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专题05
乘法公式与整式乘除
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·全国初二课时练习）如果，那么a、b的值分别为（
）
A．2；4
B．5；-25
C．-2；25
D．-5；25
【答案】D
【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故选D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．（2020·长春市第四十七中学月考）（
）=
4a4-9b4，括号内应填（
）
A．2a2+3b2
B．2a2-3b2
C．-2a2-3b2
D．-2a2+3b2
【答案】C
【分析】根据平方差公式求解即可．
【解析】∵=
4a4-9b4，故选C．
【点睛】本题主要考查平方差公式，平方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
3．（2020·浙江初一月考）三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是(
)
A．m+n
B．2m+2n
C．2m+n
D．m+2n
【答案】D
【解析】解：1块A的面积为m2；4块B的面积为4mn；5块C的面积为5n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是m2+4mn+5n2=m2+4mn+4n2+n2=(m+2n)2+n2，
因此，多出了一块C型地砖，拼成的正方形的面积为(m+2n)2=m2+4mn+4n2，正方形的边长为m+2n．故选D．
4．（2020·浙江桐乡初二月考）若代数式x2＋ax＋64是一个完全平方式，则a的值是（
）
A．－16
B．16
C．8
D．±16
【答案】D
【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.
故选：D
点睛：此题主要考查了完全平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。
5．（2020·广东郁南·初二期末）若m+=5，则m2+的结果是（ ）
A．23
B．8
C．3
D．7
【答案】A
【解析】因为m+=5，所以m2+=(m+)2﹣2=25﹣2=23，故选A．
6．（2020·四川省营山中学校初一期中）的计算结果的个位数字是（
）
A．8
B．6
C．2
D．0
【答案】D
【分析】先将2变形为，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
【解析】解：
，，，，，，，，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故与的个位数字相同即为1，∴的个位数字为0，
∴的个位数字是0．故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．
7．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部期中）已知，则（
）
A．1
B．－1
C．2
D．0
【答案】B
【分析】将代入，计算即可得到结果．
【解析】将代入得：
，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，应用特殊值代入求解是解题的关键．
8．（2020·甘肃天水中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．
【解析】解：由题意得：这组数据的和为：
∵，∴原式=,故选：A．
【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知，，则________．
【答案】-3
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵m+n=2，mn=-2，∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3．故答案为：-3．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2020·吉林市第二十五中学初二期中）在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是__________．
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【分析】根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案.
【解析】∵第一个图形的面积是a2-b2，
第二个图形的面积是（b＋b＋a＋a）（a－b）＝（a＋b）（a－b），
∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：a2-b2=(a+b)(a-b).故答案为a2-b2=(a+b)(a-b).
【点睛】本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.
11．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）设a，b是实数，定义
的一种运算如下：，则下列结论有：①，则；②；③；④．正确的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．
【详解】解：∵a
b=0，a
b=（a+b）2，∴（a+b）2=0，即：a+b=0，因此①符合题意，
∵a
b=（a+b）2，b
a=（b+a）2，∴，因此②符合题意，
a
（b+c）=（a+b+c）2，a
b+a
c=（a+b）2+（a+c）2，
∵（a+b+c）2≠（a+b）2+（a+c）2，∴，故③不符合题意，
∵a
b=（a+b）2，（-a）
（-b）=（-a-b）2=(a+b)2，
∵（a+b）2=（-a-b）2，∴a
b=（-a）
（-b），故④符合题意，
因此正确的结论是：①②④，故答案为：①②④．
【点睛】考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．
12．（2020·浙江杭州市·）若在中添加一个单项式，添加后能够写成一个完全平方式，则这个单项式是______．
【答案】3x或-5x或-
x2或-
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出所求．
【详解】解：x2+x+4+3x=
x2+4x+4
=（x+2）2，x2+x+4-5x=
x2-4x+4
=（x-2）2，
x2+x+4-
x2=
x2+x+4
=（x+2）2，x2+x+4-
=
x2+x+
=（x+）2，
故答案为：3x或-5x或-
x2或-
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，，其中均为整数，则____________
【答案】．
【分析】根据等式两边对应相等的关系，可得到ab和cd的值，以及a+b和c+d的关系，再根据a、b、c、d是整数，即可得到结果．
【详解】解：由题可得，
，，
又均为整数，∴，，，或，，，
即．故答案为：±8．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，属基础知识．
14．（2020·湖北大冶初二期末）已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是_____．
【答案】0
【分析】由a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27得a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38＝0，配方得（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2＝0，根据非负数的性质得a＝3，b＝2，c＝﹣5，即可求得结果．
【解析】解：由a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27得a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2＝0，∴a＝3，b＝2，c＝﹣5，a+b+c＝0．故答案为：0．
【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
15．（2020·浙江温州.初一期中）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为__________．
【答案】24
【解析】
【分析】
设KF=a，FL=b，利用a，b表示出图中的阴影部分面积S1与长方形面积S2，然后根据3S2－S1=96可得a，b的关系式，然后可求周长．
【详解】
设KF=a，FL=b，
由图可得，EK=BH=LJ=GD=4-a，KH=EB=GL=DJ==4-b，
∴S1=
S2=
∵3S2－S1=96
∴
整理得：
∴长方形ABCD的周长=
故答案为：24．
【点睛】本题考查列代数式表示图形面积以及代数式求值，利用长方形KFLI的长和宽表示出图形面积是解题的关键．
16．（2020·四川成都.初一期末）已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
【答案】④
【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误．
【解析】解：①，，故①正确；
②，，，、为整数），
由两式相加可得：，为整数），，故②正确；
③，，，、为整数），
，，由两式相乘可得：，
，为整数，，
故③正确；
④，，，，，，
两式相除得，，，
不一定是整数，不一定正确，故④错误．答案为④．
【点睛】本题是一个新定义题，关键是根据新定义进行推理计算，主要考查了学生的推理能力和自学能力．
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·重庆南开中学期末）先化简，再求值：，其中，.
