2.3
圆及其方程
2.3.1 圆的标准方程
必备知识·自主学习
导思
1.确定一个圆的几何要素有哪些?2.怎么确定点与圆的位置关系?
1.圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．
(2)标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)确定圆的标准方程的几何要素：圆心、半径．
以原点为圆心，半径为r的圆的标准方程是什么？
提示：x2＋y2＝r2.
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2
(2)在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2或d＝r；
(3)在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2或d>r.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( )
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(3)原点在圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2上，则x＋y＝r2.( )
提示：(1)√.如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的．
(2)×.当m＝0时，表示点(a，b).
(3)√.原点在圆上，则(0－x0)2＋(0－y0)2＝r2，即x＋y＝r2.
2．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A．(－1，3)，1
B．(1，－3)，3
C．(－1，3)，
D．(1，－3)，
【解析】选D.由圆的标准方程可得圆心为(1，－3)，半径为.
3．(教材二次开发：例题改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )
A．－1B．a<－1
C．a<－1或a>1
D．a>1
【解析】选A.因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，
<2，两边平方得(1－a)2＋(a＋1)2<4，化简得a2<1，解得－1关键能力·合作学习
类型一 求圆的标准方程(数学抽象、逻辑推理)
1．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
2．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
3．求以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程．
【解析】1.方法一：(待定系数法)
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
解得所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
方法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
2．方法一：(几何法)
如图所示，
由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.
在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.
设点C坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，所以a＝±3.
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
方法二：(待定系数法)
由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
因为圆截y轴线段长为8，所以圆过点A(0，4).
代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3.
所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
3．圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
确定圆的标准方程
就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如方法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如方法二，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
【补偿训练】
圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
【解析】AB的垂直平分线方程为y＝－3.
由解得圆心C(2，－3).
半径r＝AC＝＝.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
类型二 点与圆的位置关系(数学抽象、直观想象)
【典例】已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
【思路导引】点A到圆心的距离?d≥r?a的取值范围．
【解析】由题意，圆心C(a，－a)，半径|a|，
点A在圆C上或圆C外部，
所以≥|a|，
所以2a＋5≥0，所以a≥－.因为a≠0，
所以a的取值范围为∪(0，＋∞).
判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
1．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为( )
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．与m的值有关
【解析】选A.因为(m－2)2＋(3－1)2>2，所以点P在圆外．
2．已知圆(x－2)2＋y2＝8上的点P(x，y)，则x2＋y2的最大值为________．
【解析】方法一：因为(x－2)2≤8，解得2－2≤x≤2＋2.圆上的点P，y2＝8－(x－2)2，
所以x2＋y2＝4x＋4≤12＋8.
答案：12＋8
方法二：x2＋y2表示圆上点P到原点距离的平方．
因为圆心到原点距离为2，
所以x2＋y2最大值为(2＋2)2＝12＋8.
答案：12＋8
3．已知圆(x－1)2＋y2＝1上的点到直线y＝kx－2的距离的最小值为1，则实数k＝________．
【解析】由－1＝1解得k＝－或0.
答案：－或0
4．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求的最大值．
【解析】的几何意义是圆上的点P(x，y)到点A(1，1)的距离，因此最大值为点A到圆心的距离加上半径即＋1.
【拓展延伸】
求圆外一点到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得．
【补偿训练】
已知两点A，B，点P是圆2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是______．
【解析】AB＝.当点P到直线AB的距离最大时，△PAB的面积最大，圆的圆心到直线AB：＋＝1，
即2x－y＋2＝0的距离为，
则P到直线AB的距离的最大值为＋1.所以△PAB面积的最大值为××＝2＋.
答案：2＋
课堂检测·素养达标
1．设A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋y2＝2
B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2
D．(x＋3)2＋y2＝8
【解析】选A.弦长AB＝＝2，所以半径为，中点坐标，所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
2．过点A(1，－1)与B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为( )
A．(x－3)2＋2＝4
B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．2＋(y－1)2＝4
D．2＋2＝4
【解析】选B.线段AB的中点为(0，0)，AB的斜率为－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＝x.
由解得圆心(1，1).
半径为圆心到点A的距离2，
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
3．(教材二次开发：练习改编)若点在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( )
A．(－1，1)
B．(0，1)
C．
D．
【解析】选A.由(2a)2＋(a＋1－1)2<5得
5a2＜5，所以a2＜1，
所以－14．若圆C的半径为1，点C与点关于点对称，则圆C的标准方程为________．
【解析】圆心(0，0)，所以圆C的标准方程为x2＋y2＝1.
答案：x2＋y2＝1
5．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同圆心且过点P的圆的方程是________．
【解析】由题意可设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2.
由点P在圆上，得r2＝2＋2＝25，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
PAGE2.3.2 圆的一般方程
必备知识·自主学习
导思
1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形?2.圆的一般方程有什么特点?
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得
＋＝.
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径为的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
根据一般方程怎么求圆心和半径？
提示：配方法．
＋＝，
所以圆心为，半径为.
2．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
(1)圆的一般方程特点．
提示：①x2和y2系数相等，都为1；
②没有xy项．
(2)点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
提示：①圆内：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；
②圆上：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；
③圆外：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)圆的标准方程与一般方程可以互化．( )
(2)方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程．( )
(3)方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．( )
提示：(1)√.圆的标准方程与一般方程可以互化．
(2)×.方程2x2＋2y2－3x＝0即x2＋y2－x＝0，是圆的一般方程．
(3)×.因为(－1)2＋12－4×1＝－2＜0，所以方程不表示任何图形．
2．方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．k<2
B．k>2
C．k≥2
D．k≤2
【解析】选B.若方程表示圆，则2＋42－4>0，解得k>2.
3．(教材二次开发：例题改编)已知圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0圆心坐标为，则它的半径为( )
A．3
B．
C．5
D．4
【解析】选D.由题得－＝5，
所以a＝－5，所以圆的半径为＝＝4.
关键能力·合作学习
类型一 二元二次方程与圆的关系(数学运算，数学抽象)
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是( )
A．a<－2或a>
B．－C．－2D．－23．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为( )
A．1或－2
B．2或－1
C．－1
D．2
【解析】1.选A.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，
即2＋2＝0，
所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点.
2．选D.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，
所以a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，
所以3a2＋4a－4<0，
所以(a＋2)(3a－2)<0，所以－23．选C.若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，
则有a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，原方程可变为2x2＋2y2＋2x＋1＝0，
配方，得2＋2y2＝－，不表示圆；
当a＝－1时，原方程可变为x2＋y2－2x－1＝0，配方，得(x－1)2＋y2＝2，它表示以(1，0)为圆心，为半径的圆．
二元二次方程表示圆的条件：x2，y2的系数为1，没有xy项，且D2＋E2－4F>0.可以通过配方把圆的一般方程化成标准方程．
【补偿训练】
圆2x2＋2y2－4ax＋12ay＋16a2＝0的周长等于( )
A．2πa
B．－2πa
C．2πa2
D．－πa
【解析】选B.原方程配方得2＋2＝2a2.
