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专题03
二元一次方程组应用
知识点精讲
知识点1
列方程组解应用题步骤
1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2）解应用题的一般步骤为：
①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；
②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；
③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；
④解答。
1.（2020.杭州七年期中）课间活动，小英和小丽在操场上画出A、B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同。其中，小英3次落在A，1次落在B，得34分；小丽2次落在A，2次落在B，得32分。问A、B区域所得分值各是多少？
知识点2
分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
1.
（2020.广东七年期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与十位数字调换位置后，所得的两位数与原来两位数的和是110，求这个两位数。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
1.
（2021.浙江七年期中）超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？
重难点题型
考点1
二元一次方程组的应用之年龄问题
满分技巧：年龄问题中，列写等量关系式主要还是根据和差倍关系。年龄问题有一个特点需要注意：n年前（后），两个人的年龄是同时减少（增加）n的。
1．（2020·云南昆明·初三其他）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·武钢实验学校初一期中）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（
）
A．甲比乙大5岁
B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁
D．乙比甲大5岁
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是( )．
A．12岁
B．18岁
C．24岁
D．30岁
4．（2020·吉林延边·初一期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
考点2
二元一次方程组的应用之配套问题
满分技巧：若A、B两种物品分别需要a个和b个才能构成一套，则等量关系式为：A产品个数：B产品个数=a：b。往往，此类题型，会告知工人总数，则第二个等量关系式为：A产品工人数+B产品工人数=总工人数。
1．（2020·山东滨州·月考）在抗击“新冠肺炎”的战役中，某品牌消毒液生产厂家计划向部分学校共捐赠13吨消毒液．如果这13吨消毒液的大瓶装（500克）与小瓶装（250克）两种产品分装的数量（按瓶计算）比为．那么这两种产品应该各分装多少瓶？若设生产的消毒液应需分装大瓶、小瓶，则以下所列方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（
）
A．50人，40人
B．30人，60人
C．40人，50人
D．60人，30人
3．（2020·金昌市金川总校第五中学初一期末）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·河南南召·月考）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
每克甲种食物
每克乙种食物
其中所含蛋白质
0.5单位
0.7单位
其中所含铁质
1单位
0.4单位
考点3
二元一次方程组的应用之数学文化问题
1．（2020·绍兴市长城中学七年级期中）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江金华市·七年级期末）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·云南红塔·初一期末）如图，《九章算术》现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(年)，刘徽为《九章》所作的注本《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系《九章算术》不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·江阴市敔山湾实验学校期中）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题，原题如下：“九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个；”其大意为：用999文钱，可以买甜果和苦果共1000个，买9个甜果需要11文钱，买7个苦果需要4文钱，问买甜果和苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数量分别为个、个，则可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
考点4
二元一次方程组的应用之几何问题
1．（2020·江苏丹阳·初一期中）为打赢“脱贫攻坚”战，某地党委、政府联合某企业带领农户脱贫致富，该企业给某低收入户发放如图①所示的长方形和正方形纸板，供其加工做成如图②所示的A,?B两款长方体包装盒(其中A款包装盒无盖，B款包装盒有盖).请你帮这户人家计算他家领取的360张长方形纸板和140张正方形纸板，做成A，B型盒子分别多少个能使纸板刚好全部用完?
2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方两种方式摆放，则图②的大正方形中阴影部分的面积是___________（用a、b的代数式表示）．
3．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )
A．
B．
C．
D．
4．（2020·河北丰南·二模）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是_______：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变．_______（填“变”或“不变”）
考点5
二元一次方程组的应用之和、差、倍、分问题
满分技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。设相互比较的两个量分别为x、y，根据倍数关系列写等量关系式和方程。
1．（2020·全国课时练习）某班学生中，男生人数比女生人数的多1人，女生人数是男生人数的2倍少17人，则女生有______人，男生有________人．
4．（2020·山西初一期末）一副三角板如图摆放，比大若设，则可以列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·吉林铁东·期末）《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上，树下的鸽子数一样多．”你知道树上树下共有______只．
4．（2021·重庆开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样一道题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马二牛价不满一万，如半牛之价．1问牛、马价各几何？”其大意是：今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足1000钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？若设每头牛的价格为x钱，每匹马的价格为y钱，则根据题意列方程组正确的为
（
）
A．
B．
C．
D．
考点6
二元一次方程组的应用之行程问题
满分技巧：行程问题中，最主要的等量关系式为：速度×时间=路程。
相遇问题：甲的路程+乙的路程=总路程；
追击问题：快的路程－慢的路程=路程差
流水问题：顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速－水速
1．（2020·湖北荆州·月考）甲、乙两人练习跑步，如果让甲先跑，那么乙跑就追上了甲；如果让甲先跑，那么乙跑就追上了甲，求甲、乙两人的速度．若设甲、乙两人的速度分别为，则下列方程组中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·临沂高都中学初一月考）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了，下坡用了，根据题意可列方程组（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·湖南鹤城·期末）为了参加2011年国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
4．（2020·绍兴市.七年级期中）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如图是关于我市去年全程马拉松比赛的部分信息．
若每个固定医疗站安排2位医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排1位医疗员，则需要54个医疗员；若每个固定医疗站安排3个医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排2位医疗员，则需要83个医疗员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；（2）固定医疗站点共有多少个？（3）沿途中，补给站和固定医疗站点重合处距离起点多少千米？
考点7
二元一次方程组的应用之工程问题
满分技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率×工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。
1．（2020·上饶市实验中学初一期末）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（ ）
A．甲的工作效率最高
B．丙的工作效率最高
C．c=3a
D．b：c=3：2
2．（2020·浙江衢州市·七年级期中）春天来了，衢江河畔，鸟语花香，柳条摇曳．为给衢州市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对衢江沿河步行道修建改造．据了解我市步行道改造工程路线约12千米，若该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.04千米，乙工程队每天修建0.02千米，则两工程队共需修建500天，求甲、乙两工程队分别修建步行道多少千米．
根据题意，小刚同学列出了一个不完整的方程组．
（1）根据小刚同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义．表示 ；表示 ；
（2）小红同学的做法是：“设甲工程队修建步行道千米，乙工程队修建步行道千米”，请你利用小红同学设的未知数解决问题．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用（1）（2）问的条件及结论)
4．（2020·石家庄市第二十七中学期中）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用（1）（2）问的条件及结论)
考点8
二元一次方程组的应用之销售问题
满分技巧：利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价－进价=进价×利润率。
1．（2020·广东汕尾·初一期末）在某超市，买60件商品和30件商品用了1080元，买50件商品和10件商品用了840元．（1）买1件商品和1件商品共花多少钱？（2）现该超市开展打折促销活动，买500件商品和500件商品用了9600元，比不打折少花多少钱？
2．（2020·珠海市九洲中学期中）某星期天，八（1）班开展社会实践活动，第一小组花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40kg，到蔬菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/kg）
