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专题01
平行线
知识点精讲
知识点1
平行线的概念
1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交
2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线
注：①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”；②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”）
3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。
1．（2020·广东英德·初一期中）同一平面内，两条直线的位置关系有（
）
A．垂直
B．相交、平行
C．垂直、平行
D．相交
2．（2020·山东省昌乐第一中学初一月考）下列说法正确的有(
)
①两点之间的所有连线中，线段最短;②相等的角叫对顶角
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④不相交的两条直线叫做平行线
⑤直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
A．个
B．个
C．个
D．个
3．（2020·湖北通山·初一期末）经过直线
l
外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
4．（2020·浙江宁波·初一期中）下列说法中，错误的个数为（
）．
①两条不相交的直线叫做平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内不平行的两条线段一定相交；④两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．（2020·首都师范大学附属中学初二期中）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（ ）
A．2cm
B．8cm
C．8或2cm
D．不能确定
6．（2020·南平市建阳第三中学初一开学考试）已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
知识点2
同位角、内错角、同旁内角的概念
1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。
注：如下图，位置相同指：①两个角都在第三条直线c的同一侧；②且两个角都在两条直线a、b的上方（或下方）。
例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角
2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位置完全错开的角）
注：如下图，位置完全错开指：①两个角在第三条直线c的不同侧；②且两个角在两条直线a、b的上下不同位置（即都在两条直线的内侧）
例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角
3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。
注：如下图，同旁内角指：①两个角在第三条直线c的同一侧；②且两个角在a、b两条直线的内侧
例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。
注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。
1．（2021·河南周口市·七年级期末）如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，与是同位角的是__________．
3．（2020·山东聊城市·七年级期末）如图所示，下列说法：
①∠1与∠C是同位角；②∠2与∠C是内错角；③∠3与∠B是同旁内角；④∠3与∠C是同旁内角．
其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
4．（2020·临沂高都中学七年级月考）如图,下列说法正确的是（
）
A．∠1和∠4不是同位角
B．∠2和∠4是同位角C．∠2和∠4是内错角
D．∠3和∠4是同旁内角
5．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）如图，共有_____对同位角，有_____对内错角，有_____对同旁内角．
知识点3
平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）
1．（2020·浙江杭州市·七年级期中）对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是(
)
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠4
C．∠3＝∠4
D．∠1＋∠4＝180°
2．（2020·珠海市九洲中学初一期中）如图，在四边形中，要得到，只需要添加一个条件，这个条件可以是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·绍兴市长城中学初一期中）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·湖北通山·初一期末）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵____________，∴a∥b．
5．（2021·贵州毕节市·八年级期末）如图，平分若则（
）
A．
B．
C．
D．
知识点4平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。②3类角若有大小关系，也可用于证明两条直线平行。
1．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，已知，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江上虞·初一期末）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处∠C的度数为（
）
A．38°
B．142°
C．152°
D．162°
3．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，//，点是射线上一动点，且不与点重合．分别平分，，，在点运动的过程中，当时，=______．
4．（2021·陕西西安市·八年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
5．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，∥，⊥，＝40°，则（
）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
知识点5
平移及其性质
1）平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离
2）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置
3）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行
4）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离
5）平移作图步骤：
①找出能代表图形的关键点
②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来
③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置
④连接关键点，还原图形
1．（2020·浙江金华市·七年级期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·浙江温州市·七年级期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（
）
A．16
B．24
C．30
D．40
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图所示，由图形到图形的平移变换中，下列描述正确的是（
）
A．向下平移1个单位，向右平移5个单位
B．向上平移1个单位，向左平移5个单位
C．向下平移1个单位，向右平移4个单位
D．向上平移1个单位，向左平移4个单位
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知在每个小正方形的网格图形中，的顶点都在格点上，为格点．（1）先将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后，（点，，所对应的顶点分别是，，）（2）求出的面积；（3）连结，，直接说出与的关系（不需要理由）．
重难点题型
考点1
平行线间距离与面积问题
满分技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类考点时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
1．（2020·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·上海金山·初一期中）如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是______．
3．（2020·南通市通州区育才中学八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（
）
A．AC=BP
B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积
D．△ABC的面积等于△PBC的面积
4．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·上海市建平中学初一期末）直线，点、位于直线上，点、位于直线上，如果和的
面积之比是，那么____．
考点2、折叠问题中角的计算
满分技巧：在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。
1．（2020·江苏秦淮·南京一中初二月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_____．
2．（2020·江苏高邮·初一期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．
3．（2020·江西九江.初一期末）将如图1的长方形纸片沿折叠得到图2，折叠后与相交于点．如果则的度数为____．
4．（2020·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．
5．（2020·内蒙古临河.初一期末）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________度．
考点3、识别同位角、内错角和同旁内角
满分技巧：常见的识别方法有2种，具体如下
方法一、定义法：如下图：
①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找
②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。
内错角：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。
同旁内角：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。
方法二、像形识别法：①同位角：F
②内错角：Z
③同旁内角：C
1．（2020·贵州印江·初一期末）如图，下列说法错误的是（
）
A．与是内错角
B．与是内错角
C．与是同旁内角
D．与是同位角
2．（2020·河北路北·初二开学考试）下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·宁夏吴忠·初一期末）如图，下列各组角中，互为内错角的是（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
4．（2020·河北霸州·初一期末）下图中的和是内错角的是（
）
A．B．C．D．
5．（2020·广西百色·初一期末）如图所示，下列两个角是同旁内角的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
考点4
推理证明
满分技巧：作此类考点，要注意多体会证明过程中的因果逻辑关系。
1．（2020·江苏宿迁市·七年级期中）如图，请在下列空格内填写结论和理由．
已知：，
试说明：
证明：
____________（_________________）
（____________________）
___________
（______________________________）
2．（2020·北京朝阳·初一期末）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥
（
）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴
∥
．
∴AB∥EF（
）．
3．（2021·浙江绍兴市·七年级期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵_________（___________）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴_____（_____），
∴DF∥AE（______）．
4．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2＋∠3＝180°．试说明：∠GDC＝∠B．下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＋∠2＝
°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2＋∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠
（同角的补角相等），
∴AB∥DG（
），
∴∠GDC＝∠B（
）．
考点5、
证平行线的技巧
满分技巧：
1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。
2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。
1．（2020·河北宣化·初三二模）如图是某节数学课上王老师和琪琪的对话，根据对话内容，判定的依据是（
）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．内错角互补，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
2．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥，能得的有_________
(只填序号)．
3．（2020·山西期末）综合与探究
问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．
问题发现：（1）如图1，当时，____________°；
（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；
拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；
（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．
4．（2020·陕西省西安市育才中学初一月考）如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠ADB=36°，求∠EFC的度数．
5．（2020·南阳市油田教育教学研究室初一期末）如图，在中，是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．
（1）求和的度数；（2）若，问：//吗，请说明理由．
考点6
平行线的性质
满分技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。
1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。
2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。
1．（2020·河南西华·初一期中）如图所示，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，过点E作EF∥AB交直线BC于点F，若∠ABC＝50°，则∠DEF的度数___．
2．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．
（1）求的度数；（2）过点作，交的延长线于点，求的度数．
3．（2020·山东安丘·东埠初中初二月考）如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于，若，，求的长
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图1，已知，，；
（1）请探索与之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：如图1，，点，分别为，上一点．
