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专题04
幂的相关运算
知识点精讲
知识点1
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n
，（m，n为正整数）
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算；
②是乘法运算，切不可与加法运算混淆
拓展：①
am·an·ap
=am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m
=
a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
②逆用法则：
am+n
=am×an
1．（2020·广西平桂·期中）下列计算正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
2．（2021·上海宝山区·七年级期末）计算：的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，，则等于（
）
A．8
B．2
C．15
D．10
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算机存储设备中常用等作为储存容量的单位，例如，老师常用的U盘的容量是，一张比较清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到，那么它的容量是（
）个B．
A．
B．
C．
D．
5．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级期末）把（x－y）看作一个整体，下面计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么＝_______，＝_______．
知识点2
幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数;
(am)n=amn=(an)
m，其中m，n为正整数.
((a+b)
m)
n=(a+b)
mn，其中m，n为正整数.
1．（2020·江苏常州·期中）计算的结果为________．
2．（2020·泰兴市马甸初级中学初一期中）已知，求__________．
3．（2020·广东荔湾·初二期末）已知m+2n﹣2＝0，则2m?4n的值为_____．
4．（2020·河南渑池·初二期末）如果那么_______．(用含的式子表示)
5．（2020·浙江上虞·初一期末）若，则__________．
6．（2021·河北衡水市·八年级期末）已知，，，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
知识点
3积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm
，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）
1．（2020·浙江杭州市·七年级模拟）计算：＝______；若，则的值为______．
2．（2020·全国初一课时练习）若x3
=8a3b6，求x的值
3．（2020·河北路北·初三三模）下图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题：
（1）计算：①；②．（2）若，直接写出的值．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）阅读下列各式：回答下列三个问题：
①验证：_________，___________；
②通过上述验证，归纳得出：_________；________；
③请应用上述性质计算：
5．（2021·奈曼旗第二中学期中）如果，求m和n的值．
6．（2020·汉中市杨河学校初一月考）按题目要求计算：
（1）已知，求的值；（2）已知、，用含有、的式子表示．
知识点1-4
同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
注：a0=1（a≠0）
1．（2020·浙江温州市·九年级二模）计算，正确的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·江苏镇江市·七年级期末）若，则=_____．
3．（2020·上海市静安区实验中学初一）
4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）若，，则的值为___________．
5．（2020·余姚市兰江中学七年级期中）若，则________．
6．（2021·浙江瑞安·开学考试）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，若三个实数，，满足，，利用等式求得的值为（
）
A．
B．
C．
D．
知识点
5
与的应用
1）零指数幂：=1()；
2）负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意：；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
1．（2020·和平县和丰中学）无意义，则x的取值为
________．
2．（2020·江苏南通市·八年级月考）当a______时，(a-2)0=1．
3.（2021?海陵区月考）（﹣1）2021+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
4．（2020·江西省宜春实验中学八年级月考）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012用科学记数法表示应该是______．
5．（2020·贵州省施秉县第二中学八年级期末）某种原子直径为1.3×10－4，把这个数化为小数是________．
6．（2020·甘肃白银市·平川区四中七年级期末）计算
知识点1-6
()的应用
注：，可能有三种情况：=1()；
=1；
=1（n为偶数）
1.（2020.成都市锦江区初一期中）已知,则x=______．
2.（2020.成外初一月考）若，则x的值为______．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
4．（2020·江苏苏州市·）当x=____________时，代数式的值为1.
重难点题型
考点1
同底数幂的乘法及其逆用
1．（2020·广东揭阳·期中）下列各式中计算结果为的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·四川成都·初一期末）下列计算正确的是（
）
A．a3?a2=a6
B．b4?b4=2b4
C．x5+x5=x10
D．y7?y=y8
3．（2020·重庆南岸·初一期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山东槐荫·期中）若3m＝2，3n＝4，则3m＋n＝__________；
5．（2020·江苏江阴·初一期末）若am＝2，an＝3，则am+n的值是_____．
6．（2020·四川凉山·初一期末）已知，则=__________.
考点2
幂的乘法与积的乘方及其逆用
1．（2020·绍兴市长城中学期中）下列等式，其中正确的个数是(
)①(﹣2x2y3)3=﹣6x6y9；
②(﹣a2n)3=a6n；
③(3a6)3=9a18；
④(﹣a)5+(﹣a2)3+(﹣a4)=a7；⑤(﹣0.5)100×2101=(﹣0.5×2)100×2
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2020·全国初二课时练习）下列计算中，不正确的有（ ）
①（ab2）3=ab6；②（3xy2）3=9x3y6；③（﹣2x3）2=﹣4x6；④（﹣a2m）3=a6m．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．（2020·衡阳市逸夫中学月考）计算：
________________．
4．（2020·上海市初一期中）（_
）2；（__
）2；（__
）2；
5．（2019·北京市顺义区第三中学初一期中）若，则=__________．
6．（2020·德惠市第三中学月考）用简便方法计算：．
考点3
同底数幂的除法及其逆用
1．（2020·重庆八中初一期中）已知，则的值是______．
2．（2020·上海浦东新·初一期末）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·河北开平·初三一模）计算3n·
(
)=—9n+1,则括号内应填入的式子为(
)
A．3n+1
B．3n+2
C．—3n+2
D．—3n+1
4．（2020·沈阳市第一二七中学期中）若a≠0，化简下列各式，正确的个数有（ ）
（1）a0?a?a5＝a5；（2）（a2）3＝a6；（3）（﹣2a4）3＝﹣6a12；（4）a÷a﹣2＝a3；（5）a6＋a6＝2a12；（6）2﹣2÷25×28＝32；（7）a2?（﹣a）7?a11＝﹣a20
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．（2020·黑龙江松北·初三月考）下列运算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·江苏常州·期中）下列计算正确的是（ ）
A．a5?a2＝a10
B．a6÷a2＝a3
C．a3+a5＝a8
D．（a2）4＝a8
考点4幂的混合运算
解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
1．（2020·湖北黄石·初二期末）以下运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·浙江瑞安·初一期末）下列选项中，运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·广西平桂·期中）计算：
4．（2020·德惠市第三中学月考）计算：（1）；（2）．
5．（2020·贵州铜仁伟才学校初一期中）计算:
（1）
（2）
6.（2020·吉林长春外国语学校月考）计算：（1）；（2）．
考点5
幂的运算法则与方程思想
1.（2020?淮阴区期中）已知3×9m×27m＝321，求m的值．
2.（2021?滨海期中）（1）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y的值；（2）x﹣2y+1＝0，求：2x÷4y×8的值．
3.（2020?东台市月考）若22?16n＝（22）9，解关于x的方程nx+4＝2．
4.（2020?无锡期中）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
5.（2021?西湖区月考）（1）已知2×8x×16x＝222，求x的值；
（2）已知2m＝3，2n＝4，求22m+n的值．
6.（2020?江阴市校级月考）求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x?32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
考点6
利用幂运算比较大小.