因为a<0，所以半径r＝－a.
所以圆的周长为2π×＝－2πa.
类型二 求圆的一般方程(数学运算，直观想象)
【典例】已知△ABC顶点的坐标为A，B，C，求其外接圆的一般方程．
【思路导引】方法一：把三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组；
方法二：AB，AC的垂直平分线过圆心，圆心到点A的距离为半径，从而求出圆的方程；
方法三：可以判断出这是一个直角三角形，因此斜边为直径．
【解析】方法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，则
解得
因此其外接圆的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
方法二：(几何法)
AB的垂直平分线方程y－＝x－，
即y＝x－2；AC的垂直平分线方程y－＝－，即y＝－x＋4.
由得圆心(3，1)，半径＝.
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
方法三：(几何法)
因为AB，AC的斜率，满足kAB·kAC＝×＝－1，所以AB⊥AC，△ABC为直角三角形．
所以BC为外接圆的直径．外接圆圆心(3，1)，半径为BC＝＝，
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．
求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
【解析】方法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a).又该圆经过A，B两点，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
【拓展延伸】
确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
【拓展训练】
已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．
【证明】(1)由题意知直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2).
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.①.
又因为直径|CD|＝4，
所以|PA|＝2，所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2).
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
类型三 求动点的轨迹方程(数学运算、逻辑推理)
角度1 直接法?
【典例】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A，B，则满足＝2的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
【思路导引】设点P(x，y)，然后代入＝2，化简即可求出圆的方程．
【解析】设点P(x，y)，代入＝2得＝2，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.
配方得＋y2＝.所以点P的轨迹的圆心为，半径为.圆的面积为π.
答案： π
在【典例】条件下，求△ABP面积的最大值．
【解析】当PC垂直x轴时，面积最大为×4×＝.
角度2 定义法及代入法?
【典例】设定点M，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【思路导引】方法一：由平行四边形性质可知|MP|＝|ON|＝2，满足圆的定义，注意去掉不满足条件的点；
方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程．
【解析】方法一：(定义法)|MP|＝|ON|＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，
除去点和点.
方法二：(代入法)如图所示，设P，N，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，从而又点N在圆上，
故2＋2＝4.当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝
－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，除去点和点.
求解与圆有关的轨迹问题方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
1．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是和，中线AD的长是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9
D．x2＋y2＝9
【解析】选C.由|AD|＝3知点A在以D为圆心，半径为3的圆上，不包括圆与x轴的交点．
所以轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0).
2．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
【解析】设M(x，y)，则Q(2x＋1，2y)，
因为Q在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
所以轨迹C的方程是＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
3．已知坐标平面上动点M与两个定点P，Q，且＝5.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解析】由题意得
＝5
整理得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
所以点M的轨迹方程是2＋2＝25.
轨迹是以为圆心，5为半径的圆．
课堂检测·素养达标
1．由方程x2＋y2＋x＋y＋m2＝0所确定的圆的最大面积是( )
A．π
B．π
C．3π
D．不存在
【解析】选B.由已知得r＝＝.
所以当m＝－1时，半径r取得最大值，
此时最大面积是π.
2．(教材二次开发：练习改编)圆心在y轴上，且过点的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
【解析】选B.设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则
＝r，解得r＝5.
所求圆的方程为x2＋(y－5)2＝25，
即x2＋y2－10y＝0.
3．原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋＝0的位置关系是________．
【解析】把代入圆的方程左边，得.
因为a∈(0，1)，所以>0，故原点O在圆外．
答案：原点O在圆外
4．已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C，则其外接圆的方程为________．
【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得解得
故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0
PAGE2．3.3 直线与圆的位置关系
必备知识·自主学习
导思
1.如何利用直线与圆的方程判断位置关系?2.能不能利用几何图形判断位置关系?
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断:
(1)方法:
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
方法
几何法:设圆心到直线的距离d=
QUOTE
eq
\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dd=r
d>r
代数法:由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(2)本质：利用直线与圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．
利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法简单？
提示：一般几何法较为简单．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线．( )
(2)过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交．( )
(3)如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心．( )
提示：(1)×.当点在圆上时，只能作圆的一条切线．
(2)√.过圆内的一点作直线，一定与圆有两个交点，因此一定相交．
(3)√.直径是圆的最长弦，因此直线一定过圆心．
2．已知直线l过点P，圆C：x2＋y2－4x＝0，则( )
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．l与C的位置关系不确定
【解析】选A.将圆的方程化为标准方程得：2＋y2＝4，
所以圆心C，半径r＝2，又P与圆心的距离d＝＝1<2＝r，
所以点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．
3．(教材二次开发：例题改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A．
B．2
C．
D．2
【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程x－y＝0，圆x2＋y2－4y＝0化为标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝＝1，因此弦长为2＝2＝2.
关键能力·合作学习
类型一 直线与圆的位置关系的判断(数学运算、直观想象)
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
3．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，求k的取值范围．
【解析】1.选C.方法一：(几何法)由题意可得，圆的圆心坐标为(a，0)，半径为，所以≤，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
方法二：(代数法)由消y得，
2x2＋2(1－a)x＋a2－1＝0，
由Δ＝4(1－a)2－8(a2－1)＝－4a2－8a＋12≥0，
即a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1.
2．选A.方法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，
因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
方法二：(几何法).由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
方法三：(代数法)由消去y，
整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)>0，故直线l与圆相交．
3．方法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是
Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－＜k＜.
方法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1.即＞1，
解得－＜k＜.
判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr?相离．
(2)代数法：Δ＝b2－4ac
类型二 直线与圆相切的问题(逻辑推理、直观想象)
【典例】过点P画圆＋y2＝4的切线，求切线方程．
四步
内容
理解题意
条件：①点P(4，5)，②圆＋y2＝4结论：切线方程
思路探求
讨论切线的斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径，解出切线方程．
书写表达
①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y－5＝k，即kx－y＋5－4k＝0，由＝2得k＝，所以切线方程l：21x－20y＋16＝0.②当切线斜率不存在时，切线l的方程为x＝4.综上切线方程为21x－20y＋16＝0和x＝4.注意书写的规范性：①设直线方程；②根据圆心到直线的距离等于半径列方程；③下结论．
题后反思
设直线方程的点斜式方程时要考虑斜率存在与否．解答题分类讨论，最后要下结论．
求圆的切线方程
设出直线的方程后，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程．设方程时要注意考虑斜率存在与否．
已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
【解析】(1)当斜率不存在时，x＝3与圆相切；
当斜率存在时，设切线y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，
圆心到直线的距离＝2，解得k＝，切线方程为y＝x－.综上，切线方程为y＝x－和x＝3.
