距离求直线方程的两种思路
(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；
(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．
1．若两平行直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．－2
【解析】选A.由直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0平行可得－n＝2即n＝－2，
又因为直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x＋2y－3＝0的距离为，所以＝，
解得m＝2或m＝－8(舍去)，
所以m＋n＝2＋＝0.
2．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
【解析】选D.因为所求与直线2x＋y＋1＝0的距离为，
所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
所以d＝＝，解得c＝0或c＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
类型三 距离的综合应用(数学运算、直观想象)
计算三角形面积
【典例】已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路导引】计算一条边长和这条边上的高，即第三个顶点到这条边的距离．
【解析】选C.设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.
求直线方程
【典例】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
【思路导引】先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．
【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).
由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，
解得c＝7或c＝－5(舍)，
所以l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
所以设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，
3x－y＋b＝0.
因为正方形中心到四条边的距离相等，
所以＝，得a＝9或a＝－3，
所以另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
所以另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．
【解析】由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．因为kOP＝0，
所以此时所求直线方程为x＝－1.
距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
1．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1【解析】因为A(1，1)，C(4，2)，
所以|AC|＝＝.
又AC边所在直线的方程为x－3y＋2＝0，
根据点到直线的距离公式，可得点B(m，)到直线AC的距离d＝.
所以S＝|AC|·d＝|m－3＋2|
＝|－|.
因为1所以0≤<，
所以S＝.
所以当－＝0，即m＝时，S最大．
故当m＝时，△ABC的面积最大．
2．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
【解析】设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).
所以|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
课堂检测·素养达标
1．直线6x＋8y－2＝0与6x＋8y－3＝0间的距离为( )
A．1
B．3
C．
D．
【解析】选C.由平行线间的距离公式可知，直线间的距离为d＝＝.
2．点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )
A．a>7
B．a<－7或a>3
C．a<－3
D．a>7或a<－3
【解析】选D.根据题意，得
>3，解得a>7或a<－3.
3．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.由题：直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a，即a2－2a－3＝0解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行，
两直线之间的距离为＝.
4．(教材二次开发：练习改编)若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则实数k的值是____．
【解析】因为＝4，
所以|16－12k|＝52，所以k＝－3或k＝.
答案：－3或
5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，
得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
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