【答案】，．
【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【解析】解：
，
当，时，原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）先化简，再求值：，其中．（2）己知，求的值
【答案】（1），；（2）3．
【分析】（1）先计算整式的乘法，再计算整式的加减法，然后将x的值代入即可得；
（2）利用平方差公式即可得．
【详解】（1）原式，
将代入得：原式；
（2），，
，，即，．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、整式的化简求值、平方差公式，熟练掌握公式和整式的运算法则是解题关键．
19．（2020·重庆初三三模）阅读材料：类比是数学中常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法.
例：
①
②
③
④
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式方法计算：；
（2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式.
（3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的倍（如图）.同时，矩形的面积和另一个边长为的矩形的面积相等，求的值和矩形的另一边长.
【答案】（1）；（2）；（3）m=-8,矩形C的另一边长为5x-10.
【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解；
（2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解；
（3）根据已知条件，求出面积，然后分解多项式即可．
【解析】解：（1）
（2x＋3）（x?5）＝2x2?7x?15
（2）
另一个多项式为：2x2?x＋7
（3）∵矩形B的周长是A周长的3倍∴2×（x＋2＋x?2）×3＝2×（x＋10＋x?2＋a）
∴a＝4x?8
所以矩形B的面积为：（x＋8）（5x?10）＝5x2＋30x?80
矩形C的面积与B的面积相等，5x2＋30x?80＝（x＋8）（5x?10），故m＝?8，矩形C的另一边为5x?10．
【点睛】本题考查了整式的乘除法，熟练法则是解答此题的关键．
20．（2020·石家庄外国语教育集团开学考试）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是(
)
A．
B．
C．
D．
(2)应用这个公式完成下列各题①已知，，求的值；②计算：．
【答案】(1)A；(2)①3，②1
【分析】(1)图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，可表示出面积为；
(2)①用平方差公式分解4m2-n2，将已知值代入可求解；
②将转化成(2019+1)(2019-1)，应用平方差公式展开后合并同类项即可．
【解析】
(1)图①按照正方形面积公式可得：；图②按照长方形面积公式可得：，
∴，故选：A；
(2)①∵4m2-n2=12，2m+n=4，4m2-n2=(2m+n)(2m-n)∴(2m-n)=12÷4=3；
②．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景及其应用与拓展，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
21．（2020·江苏丹阳·初一期中）[知识生成]
我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式
；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（3）小明同学用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则
；
[知识迁移]
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图④表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图④中图形的变化关系，写出一个数学等式：
【答案】（1）；（2）29；（3）12；（4）
【分析】（1）依据大正方形的面积=(a+b+c)2，各部分面积之和=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，从而可得答案；
（2）依据(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而(3a+b)(a+2b)=3a2+2b2+7ab，比较系数可得答案．
（4）根据原几何体的体积=新几何体的体积，列式可得结论．
【解析】（1）最外层正方形的面积为：(a+b+c)2，
分部分来看，有三个正方形和六个长方形，其和为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
总体看的面积和分部分求和的面积相等，故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c=9，ab+bc+ac=26，∴92=a2+b2+c2+2×26，
∴a2+b2+c2=81-52=29，∴a2+b2+c2的值为29；
（3）∵张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为的长方形纸片的面积为：xa2+yb2+zab，
又∵(3a+b)(a+2b)=3a2+2b2+7ab，∴xa2+yb2+zab=3a2+2b2+7ab，
∴x=3，y=2，z=7，∴x+y+z=12，故答案为：12；
（4）大立方体的体积等于a3，挖去的长方体的体积为4a，从而剩余部分的体积为a3-4a；
重新拼成的新长方体体积为：a(a-2)(a+2)，两者体积相等，故答案为：a3-4a=a(a-2)(a+2)．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式的几何背景，明确相关图形的面积或体积计算公式，数形结合，正确列式是解题的关键．
22．（2020·江苏江阴初一期中）（知识生成）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为
；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为
、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是
（等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
（知识迁移）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【答案】（1）（b﹣a）；（2）c2﹣2ab、（b﹣a）2；（3）a2+b2＝c2；（4）13；（5）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）a3+b3＝40．