2.4
2
零售价/（元/kg）
3.6
2.8
（1）黄瓜和茄子各批发了多少kg？（2）该小组当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？
3．（2020·广东阳山·期末）欣欣服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．（1）A、B两种运动服各加工多少件？（2）A种运动服的标价为200元，B种运动服的标价为220元，若两种运动服均打八折出售，则该服装厂售完这100件运动服共盈利多少元？
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）某彩电厂为响应国家家电下乡号召，计划生产A、B两种型号的彩电，两种型号的彩电生产成本和售价分别为：A型每台成本800元，售价1000元，B型每台成本1000元，售价1300元，经预算，彩电厂若投入成本64000元，两种彩电全部出售后，可获利18000元．（1）请问彩电厂生产A、B两种型号的彩电各多少台？
（2）彩电厂计划将这两种彩电售出后获得的全部利润购买两种物品：体育器材和实验设备支援某希望小学．若体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，把钱全部用尽且两种物品都购买的情况下，请求出所有的购买方案．
5．（2020·浙江绍兴市·七年级期末）确保室内空气新鲜，一方面是提高生活质量的需要，另一方面也是有效防控新型冠状病毒传播的需要，因而越来越多的居民选购家用空气净化器以净化室内空气．阳光商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号的净化器共160台，A型号净化器进价是1500元/台，B型号净化器进价是3500元/台，购进两种型号净化器共用去360000元．
（1）求商场各进了A、B两种型号的净化器多少台？
（2）为使每台B型号净化器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台净化器的毛利润达到110000元，求每台A型号净化器的售价．（注：毛利润=售价-进价）
考点9
二元一次方程组的应用之方案问题
满分技巧：往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数）
1．（2021·浙江宁波咸祥中学开学考试）为了更好地保护环境，污水处理公司决定购买
10
台甲、乙两种型号的污水处理设备，经调查，购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多
2
万元，购买
2
台甲型设备比购买
3
台乙型设备少
6
万元．
（1）求甲、乙两种型号设备每台各多少万元？
（2）已知甲型设备每月处理污水
240
吨，乙型设备每月处理污水
200
吨，该地每月需要处理的污水不低于
2040
吨．若污水处理公司购买污水处理设备的资金不超过
105
万元，请你为污水处理公司设计一种最省钱的购买方案。
2．（2020·山西平定·期中）《榜样阅读》是中国青年报·中青在线联合酷我音乐共同打造的首档青年阅
读分享类音频节目，青春偶像传颂经典、讲述成长故事，用声音掀起新时代青年阅读热潮．某
中学为了满足学生的阅读需求，购进了一批图书，并前后两次购买两种书架，其中第一次购
买铁质书架个，木质书架个，共花费元；第二次购买铁质书架个，木质书架个，共花费元，且两次购买的两种书架单价不变．
（1）求这两种书架的单价分别为多少元？
（2）若该学校计划再次购买这两种书架共个，且要求铁质书架的数量不多于木质书架数
量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
3．（2020·河南安阳·期末）某市园林局打算购买A、B两种花装点城区道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元．
（1）求A、B两种花的单价各为多少元？（2）市园林局若购买A、B两种花共10000盆，且购买的A种花不少于3000盆，但不多于5000盆．①设购买的A种花m盆，总费用为W元，求W与m的关系式；②请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？
4．（2020·泉州市丰泽刺桐中学期末）某中学为丰富学生的校园生活，准备从商店购实若干个足球和篮球，已知购买2个足球和个篮球共需420元，购买3个足球比1个篮球要多花70元（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）若学校准备用不超过1600元购买足球和篮球两种球30个，则学校有哪几种购买方案？
（3）在“五?一”期间，该商店对足球、篮球这两种商品进行如下优惠促销活动：
一次性购买的总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过500元
售价打九折
超过500元
售价打八折
按上述优惠条件，七年级（1）班第一天只购买足球一次性付款200元，第二天只购买篮球打折后一次性付款360元，求该班购买足球、篮球各多少个？而（2）班一次性购买这两种球，同样也是花560元，求该班购买足球、篮球各多少个？
5．（2020·绍兴市长城中学期中）雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车
辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
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专题03
二元一次方程组应用
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山东定陶·初一期末）如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为x,y,那么下列求出这两个角的度数的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设∠1，∠2的度数分别为x，y，根据题目中的等量关系：①∠1和∠2组成了平角，则和是180；②∠1比∠2的3倍少10度．列出方程组即可.
【解析】设∠1，∠2的度数分别为x，y，根据∠1和∠2组成了平角，得方程x+y=180；根据∠1比∠2的3倍少10°，得方程x=3y-10．可列方程组为．故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，题关键是能够结合图形进一步发现两个角之间的一种等量关系，即两个角组成了一个平角，和是180度．
2．（2020·重庆綦江·初一期末）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，通过题目的等量关系，结合题目所设未知量列式即可得解.
【解析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意，得：，故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确设出未知量根据等量关系列式求解是解决本题的关键.
3．（2020·浙江金华市·七年级期末）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．
【详解】根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为；故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确列出方程组是关键．
4．（2020·重庆梁平·初一期末）嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达亿元．黄垓镇某养牛场原有头大牛和头小牛，天约用饲料；天后又购进头大牛和头小牛，这时天约用饲料．下列说法中，错误的是（
）
A．每头大牛天约用饲料
B．头大牛和头小牛天约用饲料
C．头大牛和头小牛天约用饲料
D．头大牛和头小牛天用饲料
【答案】D
【分析】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可做出判断．
【解析】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，
根据题意得：，解得：，
∴每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg，则
A、每头大牛1天约用饲料20kg，说法正确．
B、1头大牛和1头小牛1天约用饲料20+5=25kg，说法正确．
C、1头大牛和2头小牛1天约用饲料20+10=30kg，说法正确．
D、2头大牛和1头小牛1天约用饲料=2×20+5=45（kg），说法错误；故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
5．（2020·河北永年·期末）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（ ）
A．6
B．24
C．26
D．12
【答案】D
【分析】根据题意和图形，可以先设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图2和图3可以列出相应的方程组，从而可以求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得图1中菱形的面积．
【解析】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则
，得，∴图1中菱形的面积为：，故选：D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
6．（2020·江苏鼓楼·初一期末）一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的，结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得：故答案为：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2020·山东东营·初三一模）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据河道总长为180米和A、B两个工程小组共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
【解析】解：设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组，工程问题的应用题，解题的关键是学会利用未知数，构建方程组解决问题．
8．（2020·浙江拱墅·初一期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（
）
A．87
B．84
C．81
D．78
【答案】A
【分析】根据题意列出三元一次方程组,根据题意一一验证即可．
【解析】设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z
只，由题意得：
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解．
令②×3－①得：7x+4y=100；所以
令=t,
(t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t
易得z=75+3t
所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3t
A.当z=87时,t=4,则x=16,y=﹣3,不符合实际;
B.当z=84时,t=3,则x=12,y=4,符合实际;
C.当z=81时,t=2,则x=8,y=11,符合实际;
D.当z=78时,t=1,则x=4,y=18,符合实际;
故选A．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·湖南衡阳·中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有__名．
【答案】23
【分析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．
【解析】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组．解得，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
10．（2021·全国初二课时练习）8年前父亲的年龄是儿子的年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，则父亲和儿子现在的年龄分别为_____岁、_____岁.
【答案】40；
16.