（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
考点7、构造辅助线之添加平行线
满分技巧：1）证平行的题目，辅助线技巧比较单一，常见考点仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上
1．（2020·湖北随县·初二月考）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（
）
A．125°
B．75°
C．65°
D．55°
2．（2020·吉林长春·初三一模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为(
)
A．45°
B．
C．
D．
3．（2020·山东日照·二模）如图，直线，，则（
）
A．150°
B．180°
C．210°
D．240°
4．（2020·深圳市高级中学初二月考）如图，，，则，，之间的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）①如图1,AB∥CD,则∠A
+∠E
+∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E
=∠A
+∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A
+∠E－∠1=180°
；
④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C
+∠P.以上结论正确的个数是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
考点8、平行线的压轴题
1．（2021·河南驻马店市·七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D．
（1）如图1，点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E，作DF//CA交AB于点F，判断∠EDF与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF//CA，∠EDF＝∠A，请你判断DE与BA的位置关系．并说明理由．
（3）如图3，点D在△ABC的外部，若作DE//BA，DF//CA，请直接写出∠EDF与∠A数量关系．
2．（2020·山东临沂市河东区教育科学研究中心初一期末）（1）问题情境：如图1，，，．求度数．
小明的思路是：如图2，过点作，通过平行线性质，可得．
（2）问题迁移
（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．猜想、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出、、之间的数量关系．选择其中一种情况画图并证明．
3．（2020·北京海淀实验中学初二开学考试）已知ABCD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．
（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为
；
（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系
．
4．（2020·河南舞钢·初一期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．
5．（2020·辽宁中山·初一期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知点分别在上，．求的度数．
同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”
小华：∵如图4，也能求出的度数．”
(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．
考点9
网络平移
满分技巧：观察比较网格中平移前后图形的位置变换，确定平移方向和平移距离。
1．（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（注：所画格点、线条用黑色水笔描黑）
（1）过点画的垂线，并标出垂线所过格点；（2）过点画的平行线，并标出平行线所过格点；（3）画出向右平移8个单位长度后的位置；（4）的面积为______．
2．（2020·安徽合肥市·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－5，
1)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△EFG．
（1）画出平移后的图形，并写出△EFG的三个顶点坐标．（2）求△EFG的面积．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）在如图所示的方格纸中，
（1）作出关于对称的；
（2）是由经过怎样的平移得到的？并求出在平移过程中所扫过的面积．
4．（2020·浙江台州市·八年级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方组成的网格中，按要求画出△A1B1C1与△A2B2C2．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，他们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴．
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专题01
平行线
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，和不是同位角的是（
）
A．
B．C．
D．
【答案】C
【分析】根据同位角定义可得答案．
【详解】A、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；B、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；C、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；D、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查同位角的概念．解题的关键是掌握同位角的概念，是需要熟记的内容．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
2．（2020·浙江诸暨·初一月考）下列说法正确的有（
）
①不相交的两条直线是平行线；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线，则直线与平行．
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【分析】①在平面内，不相交的两条直线是平行线；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线，则直线与平行；据此得出结论即可；
【解析】①在平面内，不相交的两条直线是平行线，故①错误；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故②正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故③错误；④在同一平面内，若直线，则直线与平行，故④正确；所以正确的说法有2个；选：B.
【点睛】本题主要考查平行线的相关定义，掌握平行线的相关定义并准确识别易错点是求解本题关键.
3．（2020·福建南平·初一期中）如图，点为定点，直线是直线上一动点．对于下列各值：①线段的长；②的度数；③的周长；④的面积．其中不会随点的移动而变化的是（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】B
【分析】由A、B为定点可得AB长为定值，进而可判断①；当P点移动时，∠APB的度数发生变化，PA+PB的长也发生变化，于是可判断②、③；由直线l∥AB可得P到AB的距离为定值，于是可判断④，从而可得答案．
【解析】解：∵A、B为定点，∴AB长为定值，∴①线段AB的长不会随点P的移动而变化；
当P点移动时，∠APB的度数发生变化，∴②∠APB的度数会随点P的移动而变化；
当P点移动时，PA+PB的长发生变化，∴③△PAB的周长会随点P的移动而变化；
∵点A，B为定点，直线l∥AB，∴P到AB的距离为定值，∴④△APB的面积不会随点P的移动而变化；综上，不会随点P的移动而变化的是①④．故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、同底等高的三角形的面积相等以及平行线间的距离等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
4．（2020·江苏徐州·初一期末）如图，给出下列条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能说明AB∥DC的条件有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】解：,①正确；,②不正确；
,③正确；,④正确；
综上所述，①、③、④正确，故选B．
5．（2021·山西朔州市·七年级期末）一艘船停留在海面上，如果从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船上位于灯塔的（
）
A．北偏东30°
B．北偏东60°
C．南偏西30°
D．南偏西60°
【答案】C
【分析】根据方向角的表示方法，可得答案．
【详解】解：设此船位于海面上的C处，灯塔位于D处，
射线CA、DB的方向分别为正北方向与正南方向，如图所示．
∵从船上看灯塔位于北偏东30°，∴∠ACD=30°．
又∵AC∥BD，∴∠CDB=∠ACD=30°．即从灯塔看船位于灯塔的南偏西30°．故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，理解题意画出图形是解题的关键．
6．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图，经过平移后得到，下列说法：
1
②
③
④和的面积相等
⑤四边形和四边形的面枳相等，其中正确的有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】A
【分析】根据平移的性质逐一判断即可．
【详解】解：经过平移后得到，∴，故①正确；
，故②正确；，故③正确；和的面积相等，故④正确；
四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等，∴四边形和四边形的面枳不一定相等，故⑤不正确；综上：正确的有4个故选A．
【点睛】此题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题关键．
7．（2020·湖南茶陵·初一期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】A
【分析】根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，从而可以得到S△ACD的值．
【解析】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD=10cm2，
∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S△ACD=10cm2，故选A．
【点睛】本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．
8．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是(
)
A．°
B．°
C．°
D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．
【解析】解：∵CD∥EF，∴∠C+∠CEF=180°，∴∠CEF=180°-y，
∵AB∥CD，∴x=z+∠CEF，∴x=z+180°-y，∴x+y-z=180°，故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·北京师范大学乌海附属学校月考）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AB∥CD的条件有_____．（填序号）
【答案】①②⑤
【分析】根据平行线的判定方法逐一判断即得答案
【解析】解：①若∠1＝∠B，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD；
②若∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD；
③若∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，但不能得出AB∥CD；
④若∠BCD+∠D＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，但不能得出AB∥CD；
⑤若∠B+∠BCD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥CD；
综上，能够得到AB∥CD的条件有①②⑤．故答案为：①②⑤．
【点睛】本题考查了平行线的判定，属于基础题目，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
10．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．
【答案】110
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．
【详解】如图：
由折叠的性质可得，∠1＝∠3，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，
∵长方形纸片的两条长边平行，∴∠2＝∠1+∠3，∴∠2＝110°，故答案为：110．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2020·山东烟台·初一期中）如图，用一根吸管吸吮烧杯中的豆浆，图2是其截面图，纸杯的上底面a与下底面b平行，c表示吸管，若∠1的度数为104°，则∠2的度数为_______．
【答案】76°
【分析】根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得∠3的度数，从而可以得到∠2的度数．
【解析】解：∵a∥b，∴∠3+∠2=180°，
∵∠1=∠3，∠1=104°，∴∠3=104°，∴∠2=76°，故答案为：76°．
【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（2020·浙江全国·七年级课时练习）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米．
【答案】98
【解析】∵利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，水平距离等于AB，铅直距离等于（AD-1）×2，又∵长AB=50米，宽BC=25米，
∴小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为50+（25-1）×2=98米，
故答案为98．
13．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．
【答案】
【分析】先根据两直线平行，内错角相等，由AD∥BC得到∠DEF＝∠EFB＝68°，再利用折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝68°，然后利用平角的定义求解．
【详解】∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝68°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点DC分别落在点D′、C′的位置，∴∠D′EF＝∠DEF＝68°，
∴∠AED′＝180°?∠D′EF?∠DEF＝180°?2×68°＝44°．故答案为44°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
14．（2020·山东青岛·初一期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__
°．
【答案】46
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．
【解析】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．
15．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图所示，点，分别在，上，，，，，则，，之间满足的关系式是______．
【答案】
【分析】过B作BH∥DF，由
DF//EG，可知BH∥EG，由平行线∠ABH=∠ADF=α，∠CBH=∠CEG=β，由∠ABC=∠ABH+∠CBH即可的结论．
【解析】过B作BH∥DF，∵DF//EG，∴BH∥EG，∵DF//EG，∴∠ABH=∠ADF=α
∵BH∥EG，∠CBH=∠CEG=β
．
．故答案为：
【点睛】本题考查三个角之间的关系问题，掌握平行线把两角和问题转化为与之相等的两角是关键．