【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（3）根据（1）的结果，即可得出答案；（4）代入求出即可；（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；（6）代入（5）中的等式求出即可．
【解析】解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，即a2＋b2＝c2，故答案为：a2＋b2＝c2；
（4）∵a2＋b2＝c2，a＝5，b＝12，∴c＝13，故答案为：13；
（5）图形的体积为（a＋b）3或a3＋b3＋a2b＋a2b＋a2b＋ab2＋ab2＋ab2，即（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，
故答案为：（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2；
（6）∵a＋b＝4，ab＝2，（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2，＝a3＋b3＋3ab（a＋b）
∴43＝a3＋b3＋3×2×4，解得：a3＋b3＝40．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键．
23．（2020·福建同安?初二月考）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．
例如：求代数式的最小值．
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．
（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
【答案】（1）代数式有最小值为1；（2）代数式有最小值为3．（3）当，时，多项式有最大值为17．
【分析】（1）根据完全平方公式将写成，然后利用非负数的性质进行解答；
（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答.
【解析】（1）原式
当时，代数式有最小值为1；
（2）原式
代数式有最小值为3．
（3）原式
当，时，多项式有最大值为17．
【点睛】本题考查了配方法和完全平方公式的应用，以及偶次方非负性的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
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精品试卷·第
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专题05
乘法公式与整式乘除
知识点精讲
知识点1
整式乘法
1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
1．（2020·贵州印江·初一期末）计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·广东郁南·初二期末）计算，结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则_______，________．
5．（2020·浙江绍兴·初一月考）如果中不含的一次项，那么的值为_________．
6．（2020·温州市第十二中学七年级月考）如图，一个长方形运动场被分隔成共5个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．（1）列式表示整个长方形运动场的面积，并将式子化简（2）如果，求整个长方形运动场的面积．
7．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）化简求值：，其中．
知识点2平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
1．（2020·广东揭阳·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若，，则代数式的值等于（
）
A．3
B．9
C．12
D．81
3．（2020·浙江金华市·七年级期末）观察下列各式：
；；；
请根据这一规律计算：（1）；（2）．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）先化简，再求值：，其中．
5．（2020·浙江金华市·七年级期中）若，则的末位数字是______．
6．（2020·银川九中英才学校初一期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是
；（请选择正确的一个）
A、
B、
C、
(2)若，求的值；
(3)计算：．
知识点3
完全平方公式
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
①
②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
1．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学月考）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2
B．（﹣m+1）（﹣m﹣1）＝m2﹣1
C．（2x﹣1）2＝2x2+4x﹣1
D．（a+1）2＝a2+1
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若m为正实数，且_____________．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若，且，则________，________．
4．（2020·浙江金华市·七年级期中）对于的计算，追风学习小组进行了激烈的讨论，①小杰说只能用公式；②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即；③小懿说可以用公式但要看准谁是a谁是b；④小王说口算就是；⑤小亮说可以转化计算，你认为谁的说法正确请写出序号____．
5．（2020·舟山市第一初级中学八年级期中）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为_______．
6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若是完全平方式，则_____．
知识点4
公式的拓展
1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
同样a、b、c可以通过换元。令c=－c，得：=+2ab-2ac-2bc
2）立方差公式：；
完全立方和与完全立方差：=
1．（2020·河南渑池·初二期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式____________________________________
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则_________.