【分析】设父亲现在年龄为x岁，儿子现在的年龄为y岁，根据8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄成为儿子年龄的2倍，列方程组求解．
【解析】设父亲现在的年龄是x岁，儿子现在的年龄是y岁，由题意得解得
所以父亲现在的年龄是40岁，儿子现在的年龄是16岁.故答案为：40，16.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
11．（2020·云南盘龙·初一期末）用块型钢板可制成件甲种产品和件乙种产品;用块型钢板可制成件甲种产品和件乙种产品;要生产甲种产品件，乙种产品件，则恰好需用两种型号的钢板共________块．
【答案】
【分析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块，然后根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求得x、y的值，最后再求x+y即可．
【解析】解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块
根据题意得：
，解得则x+y=3+11=14．故答案为14．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系并列出二元一次方程组是解答本题的关键．
12．（2020·山东文登·期末）小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分分，小亮得分分，则小颖得分为
。
【答案】分
【分析】设投中外环得分，投中内环得分，根据所给图信息列一个二元一次方程组，解出即可得出答案．
【解析】解：设投中外环得分，投中内环得分，根据题意得
，解得：，分,即小颖得分为19分．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
13．（2020·湖南望城·初一期末）程大位是我国明朝商人、珠算发明家，他岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中某一问题（如图）的意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个正好分完，大和尚共分得多少个馒头？根据所学的数学知识，可以求得大和尚共分得_________个馒头．
【答案】75
【分析】设大和尚共分得x个馒头，小和尚共分得y个馒头，根据“大和尚和小和尚共分得100个馒头，大和尚和小和尚共100人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】设大和尚共分得x个馒头，小和尚共分得y个馒头，
依题意，得：，解得：．故答案为：75．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
14．（2020·四川南江·期末）2020年5月20日，公安部要求各地要稳妥推进“一盔一带”安全守护行动，规定自6月1日起，执法处罚的范围限定为骑乘摩托车不佩戴安全头盔、驾乘汽车不使用安全带的交通违法行为．某摩托车配件店根据市场需求购进一批安全头盔，计划在一定时间内售出．若每天能出售5个，则有4个未售出；若开始每天能出售6个，则最后一天只余4个供售出，且提前两天售完．那么该批头盔有
个．
【答案】94
【分析】设该批头盔有x个，y天售完，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】设该批头盔有x个，y天售完，根据题意，列方程组得：
解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．（2020·浙江台州市·七年级期末）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为____________cm．
【答案】2
【分析】设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，根据长方形ABCD的长和宽列出方程组求解．
【详解】解：设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，
根据图形，大长方形的宽可以表示为，或者，则，
大长方形的长可以表示为，则，，解得．故答案是：2．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解．
16．（2021·重庆南开中学初三开学考试）为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，某区在月份的时候开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比，市场管理处对每个摊位收取元/月的管理费，到了月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了元、元和元，结果市场管理处月份收到的管理费比月份增加了，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______．
【答案】
【分析】由题意设月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为，再假设新增摊位数量为，则餐饮区新增摊位数量为，进而根据条件得出n和m的关系，利用市场管理处月份收到的管理费比月份增加了建立关系式，进行代入分析即可得出答案．
【解析】解：由题意设月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为，
则月份的管理费为：（元），
6月份的管理费为：（元），
再假设新增摊位数量为，则餐饮区新增摊位数量为，
由餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，可得：
，化简后可得：，
即有新增摊位数量为，餐饮区新增摊位数量为，
且6月份下调后的餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别为：40元、30元、20元，
由此可得百货区和杂项区6月份的管理费为：（元），
百货区和杂项区没新增摊位数量时管理费为：（元），
则百货区和杂项区新增的摊位数量管理费为：（元），
当百货区新增，杂项区新增时，满足条件，
所以百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是．故答案为：．
【点睛】本题考查不定方程的应用，注意掌握根据条件得出n和m的关系以及利用市场管理处月份收到的管理费比月份增加了建立关系式，进行代入分析是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·湖南鹤城·期末）为了参加2011年国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
【答案】自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度2千米．
【解析】设自行车路段和长跑路段的长度分别是x米、y米
则
解得：x=3000，
y=2000
答：自行车路段和长跑路段的长度分别是3000米、2000米
18．（2020·吉林延边·初一期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
19．（2020·河南南召·月考）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
每克甲种食物
每克乙种食物
其中所含蛋白质
0.5单位
0.7单位
其中所含铁质
1单位
0.4单位
【答案】每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28，30克
【分析】本题中可将等量关系列为每餐中甲含的蛋白质的量+乙含的蛋白质的量＝35，每餐中甲含的铁质的量+乙含的铁质的量＝40．由此列出方程组求解．
【解析】设甲、乙两种食物各需
x
克、y
克，则，解得.
答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28，30克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
20．（2020·绍兴市.七年级期中）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如图是关于我市去年全程马拉松比赛的部分信息．
若每个固定医疗站安排2位医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排1位医疗员，则需要54个医疗员；若每个固定医疗站安排3个医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排2位医疗员，则需要83个医疗员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；（2）固定医疗站点共有多少个？（3）沿途中，补给站和固定医疗站点重合处距离起点多少千米？
【答案】（1）10；（2）29个；（3）15千米或30千米．
【分析】（1）根据从起点开始前40千米每隔5千米一个补给站及最后两个补给站相隔2千米，即可求出本次马拉松比赛设置的补给站数；（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，根据“若每个固定医疗站安排2位医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排1位医疗员，则需要54个医疗员；若每个固定医疗站安排3个医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排2位医疗员，则需要83个医疗员”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值；（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，根据补给站和医疗站的间隔，即可得出m=n，由m、n均为正整数即可求出结论．
【详解】（1）（42-2）÷5+1+1=10（个）．故答案为：10；
（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，
根据题意得：
，解得：
，答：沿途中固定医疗站点共有29个．
（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，
由（2）得：42÷（29-1）=1.5（千米）．
∴沿途中，每两个固定医疗站之间的距离是1.5千米．∴5m=1.
