2020--2021学年北师大版七年级数学下册第四章三角形同步检测（word解析版）

北师大版七年级数学下册第四章三角形
同步测试
一．选择题
1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　）
A．都是锐角三角形
B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形
D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形
2．如图所示，△ABC的边AC上的高是（　　）
A．线段AE
B．线段BA
C．线段BD
D．线段DA
3．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
4．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（　　）
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
5．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（　　）
A．1，2，6
B．1，2，3
C．2，3，4
D．2，2，4
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝73°，则∠DAE的度数是（　　）
A．14°
B．24°
C．19°
D．9°
7．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A．120°
B．105°
C．60°
D．45°
8．下列说法中正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
9．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的面积为18，BC＝6，则BC边上的高是（
）
A．13
B．3
C．4
D．6
10．如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，因此，测得DE的长就是AB的长．这里判定△ABC≌△EDC的依据是（　　）
A．ASA
B．SAS
C．AAS
D．SSS
11．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
12．如图所示，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝60°
，
∠B＝25°
，
则∠EOB的度数为（?
?）
A.?60°????????
???????B.?70°?????????
???
???C.?75°???????????
??????D.?85°
二．填空题
13．如图，∠ACB＝90°，AD＝BD，DE⊥BC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，则在△ABC中，　　是边AB上的高，　　是边BC上的高，　　是△ABC的中线．在△BCD中，　　是边BC上的高，　　是边BD上的高．
14．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|+|c﹣a﹣b|＝　
　．
15．如图，△ABC≌△ABD，其中∠C＝90°，∠ABD＝30°，则∠BAC＝　　°．
16．如图，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝　　．
17.一个等腰三角形的两边长分别为5厘米、9厘米，则这个三角形的周长为_____.
18．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　
　（填序号）．
三．解答题
19．如图，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高线，已知AE＝4，△ABD的面积是6，求BC的长．
21．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
22．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E，∠A＝∠D，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．
23．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°．
（1）请用尺规作图法，作∠BAC的角平分线AD交BC于D（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）条件下，求∠ADB的度数．
25.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（
1
）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
北师大版七年级数学下册第四章三角形
答案提示
一．选择题
1．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　）
A．都是锐角三角形
B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形
D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形
解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：A．
2．如图所示，△ABC的边AC上的高是（　　）
A．线段AE
B．线段BA
C．线段BD
D．线段DA
解：由题意可知，△ABC的边AC上的高是线段BD．
故选：C．
3．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条中线交于一点
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
解：A．三角形的三条中线交于一点，正确；
B．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；
C．三角形一定具有稳定性，错误；
D．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；
故选：A．
4．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（　　）
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
解：工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，
故选：D．
5．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（　　）
A．1，2，6
B．1，2，3
C．2，3，4
D．2，2，4
解：A、∵1+2＝3＜6，∴不能组成三角形，故本选项错误；
B、∵1+2＝3，∴不能组成三角形，故本选项错误；
C、∵4﹣3＜2＜4+3，∴能组成三角形，故本选项正确；
D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形，故本选项错误．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝73°，则∠DAE的度数是（　　）
A．14°
B．24°
C．19°
D．9°
解：在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝73°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝62°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝31°．
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝17°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝31°﹣17°＝14°．
故选：A．
7．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A．120°
B．105°
C．60°
D．45°
解：如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°，
＝45°+60°，
＝105°．
故选：B．
8．下列说法中正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．
故选：C．
9．已知△ABC≌△DEF，且△DEF的面积为18，BC＝6，则BC边上的高等于（　　）
A．13
B．3
C．4
D．6
解：设△ABC的面积为S，边BC上的高为h，
∵△ABC≌△DEF，BC＝6，△DEF的面积为18，
∴两三角形的面积相等即S＝18，
又S＝?BC?h＝18，
∴h＝6，
故选：D．
10．如图，为了测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，小颖在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，因此，测得DE的长就是AB的长．这里判定△ABC≌△EDC的依据是（　　）
A．ASA
B．SAS
C．AAS
D．SSS
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：A．
11．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第3块．
故选：C．
12．如图所示，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝60°
，
∠B＝25°
，
则∠EOB的度数为（?
