2020-2021学年湖南省永州市道县九年级（下）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省永州市道县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项用2B铅笔涂在答题卡上）
1．﹣（﹣6）的相反数是（　　）
A． B． C．﹣6 D．6
2．如图，AD∥BC，∠ABD＝∠D，∠A＝110°，则∠DBC的度数是（　　）
A．70° B．35° C．40° D．30°
3．图为正方体的展开图，那么在原正方体中与“5”字所在面相对的面上的字为（　　）
A．1 B．4 C．6 D．3
4．据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×103 B．1.5×106 C．1.5×107 D．15×106
5．在△ABC中，已知AB＝AC，且∠A＝70°，则∠B＝（　　）
A．55° B．50° C．70° D．75°
6．小勇投标训练4次的成绩分别是（单位：环）9，9，x，8．已知这组数据的众数和平均数相等，则这组数据中x是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7
7．下列计算正确的是（　　）
A．﹣（2x2）3＝8x6 B．x5÷x2＝x3
C．3x2×2x3＝6x6 D．
8．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣4 B．x≥2 C．x≠﹣4 D．x≠﹣4且x≠2
9．已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数图象上（k＜0），则y1、y2、y3的关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．32 B．24 C．8 D．16
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．若x+＝5，则＝　 　．
12．小军同学在解一元二次方程x2﹣5x+c＝0时，正确解得x1＝﹣1，x2＝6，则c的值为　 　．
13．圆锥底面圆的半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为　 　cm2（用含π的式子表示）．
14．质检部门从2000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有3件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有　 　件次品．
15．因式分解：4x2﹣64＝　 　．
16．把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为　 　．
17．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为　 　．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0）和B（0，1），形状相同的抛物线?n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C1的顶点坐标为　 　；抛物线C6的顶点坐标为　 　．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，请将答案填在答题卡上对应的题号处）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE，求证：BC＝DE．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
23．如图，一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东39°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（结果精确到0.01小时）
24．我县某中学就同学们对“道州历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成两幅统计图．根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查　 　名学生，条形统计图中m＝　 　；
（2）若该校共有学生2400名，则该校约有多少名学生不了解“道州历史文化”；
（3）调查结果中，该校九年级（1）班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，发现其中有四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去县里参加“道州历史文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
25．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴600元，若同样用8万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%．该款空调补贴前的售价为每台多少元？
26．如图1，已知抛物线L：y＝ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x＝1（1）直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx﹣＝0的解．
（2）求抛物线L的解析式及顶点M的坐标．
（3）如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移．使它的顶点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N．设点P的横坐标为m
①当m＝5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．
②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？
③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项用2B铅笔涂在答题卡上）
1．﹣（﹣6）的相反数是（　　）
A． B． C．﹣6 D．6
解：﹣（﹣6）＝6，
故﹣（﹣6）的相反数是﹣6．
故选：C．
2．如图，AD∥BC，∠ABD＝∠D，∠A＝110°，则∠DBC的度数是（　　）
A．70° B．35° C．40° D．30°
解：∵∠ABD＝∠D，∠A＝110°，∠ABD+∠D+∠A＝180°，
∴∠ABD＝∠D＝35°．
又∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠D＝35°．
故选：B．
3．图为正方体的展开图，那么在原正方体中与“5”字所在面相对的面上的字为（　　）
A．1 B．4 C．6 D．3
解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“1”与“5”是对面，
“2”与“4”是对面，
“3”与“6”是对面，
故选：A．
4．据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×103 B．1.5×106 C．1.5×107 D．15×106
解：1500万＝15000000＝1.5×107．
故选：C．
5．在△ABC中，已知AB＝AC，且∠A＝70°，则∠B＝（　　）
A．55° B．50° C．70° D．75°
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝70°，
∴∠B＝（180°﹣70°）÷2＝55°．
故选：A．
6．小勇投标训练4次的成绩分别是（单位：环）9，9，x，8．已知这组数据的众数和平均数相等，则这组数据中x是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．7
解：∵四次成绩分别是9，9，x，8，
①当x＝8时，众数＝9或8，
平均数＝8.5，
∵8.5≠9或8，
∴此种情况不合题意，舍去；
②当x≠8时，那么众数＝9，
∴＝9，
解得x＝10．
故选：C．
7．下列计算正确的是（　　）
A．﹣（2x2）3＝8x6 B．x5÷x2＝x3
C．3x2×2x3＝6x6 D．
解：A、﹣（2x2）3＝﹣8x6，故此选项错误；
B、x5÷x2＝x3，故此选项正确；
C、3x2×2x3＝6x5，故此选项错误；
D、×40＝，故此选项错误．
故选：B．
8．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣4 B．x≥2 C．x≠﹣4 D．x≠﹣4且x≠2
解：由题意得，x﹣2≥0，x+4≠0，
解得，x≥2，
故选：B．
9．已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数图象上（k＜0），则y1、y2、y3的关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
解：在反比例函数中，∵k＜0，
∴反比例函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），
∴A（﹣1，y1）在第二象限，B（1，y2），C（2，y3）在第四象限．
∴y1＞0，y2＜0，y3＜0．
又∵1＜2，
∴y2＜y3＜0．
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．32 B．24 C．8 D．16
解：连接BD，AC交于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝OA＝4，AB＝2OB＝8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32；
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．若x+＝5，则＝　　．
解：将x+＝5，两边平方得：（x+）2＝x2++2＝25，即x2+＝23，
则原式＝＝．
故答案为：
12．小军同学在解一元二次方程x2﹣5x+c＝0时，正确解得x1＝﹣1，x2＝6，则c的值为　﹣6　．
解：解方程x2﹣5x+c＝0得x1＝﹣1，x2＝6，