16．（2021·浙江宁波市·七年级期末）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为（）．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为______．
【答案】30°或45°或120°或135°或165°
【分析】分五种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠α的度数．
【详解】解：①当CD∥OB时，∠α=∠D=30°
②当OC∥AB时，∠OEB=∠COD=90°，此时∠α=90°-∠B=90°-45°=45°
③当DC∥OA时，∠DOA=∠D=30°，此时∠α=∠AOB+∠AOD=90°+30°=120°
④当OD∥AB时，∠AOD=∠A=45°，此时∠α=∠A+∠AOD=90°+45°=135°
⑤当CD∥AB时，延长BO交CD于点E，则∠CEO=∠B=45°
∴∠DEO=180°-∠CEO=135°∴∠DOE=180°-∠DEO-∠D=15°
此时∠α=180°-∠DOE=180°-15°=165°
综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为30°或45°或120°或135°或165°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用．在旋转过程中，注意分情况讨论是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）△ABC经过平移后得到△A1B1C1，请描述这个平移过程；
（2）过点C画AB的平行线CD；（3）求出△ABC的面积．
【答案】（1）△ABC向下平移4个单位，向左平移5个单位得到△A1B1C1；（2）见解析；（3）5．
【分析】（1）根据平移变换的性质解决问题即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可；
（3）利用分割法求解即可．
【详解】解：（1）△ABC向下平移4个单位，向左平移5个单位得到△A1B1C1；
（2）如图，直线CD即为所求；
（3）S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝16﹣6﹣1﹣4＝5．
【点睛】本题考查作图?应用与设计，平行线的判定和性质，三角形的面积，坐标与图形的平移等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2021·山西长治市·七年级期末）完成下面的解答过程，并填上适当的理由．
已知：如图，，平分，平分，试判断与是否平行．
解：∵（__________），
∴__________（_____________）．
∵平分，平分（已知），
∴___________，___________（_____________），
∴
（_____________），
∴（_____________）．
【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义；；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【分析】由，证明，再利用角平分线的定义证明，，从而可得，于是可得：．
【详解】解：∵（已知），∴
（两直线平行，同位角相等．）
∵平分，平分（已知），
∴，（角平分线的定义），
∴
（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；；；角平分线的定义；；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
19．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
【答案】EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC，见解析
【分析】根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断．
【详解】解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．
理由：∵∠EOD＋∠OBF＝180°，又∠EOD＋∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠OBF，∴EC∥BF；
∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，
又∵EC∥BF，∴∠ECB＝∠CBF，∴∠DBC＝∠CBF，
又∵∠DBC＝∠G，∴∠CBF＝∠G，∴DG∥BF；
∵EC∥BF，DG∥BF，∴DG∥EC．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理及补角定理是解题关键．
20．（2020·上海静安·初一期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．
（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，
①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．
【答案】（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②见解析
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠A=∠AEF和∠FEC=∠C，再相加即可；
（2）①、②过点E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2，从而可得三者之间的关系．
【解析】解：（1）过点E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；
（2）①∠1+∠2-∠E=180°，
②过点E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，
∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
21．（2020·河南舞钢·初一期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．
【答案】（1）∠C＝∠1+∠2，理由见解析；（2）60°；（3）2
【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1＋∠2；
（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°?2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°?∠CEM＝90°?x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°?x，据此可得的值．
【解析】（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
22．（2020·洛阳市第二外国语学校初一期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．
（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．
（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，然后通过等量代换即可得出答案；
（2）首先根据角平分线的定义得出∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，进而得出∠F＝（∠HAD+∠ECD），然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD的度数，进而可得出答案；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义得出，，
，再通过等量代换即可得出∠MQN＝∠ACB．
【详解】解：（1）∵CEAB，∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，
∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD，∴∠ACD＝∠A+∠B；
（2）∵CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，∴∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，
∴∠F＝∠HAD+∠ECD＝（∠HAD+∠ECD），
∵CHAB，∴∠ECD＝∠B，∵AHBC，∴∠B+∠HAB＝180°，
∵∠BAD＝70°，，
∴∠F＝（∠B+∠HAD）＝55°；
（3）∠MQN＝∠ACB，理由如下：平分，．
平分，．
，
．
∴∠MQN＝∠MQG﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR﹣∠NQG＝180°﹣（∠AQG+∠QGD）
＝180°﹣（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC）＝（∠CQG+∠QGC）＝∠ACB．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
23．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学初一月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足
关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足
关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F.（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝
．
【答案】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）
【分析】问题情境1：过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，得到∠B+∠BPE=180°，∠D+∠DPE=180°，进而得出：∠B+∠P+∠D=360°；问题情境2：过点P作EP∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；
②，③根据①中的方法可得出结论；
问题迁移：（1）如图4，根据角平分线定义得：∠EBF=∠ABE，∠EDF=∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°，再根据四边形的内角和可得结论；
（2）设∠ABM=x，∠CDM=y，则∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．
【解析】问题情境1：如图2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案为∠B+∠P+∠D＝360°；
问题情境2：如图3，∠P＝∠B+∠D，理由是：过点P作EP∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，
∴∠BPD＝∠B+∠D，即∠P＝∠B+∠D；故答案为∠P＝∠B+∠D；
问题迁移：（1）如图4，∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；
（2）如图5，∠E+∠M＝60°，理由是：
∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∠E＝60﹣x﹣y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；
（3）如图5，∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝；故答案为∠M＝．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
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专题01
平行线
知识点精讲
知识点1
平行线的概念
1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交
2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线
注：①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”；②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”）
3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。
1．（2020·广东英德·初一期中）同一平面内，两条直线的位置关系有（
）
A．垂直
B．相交、平行
C．垂直、平行
D．相交
【答案】B
【分析】根据同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答．
【解析】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系，故选：B．
【点睛】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．
2．（2020·山东省昌乐第一中学初一月考）下列说法正确的有(
)
①两点之间的所有连线中，线段最短;②相等的角叫对顶角
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④不相交的两条直线叫做平行线
⑤直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【分析】根据相交线平行线及几何初步的相关知识点进行解题即可得解．
【解析】①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②相等的角叫对顶角，错误，应该是对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，应该强调在直线外一点；
④不相交的两条直线叫做平行线，错误，应该强调在同一平面内；
⑤直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短，错误，应该是垂线段最短；
⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，正确的有2个，故选：B．
【点睛】本题主要考查了相交线平行线及几何初步的相关命题正确性的判断，掌握命题所涉及的相关概念是解决本题的关键．
3．（2020·湖北通山·初一期末）经过直线
l
外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【答案】C
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【解析】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线l平行的，只能是一条，即与直线l相交的直线至少有3条，故选：C．
【点睛】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
4．（2020·浙江宁波·初一期中）下列说法中，错误的个数为（
）．
①两条不相交的直线叫做平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内不平行的两条线段一定相交；④两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】根据平行线的定义，平行线公理，同一平面内，直线的位置关系，逐一判断各个小题，即可得到答案．
【解析】①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故本小题错误，
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误，
③在同一平面内不平行的两条直线一定相交；故本小题错误，
④两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线不一定相交，故本小题错误．
综上所述：错误的个数为4个．故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的定义，平行线公理，掌握平行线的定义，平行线公理是解题的关键．
5．（2020·首都师范大学附属中学初二期中）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是5cm，那么直线a与c的距离是（ ）
A．2cm
B．8cm
C．8或2cm
D．不能确定
【答案】C
【分析】分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可．
【解析】解：有两种情况：如图
（1）直线a与c的距离是3厘米+5厘米=8厘米；
（2）直线a与c的距离是5厘米-3厘米=2厘米．故选C．
【点睛】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．
6．（2020·南平市建阳第三中学初一开学考试）已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：
（1）画直线OA；（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．
【答案】见解析.