(2)圆心到直线的距离为＝2，解得a＝0，a＝.
【拓展延伸】
1．过圆上一点的切线方程
(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则在点M处的切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.
2．过圆外一点的切线方程
(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.
【拓展训练】
已知点M为圆x2＋y2＝1上一点，求在点M处的切线方程．
【解析】方法一：直接应用结论
所求切线方程为x＋y＝1，即x＋y－2＝0.
方法二：当斜率不存在时x＝，不与圆相切，舍去；
当斜率存在时，设y－＝k，
即2kx－2y－k＋＝0，
圆心到直线的距离＝1，
解得k＝－，切线方程为x＋y－2＝0.
综上，切线方程为x＋y－2＝0.
类型三 直线与圆的相交问题(数学运算，直观想象)
角度1 求弦长?
【典例】已知圆x2＋y2－6x＝0，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路导引】首先判断点在圆内，然后利用最短弦与点和圆心连线垂直，构造直角三角形求解．
【解析】选B.将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C点坐标为(3，0)，半径r＝3.
设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，
因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，
则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，
则d＝＝＝2，所以|BD|min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2.
本【典例】若求最大值呢？
【解析】当直线过圆心时，弦长最大．所以最大弦长为圆的直径6.
角度2 综合问题?
【典例】已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，若在圆C中存在弦AB，满足＝2，且AB的中点M在直线2x＋y＋k＝0上，则实数k的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－5，5]
C．(－，)
D．[－，]
【思路导引】把弦长转化为圆心到直线的距离．
【解析】选D.圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
因此其圆心为C，半径r＝2，由于＝2，且AB的中点为M，则＝＝1，
因此点M在以C(－1，2)为圆心，1为半径的圆上，又点M在直线2x＋y＋k＝0上，
所以直线2x＋y＋k＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1有公共点，
则≤1，
解得－≤k≤，故实数k的取值范围是[－，].
1．弦长的求法
若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
2．直线与圆的综合问题的求解策略
直线与圆和平面几何、平面向量的联系十分紧密，可充分考虑平面几何、平面向量知识的运用．
1．若直线x－y＝2被圆2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0或4
B．0或3
C．－2或6
D．－1或
【解析】选A.由圆的方程，可知圆心坐标为，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以＝2，解得a＝4或a＝0.
2．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y－4＝0内，过点O(0，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
【解析】选D.＋＝9，由题意可得：最长弦为直径6，最短的弦是4，则四边形ABCD的面积为12.
3．已知直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0交于A，B两点，直线mx＋y＋2＝0垂直平分弦AB，则m的值为________，弦AB的长为________．
【解析】设直线CD：mx＋y＋2＝0可化为y＝－mx－2，由垂直得2×(－m)＝－1，m＝.直线CD的表达式为y＝－x－2.
圆的标准方程为2＋(y＋1)2＝，圆心C，半径.代入直线CD的表达式得－1＝－×－2，解得a＝4.所以圆心C(－2，－1)，半径为2.弦AB的长为2＝.
答案：
课堂检测·素养达标
1．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为( )
A．y＝x＋
B．y＝－x＋
C．y＝x＋或y＝－x＋
D．x＝1或y＝x＋
【解析】选C.在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，
所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋.
2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
【解析】由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝，又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，
由＝r2－d2，
得|AB|2＝4＝10，即|AB|＝.
答案：
3．(教材二次开发：练习改编)已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
【解析】因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝.
答案：0或
4．已知直线4x－y＝b被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则b的值为________．
【解析】该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，故该圆的圆心(1，1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线必过圆心．所以4－1＝b，b＝3.
答案：3
5．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值为________．
【解析】将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0整理可得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由已知圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，得b＝a－3.
由点向圆所作的切线长d2＝2－2，又b＝a－3，则d2＝2a2－8a＋24＝2(a－2)2＋16，故当a＝2时，切线长d有最小值为4.
答案：4
PAGE2.3.4 圆与圆的位置关系
新课程标准
学业水平要求
能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系
1.结合教材实例了解圆与圆的位置关系(数学抽象、直观想象)2．会解决圆与圆的位置关系有关的问题(数学运算)3．会解决圆与圆相切、相交弦长等相关的问题，能解决简单轨迹问题(数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.如何通过两个圆的方程判断位置关系？2．从几何图形如何判断位置关系？
1.若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆外离
0
d＞r1＋r2
两圆内含
d＜|r1－r2|
两圆相交
2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两圆内切
1
d＝|r1－r2|
两圆外切
d＝r1＋r2
2.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？
提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若两圆有唯一的公共点，则两圆外切．( )
(2)若两圆没有公切线，则两圆内含．( )
(3)若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d<|r1－r2|时，两圆相交．( )
提示：(1)×.两圆也可能内切．
(2)√.只有两圆内含时，两圆才没有公切线．
(3)×.当d<|r1－r2|时，两圆内含．
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【解析】选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
因为3－23．(教材二次开发：例题改编)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝( )
A．－24
B．－16
C．24
D．16
【解析】选D.C1(0，0)，r1＝2，C2(3，4)，r2＝，
由外切得＝2＋，
解得m＝16.
关键能力·合作学习
类型一 两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
2．圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为( )
A．0
B．3
C．2
D．1
3．圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为( )
A．外切
B．相交
C．内切
D．内含
【解析】1.选B.O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0，故圆心坐标与半径分别为O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，O1O2＝，r2－r1＝1，1<<3，所以两圆相交．
2．选D.因为圆B：(x－2)2＋y2＝1，其圆心为B(2，0)，半径为1，圆A的圆心为A(0，0)，半径为1，所以圆心距为|AB|＝2，半径之和为1＋1＝2，所以两圆外切，只有一个公共点．
3．选C.两圆的标准方程分别为x2＋(y－1)2＝1，(x－)2＋y2＝9.
圆心分别为(0，1)，(，0)，半径分别为1，3.圆心距＝3－1，
所以两圆内切．
几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程．
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．
类型二 有关相切的问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.若圆C1：＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于( )
A．16
B．7
C．－4或16
D．7或16
2．已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程．
【解析】1.选C.圆心分别为(1，0)，(4，－4).半径分别为1，.因为两圆相切，所以当外切时，＝1＋，解得m＝16；
当内切时，＝|1－|，解得m＝－4.
2．圆O1的方程变为＋＝16，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2)2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16.