∴x1x2＝c＝﹣1×6，
∴c＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．圆锥底面圆的半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为　40π　cm2（用含π的式子表示）．
解：底面半径为5cm，则底面周长＝10πcm，侧面面积＝×10π×8＝40πcm2．
14．质检部门从2000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有3件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有　60　件次品．
解：估计这批电子元件中次品大约有2000×＝60（件），
故答案为：60．
15．因式分解：4x2﹣64＝　4（x+4）（x﹣4）　．
解：4x2﹣64
＝4（x2﹣16）
＝4（x+4）（x﹣4）．
故答案为：4（x+4）（x﹣4）．
16．把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），则b﹣c的值为　﹣2　．
解：根据题意y＝x2+bx+c＝（x+）2+c﹣下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y＝（x++1）2+c﹣﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣﹣1＝﹣2，c﹣﹣2＝1，
解得：b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2，
故答案为：﹣2．
17．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为　150°　．
解：连接OB，如图所示：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠OAB＝∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵DA＝DB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝（360°﹣60°）＝150°，
故答案为：150°．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，0）和B（0，1），形状相同的抛物线?n（n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C1的顶点坐标为　（2，）　；抛物线C6的顶点坐标为　（21，8）　．
解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0），
∵A（﹣3，0），B（0，1），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，
∴y1＝+1＝，
∴抛物线C1的顶点坐标为 （2，），
观察发现：每个数都是前两个数的和，
∴抛物线C6的顶点坐标的横坐标为21，
∴抛物线C6的顶点坐标为（21，8），
故答案为（2，），（21，8）．
三、解答题（本题共8个小题，共78分，请将答案填在答题卡上对应的题号处）
19．计算：．
解：
＝﹣1+6×﹣2+1
＝﹣1+3﹣2+1
＝．
20．先化简，再求值：，其中．
解：
＝，
＝
＝，
＝．
＝，
当 时，原式＝．
21．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE，求证：BC＝DE．
【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE∥CD，BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴平行四边形BECD是矩形，
∴BC＝DE．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
解：（1）如图，连接OE，
∵ED⊥EB，
∴∠DEB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C＝90°，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED＝∠C＝90°，
又∵∠DBE＝∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BC＝；
∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝．
23．如图，一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东39°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（结果精确到0.01小时）
解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，
∴CD＝AC＝40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠BCD＝39°，
∴BC＝＝海里，
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：÷40＝≈1.29（小时）．
答：海警船到大事故船C处所需的大约时间为1.29小时．
24．我县某中学就同学们对“道州历史文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成两幅统计图．根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查　60　名学生，条形统计图中m＝　18　；
（2）若该校共有学生2400名，则该校约有多少名学生不了解“道州历史文化”；
（3）调查结果中，该校九年级（1）班学生中了解程度为“很了解”的同学进行测试，发现其中有四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去县里参加“道州历史文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
解：（1）由题目图表提供的信息可知总人数为24÷40%＝60（名），
m＝60﹣12﹣24﹣6＝18，
故答案为：60，18；
（2）2400×＝480（名），
所以该校约有480名学生不了解“道州历史文化”；
（3）列表如下：
男 男 男 女
男
（男，男） （男，男） （男，女）
男 （男，男）
（男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，男）
（男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男）
由上表可知，共12种可能，其中一男一女的可能性有6种，
∴恰好抽中一男生一女生的概率为＝．
25．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴600元，若同样用8万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%．该款空调补贴前的售价为每台多少元？
解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，
由题意，得：×（1+20%）＝，
解得：x＝3600，
经检验得：x＝3600是原方程的根，
答：该款空调补贴前的售价为每台3600元．
26．如图1，已知抛物线L：y＝ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x＝1（1）直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx﹣＝0的解．
（2）求抛物线L的解析式及顶点M的坐标．
（3）如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移．使它的顶点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N．设点P的横坐标为m
①当m＝5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．
②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？
③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，∵y＝ax2+bx﹣（a＞0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，对称轴为直线l：x＝1，
∴点A和点B关于直线l：x＝1对称，
∴点B（3，0），
∴一元二次方程ax2+bx﹣＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3；
（2）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣，
得，
解得，
抛物线L的解析式为y＝x2﹣x﹣，
配方得，y＝（x﹣1）2﹣2，
所以顶点M的坐标为（1，﹣2）；
（3）如图2，作PC⊥l于点C．
①∵y＝（x﹣1）2﹣2，
∴当m＝5，即x＝5时，y＝6，
∴P（5，6），
∴此时L′的解析式为y＝（x﹣5）2+6，点C的坐标是（1，6）．
∵当x＝1时，y＝14，
∴点N的坐标是（1，14）．
∵CM＝6﹣（﹣2）＝8，CN＝14﹣6＝8，
∴CM＝CN．
∵PC垂直平分线段MN，
∴PM＝PN；
②PM＝PN仍然成立．
由题意有点P的坐标为（m，m2﹣m﹣）．
∵L′的解析式为y＝（x﹣m）2+m2﹣m﹣，
∴点C的坐标是（1，m2﹣m﹣），
∴CM＝m2﹣m﹣+2＝m2﹣m+．
∵在L′的解析式y＝（x﹣m）2+m2﹣m﹣中，
∴当x＝1时，y＝m2﹣2m﹣1，
∴点N的坐标是（1，m2﹣2m﹣1），
∴CN＝（m2﹣2m﹣1）﹣（m2﹣m﹣）＝m2﹣m+，
∴CM＝CN．
∵PC垂直平分线段MN，
∴PM＝PN；
③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形．
若＝tan30°，则m2﹣m+＝（m﹣1），
解得m＝，
所以点P的坐标为（，﹣）．