【分析】（1）根据两点确定一条直线作图；（2）由正方形的对角线互相垂直来作图；
（3）根据平行线的性质：两直线平行，对应线段成比例，来作图即可．
【解析】解：（1）作法：①连接OA，②作直线AO；（2）作法：连接正方形AHGB的对角线BH交AG于点D；（3）作法：①取线段AD的中点F，连接EF．
【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的作法．在解答此题时，借用了网格的性质及平行线的性质．
知识点2
同位角、内错角、同旁内角的概念
1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。
注：如下图，位置相同指：①两个角都在第三条直线c的同一侧；②且两个角都在两条直线a、b的上方（或下方）。
例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角
2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位置完全错开的角）
注：如下图，位置完全错开指：①两个角在第三条直线c的不同侧；②且两个角在两条直线a、b的上下不同位置（即都在两条直线的内侧）
例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角
3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。
注：如下图，同旁内角指：①两个角在第三条直线c的同一侧；②且两个角在a、b两条直线的内侧
例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。
注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。
1．（2021·河南周口市·七年级期末）如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．
【答案】同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3；内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8；同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角；
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角,结合图形进行分析即可．
【详解】同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3；内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8；
同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7．
【点睛】本题主要考查了三线八角,解题关键是掌握同位角的边构成“”形,内错角的边构成“”形,同旁内角的边构成“”形．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，与是同位角的是__________．
【答案】①②
【分析】根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
【详解】解：这四个图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，符合的有图①②．故答案为：①②．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
3．（2020·山东聊城市·七年级期末）如图所示，下列说法：
①∠1与∠C是同位角；②∠2与∠C是内错角；③∠3与∠B是同旁内角；④∠3与∠C是同旁内角．
其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
【答案】C
【分析】根据题意直接利用同位角、内错角、同旁内角定义进行分析解答即可．
【详解】解：①∠1与∠C是同位角，说法正确；②∠2与∠C是内错角，说法错误；
③∠3与∠B是同旁内角，说法正确；④∠3与∠C是同旁内角，说法正确；故选：C．
【点睛】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4．（2020·临沂高都中学七年级月考）如图,下列说法正确的是（
）
A．∠1和∠4不是同位角
B．∠2和∠4是同位角
C．∠2和∠4是内错角
D．∠3和∠4是同旁内角
【答案】D
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可．
【详解】A、∠1和∠4是同位角，原说法错误，故本选项错误；
B、∠2和∠4不是同位角，原说法错误，故本选项错误；
C、∠2和∠4不是内错角，原说法错误，故本选项错误；
D、∠3和∠4是同旁内角，原说法正确，故本选项正确；故选D．
【点睛】考查了对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
5．（2020·上海同济大学实验学校七年级期中）如图，共有_____对同位角，有_____对内错角，有_____对同旁内角．
【答案】20
12
12
【分析】利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可．
【详解】解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O与∠EFH，∠O与∠GEF，∠O和∠IGH，∠O和∠GHJ，
∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20对；
内错角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，共12对；
同旁内角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共12对，故答案为：20；12；12．
【点睛】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
知识点3
平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）
1．（2020·浙江杭州市·七年级期中）对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是(
)
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠4
C．∠3＝∠4
D．∠1＋∠4＝180°
【答案】D
【分析】从内错角、同位角、同旁内角的关系来分析即可.
【详解】A.
∠1=∠2，不能得到a∥b，故错误；B.
∠2=∠4，不是同位角相等，故错误；
C.
∠3=∠4，不是同位角相等，故错误；
D.
∠1+∠4=180°，先利用对顶角相等，再推出同旁内角互补来得到a∥b.
【点睛】此题主要考察平行线的判定条件.
2．（2020·珠海市九洲中学初一期中）如图，在四边形中，要得到，只需要添加一个条件，这个条件可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A不可以；∵∠1=∠3，∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB∥CD，∴A不可以；
B可以；∵∠2=∠4，∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B可以；
C、D不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB∥CD；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB∥BC；∴C、D不可以；故选B.
3．（2020·绍兴市长城中学初一期中）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】A.是BC，AD，被BD所截得到的一对内错角，与AB，CD是否平行无关；
B.
是、被所截得到的一对内错角，关键平行线的判定方法解题即可；
C.
和是、被所截得到的一对内错角，与AB，CD是否平行无关；
D.
