2020--2021学年鲁教版八年级数学下册9.4探索三角形相似的条件同步专题提升训练试卷（Word版附答案）
文档属性
| 名称 | 2020--2021学年鲁教版八年级数学下册9.4探索三角形相似的条件同步专题提升训练试卷（Word版附答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 367.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-07 07:46:49 | ||
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文档简介
2021年鲁教版八年级数学下册《9.4探索三角形相似的条件》同步专题提升训练（附答案）
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
2．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
4．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（ ）
A．B． C．D．
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为 ．
7．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ ．
8．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
9．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ．
10．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
11．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有 条．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝ ．
13．如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0），B（0，3），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，△BOC与△AOB相似．
16．如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足 条件时，有△ABC∽△AED．
17．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：
①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正确的结论的序号为 ．
18．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm．点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动，点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动．如果两点同时出发，经过 秒后，△APQ与△ABC相似．
19．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，请你添加一个条件使△ACP∽△ABC： ．
20．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
21．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ ，BC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；
（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝ ，AQ＝ ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
24．如图，在?ABCD中，E是DC上一点，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C
求证：△ABF∽△EAD．
25．如图，AB?AE＝AD?AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
26．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
27．已知，如图，＝＝，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
参考答案
1．解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
3．解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
4．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
5．解：∵∠BAC＝∠D，，
∴△ABC∽△DEA．故选：C．
6．解：延长CB到E，使EB＝CB，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠PBE，∠ADP＝∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP＝AD：BE＝4：6＝2：3，
∴PB＝PA，
又∵PA+PB＝AB＝5，
∴PB＝AB＝3．
故答案为：3
7．解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故＝＝，
则＝，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
8．解：当△ADP∽△ACB时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝9，
当△ADP∽△ABC时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为：4或9．
9．解：∵AC＝4，P是AC的中点，
∴AP＝AC＝2，
①若△APQ∽△ACB，则，
即，
解得：AQ＝3；
②若△APQ∽△ABC，则，
即，
解得：AQ＝；
∴AQ的长为3或．
故答案为：3或．
10．解：∵∠AEC＝∠BED，
∴当＝时，△BDE∽△ACE，
即＝，
∴CE＝．
故答案为．
11．解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故答案为：3．
12．解：分两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，
∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE＝AB＝，
②当∠CDE＝90°时，如图2，
∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，
∴∠BCE＝∠DCE＝30°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝ED＝2AE，
∵AB＝3，
∴AE＝1，
综上，AE的值为或1．
故答案为：或1．
13．解：∵∠DAB＝∠CAE
∴∠DAE＝∠BAC
∴当∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD?AC＝AB?AE时两三角形相似．
故答案为：∠D＝∠B（答案不唯一）．
14．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝15，
∵D是AB边的中点，
∴CD＝BD＝AB＝7.5，
∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，
（1）若∠DPC＝90°，则DP∥AC，
∴＝＝，
∴BP＝BC＝6，
则PC＝6；
（2）若∠CDP＝90°，则△CDP∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴PC＝．
综上所述：PC＝6或．
故答案为：6或．
15．解：∵点C在x轴上，
∴∠BOC＝90°，两个三角形相似时，应该与∠BOA＝90°对应，
若OC与OA对应，则OC＝OA＝6，C（﹣6，0）；
若OC与OB对应，则OC＝1.5，C（﹣1.5，0）或者（1.5，0）．
∴C点坐标为：（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
故答案为：（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
16．解：∵DE与BC不平行，
∴∠D≠∠B，
而∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，△ABC∽△AED．
当＝时，△ABC∽△AED．
故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．
17．解：由旋转的性质可知AC1＝AC，
∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；
∵∠ACB＝30°，
∴∠C1＝∠ACB1＝30°，
又∵B1AC1＝∠BAC＝45°，
∴∠AB1C＝75°，
∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴CA＝CB1；
∴②正确；
∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°，
∴旋转角α＝120°，故③错误；
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAB1＝45°+75°＝120°，
∵AB＝AB1，
∴∠AB1B＝∠ABD＝30°，
在△AB1D与△BCD中，
∵∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°，
∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；
在△ABD与△B1CD中，
∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1，
∴△ABD∽△B1CD，
∴＝，
如图，过点D作DM⊥B1C，
设DM＝x，则B1M＝x，B1D＝x，DC＝2x，DC＝2x，CM＝x，
∴AC＝B1C＝（+1）x，
∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）x，
∴＝＝＝，即⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
18．解：由题意AP＝t，CQ＝2t，
∵AC＝12cm，
∴AQ＝（12﹣2t）cm，
当＝时，△APQ∽△ABC，
∴＝，
解得t＝3．
当＝时，△APQ∽△ACB，
∴＝，
解得t＝，
故答案为3或．
19．解：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；
当＝时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP＝∠B（或＝）．
20．（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴，
∵DF＝DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF＝DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．
21．（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，
BC＝＝＝2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠ABC＝∠DEF．
∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝
∴＝＝，＝＝．
∴△ABC∽△DEF．
22．解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6．
∵△ABC的面积＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝4.8；
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，
∴OB＝＝3.6．
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，
∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴PE＝1.8．
在△BPE中，BE＝＝＝1.35，
∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，
∴点P的坐标为（2.25，1.8）．
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．
23．解：（1）AP＝2t，AQ＝16﹣3t．
（2）∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝4．
∴运动时间为秒或4秒．
24．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°．
∵∠AFB+∠BFE＝180°且∠BFE＝∠C．
∴∠D＝∠AFB．
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△ABF∽△EAD．
25．证明：如图，∵AB?AE＝AD?AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
26．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE?DF＝7.5