5n，∴m=n．
∵m、n是正整数，∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米）；
当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米）；
当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去．
综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据补给站的设置间隔，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据补给站和医疗站的间隔，找出m、n之间的关系．
21．（2020·北京通州·初一期中）某道路规划为城市主干路，全长7.6千米．如果该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天修建道路0.02千米，乙工程队每天修建道路0.01千米，两工程队共需修建560天，求甲、乙两工程队分别修建道路多少千米？
根据题意，小刚同学列出了一个尚不完整的方程组
（1）根据小刚同学列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示
，y表示
．
（2）小红同学“设甲工程队的工作时间为x天，乙工程队的工作时间为y天”，请你利用小红同学设的未知数求甲、乙两工程队分别修建道路的长度．
【答案】（1）甲工程队修建道路的长度，乙工程队修建道路的长度；（2）甲工程队修建道路4千米，乙工程队修建道路3.6千米．
【分析】（1）根据方程组中的第二个方程可得x，y表示的意义；（2）根据“两工程队共需修建560天”、“甲工程队的工作时间×0.02+乙工程队的工作时间×0.01=7.6”可得关于x、y的方程组，求出x、y后，再分别乘以0.02和0.01即得答案．
【解析】解：（1）由题意可知：x表示甲工程队修建道路的长度，y表示乙工程队修建道路的长度．
故答案为：甲工程队修建道路的长度，乙工程队修建道路的长度；
（2）根据题意，得，解得．
∴200×0.02＝4（千米），360×0.01＝3.6（千米）．
答：甲工程队修建道路4千米，乙工程队修建道路3.6千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
22．（2020·广东深圳·其他）天虹商场销售，两种文具，部分销售记录如表所示：
商品
商品
销售金额
60件
20件
1800元
30件
40件
1800元
（1）求，两种文具的单价；（2）某学校准备购买，两种文具共300件作为奖品发放给学生，若购买种文具的数量不超过种文具数量的4倍，那么该学校购买300件文具最少花多少钱？
【答案】（1）A、B两种商品的单价分别为20元，30元；（2）6600元
【分析】（1）根据题意设种商品的单价为元，种商品的单价为元，并由题意建立方程组进行求解即可；（2）根据题意设购买种文具数量件，则购买种文具数量件，设购买文具的总费用为元，可得并解出a的取值，进而结合进行分析即可．
【解析】解：（1）设种商品的单价为元，种商品的单价为元，
由题意得：，解得：
即、两种商品的单价分别为20元，30元；
（2）设购买种文具数量件，则购买种文具数量件，设购买文具的总费用为元，
由题意可得，
解得，∴（为正整数）
则，
∵，∴当，总费用最小，（元）
∴该学校购买300件文具最少花6600元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，熟练掌握并明确题意，找出所求问题需要的条件，列二元一次方程组以及利用一次函数的性质解答是解题的关键．
23．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：
第一次
第二次
甲种货车（辆）
2
5
乙种货车（辆）
3
6
累计运货（吨）
13
28
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？
（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元
【分析】（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案；
（3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，根据总费用每辆车所需费用租用该种车的辆数，即可得出关于，的二元二次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲种货车每辆可装吨货物，乙种货车每辆可装吨货物，
依题意，得：，解得：．
答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．
（2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车，依题意，得：，．
，均为非负整数，为偶数，当时，；
当时，；当时，；当时，．
共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．
（3）设甲种货车每辆需运费元，租用甲种货车辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，
依题意，得：，解得：，．
答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．
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精品试卷·第
2
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（共
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专题03
二元一次方程组应用
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山东定陶·初一期末）如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为x,y,那么下列求出这两个角的度数的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·重庆綦江·初一期末）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江金华市·七年级期末）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·重庆梁平·初一期末）嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达亿元．黄垓镇某养牛场原有头大牛和头小牛，天约用饲料；天后又购进头大牛和头小牛，这时天约用饲料．下列说法中，错误的是（
）
A．每头大牛天约用饲料
B．头大牛和头小牛天约用饲料
C．头大牛和头小牛天约用饲料
D．头大牛和头小牛天用饲料
5．（2020·河北永年·期末）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（ ）
A．6
B．24
C．26
D．12
6．（2020·江苏鼓楼·初一期末）一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·山东东营·初三一模）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天整治12米，B工程小组每天整治8米，共用时20天，设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可列方程组（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·浙江拱墅·初一期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（
）
A．87
B．84
C．81
D．78
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·湖南衡阳·中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有__名．
10．（2021·全国初二课时练习）8年前父亲的年龄是儿子的年龄的4倍，从现在起8年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，则父亲和儿子现在的年龄分别为_____岁、_____岁.
11．（2020·云南盘龙·初一期末）用块型钢板可制成件甲种产品和件乙种产品;用块型钢板可制成件甲种产品和件乙种产品;要生产甲种产品件，乙种产品件，则恰好需用两种型号的钢板共________块．
12．（2020·山东文登·期末）小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分分，小亮得分分，则小颖得分为
。
13．（2020·湖南望城·初一期末）程大位是我国明朝商人、珠算发明家，他岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法书中某一问题（如图）的意思是：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个正好分完，大和尚共分得多少个馒头？根据所学的数学知识，可以求得大和尚共分得_________个馒头．
14．（2020·四川南江·期末）2020年5月20日，公安部要求各地要稳妥推进“一盔一带”安全守护行动，规定自6月1日起，执法处罚的范围限定为骑乘摩托车不佩戴安全头盔、驾乘汽车不使用安全带的交通违法行为．某摩托车配件店根据市场需求购进一批安全头盔，计划在一定时间内售出．若每天能出售5个，则有4个未售出；若开始每天能出售6个，则最后一天只余4个供售出，且提前两天售完．那么该批头盔有
个．
15．（2020·浙江台州市·七年级期末）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为____________cm．
16．（2021·重庆南开中学初三开学考试）为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，某区在月份的时候开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比，市场管理处对每个摊位收取元/月的管理费，到了月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了元、元和元，结果市场管理处月份收到的管理费比月份增加了，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是______．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·湖南鹤城·期末）为了参加2011年国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
18．（2020·吉林延边·初一期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
19．（2020·河南南召·月考）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
每克甲种食物
每克乙种食物
其中所含蛋白质
0.5单位
0.7单位
其中所含铁质
1单位
0.4单位
20．（2020·绍兴市.七年级期中）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如图是关于我市去年全程马拉松比赛的部分信息．
若每个固定医疗站安排2位医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排1位医疗员，则需要54个医疗员；若每个固定医疗站安排3个医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排2位医疗员，则需要83个医疗员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；（2）固定医疗站点共有多少个？（3）沿途中，补给站和固定医疗站点重合处距离起点多少千米？
21．（2020·北京通州·初一期中）某道路规划为城市主干路，全长7.6千米．如果该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天修建道路0.02千米，乙工程队每天修建道路0.01千米，两工程队共需修建560天，求甲、乙两工程队分别修建道路多少千米？
根据题意，小刚同学列出了一个尚不完整的方程组
（1）根据小刚同学列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义：x表示
，y表示
．
（2）小红同学“设甲工程队的工作时间为x天，乙工程队的工作时间为y天”，请你利用小红同学设的未知数求甲、乙两工程队分别修建道路的长度．
22．（2020·广东深圳·其他）天虹商场销售，两种文具，部分销售记录如表所示：
商品
商品
销售金额
60件
20件
1800元
30件
40件
1800元
（1）求，两种文具的单价；（2）某学校准备购买，两种文具共300件作为奖品发放给学生，若购买种文具的数量不超过种文具数量的4倍，那么该学校购买300件文具最少花多少钱？
23．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：
第一次
第二次
甲种货车（辆）
2
5
乙种货车（辆）
3
6
累计运货（吨）
13
28
（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？
（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？
（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？
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专题03
二元一次方程组应用
知识点精讲
知识点1
列方程组解应用题步骤
1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
2）解应用题的一般步骤为：
①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；
②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；
③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；
④解答。
1.（2020.杭州七年期中）课间活动，小英和小丽在操场上画出A、B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同。其中，小英3次落在A，1次落在B，得34分；小丽2次落在A，2次落在B，得32分。问A、B区域所得分值各是多少？
【答案】A区域：9分；B区域：7分
【解析】①审题，并根据题意列些等量关系式：
根据题意，等量关系式为：A区域总得分+B区域总得分=总分
②设元，需以等量关系式好表示为原则
要想求出A区域总分，只需知道A区域一次得分是多少即可；要想知道B区域总分，只需要知道B区域一次得分是多少即可。
∴设A区域一次得分为x，B区域一次得分为y
③依据等量关系式和未知数列写方程组
④解答问题
解得：x=9，y=7
答：A区域得分为9分，B区域得分为7分
知识点2
分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
1.