2．（2020·河南舞钢·）对于一个图形,通过两种不同的方法计算它们的面积,可以得到一个数学等式，例如图1可以得到
（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式；
（2）若,
,用上面得到的数学等式乘的值；
（3）小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，z张边长为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值．
3．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知：如图长方体的长、宽、高分别为a，b，c．
，，．则称“为长方体的特征数”，我们发现长方体的特征数具有如下关系：．
（1）请你检验说明这个等式的正确性．（2）若，你能很快求出的值吗？（3）若．求此长方体的表面积．
4．（2020·江苏建湖·初一期中）学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式：
；（2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，可得等式：
；
②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值．
知识点5
整式除法
1)
单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
2)
多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
1．（2020·全国初二课时练习）已知被除式是x3+3x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，则除式是（ ）
A．x2+3x﹣1
B．x2+3x
C．x2﹣1
D．x2﹣3x+1
2．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________；
3．（2020·全国初二课时练习）小亮与小明做游戏，两人各报一个整式，小明报除式是，商式必须是2xy，则小亮报一个的被除式是________．
4．（2020·绍兴市长城中学期中）已知长方形的面积为3a2﹣6ab，一边长为3a，则另一边长为_____．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）先化简，再求值：，其中，
重难点题型
考点1
整式乘法基本运算
满分技巧：
p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若展开后不含x的一次项，则a的值是（
）
A．2
B．
C．
D．1
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ）
A．–3
B．3
C．0
D．1
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）化简；
（2）设，是否存在实数m，使得能化简为？若能，请求出满足条件的m值：若不能，请说明理由．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）先化简，再求值：，其中，．（2）已知，，求的值．
5．（2020·福建泉州五中期中）如果，则
____
考点2平方差与完全平方公式的基本运用
满分技巧：套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形。
完全平方公式：用
平方差公式为：，常见变化如下：
位置变化：（a+b）（－b+a）=；符号变化：（－a－b）（a－b）=－（）
系数变化：（3a+2b）（3a－2b）=
指数变化：
项数变化：（a+b－c）（a－b+c）=
连用变化：（a+b）（a－b）（）=（）（）=
1．（2020·湖南涟源·初一期末）计算的正确结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有
（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）设，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________
[（_____）+3b2]．
6．（2020·四川甘孜·初二期末）已知，则__________．
考点3
构造平方差公式及公式逆用
1．（2020·湖南茶陵·初一期末）已知实数，满足，则代数式的值为_____.
2．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____
3．（2020·全国初一课时练习）计算：____________.
4．（2020·福建省惠安科山中学月考）若，则数的末位数字是_______．
5．（2020·石家庄外国语教育集团初一期中）（探究）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)；
（应用）请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为 ；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
（拓展）计算的结果为 ．
考点4
完全平方式的应用（含参问题）
满分技巧：完全平方式的定义:对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式a22ab
+b2
=(ab)2。
注意:(1)对于a2=x(x0)，a有正负两种结果。(2)区分缺首尾项和缺中间项.
1．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（
）
A．
B．
C．或
D．或
2．（2020·江苏玄武·初一期末）若x2＋6x＋m（m为常数）是一个完全平方式，则m的值是______．
3．（2020·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·曲靖市马龙区通泉中学初二期中）若是一个完全平方式，则常数k的值为(
)
A．6
B．
C．
D．无法确定
5．（2020·山东威海初二期中）将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是(
)
A．
B．±4x
C．
D．
考点5完全平方式的应用（知二求二）
满分技巧：用可推导除一些变式
①
②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
1．（2020·全国初二课时练习）若，，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．
3．（2020·山东历下·初一期中）已知，则______.
4．（2020·湖北宜城.初二期末）若，，则______．
5．（2020·江苏省邗江实验学校期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．
考点6
完全平方公式应用（）
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知＝2，则＝________．
2．（2020·四川锦江·初二学业考试）已知，则____________．
3．（2020·贵州赫章·初二期末）已知a＋＝3，则a2＋等于(
)
A．5
B．7
C．9
D．11
4．（2020·泉州市第六中学初二期中）回答下列问题：(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.(2)若a+＝5，则a2+＝_____；(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.
考点7
配方法的应用
满分技巧：运用一个式子求解多个未知数，考虑平方的非负性，初中阶段目前所学具有非负性的有（n为正整数).
1．（2020·广西兴业·月考）代数式的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
2．（2020·江苏宝应.初一期中）已知，，，则代数式的值为______．
3．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：
a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+
；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
4．（2020·吉林长春.初二期中）阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知，求的值.
解：由已知得即
∵，
∴有，解得∴.
题目：已知，求的值.
5．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）已知，求的值.
考点8乘法公式的几何背景
满分技巧：两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
1．（2020·绍兴市昌安实验学校期中）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b(b
A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
2．（2020·浙江衢州初一期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形(正方形和正方形)．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为( )
A．100
B．96
C．90
D．86
3．（2020·浙江长兴.初一期末）现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图②的完全相同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________．
4．（2020·浙江衢州.初一期中）（阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（拓展升华）（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知，，求的值；
②已知，求的值．
5．（2020·浙江丽水.初一期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
图2中的阴影部分的正方形的边长是
．请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并写出下列三个代数式:之间的等量关系；利用中的结论计算:，求的值；根据中的结论，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值．
考点9
整式乘法的归纳猜想问题
1．（2020·青神县实验初级中学校初一期中）阅读下文，回答问题：
已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;
（1）计算上式并填空；
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=??
??；
（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.