解决两圆相切问题的两个步骤
(1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【解析】圆C的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，
则圆心C(1，0)，半径为1，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意可得
解得或
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
【拓展延伸】
圆O1(x－a)2＋(y－b)2＝r，圆O2(x－c)2＋(y－d)2＝r.两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程．
【拓展训练】
已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相外切．若圆C2关于直线l：－＝1对称，求由点(a，b)向圆C2所作的切线长的最小值．
【解析】圆C1的圆心C1(0，0)，半径为3.
圆C2的圆心C2(3，4)，半径r.
＝＝5.
因为两圆相外切，所以＝3＋r＝5，解得r＝2.
因为圆C2关于直线l：－＝1对称，
所以－＝1，化为a＝b＋3.由点(a，b)向圆C2所作的切线长＝
＝，所以当b＝2时，切线长取得最小值2.
类型三 两圆相交问题(数学运算、直观想象)
eq
\a\vs4\al(,,角度1)
与公共弦相关的问题
【典例】两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直线的方程是( )
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
【思路导引】把两圆方程作差可得公共弦所在直线方程．
【解析】选C.两圆方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相减，可得公共弦所在直线方程为6x＋8y－3＝0.
求【典例】中两圆相交所得公共弦的弦长．
【解析】x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成标准方程得，
(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
所以弦长为2＝2＝.
eq
\a\vs4\al(,,角度2)
圆与圆位置关系的应用
【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
【思路导引】切线垂直转化为过切点的两个半径垂直．
【解析】如图所示，在Rt△OO1A中，OA＝，O1A＝2，
所以OO1＝5，所以AC＝＝2，所以AB＝4.
答案：4
公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
1．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8
B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8
D．E＝4，F＝8
【解析】选C.由圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0.所以E＝－4，F＝－8.
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
【解析】选B.由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)，可得公共弦的方程为y＝，又x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为r＝2，由圆的弦长公式可得l＝2＝2＝2，解得a＝1.
【补偿训练】
若圆＋＝b2＋1始终平分＋＝4的周长，则a，b应满足的关系式为( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
【解析】选B.因为圆2＋2＝b2＋1始终平分2＋2＝4的周长．
所以两圆交点的直线过2＋2＝4的圆心，两圆方程相减可得x＋y－a2－1＝0，
将代入可得－2－2a－2－2b－a2－1＝0，
即5＋2a＋2b＋a2＝0，所以B选项是正确的．
备选类型 圆系方程
【典例】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
【思路导引】方法一，联立两圆方程，求出交点坐标，再求圆的方程；方法二，利用圆系方程求解．
【解析】选A.方法一：(几何法)
由得A(－1，3)，B(－6，－2)，
线段AB的垂直平分线方程为x＋y＋3＝0.
由得圆心坐标为.
半径＝.
所求圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二：(圆系方程)
根据题意，要求圆经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，
设其方程为＋λ＝0，变形可得x2＋y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0,
其圆心为，
又由圆心在直线x－y－4＝0上，
则有－－4＝0，解得λ＝－7;
则圆的方程为x2＋y2＋6x－42y＋192＝0,
即x2＋y2－x＋7y－32＝0，所以A选项是正确的．
求经过两圆交点的圆方程
已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
当λ＝－1时，表示公共弦所在直线方程；
当λ≠－1时，表示过两圆交点的圆．
过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点的圆的方程是________．
【解析】根据题意，设所求圆的方程为＋λ＝0，要求圆经过点，则有4＋10λ＝0，
解可得λ＝－，则要求圆的方程为
x2＋y2－x＋y＋2＝0.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
课堂检测·素养达标
1．已知圆M的圆心M(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】选B.两圆圆心距2，圆M的半径为2－1＝1，
所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
2．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．外离
C．外切
D．相交
【解析】选D.由题意可得两圆方程为x2＋y2＝1和2＋2＝9.则两圆圆心分别为和；半径分别为r1＝1和r2＝3，
则圆心距：d＝＝，
则<<，所以两圆相交．
3．(教材二次开发：练习改编)已知直线y＝－x被圆M：x2＋y2＋Ey＝0截得的弦长为2，且圆N的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则圆M与圆N的位置关系为( )
A．相交
B．外切
C．相离
D．内切
【解析】选A.圆M：x2＋y2＋Ey＝0的圆心为，半径为－.
所以＝2＋()2，解得E＝－4.
所以圆M的圆心为(0，2)，半径为2.
圆N的圆心为(1，1)，半径为1.
因为|MN|＝＝，且2－1<|MN|<2＋1，所以两圆相交．
4．已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.则两圆公共弦所在直线的方程为________．
【解析】两圆方程作差得两圆公共弦所在直线方程x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
5．已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝________．
【解析】因为两个圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，
内切时，＝4，外切时＝6，
所以a＝±2或0.
答案：±2或0
PAGE2.4 曲线与方程
新课程标准
学业水平要求
1.了解曲线的方程与方程的曲线的关系．2．会求曲线方程，能根据方程研究曲线的性质．
1.结合教材实例理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(数学抽象)2．会判断曲线与方程的关系．(数学抽象)3．会求曲线的交点．(数学运算)4．根据具体问题情境求曲线的方程，并能利用求出的方程研究曲线的性质．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.曲线的方程与方程的曲线的概念是什么？2．如何求曲线的方程？
1.曲线的方程与方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F＝0的解．
(2)以方程F＝0的解为坐标的点都在曲线C上．则称曲线C为方程F＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．
(1)从集合角度怎样理解曲线与方程的关系？
提示：设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F＝0的实数解为坐标的点组成的点集，若①A?B；②B?A，则A＝B.
(2)怎样判断曲线F＝0与G＝0是否有交点？
提示：转化为方程组是否有实数解．
2．求动点M轨迹方程的一般步骤
(1)设动点M的坐标为(如果没有平面直角坐标系，需先建立).
(2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示．
(3)化简并检验所得的方程是否为M的轨迹方程．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则
(1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.( )
(2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.( )
(3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．( )
(4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．( )
提示：因为以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线l上，所以(1)，(2)，(4)错误；坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上是正确的．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(2020?台州高二检测)下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的是( )
A．(1，－2)
B．(1，2)
C．(－1，－2)
D．(－2，3)
【解析】选A.将各点代入验证，得A中点(1，－2)满足．
3．(教材例题改编)方程x2y2＝1的曲线是( )
【解析】选D.方程x2y2＝1，化为xy＝±1，
即y＝±.所以曲线为D.