（2020.广东七年期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与十位数字调换位置后，所得的两位数与原来两位数的和是110，求这个两位数。
【答案】37
【解析】设原十位数字为x，个位数字为y
依据题意，等量关系式为：原来两位数+变换后的两位数=110
解得：x=3，y=7
故原数两位数为：37
直译法时最常见的列写等式方程的方法之一
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
1.
（2021.浙江七年期中）超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？
【答案】题干中数量比较多，利用列表法分析数量关系
售价（元）
数量（支）
售出总价（元）
按标价出售
6
x
6x
打折出售
6×90%
y
690%y
设有x支钢笔不打折，y支钢笔打9折
依据题意，等量关系式为：售出的费用－进货费用=利润
解得：y=20，x=80
答：有20支钢笔打折出售。
重难点题型
考点1
二元一次方程组的应用之年龄问题
满分技巧：年龄问题中，列写等量关系式主要还是根据和差倍关系。年龄问题有一个特点需要注意：n年前（后），两个人的年龄是同时减少（增加）n的。
1．（2020·云南昆明·初三其他）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，分别表示出十年前和十年后他们的年龄，根据题意列方程组即可．
【解析】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．由题意得，
，故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
2．（2020·武钢实验学校初一期中）甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（
）
A．甲比乙大5岁
B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁
D．乙比甲大5岁
【答案】A
【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁．乙是甲现在的年龄时，甲25岁，可列方程求解．
【解析】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：
即由此可得，，∴，即甲比乙大5岁．故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，重点考查理解题意的能力，甲、乙年龄无论怎么变，年龄差是不变的．
3．（2020·北大附属嘉兴实验学校初一月考）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是( )．
A．12岁
B．18岁
C．24岁
D．30岁
【答案】C
【解析】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得：
，解得：．故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，重点考查理解题意的能力，年龄无论怎么变，年龄差是不变的．
4．（2020·吉林延边·初一期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
考点2
二元一次方程组的应用之配套问题
满分技巧：若A、B两种物品分别需要a个和b个才能构成一套，则等量关系式为：A产品个数：B产品个数=a：b。往往，此类题型，会告知工人总数，则第二个等量关系式为：A产品工人数+B产品工人数=总工人数。
1．（2020·山东滨州·月考）在抗击“新冠肺炎”的战役中，某品牌消毒液生产厂家计划向部分学校共捐赠13吨消毒液．如果这13吨消毒液的大瓶装（500克）与小瓶装（250克）两种产品分装的数量（按瓶计算）比为．那么这两种产品应该各分装多少瓶？若设生产的消毒液应需分装大瓶、小瓶，则以下所列方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据等量关系“这13吨消毒液的大瓶装（500克）与小瓶装（250克）两种产品分装的数量（按瓶计算）比为”，列出二元一次方程组，即可
【解析】生产的消毒液应需分装大瓶、小瓶，由题意得：，故选A
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
2．（2020·山东期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（
）
A．50人，40人
B．30人，60人
C．40人，50人
D．60人，30人
【答案】C
【分析】等量关系为：生产的螺栓的工人数+生产螺帽的人数等于90；螺栓总数乘以2等于螺帽总数，把相关数值代入求解即可．
【解析】解：设生产螺栓和生产螺帽的人数分别为，人，
根据题意得，解得，生产螺栓和生产螺帽的人数分别为40人，50人．故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键．
3．（2020·金昌市金川总校第五中学初一期末）某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】等量关系为：生产镜片工人数量+生产镜架工人数量=60，镜片数量=2×镜架数量，把相关数值代入即可求解．
【解析】解：设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，由题意，得故选：A．
【点睛】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．
4．（2020·河南南召·月考）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？
每克甲种食物
每克乙种食物
其中所含蛋白质
0.5单位
0.7单位
其中所含铁质
1单位
0.4单位
【答案】每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28，30克
【分析】本题中可将等量关系列为每餐中甲含的蛋白质的量+乙含的蛋白质的量＝35，每餐中甲含的铁质的量+乙含的铁质的量＝40．由此列出方程组求解．
【解析】设甲、乙两种食物各需
x
克、y
克，则，解得.
答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28，30克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
考点3
二元一次方程组的应用之数学文化问题
1．（2020·绍兴市长城中学七年级期中）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设合伙人数为人．羊价为元，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设合伙人数为人．羊价为元，依题意，得：．故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2020·浙江金华市·七年级期末）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．
【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确列出方程组是关键．
3．（2020·云南红塔·初一期末）如图，《九章算术》现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(年)，刘徽为《九章》所作的注本《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系《九章算术》不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又差钱．问人数、物价各多少？”设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据“每人出钱，会多钱；每人出钱，又差钱”得出关系式即可得出答案．
【解析】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意可得故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意找到相应的关系式是解题的关键．
4．（2020·江阴市敔山湾实验学校期中）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题，原题如下：“九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个；”其大意为：用999文钱，可以买甜果和苦果共1000个，买9个甜果需要11文钱，买7个苦果需要4文钱，问买甜果和苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数量分别为个、个，则可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据甜果和苦果的总数量是1000个，总费用是999文钱，找到等量关系列出方程式即可．
【解析】根据题意，设买甜果、苦果的数量分别为个、个，则可得：，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的列式问题，掌握找题目中的等量关系是解题的关键．
考点4
二元一次方程组的应用之几何问题
1．（2020·江苏丹阳·初一期中）为打赢“脱贫攻坚”战，某地党委、政府联合某企业带领农户脱贫致富，该企业给某低收入户发放如图①所示的长方形和正方形纸板，供其加工做成如图②所示的A,?B两款长方体包装盒(其中A款包装盒无盖，B款包装盒有盖).请你帮这户人家计算他家领取的360张长方形纸板和140张正方形纸板，做成A，B型盒子分别多少个能使纸板刚好全部用完?
【答案】40个A型盒子，50个B型盒子
【分析】设做A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，则可得A型盒子x个，B型盒子y个，根据长方形纸板360张，正方形纸板140张，可得出方程组．
【解析】解：设能做成的A型盒有x个，B型盒子有y个，
根据题意得：，解得：.