2．（2020·湖北阳新初二期末）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：(?x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：?x?2x?3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．(1)计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为_____．
(2)(?x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为_______．
(3)若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=_____．
3．（2021·安徽埇桥初二期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是_____．
4．（2020·石家庄市第二十八中学初一期中）（1），________；________．
（2）猜想：________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计：________．
5．（2020·北京平谷.初一期末）
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．
有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；
③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；
④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．
考点10
整式除法基本运算
满分技巧：（pa+pb+pc）÷p=a+b=c
1．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学月考）（3a2﹣6ab）÷3a=_____．
2．（2020·辽宁昌图·期末）已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a，则与这条边相邻的边的长度为______
3．（2020·泉州市第六中学初二期中）若多项式与单项式的积是，则该多项式为_______．
4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________；
5．（2020·重庆九龙坡初二月考）我们知道整数除以整数（其中），可以用竖式计算，例如计算可以用整式除法如图：，所以.
类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：
①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算.
可用整式除法如图：
所以除以
商式为，余式为0
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）
.
（2），商式为
，余式为
.
（3）若关于的多项式能被三项式整除，且均为整数，求满足以上条件的的值及商式.
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精品试卷·第
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专题05
乘法公式与整式乘除
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·全国初二课时练习）如果，那么a、b的值分别为（
）
A．2；4
B．5；-25
C．-2；25
D．-5；25
2．（2020·长春市第四十七中学月考）（
）=
4a4-9b4，括号内应填（
）
A．2a2+3b2
B．2a2-3b2
C．-2a2-3b2
D．-2a2+3b2
3．（2020·浙江初一月考）三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是(
)
A．m+n
B．2m+2n
C．2m+n
D．m+2n
4．（2020·浙江桐乡初二月考）若代数式x2＋ax＋64是一个完全平方式，则a的值是（
）
A．－16
B．16
C．8
D．±16
5．（2020·广东郁南·初二期末）若m+=5，则m2+的结果是（ ）
A．23
B．8
C．3
D．7
6．（2020·四川省营山中学校初一期中）的计算结果的个位数字是（
）
A．8
B．6
C．2
D．0
7．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部期中）已知，则（
）
A．1
B．－1
C．2
D．0
8．（2020·甘肃天水中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知，，则________．
10．（2020·吉林市第二十五中学初二期中）在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是__________．
11．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）设a，b是实数，定义
的一种运算如下：，则下列结论有：①，则；②；③；④．正确的序号是_______．
12．（2020·浙江杭州市·）若在中添加一个单项式，添加后能够写成一个完全平方式，则这个单项式是______．
13．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，，其中均为整数，则____________
14．（2020·湖北大冶初二期末）已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是_____．
15．（2020·浙江温州.初一期中）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为__________．
16．（2020·四川成都.初一期末）已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.
①；②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
三、解答题（本大题共7小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2020·重庆南开中学期末）先化简，再求值：，其中，.
18．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）先化简，再求值：，其中．（2）己知，求的值
19．（2020·重庆初三三模）阅读材料：类比是数学中常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法.
例：
①
②
③
④
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式方法计算：；
（2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式.
（3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的倍（如图）.同时，矩形的面积和另一个边长为的矩形的面积相等，求的值和矩形的另一边长.
20．（2020·石家庄外国语教育集团开学考试）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是(
)
A．
B．
C．
D．
(2)应用这个公式完成下列各题①已知，，求的值；
②计算：．
21．（2020·江苏丹阳·初一期中）[知识生成]
我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图①可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式
；
（2）利用（1）中的结论，解决问题：已知，，求的值；
（3）小明同学用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则
；
[知识迁移]（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图④表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图④中图形的变化关系，写出一个数学等式：
22．（2020·江苏江阴初一期中）（知识生成）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为
；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为
、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是
（等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
（知识迁移）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
23．（2020·福建同安?初二月考）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等．
例如：求代数式的最小值．
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）当为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值．
（2）当，为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当，为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