关键能力·合作学习
类型一 曲线与方程的概念(数学抽象)
1．命题“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是命题“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．
2．若曲线C的方程为y＝2x－1(1A．(0，0)
B．(7，15)
C．(2，3)
D．(4，4)
【解析】选C.由y＝2x－1(13．下列命题正确的是________．(填序号)
①设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程是x＋y－2＝0；
②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y＝；
③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2－y2＝0.
【解析】命题①中方程x＋y－2＝0表示一条直线，坐标满足该方程的点如(－1，3)等不在线段AB上，故命题①错误；命题②中到原点的距离等于5的动点的轨迹方程为x2＋y2＝25，方程y＝表示的曲线是圆x2＋y2＝25除去x轴下半部分的曲线，故命题②错误．
命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为|x|＝|y|，满足x2－y2＝0，反过来坐标满足方程x2－y2＝0的点到两坐标轴的距离相等，故命题③正确．
答案：③
两角度分析曲线与方程
(1)曲线上点的角度：曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．
(2)方程解的角度：以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．
类型二 求曲线的交点(逻辑推理、数学运算)
【典例】试讨论曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数)交点的个数．
四步
内容
理解题意
条件：曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数)
结论：求两曲线交点的个数
思路探求
只需把直线方程与圆方程联立，求方程组解的个数即可
书写
表达
由得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝4(12k－5).所以Δ>0，即k>时，直线与圆有两个不同的交点．Δ＝0，即k＝时，直线与圆有一个交点．Δ<0，即k<时，直线与圆没有交点．
题后反思
求曲线交点的方法：联立两曲线方程，解方程组
关于曲线的交点曲线F＝0与G＝0的交点个数等价于方程组解的个数，交点坐标即方程组的解，利用这一关系，可以解决曲线的交点问题．
若曲线xy＋y＋(k－5)x＋2＝0和直线x－y－k＝0的交点的横坐标为正，求实数k的范围．
【解析】将两曲线方程联立得
消去y得x2－4x＋2－k＝0，
由Δ≥0得k≥－2，
x＝，
所以x1＝2＋，x2＝2－，
因交点横坐标为正，且k≥－2，
故有2>，
所以－2≤k<2，
所以k的范围是{k|－2≤k<2，k∈R}．
类型三 曲线方程的性质与求法(逻辑推理)
eq
\a\vs4\al(,,角度1)
由方程研究曲线的性质
【典例】写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质．
【解析】(1)曲线变化情况：因为y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x逐渐增大时，|y|逐渐增大．
所以曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展．
(2)对称性：用－y代替y方程不变，故曲线关于x轴对称．
(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，
所以曲线的横截距为－1，纵截距为±2.
(4)画方程的曲线：
列表：
x
－1
0
1
2
3
…
y
0
±2
±2
±2
±4
…
描点作图如图所示．
eq
\a\vs4\al(,,角度2)
直接法求曲线方程
【典例】已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
【思路导引】因为已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系．考虑到对称性，由|AB|＝2a，选A，B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点，则A(－a，0)，B(a，0)，然后求解．
【解析】如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．
由|AB|＝2a，可设A(－a，0)，B(a，0)，M(x，y).
因为|MA|∶|MB|＝2∶1，
所以∶＝2∶1，
所以＝2.
化简，得＋y2＝a2，
所以所求动点M的轨迹方程为＋y2＝a2.
eq
\a\vs4\al(,,角度3)
代入法求曲线方程
【典例】动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
【思路引导】所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．
【解析】设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点．所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
本例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3，0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．
【解析】设P(x，y)，M(x0，y0)，因为M为PB的中点．
所以又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以＋＝1，
即(x＋3)2＋y2＝4，
所以P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.
1．关于曲线性质的探究
(1)曲线的方程将曲线上点的坐标联系成一个有机体，当一个变量变化时另一个变量也随之变化，因此能借助方程研究曲线上点的变化规律，即探究曲线的性质．
(2)主要从变量范围、变化趋势，曲线的对称性，与坐标轴的交点等方面探究曲线的性质．
2．关于曲线轨迹方程的求法
(1)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义直接探求．
(2)代入法：如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动，另一动点又在某已知的曲线C：f(x，y)＝0上运动，那么利用轨迹中的动点坐标(x，y)表示已知曲线上的动点(x1，y1)，再将它代入已知曲线C的方程f(x，y)＝0即可求得动点轨迹方程．
1．已知曲线Γ：＋＝1，则下列正确的是( )
A．曲线Γ关于y轴对称
B．曲线Γ与x轴相交
C．x的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．y无限趋近于零时，x也无限趋近于零
【解析】选D.将(x，－y)代入曲线Γ的方程得，＋＝1，即为＋＝1，故曲线Γ关于x轴对称，
因为y≠0，故曲线Γ与x轴不相交，
当x＝1时无相应的y值与之相对应，故C错误，当y无限趋近于零时，x也无限趋近于零．
2．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( )
A．y＝2x2
B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1
D．2y＝8x2＋1
【解析】选C.设AP中点为(x，y)，
则P(2x，2y＋1)在2x2－y＝0上，
即2(2x)2－(2y＋1)＝0，所以2y＝8x2－1.
3．设A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，并且||＝，动点P满足＝＋(O为坐标原点)，记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程．
【解析】设P(x，y)，因为A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，故可设A，B.
又||＝，所以(x1－x2)2＋(x1＋x2)2＝20①，
因为＝＋，所以有
即代入①得：y2＋x2＝20.
即曲线C的方程为＋＝1.
【补偿训练】
已知A在y轴正半轴上，为定点，线段BC在x轴上滑动，已知|BC|＝4，A到x轴的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．
【解析】如图所示，
A点坐标为(0，3).设△ABC的外心P(x，y)，
因为P在BC的垂直平分线上，
所以B(x＋2，0)，
C(x－2，0).
因为P也在AB的垂直平分线上，
所以|PA|＝|PB|，
即＝，
化简得x2－6y＋5＝0.
所以△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.
课堂检测·素养达标
1．下列点在曲线x2＋2xy＋y2＝9上的是( )
A．(－1，3)
B．(－4，1)
C．(2，－3)
D．(3，－2)
【解析】选B.因为x＝－4，y＝1满足x2＋2xy＋y2＝9，
所以(－4，1)是曲线上的点．
2．方程x2－y2＝x＋y表示的曲线是( )
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．圆
【解析】选C.因为x2－y2＝x＋y，
所以x2－y2－(x＋y)＝0，即(x＋y)(x－y－1)＝0，
所以x＋y＝0或x－y－1＝0，
所以方程x2－y2＝x＋y表示的曲线是两条直线．
3．(教材练习改编)在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝4(x＞0)
C．y＝－
D．y＝－(0＜x＜2)
【解析】选D.排除法，第四象限内满足x＞0，y＜0.