1．（2021·全国课时练习）比较和的大小．
2．（2020·贵州白云·初三二模）（1）填空：
2=64；（2）比较与的大小．
3．（2021·全国初二课时练习）设a＝255，b＝333，c＝422，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a
4．（2020·四川射洪中学月考）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）_____．
5．（2020·江苏省邗江实验学校期中）若m=，n=，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m=n
D．大小关系无法确定
6．（2020·广西江州·初一期中）如果，，，那么（
）
A．
B．
C．
D．
考点7
利用幂运算进行代数式表示
1．（2020·江苏南通田家炳中学初二月考）已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．
2．（2020·江苏苏州·初三其他）若，则用的代数式表示是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·四川青白江·初一期末）若，用含x
的代数式表示y，则y＝__________．
4．（2020·江苏兴化·初一期中）若，，则用含的代数式表示为______．
5．（2020·首都师范大学附属育新学校八年级月考）若，其中为整数，则与的数量关系为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·河南郑州市·八年级月考）如果，那么用含m的代数式表示n为（
）
A．
B．
C．
D．
考点8
与幂运算有关的新定义
1．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0
，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0
），那么h（2n）·h（2020）的结果是（
）
A．2k+2020
B．2k+1010
C．kn+1010
D．1022k
2．（2019·河南太康·期中）规定两正数a，b之同的一种运算，记作：E(a，b)，如果ac＝b，那么E(a，b)＝c．例如23＝8，所以E(2，8)＝3。（1）填空：E(3，27)＝
，E＝
；（2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n，4n)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3n，4n)＝x，即(3n)x＝4n，即(3n，4n)＝4n，所以3x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3n，4n)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20)
3．（2020·德惠市第三中学月考）如果，则，例如：，则，．（1）根据上述规定，若=
x，则x=_______；（2）记，求之间的数量关系．
4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论： 且，，．
5．（2020·湖南茶陵·初二期末）一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为（即＝4）．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．
（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出、、满足的等量关系式；（3）由（2）猜想一般性的结论： ．（且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．
6．（2020·吉林长春外国语学校月考）小明是一位勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，
这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i使得，那么方程可以变成，则，从而是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
，，，，……．
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：
（1）
______，______，______，_______．（n为自然数）
（2）计算：．
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专题04
幂的相关运算
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·绍兴市文澜中学期中）设am=8，an=16，则am+n=(
)
A．24
B．32
C．64
D．128
2．（2020·浙江东阳·初一期末）计算(－2x2)3的结果是( )
A．－2x5
B．－8x6
C．－2x6
D．－8x5
3．（2021·重庆北碚区·八年级期末）已知，，则的值为
A．
B．50
C．500
D．
4．（2020·浙江金华市·七年级期中）若，，则等于（
）
A．9
B．18
C．11
D．14
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算机存储设备中常用等作为储存容量的单位，例如，老师常用的U盘的容量是，一张比较清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到，那么它的容量是（
）个B．
A．
B．
C．
D．
6．（2021·浙江瑞安·开学考试）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，若三个实数，，满足，，利用等式求得的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·江苏苏州·初三其他）若，则用的代数式表示是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·江苏江都·初一月考）已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，则这四个数从大到小排列顺序8是（ ）
A．a＜b＜c＜d
B．d＜a＜c＜b
C．a＜d＜c＜b
D．b＜c＜a＜d
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则，_______，_______
10．（2020·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学八年级期末）计算：___________．
11．（2020·四川射洪中学月考）若9×32m×33m＝322，则m的值为_____．
12．（2020·江西省宜春实验中学八年级月考）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012用科学记数法表示应该是______．
13．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么＝_______，＝_______．
14．（2020·枣庄市市中区实验中学初一月考）已知，，，则、、的大小关系是
.
15．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
16．（2020·江苏东海·期末）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020
?海陵区月考）计算
（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2
18．（2020·吉林长春市·八年级期末）已知：，，．
（1）求的值．（2）求的值．（3）直接写出字母、、之间的数量关系．
19．（2020·汉中市杨河学校初一月考）按题目要求计算：
（1）已知，求的值；（2）已知、，用含有、的式子表示．
20．（2020·河北路北·初三三模）下图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题：
（1）计算：①；②．（2）若，直接写出的值．
21.（2020?江阴市校级月考）求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x?32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
22．（2021·河南太康·期中）规定两正数a，b之同的一种运算，记作：E(a，b)，如果ac＝b，那么E(a，b)＝c．例如23＝8，所以E(2，8)＝3。（1）填空：E(3，27)＝
，E＝
；（2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n，4n)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3n，4n)＝x，即(3n)x＝4n，即(3n，4n)＝4n，所以3x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3n，4n)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20)
23．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论： 且，，．
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幂的相关运算
知识点精讲
知识点1
同底数幂的乘法
同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n
，（m，n为正整数）
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算；
②是乘法运算，切不可与加法运算混淆
拓展：①
am·an·ap
=am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m
=
a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
②逆用法则：
am+n
=am×an
1．（2020·广西平桂·期中）下列计算正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则计算即可判．
【解析】A、
，故此选项错误；B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；D、，故此选项正确，故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答的关键．
2．（2021·上海宝山区·七年级期末）计算：的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．
【详解】解：原式．故选B．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，，则等于（
）
A．8
B．2
C．15
D．10
【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘法的逆用计算即可．
【详解】解：∵xa=3，xb=5，∴===15，故选C．
【点睛】本题考查同底数的幂的乘法，逆用性质，把原式转化为是解决本题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算机存储设备中常用等作为储存容量的单位，例如，老师常用的U盘的容量是，一张比较清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到，那么它的容量是（
）个B．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由单位互化可得：大化小，用乘法，从而可得：，再利用同底数幂的乘法可得答案．
【详解】解：故选：
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
5．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级期末）把（x－y）看作一个整体，下面计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据互为相反数的偶数次幂相等，互为相反数的奇数次幂互为相反数，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和乘方的符号规律，利用互为相反数的偶数次幂相等，互为相反数的奇数次幂互为相反数得出同底数幂的乘法是解题关键．
6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么＝_______，＝_______．
【答案】
kn+1010
【分析】根据h（m+n）=h（m）?h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴===，
∵，==
=kn?k1010=kn+1010，故答案为：，kn+1010．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
知识点2
幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数;
(am)n=amn=(an)
m，其中m，n为正整数.