?）
A.?60°???????????????????????????????????????B.?70°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?85°
解：已知AE＝AF，∠A=∠A，AB＝AC,利用SAS可判定ΔABF≌ΔACE,所以可得∠B=∠C=25°
，
根据三角形外角的性质可得∠BEO=∠A+∠C=60°+25°,=85°
，
在△EOB中，根据三角形的内角和定理可得∠EOB=70°
，
故答案为：B．
二．填空题
13．如图，∠ACB＝90°，AD＝BD，DE⊥BC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，则在△ABC中，　CF　是边AB上的高，　AC　是边BC上的高，　CD　是△ABC的中线．在△BCD中，　DE　是边BC上的高，　CF　是边BD上的高．
解：在△ABC中，CF是边AB上的高，AC是边BC上的高，CD是△ABC的中线．在△BCD中，DE是边BC上的高，CF是边BD上的高．
故答案为：CF，AC，CD，DE，CF．
14．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|+|c﹣a﹣b|＝　3a+b﹣3c　．
解：∵a，b，c分别为△ABC的三边，
∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|+|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a﹣b）
＝a+b﹣c+a﹣c﹣b﹣c+a+b
＝3a+b﹣3c．
故答案为：3a+b﹣3c．
15．如图，△ABC≌△ABD，其中∠C＝90°，∠ABD＝30°，则∠BAC＝　60　°．
解：∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故答案为：60．
16．如图，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝　60°　．
解：在△ACO和△BCO中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠BCO＝∠ACO＝30°，
∴∠ACB＝∠BCO+∠ACO＝60°，
故答案为60°．
17.一个等腰三角形的两边长分别为5厘米、9厘米，则这个三角形的周长为________.
.解：该三角形是等腰三角形，①当腰长为5厘米时，三边长为5厘米,5厘米,9厘米，此时5+5＞9，则这三边能组成三角形，其周长为19厘米；②当腰长为9厘米时，三边长为5厘米,9厘米,9厘米，此时5+9＞9，则这三边能组成三角形，其周长为23厘米.综上，答案为19厘米或23厘米.
18．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是　①②③　（填序号）．
解：∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠BCG+∠G＝180°，
∵∠G＝90°，
∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，
∵∠GEC+∠GCE＝90°，∠BCA+∠GCE＝90°，
∴∠GEC＝∠BCA，
∵CD平分∠BCA，
∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，
∴①正确．
∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC，
∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF＝（∠BCA+∠ABC）＝45°，
∴②正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠GCE＝∠ABC，
∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，
∠ADC＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ADC＝∠GCD，
∴③正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，
∴∠GCE与∠ACB互余，
∴④错误．
故答案为：①②③．
三．解答题
19．如图，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积．
解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴AD与BC之间的距离相等，
∵AD＝2BC，△ABC的面积为3，
则△CAD的面积为6．
故答案为：6．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高线，已知AE＝4，△ABD的面积是6，求BC的长．
解：∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×6＝12，
∴×AE?BC＝12，即4?BC＝12，
∴BC＝6．
21．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴△ABC周长为11或12或13．
22．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E，∠A＝∠D，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵BF＝EC
∴BF+CF＝EC+CF，
∴BC＝EF，
∵∠B＝∠E，∠A＝∠D，
∴180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣∠E﹣∠D，
即∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
23．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度数．
解：∵∠BAC＝120°，
∴∠2+∠3＝60°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝60°，
∠2＝20°．
∴∠DAC＝120°﹣20°＝100°．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°．
（1）请用尺规作图法，作∠BAC的角平分线AD交BC于D（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）条件下，求∠ADB的度数．
解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝50°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝BAC＝25°，
∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝90°+25°＝115°．
25.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（
1
）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：（1）如图2，∵∠ACB=90°，∠B=60°．∴∠BAC=30°．
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC=0.5∠BAC=15°，∠ECA=0.5∠ACB=45°．
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°．
（2）FE=FD．如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中∵∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．∴∠GFC=180°﹣60°﹣60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，∴∠DFC=∠GFC．
在△FDC和△FGC中∵∴△FDC≌△FGC（ASA），∴FD=FG．∴FE=FD．
（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立．同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．
又由（1）知∠FAC=0.5∠BAC，∠FCA=0.5∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=0.5（∠BAC+∠ACB）=0.5=60°．
∴∠AFC=180°﹣（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°﹣120°=60°．
同（2）可得△FDC≌△FHC，∴FD=FH．∴FE=FD．