4．在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{(x，y)|y2＝x}，则G中的点都落在曲线( )
A．y＝上
B．y2＝|x|上
C．＝1上
D．x2＝y上
【解析】选B.在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{(x，y)|y2＝x}，y2＝x中x≥0，而y2＝|x|?y2＝x(x≥0)或y2＝－x(x<0)，所以G中的点都落在曲线y2＝|x|上．
5．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的图形是________．
【解析】对x，y分类讨论，将式中的绝对值分别去掉后，利用图象作答．
答案：正方形
PAGE2.5 椭圆及其方程
2．5.1 椭圆的标准方程
新课程标准
学业水平要求
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导和化简过程．2．掌握椭圆的定义，标准方程及几何图形．
1.结合教材实例掌握椭圆的定义．(数学抽象)2．掌握椭圆的标准方程、几何图形、会用待定系数法求椭圆的标准方程．(数学运算)3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.椭圆是如何定义的？2．椭圆的标准方程有哪些？
1.椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么？
提示：(1)当|PF1|＋|PF2|＝2a<|F1F2|时，P的轨迹不存在.
(2)当|PF1|＋|PF2|＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．
2.椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
＋＝1(a＞b＞0)
F1(－c，0)，F2(c，0)
2c(c>0)
焦点在y轴上
＋＝1(a＞b＞0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c(c>0)
(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．( )
(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．( )
(3)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．( )
(4)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( )
提示：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．
(2)×.2a<|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在．
(3)√.符合椭圆的定义．
(4)×.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1
D．＋y2＝1或x2＋＝1
【解析】选D.由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋x2＝1.
3．(教材二次开发：例题改编)(2020·盘锦高二检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选B.由题意知椭圆C的焦点坐标为，
由椭圆的定义得2a＝＋
＝＋＝＋＝2，
所以a＝，b＝＝2.
因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
关键能力·合作学习
类型一 求椭圆的标准方程(数学运算)
1．(2020·瓦房店高二检测)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
2．(2020·南昌高二检测)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P(x，y)到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和是10，则点P的轨迹方程是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
3．(2020·武汉高二检测)已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】1.选A.因为F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，所以c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
2．选A.由于动点P(x，y)到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为10>|F1F2|，故P点的轨迹为椭圆，所以2a＝10，a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，所以P点的轨迹方程为＋＝1.
3．选B.由题意可得圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，令x＝0，可得y＝±，令y＝0，可得x＝－1或3，由椭圆的焦点在x轴上及椭圆的对称性可得a＝3，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程．
①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．
【补偿训练】
经过两点A(0，2)，B的椭圆的标准方程为________．
【解析】由题意，设椭圆的方程为＋＝1，则
解得
所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
类型二 椭圆定义及其应用(直观想象、数学运算)
eq
\a\vs4\al(,,角度1)
用定义法求椭圆的标准方程
【典例】已知定点A(0，－2)，点B在圆C：x2＋y2－4y－32＝0上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为________．
【思路导引】先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，利用椭圆的定义，作出判断．
【解析】如图，由题意，得|PA|＝|PB|，
所以|PA|＋|PC|＝|PB|＋|PC|＝r＝6＞|AC|＝4，
所以点P的轨迹E是以A，C为焦点的椭圆，其中c＝2，a＝3，所以b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
eq
\a\vs4\al(,,角度2)
利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
【典例】已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则△PF1F2的面积是( )
A．5
B．
C．5
D．
【思路导引】|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝4.用余弦定理可解出|PF1|，再套用面积公式．
【解析】选D.由题意可得a＝3，c＝＝2.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝6①，
由余弦定理得，cos
∠PF1F2＝＝，即m2－n2－4m＋16＝0②，由①②解得m＝，n＝，故△PF1F2的面积是m|F1F2|sin
60°＝××4×＝.
1．椭圆定义的应用
(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化．
(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题．
2．椭圆定义解题的整体思想
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，如已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1||PF2|sin
∠F1PF2把|PF1|·
|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋
|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
1．(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选B.如图，由已知可设＝n，
则＝2n，＝＝3n，由椭圆的定义有2a＝＋＝4n，所以＝2a－＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos
∠F1AB＝＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝.所以2a＝4n＝2，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
2．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝( )
A．6
B．7
C．5
D．8
【解析】选D.椭圆＋＝1对应的a＝5，
由题意可得，|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
则三角形ABF2的周长为4a＝20，若|F2A|＋|F2B|＝12，
则|AB|＝20－12＝8.
3．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．
【解析】由＋＝1，知a＝3，b＝，
所以c＝，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
所以cos
∠F1PF2＝＝－，
所以∠F1PF2＝120°.
答案：120°
类型三 与椭圆有关的轨迹问题(逻辑推理)
【典例】1.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程．
2．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【思路导引】1.点Q为OP的中点点Q与点P的坐标关系代入法求解．
2．由圆的相切及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．
【解析】1.设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又
eq
\f(x,4)
＋
eq
\f(y,8)
＝1.所以＋＝1，即x2＋＝1.
2.由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．
由题设有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．
备选类型 求轨迹方程(数学运算)
【典例】1.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0)
B.
＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0)
D．＋＝1(x≠0)
2．设定点A(6，2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
【思路导引】1.根据三角形的周长和顶点，得到点A到两个顶点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
2．利用中点坐标公式表示P点和M点的坐标的关系，用代入法求得轨迹方程．
【解析】1.选B.因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，所以|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个顶点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是＋＝1(x≠0).
2．设M(x，y)，P(x1，y1).因为M为线段AP的中点，
所以因为
eq
\f(x,25)
＋
eq
\f(y,9)
＝1，所以点M的轨迹方程为＋＝.
代入(相关点)法求轨迹方程的步骤
(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；
(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；
(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．
已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，
则点N的坐标为(0，y0).
因为＝＋，
即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，
则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，
即x2＋＝4.
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1.
课堂检测·素养达标
1．方程＋＝10化简的结果是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选B.方程＋＝10表示动点M(x，y)到两个定点(±2，0)的距离之和为定值10，
且10＞2＋2，由椭圆的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且2a＝10，c＝2，所以b2＝a2－c2＝52－22＝21.
所以椭圆的方程为：＋＝1.
2．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1
B．＋y2＝1
C．＋＝1
D．＋x2＝1
【解析】选A.c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.
3．(2020·聊城高二检测)椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为( )
A．8
B．10
C．16
D．22
【解析】选C.因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，所以PF2为△F1MN的中位线，
所以|MF1|＋|MN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×2a＝12，
|F1N|＝2|F1F2|＝4c＝4＝4，
所以△MF1N的周长为12＋4＝16.