((a+b)
m)
n=(a+b)
mn，其中m，n为正整数.
1．（2020·江苏常州·期中）计算的结果为________．
【答案】
【分析】根据幂的乘方法则计算即可.
【解析】.故答案为.
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键.幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n为正整数）.
2．（2020·泰兴市马甸初级中学初一期中）已知，求__________．
【答案】8
【分析】根据幂的乘方可得，，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【解析】∵，即，∴，
解得，故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2020·广东荔湾·初二期末）已知m+2n﹣2＝0，则2m?4n的值为_____．
【答案】4
【分析】把2m?4n转化成2m?22n的形式，根据同底数幂乘法法则可得2m?22n=2m+2n，把m+2n=2代入求值即可.
【解析】由m+2n﹣2＝0得m+2n＝2，∴2m?4n＝2m?22n＝2m+2n＝22＝4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂乘法，掌握幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则是解题关键．
4．（2020·河南渑池·初二期末）如果那么___________．(用含的式子表示)
【答案】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而得出答案．
【解析】解：（1）∵∴，∴；故答案为ab.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算，正确掌握运算法则是解题的关键．
5．（2020·浙江上虞·初一期末）若，则__________．
【答案】3．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方将条件等式进行变形，得到方程求解即可．
【解析】解：∵，∴∴
∴．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键．
6．（2021·河北衡水市·八年级期末）已知，，，则的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【详解】解：
，
，
，
∵a、b、c的底数相同，∴a＞b＞c．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．
知识点
3积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm
，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）
1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算：＝______；若，则的值为______．
【答案】
5
【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则计算；再根据同底数幂的乘法法则得到m+2=7，从而可得m值．
【详解】解：=，，
∴m+2=7，∴m=5，故答案为：，5．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，解决本题的关键是相应的运算法则．
2．（2020·全国初一课时练习）若x3
=8a3b6，求x的值
【答案】2ab2
分析：根据积的乘方法则可完成此题.
【解析】8a3b6=(2ab2)3
，∵x3
=8a3b6，∴x的值为2ab2
3．（2020·河北路北·初三三模）下图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题：
（1）计算：①；②．（2）若，直接写出的值．
【答案】（1）①1；②；（2）3
【分析】（1）①直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；②直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；（2）利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘除运算法则化简得出答案．
【解析】解：（1）①；
②原式；
（2）由已知得，，则，故，解得：．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）阅读下列各式：回答下列三个问题：
①验证：_________，___________；
②通过上述验证，归纳得出：_________；________；
③请应用上述性质计算：
【答案】①1,1；②，；③-.
【分析】①把问题分别转化为和处理即可；②将猜到规律推广到n次方和三个因数情形即可；
③把和分别变形为和就可逆用上述规律计算即可.
【详解】①∵=1，∴1；
∵，∴1，
故依次填1,1；
②∵1，1，∴，
由此可得：；；故依次填，；
③
∵=，，
∴=×
==.
【点睛】本题考查了规律的验证，猜想和应用，熟练逆用同底数幂的乘法公式和发现的规律是解题的关键.
5．（2021·奈曼旗第二中学期中）如果，求m和n的值．
【答案】m=3，n=2
【分析】根据积的乘方和幂的乘方即可求出结论．
【解析】解：∵∴
∴解得：即：m=3，n=2．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握积的乘方和幂的乘方是解题关键．
6．（2020·汉中市杨河学校初一月考）按题目要求计算：
（1）已知，求的值；（2）已知、，用含有、的式子表示．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将已知变形为，再将化为底数为2的形式，然后将代入求值即可；
（2）将化为，然后代入求解即可．
【解析】（1）∵，∴，∴；
（2）．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则并灵活运用幂的乘方和积的乘方的逆运算是解答本题的关键．
知识点1-4
同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
注：a0=1（a≠0）
1．（2020·浙江温州市·九年级二模）计算，正确的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接利用同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减即可．
【详解】解：故选：B．
【点睛】此题主要考查同底数幂的除法，正确掌握同底数幂的除法法则是解题关键．
2．（2020·江苏镇江市·七年级期末）若，则=_____．
【答案】2
【分析】直接利用同底数除法的逆用、幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
【详解】∵，，∴，
∴．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同底数除法的逆用、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2020·上海市静安区实验中学初一）
【答案】
【分析】把看整体，利用同底数幂的除法进行运算可得答案．
【解析】解：原式．
【点睛】本题考查的是同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法运算的解题的关键．
4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）若，，则的值为___________．
【答案】0.5
【分析】先把8n化成23n，再利用同底数幂的乘法公式进行化简，得出m、n的关系；再把4n化成22n，利用同底数幂的除法进行化简，得出m、n的关系，解关于m、n的二元一次方程组，得出m、n的值，即可求出答案．
【详解】解：∵，∴，∴m+3n=5①，
又，∴，∴m－2n=﹣4②，
联立①②得：
，用①－②得：5n=9，∴n=，
把n=代入①可解得m=，∴
，
把m、n的值代入得：+×=0.5．故答案为：0.5．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与同底数幂的除法综合运算，最后通过代数式求值求出答案，解题关键在于熟练掌握运用同底数幂的乘法与同底数幂的除法公式．
5．（2020·余姚市兰江中学七年级期中）若，则________．
【答案】3
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可即可求解．
【详解】∵，∴，∴，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法的性质，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法的运算性质．
6．（2021·浙江瑞安·开学考试）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，若三个实数，，满足，，利用等式求得的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用幂的运算法则将给的式子进行变形得到，，再由题目中给出的公式求出．