是AD，BC，被CD所截得到的一对同旁内角，与AB，CD是否平行无关．
【解析】解：A、和是、被所截得到的一对内错角，∴当时，可得，故A不正确；
B、和是、被所截得到的一对内错角，∴当时，可得，故B正确；
C、和是、被所截得到的一对内错角，∴当时，可得，故C不正确；
D、和是、被所截得到的一对同旁内角，∴当时，可得，故D不正确；故选：B．
【点睛】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断．本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等两直线平行，②内错角相等两直线平行，③同旁内角互补两直线平行，④，．
4．（2020·湖北通山·初一期末）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵____________，∴a∥b．
【答案】
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解析】解：∵∠1＋∠3＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为∠1＋∠3＝180°．
【点睛】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
5．（2021·贵州毕节市·八年级期末）如图，平分若则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由角平分线定义可得
，因为，所以，根据内错角相等，两直线平行可判断便可得解．
【详解】解：∵平分，，
，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的判定，寻找内错角相等是解决本题的关键．
知识点4平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。
②3类角若有大小关系，也可用于证明两条直线平行。
1．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，已知，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质逐项判断，即可得到答案．
【详解】∵，∴∠EAD=∠ADC，故A选项错误，
∵，∴，故B选项正确，
由AB∥CD，不能得出，故C选项错误，
由AB∥CD，不能得出，故D选项错误，故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
2．（2020·浙江上虞·初一期末）如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处∠C的度数为（
）
A．38°
B．142°
C．152°
D．162°
【答案】B
【分析】由AB∥CD得∠B=∠C，根据∠B=142°得∠C=142°．
【解析】如图，
∵拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，∴AB∥CD，∴∠B=∠C，
又∵∠B=142°，∴∠C=142°，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用和等量代换相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是从生活实际中抽象出平行线和相交线．
3．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，//，点是射线上一动点，且不与点重合．分别平分，，，在点运动的过程中，当时，=______．
【答案】
【分析】根据平行线的性质可得∠BMA=∠DAM，∠B+∠BAD=180°，由角平分线的定义可得∠DAM=∠BAN，进一步可得，从而可得结论．
【详解】解：∵AD//BC∴∠BMA=∠DAM，∠B+∠BAD=180°
∵AM平分∠BAP，∴∠BAM=∠MAP=∠BAP，
∵AN平分∠DAP，∴∠DAN=∠NAP=∠DAP，∵∠BAN=∠BMA∴∠DAM=∠BAN
∵∠，∠∴∠∴∠
∵，∴∠∴∠
∴∴故答案为：90°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．
4．（2021·陕西西安市·八年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
【答案】270°
【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】过B作BF∥AE，∵CD∥
AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案为：270．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，∥，⊥，＝40°，则（
）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，然后结合垂直的定义即可计算求解．
【详解】解：∵∥，∴∠BAC+∠ACD=180°
又∵⊥，＝40°∴∠CAD=90°∴故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补正确推理计算是解题关键．
知识点5
平移及其性质
1）平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离
2）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置
3）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行
4）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离
5）平移作图步骤：
①找出能代表图形的关键点
②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来
③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置
④连接关键点，还原图形
1．（2020·浙江金华市·七年级期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案．
【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，
将题目中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B，其它三项皆改变了方向，故错误．故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，将周长为10cm的△ABC沿AC向右平移1cm得到△DEF，
∴BE=1cm，AF=AC+CF=AC+1cm，EF=BC；
又∵AB+AC+BC=10cm，∴四边形ABEF的周长=BE+AB+AF+EF=1+AB+AC+1+BC=12cm．故选：C．
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=BE，EF=BC是解题的关键．
3．（2021·浙江温州市·七年级期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（
）
A．16
B．24
C．30
D．40
【答案】D
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．
【详解】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，
如图，∵图2中长方形的周长为48，∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，故选：D．
．
【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图所示，由图形到图形的平移变换中，下列描述正确的是（
）
A．向下平移1个单位，向右平移5个单位
B．向上平移1个单位，向左平移5个单位
C．向下平移1个单位，向右平移4个单位
D．向上平移1个单位，向左平移4个单位
【答案】D
【分析】根据图形中两个三角形顶点的平移变换即可得．
【详解】由图形中两个三角形顶点的平移变换可知：向上平移1个单位，向左平移4个单位，选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的概念是解题关键．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知在每个小正方形的网格图形中，的顶点都在格点上，为格点．（1）先将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后，（点，，所对应的顶点分别是，，）（2）求出的面积；（3）连结，，直接说出与的关系（不需要理由）．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）AD=BE且AD∥BE
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点D、E、F，再依次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式计算；（3）根据平移的性质回答．
【详解】解：（1）如图，△DEF即为所作；
（2）S△DEF==8；
（3）如图，由平移可知：AD=BE且AD∥BE．
【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
重难点题型
考点1
平行线间距离与面积问题
满分技巧：两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解此类考点时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶点，这样组成的三角形面积相等。
1．（2020·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学初一期中）正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】因为每个小正方形的边长是1，则可以先找到一点C，则三角形ABC的面积是2，满足题目要求，再过C点作AB的平行线，平行线与网格点重合的点，因这些点与A、B组成的三角形都是同底等高，则这些三角形的面积都是2，所以这些点即为符合要求的点；同理，过D点作AB的平行线，与网格点重合的点也是符合要求的格点．将所有的符合要求的格点数加起来，就是问题的答案．
【详解】解：如图所示，在网格图中可以找到点C，
则三角形ABC的面积是2，再过C点作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点，这样的点有5个；同样的方法，过D点作AB的平行线，又能得到4个不同符合要求的格点，
所以符合要求的格点共有：5+4=9（个）；故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形面积的求法，解答此题的关键是：作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点；主要依据两条平行线间的距离处处相等及同底等高的三角形面积相等．
2．（2020·上海金山·初一期中）如图，，是线段上任意一点，与相交于点，若的面积是5，的面积是1，则的面积是______．
【答案】4
【分析】由AD∥BC，S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等，则得到S△CBE=S△ABC=5，再利用S△BOC
=
S△CBE
-
S△EOC得到结论．
【解析】解：∵AD∥BC，∴S△CBE与S△ABC均以BC为底，且高相等.∴S△CBE=S△ABC=5，
∵S△EOC=1，∴S△BOC
=
S△CBE
-
S△EOC
=5-1=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
3．（2020·南通市通州区育才中学八年级月考）如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（
）
A．AC=BP
B．△ABC的周长等于△BCP的周长
C．△ABC的面积等于△ABP的面积
D．△ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．故选D．
【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
4．（2020·江苏泰州市·昭阳湖初中八年级期中）如图，中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由AF是的高，可得．
【详解】解：是中线，，，故A、D说法正确；
是角平分线，，，故C说法错误；
是的高，，，故B说法正确；故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
5．（2020·上海市建平中学初一期末）直线，点、位于直线上，点、位于直线上，如果和的
面积之比是，那么____．
【答案】9：16
【分析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算．
【解析】解：∵a∥b，∴△ABC与△CBD等高∴△ABC的面积：△CBD的面积=AB：CD，
∵△ABC和△CBD的面积之比是9：16，∴AB：CD=9：16，故答案为：9：16．
【点睛】此题考查了平行线间的距离以及三角形的面积比的一种方法，即等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比．
考点2、折叠问题中角的计算
满分技巧：在折叠的过程中，会产生相等的角。利用折叠中的相等角，结合对顶角、邻补角进行推导求解。
1．（2020·江苏秦淮·南京一中初二月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′，且BC′与AD交于E点，若∠ABE=40°，则∠ADB=_____．
【答案】25°．
【解析】首先根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，进而可以计算出∠EBC，再根据折叠可得∠EBD=∠CBD=∠EBC，然后再根据平行线的性质可以计算出∠ADB的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∵∠ABE=40°，∴∠EBC=90°﹣40°=50°，根据折叠可得∠EBD=∠CBD，∴∠CBD=25°，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=25°，故答案为25°．
考点：翻折变换（折叠问题）．
2．（2020·江苏高邮·初一期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．
【答案】
【分析】先根据两直线平行，内错角相等，由AD∥BC得到∠DEF＝∠EFB＝68°，再利用折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝68°，然后利用平角的定义求解．
【解析】∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝68°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点DC分别落在点D′、C′的位置，∴∠D′EF＝∠DEF＝68°，
∴∠AED′＝180°?∠D′EF?∠DEF＝180°?2×68°＝44°．故答案为44°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
3．（2020·江西九江.初一期末）将如图1的长方形纸片沿折叠得到图2，折叠后与相交于点．如果则的度数为____．
【答案】55°
【分析】根据翻折可知对应角都相等．另外两直线平行，同旁内角互补．利用这两条性质即可解答．
【解析】解：∵AE∥BF，∴∠AEP=∠FPE=70°．又∵折叠后DE与BF相交于点P，设∠PEF=x，
即∠AEP+2∠PEF=180°，即70°+2x=180°，x=55°．即∠PEF=55°，故答案为：55°．
【点睛】解答此题的关键是要明白图形翻折变换后与原图形全等，对应的角和边均相等．
4．（2020·广东禅城.初一期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．
【答案】30°．
【分析】根据平角的定义计算出∠DED′=150°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，所以∠DEF=∠DED′=75°．再由平行线的性质可得∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，即可得∠EFC=105°，由折叠的性质可得∠EFC=∠EF
C′=105°，由此可得∠BFC′=∠EF
C′-∠EFB=105°-75°30°.
【解析】∵∠AED′=30°，∴∠DED′=180°-∠AED′=180°-30°=150°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠D′EF，∴∠DEF=∠DED′=×150°=75°．
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，∴∠EFC=105°，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，
∴∠EFC=∠EF
C′=105°，∴∠BFC′=∠EF
C′-∠EFB=105°-75°30°.故答案为30°．
【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，熟练运用折叠的性质及平行线的性质是解决问题关键.