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专题05
乘法公式与整式乘除
知识点精讲
知识点1
整式乘法
1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
1．（2020·贵州印江·初一期末）计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据单项式与单项式的乘法运算法则即可计算．
【解析】=．故答案为：A．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是：把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．
2．（2020·广东郁南·初二期末）计算，结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先去括号，然后利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解析】解：，故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法，同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则_______，________．
【答案】
【分析】由，可得从而可得：解方程组可得答案．
【详解】解：
，
故答案为：
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2020·浙江绍兴·初一月考）如果中不含的一次项，那么的值为_________．
【答案】-1
【分析】先把原式化为，结合条件，得m+1=0，即可求解．
【解析】∵=，且不含的一次项，
∴m+1=0，解得：m=-1．故答案是：-1．
【点睛】本题主要考查整式的乘法法则以及多项式的项的概念，掌握多项式的一次项的概念，是解题的关键．
6．（2020·温州市第十二中学七年级月考）如图，一个长方形运动场被分隔成共5个区，区是边长为的正方形，区是边长为的正方形．（1）列式表示整个长方形运动场的面积，并将式子化简（2）如果，求整个长方形运动场的面积．
【答案】（1）4-（）；（2）9100（）．
【分析】（1）整个长方形的长为（2a＋b）m，宽为（2a?b）m，利用面积公式求出答案即可．
（2）将a与b的值代入（1）中化简后的式子即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意的：整个长方形的长为a＋a＋b=2a+b(m)，宽a＋a?b＝2a-b（m）
整个长方形运动场的面积为：（2a+b）（2a-b）=4-（）；
（2）当a＝50，b＝30时，4-=4×-=10000-900=9100（）．
【点睛】本题考查代数式化简求值，涉及长方形面积公式，解题的关键是熟练掌握代数式的化简求值及长方形面积公式．
7．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）化简求值：，其中．
【答案】，7．
【分析】先计算整式的乘法与加减法运算，再将x的值代入即可得．
【详解】原式，，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
知识点2平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
1．（2020·广东揭阳·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式，逐一判断选项，即可得到答案．
【解析】∵==，∴A不符合题意，
∵==，∴B不符合题意，
∵=∴C符合题意，
∵=，∴D不符合题意．故选C．
【点睛】本题主要考查运用平方差公式计算，掌握平方差公式是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若，，则代数式的值等于（
）
A．3
B．9
C．12
D．81
【答案】B
【分析】逆用平方差公式计算．
【详解】由题：，则故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的逆运用，能够熟练运用基本公式是解决问题的关键．
3．（2020·浙江金华市·七年级期末）观察下列各式：
；；；
请根据这一规律计算：（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）观察题中所给的三个等式，可知等式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可．
【详解】（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】；-2
【分析】运用单项式乘以多项式和平方差公式展开后化简，将数值代入计算即可．
【详解】原式==；当时，原式=．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式和平方差公式，掌握单项式乘以多项式和平方差公式是解题的关键．
5．（2020·浙江金华市·七年级期中）若，则的末位数字是______．
【答案】9
【分析】A变形后，利用平方差公式计算得到结果，判断结果的个位数字，即可确定出A?2016末位数字．
【详解】解：A＝（2?1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＝（22?1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）
＝（24?1）（24＋1）（28＋1）＝（28?1）（28＋1）＝216?1，∴A?2016＝216?2017，
∵216个位上数为6，则A?2016的末位数字是9，故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．（2020·银川九中英才学校初一期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是
；（请选择正确的一个）
A、
B、
C、
(2)若，求的值；
(3)计算：．
【答案】（1）A；（2）4；（3）
【分析】（1）观察图1与图2，根据图1中阴影部分面积，图2中长方形面积，得到验证平方差公式；（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【解析】解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积，图2中长方形面积，
上述操作能验证的等式是，故答案为：
A；
（2），，；
（3）
．
【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键，注意此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．
知识点3
完全平方公式
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
①
②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
1．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学月考）下列乘法公式运用正确的是（ ）
A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2
B．（﹣m+1）（﹣m﹣1）＝m2﹣1
C．（2x﹣1）2＝2x2+4x﹣1
D．（a+1）2＝a2+1
【答案】B
【分析】利用平方差公式和完全平方公式展开得到结果，即可作出判断．
【解析】A、（a+b）（b﹣a）=b2﹣a2，本选项错误；B、（﹣m+1）（﹣m﹣1）=m2﹣1，本选项正确；
C、（2x﹣1）2=4x2﹣4x+1，本选项错误；D、（a+1）2=a2+2a+1，本选项错误，故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若m为正实数，且_____________．
【答案】11
【分析】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【详解】解：∵，∴，
即，∴，故答案为：11．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式并利用乘积二倍项不含字母是解题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若，且，则________，________．
【答案】12
±1
【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x-y）2的值，再求出答案即可．
【详解】解：∵x2+y2=（x+y）2-2xy，∴25=72-2xy，∴xy=12，
∴（x-y）2=x2-2xy+y2=25-2×12=1，∴x-y=±1，故答案为：12，±1．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．
4．（2020·浙江金华市·七年级期中）对于的计算，追风学习小组进行了激烈的讨论，①小杰说只能用公式；②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即；③小懿说可以用公式但要看准谁是a谁是b；④小王说口算就是；⑤小亮说可以转化计算，你认为谁的说法正确请写出序号____．
【答案】①②③⑤
【分析】根据多项式乘以多项式和完全平方公式计算即可.
【详解】①，正确；
②，正确；
③，正确；④错误；
⑤，正确；故答案为：①②③⑤
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.