【解析】解：;;，
;;，
根据题目中给出的公式：，
有
,．故选：A．
【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练运用幂的运算公式将题目中的式子进行变形，从而得到要求的结果．
知识点
5
与的应用
1）零指数幂：=1()；
2）负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意：；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
1．（2020·和平县和丰中学）无意义，则x的取值为
________．
【答案】
【分析】根据底数不为0的数的0次幂是1，可得底数不为0，可得答案．
【详解】解：由题意得，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂，掌握零指数幂的底数不能为0是解决此题的关键．
2．（2020·江苏南通市·八年级月考）当a______时，(a-2)0=1．
【答案】a≠2
【分析】根据零指数幂的定义进行求解即可．
【详解】根据零指数幂的定义：任何非零数的零指数幂为1，得到，解得故答案为．
【点睛】本题考查了零指数幂的性质，重点是熟记零指数幂的定义，即任何非零数的零指数幂为1．
3.（2021?海陵区月考）（﹣1）2021+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
【分析】（1）直接利用负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
【答案】解：（1）原式＝﹣1+1﹣3＝﹣3；
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2020·江西省宜春实验中学八年级月考）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012用科学记数法表示应该是______．
【答案】1.2×10﹣6
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：将0.0000012用科学记数法表示应该是1.2×10﹣6．故答案为：1.2×10﹣6．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2020·贵州省施秉县第二中学八年级期末）某种原子直径为1.3×10－4，把这个数化为小数是________．
【答案】0.00013
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据“1.3×10－4中1.3的小数点向左移动4位就可以得到．
【详解】把数据“1.3×10－4中1.3的小数点向左移动4位就可以得到为：0.00013，故答案为：0.00013．
【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10-n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
6．（2020·甘肃白银市·平川区四中七年级期末）计算
【答案】1
【分析】先算幂运算，化简后在算加减运算．
【详解】原式．
【点睛】本题考查0指数幂、负指数幂和幂运算，把握运算规则是解题关键．
知识点1-6
()的应用
注：，可能有三种情况：=1()；
=1；
=1（n为偶数）
1.（2020.成都市锦江区初一期中）已知,则x=
【答案】-2；0；1
【详解】情况1:
解得：x=-2；
情况2：解得：x=1；
情况3：解得：x=0；x
+2=2（偶数），故符合条件
故答案为：-2；1；0
2.（2020.成外初一月考）若，则x的值为
【答案】-2；
1
【详解】情况1:
解得：x=-2；
情况2：解得：x=1；
情况3：解得：x=0；x
+3=3（奇数），故不符合条件
故答案为：-2；
1
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
【答案】或
【分析】分三种情况讨论，当或当或，分别解方程，再检验可得答案．
【详解】解：
，当时，
当时，，
经检验：
不合题意舍去，
当时，时，
综上：或
【点睛】本题考查的是乘方的意义，乘方符号的确定，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2020·江苏苏州市·）当x=____________时，代数式的值为1.
【答案】1或2或-2020
【解析】试题解析：分3种情况：当x+2020=0，即x=-2020时,
代数式（2x-3）x+2020的值为1;
当2x-3=1，即x=2时，代数式（2x-3）x+2020的值为1；
当2x-3=-1，即x=1时，代数式（2x-3）x+2020的值为1.
重难点题型
考点1
同底数幂的乘法及其逆用
1．（2020·广东揭阳·期中）下列各式中计算结果为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用同底数幂的乘法运算公式即可得出答案．
【解析】A、x3和x2不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、x3·x2=x3+2=x5，故此选项正确；
C、x·x3=x1+3=x4，故此选项错误；D、x7和-x2不是同类项，不能合并，故此选项错误．故选B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解决此题的关键．
2．（2020·四川成都·初一期末）下列计算正确的是（
）
A．a3?a2=a6
B．b4?b4=2b4
C．x5+x5=x10
D．y7?y=y8
【答案】D
【分析】根据合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加解答．
【解析】A、a3?a2=a5，故本选项错误；B、b4?b4=b8，故本选项错误；
C、x5+x5=2x5，故本选项错误；D、y7?y=y8，正确．故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘法，同底数幂的乘法：底数不变指数相加．
3．（2020·重庆南岸·初一期末）下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法、整式的加法：合并同类项即可得．
【解析】，则选项A正确，选项B、C错误，，则选项D错误，故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、整式的加法：合并同类项，熟记整式的运算法则是解题关键．
4．（2020·山东槐荫·期中）若3m＝2，3n＝4，则3m＋n＝__________；
【答案】8
【分析】利用同底数幂的乘法法则运算即可.
【解析】解：∵3m＝2，3n＝4，∴3m＋n＝3m×3n＝2×4=8，故答案为：8.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则.
5．（2020·江苏江阴·初一期末）若am＝2，an＝3，则am+n的值是_____．
【答案】6
【分析】逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
【解析】解：am+n＝am?an＝2×3＝6．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加，掌握am+n＝am?an是解题的关键；
6．（2020·四川凉山·初一期末）已知，则=__________.
【答案】5
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则和等量代换即可解答.
【解析】解：∵，∴∴.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握是解题的关键.
考点2
幂的乘法与积的乘方及其逆用
1．（2020·绍兴市长城中学期中）下列等式，其中正确的个数是(
)①(﹣2x2y3)3=﹣6x6y9；
②(﹣a2n)3=a6n；
③(3a6)3=9a18；
④(﹣a)5+(﹣a2)3+(﹣a4)=a7；⑤(﹣0.5)100×2101=(﹣0.5×2)100×2
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】求出每个式子的值，再根据结果判断即可．
【解析】∵(﹣2x2y3)3=﹣8x6y9，∴①错误；∵(﹣a2n)3=﹣a6n，∴②错误；
∵(3a6)3=27a18，∴③错误；∵(﹣a)5+(﹣a2)3+(﹣a4)=﹣a5﹣a6﹣a4，∴④错误；
∵(﹣0.5)100×2101=(﹣0.5×2)100×2，∴⑤正确；故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法的应用，主要考查学生的计算能力．
2．（2020·全国初二课时练习）下列计算中，不正确的有（ ）
①（ab2）3=ab6；②（3xy2）3=9x3y6；③（﹣2x3）2=﹣4x6；④（﹣a2m）3=a6m．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】根据整数指数幂的运算法则进行计算并做出判断即可.