5．（2020·内蒙古临河.初一期末）如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________度．
【答案】65
【分析】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．
【解析】解：如图，由题意可知，AB∥CD，∴∠1+∠2=130°，
由折叠可知，∠1=∠2，∴2∠1＝130°，解得∠1＝65°．故答案为：65．
【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．
考点3、识别同位角、内错角和同旁内角
满分技巧：常见的识别方法有2种，具体如下
方法一、定义法：如下图：
①确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找
②根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8与∠4符合同位角关系。
内错角：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠2符合内错角关系。
同旁内角：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符合同旁内角关系。
方法二、像形识别法：①同位角：F
②内错角：Z
③同旁内角：C
1．（2020·贵州印江·初一期末）如图，下列说法错误的是（
）
A．与是内错角
B．与是内错角
C．与是同旁内角
D．与是同位角
【答案】A
【分析】根据内错角、同旁内角、同位角的定义即可判断．
【解析】A.
与不是内错角，故错误；
B.
与是内错角，正确；
C.
与是同旁内角，正确；
D.
与是同位角，正确；故选A．
【点睛】此题主要考查内错角、同旁内角、同位角的识别，解题的关键是熟知内错角、同旁内角、同位角的特点．
2．（2020·河北路北·初二开学考试）下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
【解析】A图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
B图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意；
D图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符题意．选C．
【点睛】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角等知识，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
3．（2020·宁夏吴忠·初一期末）如图，下列各组角中，互为内错角的是（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】B
【分析】根据内错角的定义的判定即可．
【解析】根据图形分析可知：A、和为对顶角，故不符合题意；B、和互为内错角，故正确；C、和为同位角，故不符合题意；D、和为同旁内角，故不符合题意；
【点睛】本题考查角的关系，结合图形理解对顶角、内错角、同位角及同旁内角的概念是解题关键．
4．（2020·河北霸州·初一期末）下图中的和是内错角的是（
）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据内错角的定义逐项判断即得答案．
【解析】A、和不是内错角，故本选项不符合题意；B、和是内错角，故本选项符合题意；C、和是同位角，不是内错角，故本选项不符合题意；
D、和不是内错角，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了三线八角，属于基础考点，熟练掌握内错角的概念的解题的关键．
5．（2020·广西百色·初一期末）如图所示，下列两个角是同旁内角的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可．
【解析】解：A、∠1与∠2是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
B、∠1与∠3是对顶角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；C、∠2与∠3是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；D、∠3与∠4是同旁内角，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键．
考点4
推理证明
满分技巧：作此类考点，要注意多体会证明过程中的因果逻辑关系。
1．（2020·江苏宿迁市·七年级期中）如图，请在下列空格内填写结论和理由．
已知：，
试说明：
证明：
____________（_________________）
（____________________）
___________
（______________________________）
【答案】AD；BE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；B；2；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】根据∠1=∠E可判定AD∥BE，可得∠D和∠2为同旁内角互补；结合∠B=∠D，可推得∠2和∠B也互补，从而判定AB平行于CD．
【详解】解：证明：∵∠1=∠E，∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B=∠D，∴∠B+∠2=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：AD；BE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；B；2；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质和平行线的判定，同学们要熟练掌握．
2．（2020·北京朝阳·初一期末）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥
（
）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴
∥
．
∴AB∥EF（
）．
【答案】CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行
【分析】先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
【解析】证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．
【点睛】本题考查平行线判定定理当中的两条：第一条：同旁内角互补，两直线平行；第二条：两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行；熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
3．（2021·浙江绍兴市·七年级期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵_________（___________）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴_____（_____），
∴DF∥AE（______）．
【答案】CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】先根据垂直的定义，得到，，再根据等角的余角相等，得出，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．
【详解】证明：∵ CD⊥DA，DA⊥AB
（已知）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°
( 垂直定义 )．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，∴∠2=∠3
( 等角的余角相等
)，
∴DF∥AE
( 内错角相等，两直线平行
)．
故答案为：．CD⊥DA，DA⊥AB
，
已知；垂直定义；∠2=∠3
，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
4．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2＋∠3＝180°．试说明：∠GDC＝∠B．下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＋∠2＝
°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2＋∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠
（同角的补角相等），
∴AB∥DG（
），
∴∠GDC＝∠B（
）．
【答案】180；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】根据平行线的性质定理和判定定理即可解答．
【详解】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥
EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＋∠2＝180°两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2＋∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠
3（同角的补角相等），
∴AB∥DG（ 内错角相等，两直线平行
），
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行，同位角相等
）．
故答案为：180；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，熟练运用．
考点5、
证平行线的技巧
满分技巧：
1）、借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此展开证明推导。
2）、转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关系。
1．（2020·河北宣化·初三二模）如图是某节数学课上王老师和琪琪的对话，根据对话内容，判定的依据是（
）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．内错角互补，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【分析】根据三角板中的度数，结合图形，利用平行线的判定即可做出选择．
【解析】∵，，，
故根据内错角相等，两直线平行得故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟知三角板中的度数，掌握平行线的判定是解答的关键．
2．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥，能得的有_________
(只填序号)．
【答案】①③⑥
【分析】根据平行线的判定逐一判断即可．
【解析】解：①，，故本条件正确；
②，，故本条件错误；③，，故本条件正确；
④，不能判定任何直线平行，故本条件错误；
⑤，，故本条件错误；
⑥，，故本条件正确．故答案为：①③⑥．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
3．（2020·山西期末）综合与探究
问题情境：如图，已知平分，于点D，E为延长线上一点，于点F，平分交于点G，．
问题发现：（1）如图1，当时，____________°；
（2）如图2，当为锐角时，与有什么数量关系，请说明理由；
拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究和的位置关系，并证明结论；
（4）如图3，当为锐角时，若点E为线段上一点，于点F，平分交于点H，．请写出一个你发现的正确结论．
【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3），证明见解析；（4）答案不唯一，例如
【分析】（1）根据角平分线的性质得∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，即可求得；（2）根据角平分线的性质得，，即可求得；（3）在Rt△EFG中，得到，结合，得到∠2=∠EGF，即可得到；（4）根据角平分线的性质得∠1=∠AOB，∠2=∠DEF，即可求得．
【解析】（1）∵，∴，∵，∴，
∵平分，平分，∴∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，
∴；故答案为：90；
（2）．理由如下：
∵，分别是，的平分线，
∴，，∴，
∵，∴；
（3）和的位置关系为OC∥GE．
证明：∵于点，∴．∴．
∵，∴，∴OC∥GE；
（4）答案不唯一，例如．
理由如下：∵，分别是，的平分线，
∴，，∴，
∵，∴；
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
4．（2020·陕西省西安市育才中学初一月考）如图，已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠ADB=36°，求∠EFC的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)36°.