∴（10﹣t）?t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
27．解：∵＝＝，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD＝∠CBE，
∵＝，
∴＝，
∴△ABD∽△CBE．
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
2．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
4．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（ ）
A．B． C．D．
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为 ．
7．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ ．
8．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
9．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ．
10．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
11．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有 条．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝ ．
13．如图∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0），B（0，3），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，△BOC与△AOB相似．
16．如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足 条件时，有△ABC∽△AED．
17．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：
①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正确的结论的序号为 ．
18．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm．点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动，点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动．如果两点同时出发，经过 秒后，△APQ与△ABC相似．
19．如图，点P是△ABC中AB边上的一点，请你添加一个条件使△ACP∽△ABC： ．
20．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
21．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ ，BC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；
（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝ ，AQ＝ ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
24．如图，在?ABCD中，E是DC上一点，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C
求证：△ABF∽△EAD．
25．如图，AB?AE＝AD?AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
26．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
27．已知，如图，＝＝，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
参考答案
1．解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
3．解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
4．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
5．解：∵∠BAC＝∠D，，
∴△ABC∽△DEA．故选：C．
6．解：延长CB到E，使EB＝CB，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠PBE，∠ADP＝∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP＝AD：BE＝4：6＝2：3，
∴PB＝PA，
又∵PA+PB＝AB＝5，
∴PB＝AB＝3．
故答案为：3
7．解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故＝＝，
则＝，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
8．解：当△ADP∽△ACB时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝9，
当△ADP∽△ABC时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为：4或9．
9．解：∵AC＝4，P是AC的中点，
∴AP＝AC＝2，
①若△APQ∽△ACB，则，
即，
解得：AQ＝3；
②若△APQ∽△ABC，则，
即，
解得：AQ＝；
∴AQ的长为3或．
故答案为：3或．
10．解：∵∠AEC＝∠BED，
∴当＝时，△BDE∽△ACE，
即＝，
∴CE＝．
故答案为．
11．解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故答案为：3．
12．解：分两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，
∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE＝AB＝，
②当∠CDE＝90°时，如图2，
∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，
∴∠BCE＝∠DCE＝30°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝ED＝2AE，
∵AB＝3，
∴AE＝1，
综上，AE的值为或1．
故答案为：或1．
13．解：∵∠DAB＝∠CAE
∴∠DAE＝∠BAC
∴当∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD?AC＝AB?AE时两三角形相似．
故答案为：∠D＝∠B（答案不唯一）．
14．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝15，
∵D是AB边的中点，
∴CD＝BD＝AB＝7.5，
∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，
（1）若∠DPC＝90°，则DP∥AC，
∴＝＝，
∴BP＝BC＝6，
则PC＝6；
（2）若∠CDP＝90°，则△CDP∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴PC＝．
综上所述：PC＝6或．
故答案为：6或．
15．解：∵点C在x轴上，
∴∠BOC＝90°，两个三角形相似时，应该与∠BOA＝90°对应，
若OC与OA对应，则OC＝OA＝6，C（﹣6，0）；
若OC与OB对应，则OC＝1.5，C（﹣1.5，0）或者（1.5，0）．
∴C点坐标为：（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
故答案为：（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
16．解：∵DE与BC不平行，
∴∠D≠∠B，
而∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，△ABC∽△AED．
当＝时，△ABC∽△AED．
故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．
17．解：由旋转的性质可知AC1＝AC，
∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；
∵∠ACB＝30°，
∴∠C1＝∠ACB1＝30°，
又∵B1AC1＝∠BAC＝45°，
∴∠AB1C＝75°，
∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴CA＝CB1；
∴②正确；
∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°，
∴旋转角α＝120°，故③错误；
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAB1＝45°+75°＝120°，
∵AB＝AB1，
∴∠AB1B＝∠ABD＝30°，
在△AB1D与△BCD中，
∵∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°，
∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；
在△ABD与△B1CD中，
∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1，
∴△ABD∽△B1CD，
∴＝，
如图，过点D作DM⊥B1C，
设DM＝x，则B1M＝x，B1D＝x，DC＝2x，DC＝2x，CM＝x，
∴AC＝B1C＝（+1）x，
∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）x，
∴＝＝＝，即⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
18．解：由题意AP＝t，CQ＝2t，
∵AC＝12cm，
∴AQ＝（12﹣2t）cm，
当＝时，△APQ∽△ABC，
∴＝，
解得t＝3．
当＝时，△APQ∽△ACB，
∴＝，
解得t＝，
故答案为3或．
19．解：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；
当＝时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP＝∠B（或＝）．
20．（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴，
∵DF＝DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF＝DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．
21．（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，
BC＝＝＝2；
故答案为：135°；2．
（2）△ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠ABC＝∠DEF．
∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝
∴＝＝，＝＝．
∴△ABC∽△DEF．
22．解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6．
∵△ABC的面积＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝4.8；
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，
∴OB＝＝3.6．
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，
∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴PE＝1.8．
在△BPE中，BE＝＝＝1.35，
∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，
∴点P的坐标为（2.25，1.8）．
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．
23．解：（1）AP＝2t，AQ＝16﹣3t．
（2）∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝4．
∴运动时间为秒或4秒．
24．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°．
∵∠AFB+∠BFE＝180°且∠BFE＝∠C．
∴∠D＝∠AFB．
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△ABF∽△EAD．
25．证明：如图，∵AB?AE＝AD?AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
26．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE?DF＝7.5
∴（10﹣t）?t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
27．解：∵＝＝，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD＝∠CBE，
∵＝，
∴＝，
∴△ABD∽△CBE．