【解析】解：①(ab2)3=a2b6，故①错误；②(3xy2)3=27x3y6，故②错误；
③(-2x3)2=4x6，故③错误；④(-a2m)3=-a6m，故④错误.所以不正确的有4个.故选D.
【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键.
3．（2020·衡阳市逸夫中学月考）计算：
________________．
【答案】；
【分析】按“积的乘方和幂的乘方的运算法则”计算即可.
【解析】.故答案为.
【点睛】熟记“积的乘方的运算法则：；幂的乘方的运算法则：”是解答本题的关键.
4．（2020·上海市初一期中）（_
）2；（__
）2；（__
）2；
【答案】
【分析】根据整式的积的乘方的逆用即可得．
【解析】，，，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了整式的积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．（2019·北京市顺义区第三中学初一期中）若，则=__________．
【答案】4
【分析】先将写成含有和的代数式表示，然后再代入求值即可．
【解析】解：．故答案为4．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方的逆用，将写成含有和的代数式表示是解答本题的关键．
6．（2020·德惠市第三中学月考）用简便方法计算：．
【答案】
【分析】先确定符号，再利用幂的乘方的逆运算将转化成去和相乘得到1．
【解析】解：原式．
【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算公式并能够进行简便计算．
考点3
同底数幂的除法及其逆用
1．（2020·重庆八中初一期中）已知，则的值是______．
【答案】16
【分析】根据题意利用同底数幂的除法以及幂的乘方的运算法则进行变形与代入运算即可.
【解析】解：∵，，
∴，∴.故答案为：16.
【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的除法以及幂的乘方的运算法则是解题的关键.
2．（2020·上海浦东新·初一期末）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法的性质求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解析】解：A．（a2）3=a6，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．a6÷a3=a3，故本选项错误；D．a2?a3=a5，故本选项正确．故选D．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解答此题的关键．
3．（2020·河北开平·初三一模）计算3n·
(
)=—9n+1,则括号内应填入的式子为(
)
A．3n+1
B．3n+2
C．—3n+2
D．—3n+1
【答案】C
【解析】解：∵-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n（-3n+2），∴括号内应填入的式子为-3n+2.故选C.
4．（2020·沈阳市第一二七中学期中）若a≠0，化简下列各式，正确的个数有（ ）
（1）a0?a?a5＝a5；（2）（a2）3＝a6；（3）（﹣2a4）3＝﹣6a12；（4）a÷a﹣2＝a3；（5）a6＋a6＝2a12；（6）2﹣2÷25×28＝32；（7）a2?（﹣a）7?a11＝﹣a20
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】分别根据零整数指数幂的定义，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及负整数指数幂的定义逐一判断即可．
【解析】解：a0?a?a5＝a6，故（1）错误；（a2）3＝a6，故（2）正确；（﹣2a4）3＝﹣8a12，故（3）错误；
a÷a﹣2＝a3，故（4）正确；a6＋a6＝2a6，故（5）错误；2﹣2÷25×28＝2，故（6）错误；
a2?（﹣a）7?a11＝﹣a20，故（7）正确，所以正确的个数为3个．故选：C．
【点睛】本题考查零整数指数幂的定义，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及负整数指数幂等知识，熟练掌握法则是关键．
5．（2020·黑龙江松北·初三月考）下列运算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据幂的混合运算法则与合并同类项法则进行判断即可.
【解析】A.
，故本选项错误；B.
不是同类项，无法合并，故本选项错误；
C.
，故本选项正确；D.
，故本选项错误.故选C.
【点睛】本题主要考查幂的混合运算，合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
6．（2020·江苏常州·期中）下列计算正确的是（ ）
A．a5?a2＝a10
B．a6÷a2＝a3
C．a3+a5＝a8
D．（a2）4＝a8
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A、C，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的乘方，可判断D．
【解析】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故C错误；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D正确；故选：D．
【点睛】本题主要考查了幂的运算性质，准确计算是解题的关键．
考点4幂的混合运算
解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
1．（2020·湖北黄石·初二期末）以下运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由积的乘方判断A，由积的乘方运算判断B，由同底数幂的运算判断C，由积的乘方运算判断D．
【解析】解：故A错误；故B错误；
，故C错误；，故
D正确；故选D．
【点睛】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
2．（2019·浙江瑞安·初一期末）下列选项中，运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂的运算法则依次判断即可.
【解析】A.
，故错误；
B.
，故错误；
C.
，故错误；
D.
，正确；故选D.
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式.