【分析】(1)求出∠ABC+∠A=180°，根据平行线的判定推出即可；
(2)根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．
【解析】
(1)证明：∵∠ABC=180°-∠A，∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC；
(2)∵AD∥BC，∠ADB=36°，∴∠DBC=∠ADB=36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，∴∠DBC=∠EFC=36°
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
5．（2020·南阳市油田教育教学研究室初一期末）如图，在中，是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点．
（1）求和的度数；（2）若，问：//吗，请说明理由．
【答案】(1)
105°，30°；(2)平行，理由见解析
【分析】(1)根据折叠求出∠BAD=∠DAF，根据三角形内角和定理求出∠AFB的度数后进而求得∠AFC；由三角形内角和定理求出∠ADB，进而求得∠ADF，再用∠ADB-∠ADF即可求解；
(2)求出∠C=∠EDF=30°，即可证DE∥AC．
【解析】解：(1)由折叠前后对应的角相等可知，∠BAD=∠DAF=30°，
∴∠BAF=∠BAD+∠DAF=30°+30°=60°，
在△ABF中，由三角形内角和定理可知，∠AFB=180°-∠BAF-∠B=180°-60°-45°=75°，
∴∠AFC=180°-∠AFB=180°-75°=105°，
在△ABD中，由三角形内角和定理可知，∠ADB=180°-∠BAD-∠B=180°-30°-45°=105°，
∴∠ADF=180°-∠ADB=75°，由折叠前后对应的角相等可知，∠ADE=∠ADB=105°，
∴∠EDF=∠ADE-∠ADF=105°-75°=30°，故答案为：105°，30°；
(2)
//，理由如下：∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠B=∠E=45°，
∵∠E：∠C=3：2，∴∠C=30°，∴∠C=∠EDF=30°，∴DE∥AC．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的判定等知识点，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键．
考点6
平行线的性质
满分技巧：平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来提现的。
1）3类角的大小关系都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提条件“两直线平行”，当两直线不平行时，3类角无大小关系。
2）如果要从角的关系得到的结论是两直线平行，用平行线的判定；如果已知两直线平行，从平行线得到角相等或互补关系，用平行线的性质。填写理由时，要防止把性质与判定混淆。
1．（2020·河南西华·初一期中）如图所示，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC于点E，过点E作EF∥AB交直线BC于点F，若∠ABC＝50°，则∠DEF的度数___．
【答案】130°．
【分析】先求出∠ABC＝∠ADE＝50°，再求出∠DEF＝180°﹣50°＝130°即可．
【解析】解：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵EF∥AB，∴∠ADE+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠DEF＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．
【点睛】本题考查了平行线线段的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．
2．（2021·福建三明市·八年级期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．
（1）求的度数；（2）过点作，交的延长线于点，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；
(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.
【详解】（1）在中，，，
，
是的平分线，；
（2），，，
，.
【点睛】本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.
3．（2020·山东安丘·东埠初中初二月考）如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于，若，，求的长
【答案】5
【分析】由BE平分ABC可得DBE=EBC，由DEBC可得EBC=DEB，所以DEB=DBE，所以DE=BD，同理可证EF=CF，由已知线段的长度求解即可．
【解析】BE平分ABC，DBE=EBC，
DEBC，EBC=DEB，DEB=DBE，
DE=BD，同理可证：EF=CF，
BD=8，DE=8，DF=3，EF=5，CF=5．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及平行线的性质，熟记相关性质是解题关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图1，已知，，；
（1）请探索与之间满足的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若平分，平分，反向延长交于点P，求的度数．
【答案】（1），理由见解析；（2）15°
【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【详解】解：（1）如图1，分别过点，作，，
，，，
又，，，，
又，，，，
，；
（2）如图2，过点作，由（2）知，，
设，则，平分，平分，
，，
，，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：如图1，，点，分别为，上一点．
（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，∴MP∥CD．∴∠4=∠3．∵MP∥AB，∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，∴∠EMF=∠1+∠4．∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；
证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，∴MQ∥CD．∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，∴∠AEM+∠2=180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4=∠2+∠3=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
考点7、构造辅助线之添加平行线
满分技巧：1）证平行的题目，辅助线技巧比较单一，常见考点仅“添加平行线”这一种方法。当要求解的几个角之间“距离”比较远，3类角难以扯上关系时，通常用“添加平行线”的方法，过渡出“距离”较远角之间的关系。2）“M”型图形，通常通过添加平行线辅助线来与平行联系上
1．（2020·湖北随县·初二月考）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（
）
A．125°
B．75°
C．65°
D．55°
【答案】D
【分析】延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
【解析】延长CB，延长CB，
∵AD∥CB,∴∠1=∠ADE=145，∴∠DBC=180?∠1=180?125=55.故答案选：D.
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
2．（2020·吉林长春·初三一模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为(
)
A．45°
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．
【解析】解：如图，作，∴，，
∵，∴，故选B．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出，．
3．（2020·山东日照·二模）如图，直线，，则（
）
A．150°
B．180°
C．210°
D．240°
【答案】C
【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.
【解析】解：作直线l平行于直线l1和l2
故选C.
【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.
4．（2020·深圳市高级中学初二月考）如图，，，则，，之间的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【解析】如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
∵，∴，
∴，，，
∴，
又∵，∴，∴，即，故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a//b，b//c?a//c．
5．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）①如图1,AB∥CD,则∠A
+∠E
+∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E
=∠A
+∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A
+∠E－∠1=180°
；
④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C
+∠P.以上结论正确的个数是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C.
考点8、平行线的压轴题
1．（2021·河南驻马店市·七年级期末）已知：△ABC和平面内一点D．
（1）如图1，点D在BC边上，过D点作DE//BA交AC于点E，作DF//CA交AB于点F，判断∠EDF与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF//CA，∠EDF＝∠A，请你判断DE与BA的位置关系．并说明理由．
（3）如图3，点D在△ABC的外部，若作DE//BA，DF//CA，请直接写出∠EDF与∠A数量关系．
【答案】（1）相等，理由见解析；（2）平行，理由见解析；（3）相等或互补
【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠A=∠EDF；
（2）延长BA交DF于G．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；
（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．
【详解】解：（1）∠EDF=∠A．理由：∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，∴∠A=∠EDF；
（2）DE∥BA．证明：如图，延长BA交DF于G．
∵DF∥CA，∴∠2=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．∴DE∥BA．
（3）∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．理由：①如图，∵DE∥BA，DF∥CA，
∴∠D+∠E=180°，∠E+∠EAF=180°，∴∠EDF=∠EAF=∠BAC；
②如图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠F=180°，∠F=∠CAB，∴∠EDF+∠BAC=180°．
综上，∠EDF与∠A相等或互补
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
2．（2020·山东临沂市河东区教育科学研究中心初一期末）（1）问题情境：如图1，，，．求度数．
小明的思路是：如图2，过点作，通过平行线性质，可得．
（2）问题迁移
（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．猜想、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出、、之间的数量关系．选择其中一种情况画图并证明．
【答案】（1），证明见解析；（2）当点在两点之间时，；当点在两点之间时，，证明见解析．
【分析】（1）如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得答案；（2）分两种情况讨论，当点在两点之间时，如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得结论；当点在两点之间时，如图，过点作交于点，证明，利用平行线的性质与角的和差关系可得结论．
【解析】解：（1）．如图，过点作交于点，
，，，
，
（2）当点在两点之间时，，
当点在两点之间时，．
理由如下：①当点在两点之间时，如图，过点作交于点，
，，，
．
②当点在两点之间时，．如图，过点作交于点，
，，，
．
【点睛】本题考查的是平行公理，平行线的性质的应用，角的和差关系，掌握以上知识是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
3．（2020·北京海淀实验中学初二开学考试）已知ABCD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．
（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为
；
（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系
．
【答案】（1）45°；（2）∠MEN＝2∠MFN，证明见解析；（3）
【分析】（1）过E作EH∥AB，FG∥AB，根据平行线的性质得到∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，根据角平分线的定义得到∠BMF+∠DNF＝（∠BME+∠DNE）＝45°，于是得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝∠EGB﹣∠EMB，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠END，∠FHB＝∠FND，根据角平分线的定义得到∠EMB＝2∠FMB，∠END＝2∠FND，于是得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠5＝∠END，根据角平分线的定义得到∠5＝∠END＝2∠4，∠BME＝2∠1＝∠E+∠5＝∠E+2∠4，根据三角形的外角的性质和四边形的内角和即可得到结论．