5．（2020·舟山市第一初级中学八年级期中）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是25，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为_______．
【答案】46
【分析】根据题意得出a2+b2=25，(b-a)2=4，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，然后利用完全平方公式的变形求出(a+b)2即可．
【详解】由题意可得在图1中：a2+b2=25，(b-a)2=4，图2中大正方形的面积为：(a+b)2，
∵(b-a)2=4
a2-2ab+b2=4，∴25-2ab=4
2ab=21，∴(a+b)2=
a2+2ab+b2=25+21=46，故答案为：46．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若是完全平方式，则_____．
【答案】4或-2
【分析】根据完全平方式的形式即可得出m的值．
【详解】∵是完全平方式
∴或
解得或
故答案为：4或-2
【点睛】本题主要考查完全平方式，掌握完全平方式的形式是解题的关键．
知识点4
公式的拓展
1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
同样a、b、c可以通过换元。令c=－c，得：=+2ab-2ac-2bc
2）立方差公式：；
完全立方和与完全立方差：=
1．（2020·河南渑池·初二期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式____________________________________
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则_________.
【答案】（1）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（2）见解析；（3）30
【分析】（1）图2的面积一方面可以看作是边长为（a＋b＋c）的正方形的面积，另一方面还可以看成是3个边长分别为a、b、c的正方形的面积+2个边长分别为a、b的长方形的面积+2个边长分别为a、c的长方形的面积+2个边长分别为b、c的长方形的面积，据此解答即可；（2）根据多项式乘以多项式的法则计算验证即可；（3）将所求的式子化为：，然后整体代入计算即得结果．
【解析】解：（1）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（2）（a＋b＋c）2＝（a＋b＋c）（a＋b＋c）＝a2＋ab＋ac＋ba＋b2＋bc＋ca＋cb＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；所以（1）中的等式成立；
（3）．故答案为：30．
【点睛】本题是完全平方公式的拓展应用，主要考查了对三数和的完全平方的理解与应用，正确理解题意、熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2．（2020·河南舞钢·）对于一个图形,通过两种不同的方法计算它们的面积,可以得到一个数学等式，例如图1可以得到
（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式；
（2）若,
,用上面得到的数学等式乘的值；
（3）小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，z张边长为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）104.
【分析】（1）整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等；
（2）依据a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（a+7b）（9a+4b）=9a2+67ab+28b2，可得x，y，z的值，从而得解．
【解析】解：（1）∵图2中正方形的面积有两种算法：①（a+b+c）2；②a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴图2表示的数学等式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc=102-2×35=30；
（3）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（a+7b）（9a+4b）=9a2+4ab+63ab+28b2=9a2+67ab+28b2，
∴x=9，y=28，z=67，∴x+y+z=9+28+67=104．
【点睛】本题属于整式乘法公式的几何表示及其相关应用，属于基础题目，难度不大．解题的关键是熟练掌握图形的面积计算方法.
3．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知：如图长方体的长、宽、高分别为a，b，c．
，，．则称“为长方体的特征数”，我们发现长方体的特征数具有如下关系：．
（1）请你检验说明这个等式的正确性．
（2）若，你能很快求出的值吗？
（3）若．求此长方体的表面积．
【答案】（1）验证见解析；（2）3；（3）260．
【分析】（1）对展开整理，再表示，可得；
（2）根据，直接将值代入中计算即可；
（3）先根据，得出，再计算，继而可得此长方体的表面积．
【详解】解：（1）∵=
=，，∴；
（2）
当时，原式==3；
（3）∵，∴，
∴，
∵，∴，即，∴此长方体的表面积为260．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用．能读懂题意理解题中3个式子之间的关系是解题关键．其次还需熟记完全平方公式．
4．（2020·江苏建湖·初一期中）学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式：
；
（2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，可得等式：
；
②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值．
【答案】（1）（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；（2）①（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；②91．
【分析】（1）用两种不同的方法表示大长方形的面积，可以得到一个等式，
（2）①用两种不同的方法表示大正方体的体积，可以得到一个等式，②利用等式变形，可求出答案．
【解析】解：（1）如图1，整体上长方形的面积为（a＋b）（2a＋b），组成大长方形的六部分的面积和为a2＋a2＋ab＋ab＋ab＋b2＝2a2＋3ab＋b2，
因此有（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，故答案为：（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；
（2）①整体上大正方体的体积为（a＋b）3，组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
因此有，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，故答案为：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．
②由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3得，
a3＋b3＝（a＋b）3﹣3a2b﹣3ab2＝73﹣3×48﹣3×36＝91．
【点睛】本题考查几何体的体积、图形的面积的计算方法，用两种不同的方法表示同一个图形的面积或同一个几何体的体积，是得到等式的关键．
知识点5
整式除法
1)
单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
2)
多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
1．（2020·全国初二课时练习）已知被除式是x3+3x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，则除式是（ ）
A．x2+3x﹣1
B．x2+3x
C．x2﹣1
D．x2﹣3x+1
【答案】B
分析：按照“被除式、除式、商式和余式间的关系”进行分析解答即可.