3．（2020·广西平桂·期中）计算：
【答案】
【分析】先根据幂的乘方与积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则进行计算，再合并同类项即可解答．
【解析】解：＝＝＝．
【点睛】本:题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解答的关键．
4．（2020·德惠市第三中学月考）计算：（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先进行幂的运算再合并同类项；（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算．
【解析】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题考查整式的运算和幂的运算，解题的关键是掌握这两个运算方法．
5．（2020·贵州铜仁伟才学校初一期中）计算:
（1）
（2）
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）先算幂的乘方、同底数幂相乘、再算加减；（2）先算积的乘方再算同底数幂乘法；
【解析】解：（1）
===4
（2）==
【点睛】考核知识点：同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方．掌握相关运算法则是关键．
6.（2020·吉林长春外国语学校月考）计算：（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）8．
【分析】（1）先计算积的乘方和同底数幂相乘，再合并同类项即可；（2）由积的乘方逆运算，同底数幂相乘，以及同底数幂相乘的逆运算进行计算，即可得到答案．
【解析】解：（1）==；
（2）=====8．
【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，以及他们的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
考点5
幂的运算法则与方程思想
1.（2020?淮阴区期中）已知3×9m×27m＝321，求m的值．
【分析】先把9m×27m分解成32m×33m，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可求出m的值．
【详解】解：∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，∴1+2m+3m＝21，∴m＝4．
2.（2021?滨海期中）（1）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y的值；（2）x﹣2y+1＝0，求：2x÷4y×8的值．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【详解】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y＝2x×2y＝3×5＝15；
（2）∵x﹣2y+1＝0，∴x﹣2y＝﹣1，∴2x÷4y×8＝2x﹣2y+3＝22＝4．
3.（2020?东台市月考）若22?16n＝（22）9，解关于x的方程nx+4＝2．
【分析】首先将16n改写为底数是2的幂的形式，然后求出n的值，代入方程，从而求出方程的解．
【详解】解：22?16n＝（22）9变形为22?24n＝218，所以2+4n＝18，解得n＝4．
此时方程为4x+4＝2，解得．
4.（2020?无锡期中）已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．
【分析】由于72＝9×8，而9n+1﹣32n＝9n×8，所以9n＝9，从而得出n的值．
【详解】解：∵9n+1﹣32n＝9n+1﹣9n＝9n（9﹣1）＝9n×8，而72＝9×8，
∴当9n+1﹣32n＝72时，9n×8＝9×8，∴9n＝9，∴n＝1．
5.（2021?西湖区月考）（1）已知2×8x×16x＝222，求x的值；
（2）已知2m＝3，2n＝4，求22m+n的值．
【分析】（1）把各个数字化为以2为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方求解即可．
【详解】解：（1）∵2×8x×16＝222∴2×（23）x×（24）x＝222，∴2×23x×24x＝222，
∴1+3x+4x＝22，解得：x＝3
（2）∵2m＝3，2n＝4，∴22m+n＝（2m）2?2n＝9×4＝36．
6.（2020?江阴市校级月考）求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x?32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂乘、除法的运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法的运算法则进行计算即可；
（3）根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）∵3×9m÷27m＝316，∴31+2m﹣3m＝316，∴1﹣m＝16，∴m＝﹣15；
（2）∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴4x?32y＝22x+5y＝23＝8；
（3）∵x2n＝4，∴xn＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9×26﹣4×24＝24×25＝29．
考点6
利用幂运算比较大小.
1．（2021·全国课时练习）比较和的大小．
【答案】
【分析】先将和化成同底数幂，再进行大小比较．
【解析】解：
故．
【点睛】此题考查了幂的乘方，化成同底数是解题的关键．
2．（2020·贵州白云·初三二模）（1）填空：
2=64；（2）比较与的大小．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）直接根据幂的乘方的逆运算进行求解；（2）将与化为指数相同的数，进而得出结论．
【解析】解（1）填空：，故答案为：8；
（2）解：∵，，∵，∴．
【点睛】本题考查幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，熟练运用该法则的逆运算将与化为指数相同的数是解题的关键．
3．（2021·全国初二课时练习）设a＝255，b＝333，c＝422，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a
【答案】D
【分析】直接利用指数幂的性质结合幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
【解析】∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝333＝（33）11＝2711,c＝422＝（42）11＝1611，
∴c＜b＜a．故选：D．
【点睛】此题主要考查了指数幂的性质以及有理数的大小比较，正确将原式变形是解题关键.
4．（2020·四川射洪中学月考）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）_____．
【答案】418＞233＞810
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．
【解析】∵，，∴236＞233＞230，∴418＞233＞810．故答案为：418＞233＞810
【点睛】比较不同底数的幂的大小，当无法直接计算或计算过程比较麻烦时，可以转化为同底数幂，比较指数大小或同指数幂，比较底数大小进行．能熟练运用幂的乘方进行变形是解题关键．
5．（2020·江苏省邗江实验学校期中）若m=，n=，则m、n的大小关系正确的是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m=n
D．大小关系无法确定
【答案】B
【分析】把m=272化成=824，n=348化成924，根据8<9即可得出答案．
【解析】解：∵m=，n=，∵8<9∴∴m【点睛】本题考查了幂的乘方逆运用，关键是能把m，
n的值变形得出m=，n=．
6．（2020·广西江州·初一期中）如果，，，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方法则把各个幂化为同指数的幂比较即可.
【解析】∵
，=，=，
∴.故选B.
【点睛】本题考查了幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键，即（m，n为正整数），特别注意运算过程中指数的变化规律,灵活运用法则的逆运算进行计算,培养学生的逆向思维意识.