4．(2020·定远高二检测)设定点F1、F2，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋，则点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．线段
C．不存在
D．椭圆或线段
【解析】选D.当a>0时，由均值不等式的结论有：a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，点P的轨迹表示线段F1F2，
当a＋>6＝|F1F2|时，点P的轨迹表示以F1，F2为焦点的椭圆．
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积＝______．
【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以△PF1F2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4.
答案：4
PAGE2.5.2 椭圆的几何性质
新课程标准
学业水平要求
1.掌握简单的椭圆的几何性质．2．了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响．3．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用．
1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质．(数学抽象)2．依据几何条件求出椭圆方程，并根据椭圆方程研究其他的几何性质．(数学运算)3．类比直线与圆的位置关系研究直线与椭圆的位置关系．(数学抽象)4．会求直线与椭圆相交得到的弦长问题．(数学运算)5．能够灵活运用椭圆的几何性质解决相关问题．(逻辑推理、数学运算)
第1课时 椭圆的几何性质
必备知识·自主学习
导思
1.椭圆的几何性质主要有哪些？2．椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
1.椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
对称性
关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b
2.椭圆的离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝．
(3)范围：0(4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.( )
(4)设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).( )
提示：(1)×.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是2a.
(2)×.离心率
e
越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．
(3)×.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1或者＋＝1.
(4)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
2．椭圆＋＝1的长轴长、焦距分别为( )
A．2，1
B．4，2
C．，1
D．2，2
【解析】选B.由椭圆＋＝1，
可得a2＝4，b2＝3，所以a＝2，b＝，
又由c＝＝1，
所以椭圆的长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2.
3．(教材二次开发：例题改编)已知椭圆＋＝1，F1为左焦点，A为右顶点，B1，B2分别为上、下顶点，若F1，A，B1，B2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.由题设圆的半径r＝，则b2＋＝，即a2－c2＝ac?e2＋e－1＝0，解得e＝.
4．在平面直角坐标系xOy中，点A，点P是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则|PA|的最大值与最小值的积为________.
【解析】设点P的坐标为，则－2≤x≤2，y2＝1－，
所以|PA|＝＝＝＝.
当x＝－时，|PA|取最小值；当x＝2时，|PA|取最大值3.因此|PA|的最大值与最小值的积为3×＝.
答案：
关键能力·合作学习
类型一 椭圆的几何性质(逻辑推理、数学运算)
1．椭圆C：4x2＋y2＝16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为( )
A．8，4，(±2，0)
B．8，4，(0，±2)
C．4，2，(±2，0)
D．4，2，(0，±2)
2．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为( )
A．3，1
B．2＋，2－
C．2，1
D．＋1，－1
3．(2020·广州高二检测)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过点A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A．±
B．±
C．±
D．±2
【解析】1.选B.椭圆C：4x2＋y2＝16，即＋＝1，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为(0，±2).
2．选A.椭圆C：＋＝1，a＝2，c＝1，
可得该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为a＋c＝3，a－c＝1.
3．选A.联立(b2＋a2k2)x2＝a2b2，则x＝±，由题意知＝c①，
因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c，
代入①可得＝c2k＝±.
【补偿训练】
求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
【解析】由已知得＋＝1(m＞0)，
因为0＜m2＜4m2，所以＞，
所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，
短半轴长b＝，半焦距c＝，所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，，离心率e＝＝＝.
类型二 求椭圆的离心率(数学运算)
【典例】1.(2020·邢台高二检测)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
B．2－
C．
D．－1
2．(2020·阆中高二检测)已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【思路导引】1.设|PF2|＝m，则根据平面几何知识可求|F1F2|，|PF1|，再结合椭圆定义可求离心率．
2．根据∠ABF＝90°可知kAB·kBF＝－1，转化成关于a，b，c的关系式，再根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
【解析】1.选D.在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，
设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝m，
又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)m，
则离心率e＝＝＝＝－1.
2．选A.根据题意得A，B，F，
因为∠ABF＝90°，所以kAB·kBF＝－1，
即×＝－1，所以＝1，即b2＝ac.
又因为c2＝a2－b2，所以c2－a2＋ac＝0，等号两边同除以a2得2＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，
所以e＝－(舍)或e＝.
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
(2020·银川高二检测)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1的焦距为4，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.由题意得a2－4＝4，所以a2＝8，所以|a|＝2，
所以椭圆的离心率为e＝＝.
类型三 由椭圆的性质求椭圆的标准方程(数学运算)
【典例】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
【思路导引】(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．
(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
(3)方法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．
方法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)
【解析】(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
因为e＝＝，所以c＝，
所以b2＝a2－c2＝9－6＝3.
所以椭圆的方程为＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，
因为e＝＝＝＝，解得a2＝27.
所以椭圆的方程为＋＝1.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝4，所以a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一：由题意知e2＝1－＝，
所以＝，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
方法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
【补偿训练】
1.椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A(3，2)，则其标准方程为______________．
【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，上焦点为F1(0，2)，下焦点为F2(0，－2)，根据椭圆的定义知，2a＝|AF1|＋|AF2|＝3＋＝8，即a＝4，
所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，
因此，椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为6.
【解析】(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).依题意有解得
所以椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，有得
所以所求的椭圆方程为＋＝1.
备选类型 分类讨论思想在椭圆中的应用(数学抽象)
【典例】(2020·北京高二检测)已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为( )
A．3
B．或3
C．
D．或
【思路导引】分5>m，5【解析】选B.由题意知m>0，
当5>m时，a＝，b＝，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝3；
当5所以e＝＝＝，解得m＝.
利用椭圆的离心率求参数，解题时要注意对椭圆焦点的位置进行分类讨论．
(2020·西安高二检测)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于( )
A．2
B．2或
C．2或6
D．2或8
【解析】选D.若焦点在x轴上时，a2＝，b2＝，根据e＝＝?＝?＝?＝，即＝?m＝2；若焦点在y轴上时，a2＝，b2＝即＝?m＝8，所以m等于2或8.
课堂检测·素养达标
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1，0)，(1，0)
B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
【解析】选D.方程化为标准方程形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，所以a＝，所以长轴的端点坐标为(0，)和(0，－).
2．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3，所以e＝＝.
3．(2020·南昌高二检测)已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝( )
A．3或－
B．3
C．－
D．6－9
【解析】选B.根据题意，椭圆的焦点在y轴上，
所以a2＝m＋9，b2＝9，可得c2＝a2－b2＝m，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝＝＝，解得m＝3.
4．(教材二次开发：练习改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________．
【解析】由椭圆的定义可得，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，
所以4a＝4，解得a＝，
又因为e＝＝，所以c＝1，
所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．(2020·合肥高二检测)椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围是________．
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，故可得5a>4a2＋1，解得a∈.