答：能做成40个A型盒子，50个B型盒子．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
2．（2020·浙江杭州市·七年级期末）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方两种方式摆放，则图②的大正方形中阴影部分的面积是___________（用a、b的代数式表示）．
【答案】ab
【分析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据图示可得等量关系：①大正方形边长+2个小正方形的边长=a，②大正方形边长-2个小正方形的边长=b，解出x、y的值，再利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
【详解】解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，
由图①和②列出方程组得，，解得：，
图②的大正方形中阴影部分的面积=-4×=ab，故答案为：ab．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的关系，表示出大小两个正方形的边长．
3．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值；利用a，b的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比．
【解析】解：根据题意、结合图形可得：，解得：，
∴阴影部分面积，整个图形的面积，
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比，故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键．
4．（2020·河北丰南·二模）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是_______：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变．_______（填“变”或“不变”）
【答案】44cm2
不变
【分析】设长方形的长和宽为x、y，根据图示可得到关于x、y的两个方程，可求解，从而得到大长方形的面积，再根据阴影部分的面积求解即可；
【解析】设长方形的长为x，宽为y，可得到：，解得：，
∴大长方形ABCD的宽，
矩形ABCD的面积（平方厘米），
阴影部分的面积（平方厘米），
∵矩形ABCD的面积不变，6个小长方形的面积不变，
∴平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不变．故答案是：；不变．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
考点5
二元一次方程组的应用之和、差、倍、分问题
满分技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。设相互比较的两个量分别为x、y，根据倍数关系列写等量关系式和方程。
1．（2020·全国课时练习）某班学生中，男生人数比女生人数的多1人，女生人数是男生人数的2倍少17人，则女生有______人，男生有________人．
【答案】25
21
【分析】设男生有人，女生有人，根据“男生人数比女生人数的多1人”以及“女生人数是男生人数的2倍少17人”，列方程组求解．
【解析】设男生有人，女生有人，由题意得，，解得：，故答案为：，．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
4．（2020·山西初一期末）一副三角板如图摆放，比大若设，则可以列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题有两个相等关系：比大，与互余；据此即可列出方程组，进而可得答案．
【解析】解：设，根据题意，得．故选：B．
【点睛】本题考查了余角的定义和二元一次方程组的应用，属于基本题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
3．（2020·吉林铁东·期末）《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上，树下的鸽子数一样多．”你知道树上树下共有______只．
【答案】12
【解析】要求树上、树下各有多少只鸽子吗？就要设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，然后根据若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；列出一个方程y-1=（x+y），再根据若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多，列一个方程x-1=y+1，组成方程组，解方程组可得，求得鸽子的总数为12．故答案为12.
点睛：解应用题的关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．所以做这类题读懂题意是关键，要注意“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多”这个关系．
4．（2021·重庆开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样一道题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马二牛价不满一万，如半牛之价．1问牛、马价各几何？”其大意是：今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足1000钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？若设每头牛的价格为x钱，每匹马的价格为y钱，则根据题意列方程组正确的为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据“2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于头牛的价格”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解析】解：根据题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
考点6
二元一次方程组的应用之行程问题
满分技巧：行程问题中，最主要的等量关系式为：速度×时间=路程。
相遇问题：甲的路程+乙的路程=总路程；
追击问题：快的路程－慢的路程=路程差
流水问题：顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速－水速
1．（2020·湖北荆州·月考）甲、乙两人练习跑步，如果让甲先跑，那么乙跑就追上了甲；如果让甲先跑，那么乙跑就追上了甲，求甲、乙两人的速度．若设甲、乙两人的速度分别为，则下列方程组中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题有两个相等关系：如果让甲先跑，那么乙跑就追上了甲；如果让甲先跑，那么乙跑就追上了甲，然后根据追及问题的特点“两者路程相等”即可列出方程组．
【解析】解：设甲、乙两人的速度分别为，根据题意得：．故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用之行程问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
2．（2020·临沂高都中学初一月考）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了，下坡用了，根据题意可列方程组（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据路程=时间乘以速度得到方程，再根据总时间是16分钟即可列出方程组.
【解析】∵她去学校共用了16分钟，∴x+y=16，
∵小颖家离学校1200米，∴，∴，故选：B.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组，注意时间单位，这是解题中容易出现错误的地方.
3．（2020·湖南鹤城·期末）为了参加2011年国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
【答案】自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度2千米．
【解析】设自行车路段和长跑路段的长度分别是x米、y米
则
解得：x=3000，
y=2000
答：自行车路段和长跑路段的长度分别是3000米、2000米
4．（2020·绍兴市.七年级期中）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如图是关于我市去年全程马拉松比赛的部分信息．
若每个固定医疗站安排2位医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排1位医疗员，则需要54个医疗员；若每个固定医疗站安排3个医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排2位医疗员，则需要83个医疗员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；（2）固定医疗站点共有多少个？（3）沿途中，补给站和固定医疗站点重合处距离起点多少千米？
【答案】（1）10；（2）29个；（3）15千米或30千米．
【分析】（1）根据从起点开始前40千米每隔5千米一个补给站及最后两个补给站相隔2千米，即可求出本次马拉松比赛设置的补给站数；（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，根据“若每个固定医疗站安排2位医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排1位医疗员，则需要54个医疗员；若每个固定医疗站安排3个医疗员，其中与补给站重合的医疗站安排2位医疗员，则需要83个医疗员”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值；（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，根据补给站和医疗站的间隔，即可得出m=n，由m、n均为正整数即可求出结论．
【详解】（1）（42-2）÷5+1+1=10（个）．故答案为：10；
（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，
根据题意得：
，解得：
，答：沿途中固定医疗站点共有29个．
（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，
由（2）得：42÷（29-1）=1.5（千米）．
∴沿途中，每两个固定医疗站之间的距离是1.5千米．∴5m=1.
5n，∴m=n．
∵m、n是正整数，∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米）；
当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米）；
当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去．
综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据补给站的设置间隔，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据补给站和医疗站的间隔，找出m、n之间的关系．
考点7
二元一次方程组的应用之工程问题
满分技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率×工作时间。工程问题，常是几个工程队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。
1．（2020·上饶市实验中学初一期末）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为a、b、c，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是（ ）
A．甲的工作效率最高
B．丙的工作效率最高
C．c=3a
D．b：c=3：2
【答案】D
【分析】将两式相减可得，从而判断C；然后求出，从而判断A、B和D．
【解析】解：由题意可得：
①－②，得
解得：，故C错误；
将代入①，得解得：
∴b＞c＞a∴乙的工作效率最高，故A、B错误；b：c=3a：2a=3：2，故D正确．故选D．
【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中的各个量之间的关系和消元法是解决此题的关键．
2．（2020·浙江衢州市·七年级期中）春天来了，衢江河畔，鸟语花香，柳条摇曳．为给衢州市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对衢江沿河步行道修建改造．据了解我市步行道改造工程路线约12千米，若该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.04千米，乙工程队每天修建0.02千米，则两工程队共需修建500天，求甲、乙两工程队分别修建步行道多少千米．
根据题意，小刚同学列出了一个不完整的方程组．
（1）根据小刚同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义．表示 ；表示 ；
（2）小红同学的做法是：“设甲工程队修建步行道千米，乙工程队修建步行道千米”，请你利用小红同学设的未知数解决问题．
【答案】（1）甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间；（2）甲工程队修建步行道4千米，乙工程队修建步行道8千米．
【分析】（1）根据题意和小刚所列方程可以得出未知数，表示分班为甲乙两个工程队工作的时间；
（2）利用“甲修路长度+乙修路长度=12千米”“甲修路时间+乙修路时间=500天”两个等量关系可以列出方程组，解方程组即可.
【详解】（1）甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间
（2）依题意，得：，解得：．
答：甲工程队修建步行道4千米，乙工程队修建步行道8千米．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题关键是理解题意，确定等量关系.