考点7
利用幂运算进行代数式表示
1．（2020·江苏南通田家炳中学初二月考）已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．
【答案】a+b=c
【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关系；
【解析】解：∵2a=5，2b=10，∴，
又∵=50=，∴a+b=c．故答案为：a+b=c．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），掌握各知识的运算法则是解题的关键．
2．（2020·江苏苏州·初三其他）若，则用的代数式表示是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由可得，代入即可．
【解析】∵，∴，∴=．故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键，即（m，n为正整数），特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
3．（2020·四川青白江·初一期末）若，用含x
的代数式表示y，则y＝__________．
【答案】；
【分析】根据题意，得到，然后代入，即可得到与的关系式．
【解析】∵，∴，∴，故填：．
【点睛】本题考查了幂的乘方，以及代数式的表示，灵活利用整体代入法是解题的关键．
4．（2020·江苏兴化·初一期中）若，，则用含的代数式表示为______．
【答案】y=(x-1)2+3
【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可．
【解析】解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m＋1，∴2m＝x?1，
∵y＝3＋4m，∴y＝（x?1）2＋3，故答案为：y＝（x?1）2＋3．
【点睛】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m的项代换掉．
5．（2020·首都师范大学附属育新学校八年级月考）若，其中为整数，则与的数量关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将y变形为，进而可得答案．
【详解】解：因为，
所以．故选：B．
【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确变形、熟练掌握同底数幂的逆运算法则是解题的关键．
6．（2020·河南郑州市·八年级月考）如果，那么用含m的代数式表示n为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可知，，再将代入中，即可得出答案．
【详解】∵，∴．∵，∴．
将代入中，得：．故选：C．
【点睛】本题考查幂的乘方的逆用，将改写为是解答本题的关键．
考点8
与幂运算有关的新定义
1．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0
，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0
），那么h（2n）·h（2020）的结果是（
）
A．2k+2020
B．2k+1010
C．kn+1010
D．1022k
【答案】C
【分析】根据h（2）=k（k≠0），以及定义新运算：h（m+n）=h（m）?h（n）将原式变形为kn?k1010，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【解析】解：∵h（2）=k（k≠0），h（m+n）=h（m）?h（n），∴h（2）=
h（1+1）=h(1)
?h(1)=k（k≠0）
∴h（2n）=
kn；
∴h（2n）?h（2020）=kn?k1010=kn+1010．故选：C．
【点睛】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2．（2019·河南太康·期中）规定两正数a，b之同的一种运算，记作：E(a，b)，如果ac＝b，那么E(a，b)＝c．例如23＝8，所以E(2，8)＝3。（1）填空：E(3，27)＝
，E＝
；（2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n，4n)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3n，4n)＝x，即(3n)x＝4n，即(3n，4n)＝4n，所以3x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3n，4n)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20)
【答案】（1）3；4；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则：知
从而可得答案；
（2）设E（3，4）=x，E（3，5）=y，根据定义得：利用同底数幂的乘法可得答案．
【解析】解：（1）∵
∴E（3，27）=3；
∵
∴
故答案为：3；4；
（2）设E（3，4）=x，E（3，5）=y，
则
∴
∴E（3，20）=x+y，
∴E（3，4）+E（3，5）=E（3，20）．
【点睛】本题是利用新定义考查幂的运算的逆运算，掌握幂的运算，同底数幂的乘法运算是解题的关键．
3．（2020·德惠市第三中学月考）如果，则，例如：，则，．（1）根据上述规定，若=
x，则x=_______；（2）记，求之间的数量关系．
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）根据题意得到，求出x的值；（2）根据题意得到，，，再用同底数幂的乘法运算法则进行列式，找到a、b、c的数量关系．
【解析】解：（1）根据定义的公式，由得，
∵，∴，解得，故答案是：3；
（2）∵，∴，∵，∴，
∵，∴，由，得，即，∴．
【点睛】本题考查新定义的运算，涉及幂的运算，解题的关键是根据题目中定义的运算结合学过的幂的运算法则进行计算．
4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论： 且，，．
【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）．
【分析】（1）根据材料叙述，结合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案；（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；（3）设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1＝M，ab2＝N，分别表示出MN及b1＋b2的值，即可得出猜想．
【解析】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）log24＋log216＝log264；
（3）猜想logaM＋logaN＝loga（MN）．证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1＝M，ab2＝N，
故可得MN＝ab1?ab2＝ab1＋b2，b1＋b2＝loga（MN），即logaM＋logaN＝loga（MN）．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．
5．（2020·湖南茶陵·初二期末）一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为（即＝4）．
（1）计算以下各对数的值： ， ， ．
（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出、、满足的等量关系式；（3）由（2）猜想一般性的结论： ．（且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．
【答案】（1）2，4，6；（2）＋＝；（3）猜想：，证明见解析．
【分析】（1）根据材料中给出的运算，数值就是乘方运算的指数；（2）由（1）可以得出；（3）根据（2）可以写出，根据材料中的定义证明即可．
【解析】（1），（2）
（3）猜想：
证明：设，，则，，
故可得，，即．
【点睛】本题考查对阅读材料的理解，类似于定义新运算，需要根据已知的材料寻找规律．
6．（2020·吉林长春外国语学校月考）小明是一位勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法，
这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i使得，那么方程可以变成，则，从而是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
，，，，……．
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：
（1）
______，______，______，_______．（n为自然数）
（2）计算：．
【答案】（1）1、i、-1、-i；（2）．
【分析】（1）根据已知的等式即可计算得到答案；（2）先同时计算开平方，立方运算，开立方及化简绝对值，再计算乘法同时将代入计算，最后合并同类项即可.
【解析】（1）∵，，，∴，
∴，
，，
故答案为：1、i、-1、-i；
（2）==.
【点睛】此题考查幂的乘方的逆运算的计算方法，实数的混合运算，正确理解已知的等式的计算法则，将所求代数式按照幂的乘方逆运算进行计算是解题的关键.
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精品试卷·第
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专题04
幂的相关运算
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·绍兴市文澜中学期中）设am=8，an=16，则am+n=(
)
A．24
B．32
C．64
D．128
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法公式的逆运算=·，代入即可算出.
【解析】=·=816=128，选D.
【点睛】此题主要考查同底数幂的乘法公式的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
2．（2020·浙江东阳·初一期末）计算(－2x2)3的结果是( )
A．－2x5
B．－8x6
C．－2x6
D．－8x5
【答案】B
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．
【解析】原式=（-2）3（x2）3=-8x6，故选B．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方，积的乘方，关键是熟练掌握计算法则，注意结果符号的判断．
3．（2021·重庆北碚区·八年级期末）已知，，则的值为
A．
B．50
C．500
D．
【答案】C
【分析】解答此题，根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可．
【详解】解：，．故选C．
【点睛】此题主要考查同底数幂的乘法的逆运用和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
4．（2020·浙江金华市·七年级期中）若，，则等于（
）
A．9
B．18
C．11
D．14
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法法则将转化为，即可求解．
【详解】解：∵，，∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法与幂的乘方法则．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）计算机存储设备中常用等作为储存容量的单位，例如，老师常用的U盘的容量是，一张比较清晰的照片的大小是等．已知，，，．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到，那么它的容量是（
）个B．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由单位互化可得：大化小，用乘法，从而可得：，再利用同底数幂的乘法可得答案．
【详解】解：故选：
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
6．（2021·浙江瑞安·开学考试）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，若三个实数，，满足，，利用等式求得的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用幂的运算法则将给的式子进行变形得到，，再由题目中给出的公式求出．
【解析】解：;;，
;;，
根据题目中给出的公式：，
有
,．故选：A．
【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练运用幂的运算公式将题目中的式子进行变形，从而得到要求的结果．
7．（2020·江苏苏州·初三其他）若，则用的代数式表示是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由可得，代入即可．
【解析】∵，∴，∴=．故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算的的逆运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键，即（m，n为正整数），特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
8．（2020·江苏江都·初一月考）已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，则这四个数从大到小排列顺序8是（ ）
A．a＜b＜c＜d
B．d＜a＜c＜b
C．a＜d＜c＜b
D．b＜c＜a＜d
【答案】B
【分析】将a、b、c、d全部转化成指数为11的形式，比较底数即可．
【解析】a＝；同理，b＝，c＝，d＝
∵25＜32＜64＜81∴d＜a＜c＜b故选：B
【点睛】本题考查指数大小的比较，常见思路有2种：一种是转化为底数相同的形式，比较指数大小；另一种是转化为指数相同的形式，比较底数的大小．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则，_______，_______
【答案】6
【分析】据同底数的幂乘法和除法及幂的乘方的运算法则将进行变形，根据已知条件即可解答.