又e＝＝，
又对勾函数y＝4a＋在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当a＝时，y＝5；a＝时，y＝4；a＝1时，y＝5，故y＝4a＋∈[4，5)，则1－∈，则e∈.
答案：
PAGE第2课时 椭圆方程及性质的应用
必备知识·自主学习
导思
1.直线与椭圆的位置关系有哪些？2．弦长公式是什么？
1.点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
eq
\f(x,a2)
＋
eq
\f(y,b2)
>1
P在椭圆上
eq
\f(x,a2)
＋
eq
\f(y,b2)
＝1
P在椭圆内
eq
\f(x,a2)
＋
eq
\f(y,b2)
<1
2.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
3．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦长公式①：|AB|＝·．
弦长公式②：|AB|＝·．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( )
(2)直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.( )
(3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( )
(4)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．( )
提示：(1)√.根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)√.由－y＝1得y＝－1，代入＋y2＝1，解得两交点坐标A(0，－1)，B(2，0).|AB|＝＝.
(3)×.因为P(b，0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．
(4)√.直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．
2．直线y＝kx－k＋1(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【解析】选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．
3．(2020·沈阳高二检测)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.设A，B，
由得x2－2bx＋b－1＝0，
则x1＋x2＝.设线段AB的中点为C，则xC＝.将xC＝代入y＝1－x得到yC＝.
因为kOC＝＝＝，故＝.
4．(教材二次开发：习题改编)椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是________．
【解析】设直线x＋2y＋c＝0与椭圆＋＝1相切．
由消去x整理得8y2＋4cy＋c2－16＝0.由Δ＝16(32－c2)＝0得c＝±4．当c＝4时，符合题意(c＝－4舍去).
即x＋2y＋4＝0与椭圆＋＝1相切，椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离即为两条平行线之间的距离d＝＝.
答案：
关键能力·合作学习
类型一 直线与椭圆的位置关系(数学运算)
【典例】1.若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2个
B．至多一个
C．1个
D．0个
2．已知椭圆E：＋＝1，直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，则实数m的取值范围是__________．
【解析】1.选A.由题意得＞2，
所以m2＋n2<4.所以－2所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．
2．由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
因为直线l与椭圆E有两个公共点，
所以Δ＝16m2－12(2m2－8)>0，
解得－2＜m＜2，
所以实数m的取值范围是(－2，2).
答案：(－2，2)
直线与椭圆位置关系的判断方法
【补偿训练】
在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
【解析】由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
类型二 弦长及中点弦问题(数学运算)
【典例】过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程．
(2)求此弦长．
【思路导引】(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
方法二：点差法
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2).代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
又M(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝－＝－，即kAB＝－.
又直线AB过点M(2，1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，
所以|AB|＝·＝·＝2.
直线被椭圆截得的弦长的求法思路
(1)求两交点坐标，转化为两点间距离．
(2)用公式来求．
设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|.
提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.
已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．
【解析】(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得，kPA·kPB
＝－.所以·＝－，
化简整理得＋y2＝1.
故P点的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±).
(2)设直线l与曲线C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.
所以x1＋x2＝，x1·x2＝0.
|MN|＝·＝，
整理得k4＋k2－2＝0，
解得k2＝1或k2＝－2(舍).
所以k＝±1，经检验符合题意．
所以直线l的方程是y＝±x＋1，
即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
类型三 与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．
【思路导引】(1)根据已知条件求出a，b，从而得到椭圆方程．
(2)依据以AB为直径的圆的圆心到y轴的距离等于半径，列方程求m.
【解析】(1)由题意可得M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，
则椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，
即－＜m＜，
x1＋x2＝，x1x2＝，
可得AB中点横坐标为，
|AB|＝·＝·＝，以AB为直径的圆与y轴相切，
可得半径r＝|AB|＝，
即＝，
解得m＝±∈(－，)，则m的值为±.
解决直线和椭圆综合问题的注意点
(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．
(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．
【补偿训练】
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点(A在B上方)，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为________．
【解析】由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，AF⊥BF，
可知三角形OAF是正三角形，A，
所以|FB|＝c，
由椭圆的定义可得c＋c＝2a，
可得e＝＝＝－1.
答案：－1
备选类型 椭圆方程及其性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】如图所示，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【思路导引】(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程．
(2)方法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d>r，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若d方法二：只需判断·的符号，若·＝0，则点G在圆上；若·>0，则点G在圆外；若·<0，则点G在圆内．
【解析】(1)由已知得解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)方法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0).
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，从而y0＝.
所以|GH|2＝＋y＝＋y＝
(m2＋1)y＋my0＋.
＝＝
＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0，所以|GH|>，
故点G在以线段AB为直径的圆外．
方法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝，＝.
由
得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而·＝＋y1y2＝
＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝＋＋＝>0，
所以cos
〈，〉>0.
又，不共线，所以∠AGB为锐角．
故点G在以线段AB为直径的圆外．
解决与椭圆有关的综合问题的思路
直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.
(1)求椭圆方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
【解析】(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
将c＝，a2＝b2＋c2，代入椭圆方程得＋＝1，
又因为椭圆过点，得＋＝1，
解得b2＝1，所以a2＝4.所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线MN的方程为x＝ky－，
联立直线MN和椭圆的方程
得(k2＋4)y2－ky－＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝－，y1＋y2＝，则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，所以∠MAN＝.
课堂检测·素养达标
1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1
B．m>1且m≠3
C．m>3
D．m>0且m≠3
【解析】选B.在椭圆＋＝1中，m>0且m≠3，
而直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，
则化简可得x2＋4mx＋m＝0，
所以Δ＝2－4m＝12m>0，
可得m>1或m<0，又因为m>0且m≠3，得m>1且m≠3.
2．如果椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－12＝0
D．x＋2y－8＝0
【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，,\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，))
两式相减再变形得＋k＝0.
又弦中点为(4，2)，故k＝－，
故这条弦所在的直线方程为y－2＝－(x－4)，
整理得x＋2y－8＝0.
3．过椭圆＋＝1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是____．
【解析】椭圆的左焦点为(－4，0)，由
得34x2＋200x＋175＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝×
＝×＝.
答案：
4．已知椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2.过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是________．
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，))
两式相减得＝－，
所以＝－·，
所以＝＝4，
所以a2＝2b2＝4，
所以a＝2.
答案：2
5．(2020·南昌高二检测)已知直线y＝kx－1与焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(b>0)总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是________．
【解析】因为椭圆焦点在x轴上，所以b2<4，
因为b>0，所以0因为直线y＝kx－1与椭圆总有公共点，
所以＋≤1，
因为b>0，所以b≥1，
综上1≤b<2，e＝＝＝∈.
答案：
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