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用（1）（2）问的条件及结论)
【答案】（1）甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元；（2）单独请乙组所需费用最少；（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由见解析．
【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用，比较后即可得出结论；（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
根据题意得：，解得：．
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．
（2）单独请甲组所需费用为：300×12=3600(元)，
单独请乙组所需费用为：140×24=3360(元)．
∵3600＞3360，∴单独请乙组所需费用最少．
（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利．理由如下：
单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600=6000(元)，
单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360=8160(元)，
请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520=5120(元)．
∵8160＞6000＞5120，∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用；（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数．
4．（2020·石家庄市第二十七中学期中）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用（1）（2）问的条件及结论)
【答案】（1）甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元；（2）单独请乙组所需费用最少；（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由见解析．
【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用，比较后即可得出结论；
（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
根据题意得：，解得：．
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．
（2）单独请甲组所需费用为：300×12=3600(元)，
单独请乙组所需费用为：140×24=3360(元)．
∵3600＞3360，∴单独请乙组所需费用最少．
（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利．理由如下：
单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600=6000(元)，
单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360=8160(元)，
请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200×8+3520=5120(元)．
∵8160＞6000＞5120，∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据所需总费用=每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用；（3）根据损失总钱数=每天盈利×装修时间+装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数．
考点8
二元一次方程组的应用之销售问题
满分技巧：利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价－进价=进价×利润率。
1．（2020·广东汕尾·初一期末）在某超市，买60件商品和30件商品用了1080元，买50件商品和10件商品用了840元．（1）买1件商品和1件商品共花多少钱？（2）现该超市开展打折促销活动，买500件商品和500件商品用了9600元，比不打折少花多少钱？
【答案】（1）买1件商品和1件商品共花20元；（2）比不打折少花400元．
【分析】（1）设买1件商品需要x元，1件商品需要y元，根据买60件商品和30件商品用了1080元，买50件商品和10件商品用了840元，可得关于x、y的方程组，求得x、y的值即可求得答案；
（2）根据（1）的结果求出不打折时的费用，然后与9600进行比较即可得答案．
【解析】（1）设买1件商品需要x元，1件商品需要y元，则题意得
，解得，16+4=20，答：买1件商品和1件商品共花20元；
（2）16×500+4×500=10000（元），10000-9600=400（元），答：比不打折少花400元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系以及各量间的关系是解题的关键．
2．（2020·珠海市九洲中学期中）某星期天，八（1）班开展社会实践活动，第一小组花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40kg，到蔬菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/kg）
2.4
2
零售价/（元/kg）
3.6
2.8
（1）黄瓜和茄子各批发了多少kg？（2）该小组当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？
【答案】（1）黄瓜批发了25kg，茄子批发了15kg；（2）可赚42元．
【分析】（1）设他当天购进黄瓜x千克，茄子y千克，根据黄瓜的批发价是2.4元，茄子批发价是2元，共花了90元，列出方程，求出x的值，即可求出答案；
（2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数．
【解析】（1）设黄瓜批发了xkg，茄子批发了ykg，
根据题意，得，解得，答：黄瓜批发了25kg，茄子批发了15kg．
（2）（3.6﹣2.4）×25+（2.8﹣2）×15=42（元）．答：该小组当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
3．（2020·广东阳山·期末）欣欣服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．（1）A、B两种运动服各加工多少件？（2）A种运动服的标价为200元，B种运动服的标价为220元，若两种运动服均打八折出售，则该服装厂售完这100件运动服共盈利多少元？
【答案】（1）A种运动服加工40件，B种运动服加工60件；（2）该服装厂售完这100件运动服共盈利7760元．
【分析】（1）设A种运动服加工了x件，B种运动服加工了y件，根据该服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件且共用去9200元的成本，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润与标价、折扣、售价、进价之间的关系，计算解答
【解析】解：（1）设A种运动服加工x件，B种运动服加工y件，根据题意可得：
，解得：，
答：A种运动服加工40件，B种运动服加工60件；
（2）依题意得：40×（200×0.8﹣80）＋60×（220×0.8﹣100）＝7760（元）
，
答：共盈利7760元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）牢记利润公式，利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）某彩电厂为响应国家家电下乡号召，计划生产A、B两种型号的彩电，两种型号的彩电生产成本和售价分别为：A型每台成本800元，售价1000元，B型每台成本1000元，售价1300元，经预算，彩电厂若投入成本64000元，两种彩电全部出售后，可获利18000元．
（1）请问彩电厂生产A、B两种型号的彩电各多少台？
（2）彩电厂计划将这两种彩电售出后获得的全部利润购买两种物品：体育器材和实验设备支援某希望小学．若体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，把钱全部用尽且两种物品都购买的情况下，请求出所有的购买方案．
【答案】（1）A型号彩电30台，B型号彩电40台；（2）方案1：体育器材1套，实验设备4套；方案2：体育器材2套，实验设备2套
【分析】（1）设彩电厂生产A、B两种型号的彩电各x台，y台，根据题意可得等量关系：①A型彩电的成本+B型彩电的成本=64000元；②A型彩电的利润+B型彩电的利润=18000元，根据等量关系列出方程组即可；（2）设购买体育器材a套，实验器材b套，由题意可得二元一次方程6000a+3000b=18000，再讨论出整数解即可．
【详解】解：（1）设彩电厂生产A、B两种型号的彩电各x台，y台，由题意得：
，解得：，
答：A型号彩电30台，B型号彩电40台．
（2）设购买体育器材a套，实验器材b套，由题意得：6000a+3000b=18000，
∵a、b为整数，∴①a=1，b=4；②a=2，b=2．
答：购买方案为：方案1：体育器材1套，实验设备4套；
方案2：体育器材2套，实验设备2套．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程和方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
5．（2020·浙江绍兴市·七年级期末）确保室内空气新鲜，一方面是提高生活质量的需要，另一方面也是有效防控新型冠状病毒传播的需要，因而越来越多的居民选购家用空气净化器以净化室内空气．阳光商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号的净化器共160台，A型号净化器进价是1500元/台，B型号净化器进价是3500元/台，购进两种型号净化器共用去360000元．
（1）求商场各进了A、B两种型号的净化器多少台？
（2）为使每台B型号净化器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台净化器的毛利润达到110000元，求每台A型号净化器的售价．（注：毛利润=售价-进价）
【答案】（1）商场购进A型号净化器100台，B型号净水器60台；（2）每台A型号净化器的售价为2000元．
【分析】（1）设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台，根据“购进了A、B两种型号的净化器共160台，且购进两种型号净化器共用去360000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为2m元，根据总利润=每台的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入（1500+m）中即可得出结论．
【详解】解：（1）设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台，