【详解】解：解：根据同底数的幂乘法和除法及幂的乘方的运算法则可得：
故答案为：6、
【点睛】本题考查了同底数的幂乘除和幂的乘方，准确计算是解题的关键.
10．（2020·甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学八年级期末）计算：___________________．
【答案】
【分析】由零指数幂公式，可知，由负整数指数幂的公式，可知，代入即可求解．
【详解】解：原式．故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，熟记公式并正确运用是解题的关键．
11．（2020·四川射洪中学月考）若9×32m×33m＝322，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】先变形9=32，再利用同底数幂的乘法运算法则运算，然后指数相等列等式求解即可．
【解析】∵9×32m×33m=32×32m×33m＝32+2m+3m=322∴2+2m+3m=22，即5m=20，
解得：m=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、等式的性质，灵活运用同底数幂的乘法运算法则是解答的关键．
12．（2020·江西省宜春实验中学八年级月考）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012用科学记数法表示应该是______．
【答案】1.2×10﹣6
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：将0.0000012用科学记数法表示应该是1.2×10﹣6．故答案为：1.2×10﹣6．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么＝_______，＝_______．
【答案】
kn+1010
【分析】根据h（m+n）=h（m）?h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴===，
∵，==
=kn?k1010=kn+1010，故答案为：，kn+1010．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
14．（2020·枣庄市市中区实验中学初一月考）已知，，，则、、的大小关系是
.
【答案】
【分析】根据幂的运算法则,把各数化为同底数幂进行比较.
【解析】因为,,所以
【点睛】考核知识点:幂的乘方.逆用幂的乘方公式是关键.
15．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则______．
【答案】或
【分析】分三种情况讨论，当或当或，分别解方程，再检验可得答案．
【详解】解：
，当时，
当时，，
经检验：
不合题意舍去，
当时，时，
综上：或
【点睛】本题考查的是乘方的意义，乘方符号的确定，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．
16．（2020·江苏东海·期末）观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．
【答案】
【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．
【解析】解：；；；
，
，
，，原式，故答案是：．
【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020
?海陵区月考）计算（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．
【答案】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8
（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．
18．（2020·吉林长春市·八年级期末）已知：，，．
（1）求的值．（2）求的值．（3）直接写出字母、、之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）直接将代入计算即可；（2）逆运用同底数幂乘法和除法公式变形后代入计算即可；
（3）结合（1）中，再观察，，易得9×8=72，利用幂的乘方和同底数幂乘法变形即可得出．
【详解】解（1）∵，∴；
（2）∵，，，∴；
（3）∵，∴，即．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法和除法，幂的乘方．熟练掌握相关公式，并能逆运用公式是解题关键．
19．（2020·汉中市杨河学校初一月考）按题目要求计算：
（1）已知，求的值；（2）已知、，用含有、的式子表示．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将已知变形为，再将化为底数为2的形式，然后将代入求值即可；
（2）将化为，然后代入求解即可．
【解析】（1）∵，∴，∴；
（2）．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则并灵活运用幂的乘方和积的乘方的逆运算是解答本题的关键．
20．（2020·河北路北·初三三模）下图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题：
（1）计算：①；②．（2）若，直接写出的值．
【答案】（1）①1；②；（2）3
【分析】（1）①直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；②直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；（2）利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘除运算法则化简得出答案．
【解析】解：（1）①；
②原式；
（2）由已知得，，则，故，解得：．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
21.（2020?江阴市校级月考）求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x?32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂乘、除法的运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法的运算法则进行计算即可；
（3）根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）∵3×9m÷27m＝316，∴31+2m﹣3m＝316，∴1﹣m＝16，∴m＝﹣15；
（2）∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴4x?32y＝22x+5y＝23＝8；
（3）∵x2n＝4，∴xn＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9×26﹣4×24＝24×25＝29．
22．（2021·河南太康·期中）规定两正数a，b之同的一种运算，记作：E(a，b)，如果ac＝b，那么E(a，b)＝c．例如23＝8，所以E(2，8)＝3。（1）填空：E(3，27)＝
，E＝
；（2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n，4n)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3n，4n)＝x，即(3n)x＝4n，即(3n，4n)＝4n，所以3x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3n，4n)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20)
【答案】（1）3；4；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则：知
从而可得答案；
（2）设E（3，4）=x，E（3，5）=y，根据定义得：利用同底数幂的乘法可得答案．
【解析】解：（1）∵
∴E（3，27）=3；
∵
∴
故答案为：3；4；
（2）设E（3，4）=x，E（3，5）=y，
则
∴
∴E（3，20）=x+y，
∴E（3，4）+E（3，5）=E（3，20）．
【点睛】本题是利用新定义考查幂的运算的逆运算，掌握幂的运算，同底数幂的乘法运算是解题的关键．
23．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．，则4叫做以3为底81的对数，记为（即．（1）计算以下各对数的值： ， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论： 且，，．
【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）．
【分析】（1）根据材料叙述，结合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案；（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；（3）设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1＝M，ab2＝N，分别表示出MN及b1＋b2的值，即可得出猜想．
【解析】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）log24＋log216＝log264；
（3）猜想logaM＋logaN＝loga（MN）．证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，则ab1＝M，ab2＝N，
故可得MN＝ab1?ab2＝ab1＋b2，b1＋b2＝loga（MN），即logaM＋logaN＝loga（MN）．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．
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精品试卷·第
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