22.2　二次函数与一元二次方程 同步练习试卷 2020——2021学年人教版九年级数学上册（Word版含答案）

22.2　二次函数与一元二次方程
【基础练习】
知识点 1　二次函数的图象和x轴的公共点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系
图1
1.(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,则方程ax2+bx+c=0的根是　　　　,　　　　;?
(2)∵方程x2+3x+2=0的根是　　　　,　　　　,?
∴抛物线y=x2+3x+2与x轴的公共点坐标是　　　　和　　　　.?
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示,利用图象回答:
(1)方程ax2+bx+c=0的根是什么?
(2)方程ax2+bx+c=-3的根是什么?
(3)方程ax2+bx+c=5的根是什么?
(4)方程ax2+bx+c=-4的根是什么?
(5)方程ax2+bx+c=-6的根的情况怎样?
图2
知识点 2　二次函数的图象和x轴的公共点个数与对应的一元二次方程根的判别式之间的关系
3.已知抛物线y=x2-6x+m-1,当m　　　　时,抛物线与x轴有两个公共点;当m　　　　时,抛物线与x轴有一个公共点;当m　　　　时,抛物线与x轴没有公共点.?
4.若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n=　　　　.?
5.[2020·宁夏] 若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个公共点,则k的取值范围是　　　　.?
6.已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是　　　　.?
知识点 3　利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值
7.如图3是二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方程ax2+bx+c=0的一个根可能是 (　　)
图3
A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45
8.[教材习题22.2第2题变式] 利用二次函数的图象求一元二次方程x2-2x-1=0的实数根.(精确到0.1)
知识点 4　利用二次函数的图象解一元二次不等式
9.如图4是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(　　)
图4
A.-15
C.x<-1 D.x<-1或x>5
10.画出二次函数y=x2-2x的图象.利用图象回答:
(1)当x取什么值时,函数值大于0?
(2)当x取什么值时,函数值小于0?
(3)当x取什么值时,函数值小于3?
(4)当x取什么值时,函数值大于3?
【能力提升】
11.[2019·荆门] 抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的公共点个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
12.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的大致图象如图5所示,则下列结论正确的是 (　　)
图5
A.a<0,b<0,c>0
B.-=1
C.a+b+c<0
D.关于x的方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
13.函数y=ax2+2ax+m(a<0)的图象过点(2,0),则使函数值y<0成立的x的取值范围是 (　　)
A.x<-4或x>2 B.-42 D.014.若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个公共点,则a的值为　　　　　　.?
15.若关于x的一元二次方程a(x+m)2-3=0的两个实数根分别为x1=-1,x2=3,则抛物线y=a(x+m-2)2-3与x轴的公共点坐标为　.?
16.已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数).
(1)该函数的图象与x轴的公共点个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.1或2
(2)求证:不论m为何值,该函数图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上;
(3)当-2≤m≤3时,求该函数图象的顶点纵坐标的取值范围.
答案
1．(1)x1＝－3　x2＝1
(2)x1＝－2　x2＝－1　(－2，0)　(－1，0)
2．解：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3.
(2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根是x1＝0，x2＝2.
(3)方程ax2＋bx＋c＝5的根是x1＝－2，x2＝4.
(4)方程ax2＋bx＋c＝－4的根是x1＝x2＝1.
(5)方程ax2＋bx＋c＝－6无实数根．
3．＜10　＝10　>10
[解析] Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4(m－1)＝－4m＋40.
当Δ>0，即－4m＋40>0，m＜10时，
抛物线与x轴有两个公共点；
当Δ＝0，即－4m＋40＝0，m＝10时，
抛物线与x轴有一个公共点；
当Δ<0，即－4m＋40<0，m>10时，
抛物线与x轴没有公共点．
4．4　[解析] 二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，说明“Δ＝b2－4ac＝0”，即(－4)2－4×1×n＝0，所以n＝4.
5．k＞－1　[解析] ∵二次函数y＝－x2＋2x＋k的图象与x轴有两个公共点，
∴Δ＝b2－4ac＝4－4×(－1)·k＞0，解得k＞－1.
6．m≤5　[解析] 因为抛物线y＝x2－x＋m－1与x轴有公共点，所以(－1)2－4×1×(m－1)≥0，解得m≤5.
7．D　[解析] 因为图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，
所以当x＝2.18时，y＝－0.51；当x＝2.68时，y＝0.54，
所以当y＝0时，2.18＜一个根＜2.68，只有选项D符合．故选D.
8．解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1的图象与x轴的公共点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象(如图)．
由图象可知方程有两个根，一个根在－1和0之间，另一个根在2和3之间．
先求－1和0之间的根．
当x＝－0.4时，y＝－0.04；
当x＝－0.5时，y＝0.25.
因此，－0.4是方程的一个近似根．
同理，2.4是方程的另一个近似根．
综上，方程x2－2x－1＝0的实数根为x1≈－0.4，x2≈2.4.
9．D　[解析] 观察图象可知抛物线的对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(5，0)．依据抛物线的对称性可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是x<－1或x>5.故选D.
10．解：列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 8 3 0 －1 0 3 8 …
描点并连线，如图所示：
(1)当x<0或x>2时，函数值大于0.
(2)当0(3)当－1(4)当x<－1或x>3时，函数值大于3.
11．C　[解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的公共点坐标为(0，－4)；当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的公共点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个公共点．故选C.
12．D　[解析] (1)因为抛物线的开口向下，所以a＜0.因为抛物线的对称轴在y轴的右侧，所以－>0，所以b＞0.因为抛物线与y轴的负半轴相交，所以c＜0.可见选项A错误．
(2)因为对称轴在直线x＝1的右侧，所以－＞1.可见选项B错误．
(3)因为抛物线经过点(1，0)，所以当x＝1时，y＝0，即a＋b＋c＝0.可见选项C错误．
(4)由图象可知，y的最大值是1，所以直线y＝－1与抛物线有两个公共点，即关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根．可见选项D正确．
综上所述，只有选项D中的结论是正确的，故选D.
13．A　[解析] 因为a＜0，所以抛物线开口向下．因为抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1，抛物线过点(2，0)，所以抛物线与x轴的另一个公共点坐标为(－4，0)．故使y<0成立的x的取值范围是x<－4或x>2.
14．－1或2或1　[解析] 因为函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个公共点．
当函数为二次函数时，
a－1≠0，Δ＝16－4(a－1)×2a＝0，
解得a1＝－1，a2＝2；
当函数为一次函数时，
a－1＝0，解得a＝1.
综上，a的值为－1或2或1.
15．(1，0)，(5，0)　[解析] 因为关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，
即抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的两个公共点坐标是(－1，0)，(3，0)．
抛物线y＝a(x＋m－2)2－3是将抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移2个单位长度得到的，
所以抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的公共点坐标是(1，0)，(5，0)．
16．解：(1)二次函数对应的一元二次方程为－x2＋(m－1)x＋m＝0，
则b2－4ac＝(m－1)2＋4m＝(m＋1)2≥0，
所以一元二次方程有两个相等或两个不相等的实数根，
即对应的二次函数图象与x轴有1个或2个公共点．故选D.
(2)证明：y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－(x－)2＋，
所以该函数图象的顶点坐标为(，)．
把x＝代入y＝(x＋1)2，得y＝(＋1)2＝.
因此，不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上．
(3)设z＝.
当m＝－1时，z有最小值0；
当m＜－1时，z随m的增大而减小；
当m>－1时，z随m的增大而增大．
又当m＝－2时，z＝＝；
当m＝3时，z＝＝4.
所以当－2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标z的取值范围是0≤z≤4.