依题意，得：，解得：．
答：商场购进A型号净化器100台，B型号净水器60台．
（2）设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为2m元，
依题意，得：100m+60×2m=110000，解得：m=500，∴1500+m=2000．
答：每台A型号净化器的售价为2000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
考点9
二元一次方程组的应用之方案问题
满分技巧：往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数）
1．（2021·浙江宁波咸祥中学开学考试）为了更好地保护环境，污水处理公司决定购买
10
台甲、乙两种型号的污水处理设备，经调查，购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多
2
万元，购买
2
台甲型设备比购买
3
台乙型设备少
6
万元．
（1）求甲、乙两种型号设备每台各多少万元？
（2）已知甲型设备每月处理污水
240
吨，乙型设备每月处理污水
200
吨，该地每月需要处理的污水不低于
2040
吨．若污水处理公司购买污水处理设备的资金不超过
105
万元，请你为污水处理公司设计一种最省钱的购买方案。
【答案】（1）每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为10万元．；（2）购买1台甲型设备、9台乙型设备最省钱．
【分析】（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为（x-2）万元，根据购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设购买m台甲型设备，则购买（10-m）台乙型设备，根据该地每月需要处理的污水不低于2040吨且购买污水处理设备的资金不超过105万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为非负整数即可得出m的值，再利用总价=单价×数量可求出m为各值时所需费用，比较后即可得出结论．
【解析】解：（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为（x-2）万元，
依题意，得：3（x-2）-2x=6，解得：x=12，∴x-2=10．
答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为10万元．
（2）设购买m台甲型设备，则购买（10-m）台乙型设备，
依题意，得，解得：1≤m≤，
∵m为非负整数，∴m=1或2．
当m=1时，10-m=9，此时购买金额为12+10×9=102（万元）；
当m=2时，10-m=8，此时购买金额为12×2+10×8=104（万元）．
∵102＜104，∴购买1台甲型设备、9台乙型设备最省钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
2．（2020·山西平定·期中）《榜样阅读》是中国青年报·中青在线联合酷我音乐共同打造的首档青年阅
读分享类音频节目，青春偶像传颂经典、讲述成长故事，用声音掀起新时代青年阅读热潮．某
中学为了满足学生的阅读需求，购进了一批图书，并前后两次购买两种书架，其中第一次购
买铁质书架个，木质书架个，共花费元；第二次购买铁质书架个，木质书架个，共花费元，且两次购买的两种书架单价不变．
（1）求这两种书架的单价分别为多少元？
（2）若该学校计划再次购买这两种书架共个，且要求铁质书架的数量不多于木质书架数
量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】（1）铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元；（2）最省钱的购买方案是购进铁质书架
个，木质书架
个，最少费用为元．
【分析】（1）设铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元，根据两次购买的个数及花费可列二元一次方程组进行求解；（2）设购买木质书架个，购买两种书架的总费用为元，则购买铁质书架个，根据题意得到关于的一次函数，根据一次函数的性质可以求出当最小时，有最小值，从而可以设计出最省钱的购买方案.
【解析】解：设铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元，
由题意得解得
答：铁质书架的单价是元，木质书架的单价是元；
设购买木质书架个，购买两种书架的总费用为元，则购买铁质书架个．
由题意得
随的增大而增大当最小时，有最小值
解得，且为正整数，
当时，（元）此时
答：最省钱的购买方案是购进铁质书架个，木质书架个，最少费用为元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及一次函数的应用.
解决第（2）问的关键是能根据函数的增减性，求出w的最小值.
3．（2020·河南安阳·期末）某市园林局打算购买A、B两种花装点城区道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元．
（1）求A、B两种花的单价各为多少元？（2）市园林局若购买A、B两种花共10000盆，且购买的A种花不少于3000盆，但不多于5000盆．①设购买的A种花m盆，总费用为W元，求W与m的关系式；
②请你帮小李设计一种购花方案使总花费最少？并求出最少费用为多少元？
【答案】（1）
A、B两种花的单价分别为4元、5元；（2）①W＝﹣m+50000（3000≤m≤5000）；②购买A种花5000盆、B种花5000盆时，总花费最少，最少费用为45000元
【分析】（1）根据购买1盆A种花和2盆B种花需要14元，购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到A、B两种花的单价各为多少元；（2）①根据题意，可以写出W与m的关系式；②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的够花方案，并求出最少费用．
【解析】解：（1）设A、B两种花的单价分别为a元、b元，则由题意得：，解得，
即A、B两种花的单价分别为4元、5元；
（2）①由题意可得，W＝4m+5（10000﹣m）＝﹣m+50000，
即W与m的关系式是W＝﹣m+50000（3000≤m≤5000）；
②∵W＝﹣m+50000，∴W随m的增大而减小，
∵3000≤m≤5000，∴当m＝5000时，W取得最小值，此时W＝45000，10000﹣m＝5000，
即当购买A种花5000盆、B种花5000盆时，总花费最少，最少费用为45000元．
【点睛】本题考查二元一次方程组与一次函数的综合应用，在正确求解二元一次方程组的基础上建立一次函数求解是解题关键．
4．（2020·泉州市丰泽刺桐中学期末）某中学为丰富学生的校园生活，准备从商店购实若干个足球和篮球，已知购买2个足球和个篮球共需420元，购买3个足球比1个篮球要多花70元（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）若学校准备用不超过1600元购买足球和篮球两种球30个，则学校有哪几种购买方案？
（3）在“五?一”期间，该商店对足球、篮球这两种商品进行如下优惠促销活动：
一次性购买的总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过500元
售价打九折
超过500元
售价打八折
按上述优惠条件，七年级（1）班第一天只购买足球一次性付款200元，第二天只购买篮球打折后一次性付款360元，求该班购买足球、篮球各多少个？而（2）班一次性购买这两种球，同样也是花560元，求该班购买足球、篮球各多少个？
【答案】（1）足球50元，篮球80元；（2）3种，具体方案见解析；（3）购买足球4个，购买篮球3个；足球6个，篮球5个
【分析】（1）设一个足球x元，一个篮球y元，根据题意求解即可；（2）设购买足球m个，则购买篮球个，列不等式即可；（3）根据促销政策分别求出两个班购买的数量即可；
【解析】（1）设一个足球x元，一个篮球y元，由题意可得：，解得：，
答：一个足球50元，一个篮球80元；
（2）设购买足球m个，则购买篮球个，
由题意可得：，解得：，
∵，∴，则m的取值为：27，28，29，30；
故有四种方案：①购买足球27个，购买篮球3个；②购买足球28个，购买篮球2个；
③购买足球29个，购买篮球1个；
（3）第一次购买足球：（个），第一次购买篮球：，
设第二次购买足球a个，购买篮球b个，则，，
∵a、b均为整数，∴当时，a为整数6，
故第一次购买足球4个，购买篮球3个；第二次购买足球6个，购买篮球5个；
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键．
5．（2020·绍兴市长城中学期中）雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车
辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
【答案】（1）4；（2）8，10；（3）共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车．选择方案1所需10辆乙型车，4辆丙型车运费最省
【分析】（1）根据需要丙型车的辆数=（需要运送物质的总重量-甲型汽车运送货物的总重量-丙型汽车运送货物的总重量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，根据“用甲、乙两种车型运送120吨物质，共需运费8200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14-m-n）辆，根据一次正好运送货物120吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（14-m-n）均为非负整数，即可得出各运送方案，再分别求出各运送方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解析】（1）（120﹣5×8﹣8×4）÷10=4（辆）．故答案为：4．
（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，依题意，得：，解得：，
答：需要甲型车8辆、乙型车10辆；
（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，
依题意，得：5m+8n+10(14﹣m﹣n)=120，∴n=10﹣m．
又∵m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，∴或或，
∴共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车．
方案1所需运费为500×10+600×4=7400（元）；
方案2所需运费为400×2+500×5+600×7=7500（元）；
方案3所需运费为400×4+600×10=7600（元）．
∵7400＜7500＜7600，∴选择方案1所需运费最省，即安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
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精品试卷·第
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