【解析】解：（1）如图1，过E作EH∥AB，FG∥AB，
∵AB∥CD，∴EH∥CD，FG∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，
∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝90°，同理∠MFN＝∠BMF+∠DNF，
∵ME平分∠BMF，FN平分∠CNE，∴∠BME+∠DNF＝（∠BME+∠DNE）＝45°，
∴∠MFN的度数为45°；故答案为：45°；
（2）∵∠EGB＝∠EMB+∠E，∴∠E＝∠EGB﹣∠EMB，
∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠END，∠FHB＝∠FND，∴∠E＝∠END﹣∠EMB，
∵MF、NF分别平分∠BME和∠DNE，∴∠EMB＝2∠FMB，∠END＝2∠FND，
∴∠E＝2∠FND﹣2∠FMB＝2（∠FND﹣∠FMB），
∵∠FHB＝∠FMB+∠F，∴∠F＝∠FHB﹣∠FMB，＝∠FND﹣∠FMB，∴∠MEN＝2∠MFN；
（3）∠E+∠MFN＝180°，
证明：如图3，∵AB∥CD，∴∠MGE＝∠ENC，
∵NF平分∠ENC，∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，
∵MF平分∠AME，∴∠AME＝2∠1＝∠E+∠MGE＝∠E+2∠FNG，
∴∠FMG＝∠1＝∠E+∠FNG，
∵∠E+∠MFN＝360°﹣∠FNG﹣∠FMG﹣∠EMG＝360°﹣∠FNG﹣（180°﹣∠E﹣2∠FNG）﹣（∠E+∠FNG）＝180°+∠E，∴∠MFN+∠E＝180°．故答案为：∠E+∠MFN＝180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，结合三角形外角性质是解题的关键．
4．（2020·河南舞钢·初一期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．
【答案】（1）∠C＝∠1+∠2，理由见解析；（2）60°；（3）2
【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1＋∠2；
（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°?2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°?∠CEM＝90°?x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°?x，据此可得的值．
【解析】（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
5．（2020·辽宁中山·初一期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知点分别在上，．求的度数．
同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现，由已知可以求出的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得也能求出的度数．”
小华：∵如图4，也能求出的度数．”
(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，，点分别在上，平分若请探究与的数量关系（(用含的式子表示)，并验证你的结论．
【答案】（1）过点作；（2）30；（3）．
【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点作，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；
（3）设，过点作，根据平行线的性质可得，，进而根据角的和差关系即可得答案．
【解析】（1）由图中虚线可知PQ//AC，∴小明同学辅助线的做法为过点作，
故答案为：过点作
（2）如图2，过点作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案为：30
（3）如图，设，过点作，
∵
，即．
【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
考点9
网络平移
满分技巧：观察比较网格中平移前后图形的位置变换，确定平移方向和平移距离。
1．（2021·江苏泰州市·七年级期末）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（注：所画格点、线条用黑色水笔描黑）
（1）过点画的垂线，并标出垂线所过格点；（2）过点画的平行线，并标出平行线所过格点；（3）画出向右平移8个单位长度后的位置；（4）的面积为______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）9.5
【分析】（1）根据网格特点以A为锐角顶点，对边为1，临直角边为5构造格点直角三角形，即可解答；
（2）根据网格特点以A为锐角顶点，对边为1，临直角边为5构造格点直角三角形，即可解答；
（3）根据平移的性质，向右8个单位长度描出对应顶点，即可画出；
（4）由矩形法即可求出三角形面积．
【详解】解：（1）如图所示，AP是的垂线；为所求格点；
（2）如图所示，，、为所求格点；
（3）如图所示，为所求；
（4）的面积，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格画出对应点是解题关键．
2．（2020·安徽合肥市·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－5，
1)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△EFG．
（1）画出平移后的图形，并写出△EFG的三个顶点坐标．
（2）求△EFG的面积．
【答案】（1）画图见解析；，，；（2）21.5
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点E，F，G即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形面积即可．
【详解】解：（1）如图，△EFG即为所求，E（-3，0），F（6，-1），G（4，4）．
（2）S△EFG=5×9-×1×9-×5×2-×4×7=21.5．
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）在如图所示的方格纸中，
（1）作出关于对称的；
（2）是由经过怎样的平移得到的？并求出在平移过程中所扫过的面积．
【答案】（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16
【分析】（1）作点A、B、C关于MN的对称点、、，即可得到；
（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到，画出平移的图象，求出扫过的面积．
【详解】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到，
在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，．
【点睛】本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法．
4．（2020·浙江台州市·八年级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方组成的网格中，按要求画出△A1B1C1与△A2B2C2．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，他们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移6个单位的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据轴对称图形的性质和顶点坐标，可得其对称轴是l：x＝3．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）如图所示：直线l即为所求．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质和作图?平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
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专题01
平行线
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，和不是同位角的是（
）
A．
B．C．
D．
2．（2020·浙江诸暨·初一月考）下列说法正确的有（
）
①不相交的两条直线是平行线；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线，则直线与平行．
A．个
B．个
C．个
D．个
3．（2020·福建南平·初一期中）如图，点为定点，直线是直线上一动点．对于下列各值：①线段的长；②的度数；③的周长；④的面积．其中不会随点的移动而变化的是（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
4．（2020·江苏徐州·初一期末）如图，给出下列条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能说明AB∥DC的条件有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
5．（2021·山西朔州市·七年级期末）一艘船停留在海面上，如果从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船上位于灯塔的（
）
A．北偏东30°
B．北偏东60°
C．南偏西30°
D．南偏西60°
6．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图，经过平移后得到，下列说法：
1
②
③
④和的面积相等
⑤四边形和四边形的面枳相等，其中正确的有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
7．（2020·湖南茶陵·初一期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
8．（2020·石家庄市第二十七中学初一期中）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是(
)
A．°
B．°
C．°
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·北京师范大学乌海附属学校月考）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AB∥CD的条件有_____．（填序号）
10．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．
11．（2020·山东烟台·初一期中）如图，用一根吸管吸吮烧杯中的豆浆，图2是其截面图，纸杯的上底面a与下底面b平行，c表示吸管，若∠1的度数为104°，则∠2的度数为_______．
12．（2020·浙江全国·七年级课时练习）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米．
13．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则’等于__________．
14．（2020·山东青岛·初一期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__
°．
15．（2020·太原师范学院附属中学初一月考）如图所示，点，分别在，上，，，，，则，，之间满足的关系式是______．
16．（2021·浙江宁波市·七年级期末）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为（）．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为______．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）如图，在所给网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）△ABC经过平移后得到△A1B1C1，请描述这个平移过程；
（2）过点C画AB的平行线CD；（3）求出△ABC的面积．
18．（2021·山西长治市·七年级期末）完成下面的解答过程，并填上适当的理由．
已知：如图，，平分，平分，试判断与是否平行．
解：∵（__________），
∴__________（_____________）．
∵平分，平分（已知），
∴___________，___________（_____________），
∴
（_____________），
∴（_____________）．
19．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
20．（2020·上海静安·初一期中）（1）如图所示，，且点在射线与之间，请说明的理由．
（2）现在如图所示，仍有，但点在与的上方，
①请尝试探索，，三者的数量关系．②请说明理由．
21．（2020·河南舞钢·初一期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．
22．（2020·洛阳市第二外国语学校初一期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．
（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．
（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．
23．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学初一月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足
关系．（直接写出结论）
问题情境2
如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足
关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F.（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝
．
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