【解析】由题意可得，除式为：==.故选B.
点睛：熟知“被除式、除式、商式和余式间的关系：被除式=除式×商式+余式”是解答本题的关键.
2．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________；
【答案】
【分析】原式变形后，利用同底数幂的除法法则计算即可求出值.
【解析】原式=故答案为：
【点睛】此题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2020·全国初二课时练习）小亮与小明做游戏，两人各报一个整式，小明报除式是，商式必须是2xy，则小亮报一个的被除式是________．
【答案】
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则即可求解．
【解析】依题意可得．故答案是．
【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
4．（2020·绍兴市长城中学期中）已知长方形的面积为3a2﹣6ab，一边长为3a，则另一边长为_____．
【答案】a﹣2b
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解析】∵长方形的面积为3a2﹣6ab，一边长为3a，∴另一边长为：（3a2﹣6ab）÷3a=a﹣2b．
故答案为a﹣2b．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）先化简，再求值：，其中，
【答案】-x2，-1
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式的法则化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（x+2y）（x-2y）-（4x3y-8xy3）÷2xy=x2-4y2-2x2+4y2=-x2，
当x=-1时，原式=-（-1）2=-1．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
重难点题型
考点1
整式乘法基本运算
满分技巧：
p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若展开后不含x的一次项，则a的值是（
）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】先将多项式展开，然后令x的系数为0，求出a的值即可．
【详解】解：==
∵展开后不含x的一次项，∴2+2a=0，∴a=-1；故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ）
A．–3
B．3
C．0
D．1
【答案】A
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【详解】解：∵（x＋m）（x＋3）＝x2＋3x＋mx＋3m＝x2＋（3＋m）x＋3m，
又∵（x＋m）与（x＋3）的乘积中不含x的一次项，
∴3＋m＝0，解得m＝?3．故选：A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）化简；
（2）设，是否存在实数m，使得能化简为？若能，请求出满足条件的m值：若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）±1
【分析】（1）先将括号展开，再合并同类项即可；（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号整理后确定出m的值即可．
【详解】解：（1）=
==；
（2）原式=4a2-4ab+b2-a2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2，当b=±a时，原式=12a2，则m=±1．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）先化简，再求值：，其中，．（2）已知，，求的值．
【答案】（1），2；（2）54
【分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可；（2）根据a2+b2=（a-b）2+2ab，把a2+3ab+b2改写成（a-b）2+5ab，利用整体思想代入计算．
【详解】解：（1）==
将代入，原式=2×12=2；
（2）∵，，
∴====
【点睛】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则．
5．（2020·福建泉州五中期中）如果，则
____
【答案】1
【分析】分别令x=0和x=1，可得和，从而可得结果．
【解析】解：∵
令x=0，则，令x=1，则，
∴，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，取x的特殊值代入是解答此题的关键．
考点2平方差与完全平方公式的基本运用
满分技巧：套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形。
完全平方公式：用
平方差公式为：，常见变化如下：
位置变化：（a+b）（－b+a）=；符号变化：（－a－b）（a－b）=－（）
系数变化：（3a+2b）（3a－2b）=
指数变化：
项数变化：（a+b－c）（a－b+c）=
连用变化：（a+b）（a－b）（）=（）（）=
1．（2020·湖南涟源·初一期末）计算的正确结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【分析】根据平方差公式计算即可判断．
【解析】．故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即()()=．
2．（2020·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解析】解：、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；、、中均存在相同和相反的项，
故选：．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
3．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有
（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】解：①（-2ab+5x）(5x+2ab)=
（5x
-2ab）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确;
②(ax－y)(-ax-y)
=-
(ax－y)(
ax+y)，符合平方差公式，故②正确;
③(-ab-c)(ab-c)=-
(a+-c)(ab-c)
，符合平方差公式，故③正确;
④(m+n)(-m-n)=-
(m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误.正确的有①②③.故选B.
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）设，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先得到A=，再利用平方差公式计算．
【详解】解：由题意可得：
A====24ab
选D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式．
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________
[（_____）+3b2]．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的特点即可求解．
【解析】∵=
[()+3b2]；故答案为：；．
【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知公式的特点．
6．（2020·四川甘孜·初二期末）已知，则__________．
【答案】2
【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。
【解析】解：
当时，原式．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键．
考点3
构造平方差公式及公式逆用
1．（2020·湖南茶陵·初一期末）已知实数，满足，则代数式的值为_____.
【答案】3.
【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.
【解析】∵，，∴.故答案为3.
【点睛】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答.
2．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____
【答案】2.5
【分析】根据平方差公式的逆运算即可求解.
【解析】∵，，∴()÷()=
2.5
【点睛】此题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的逆用.
3．（2020·全国初一课时练习）计算：____________.
【答案】2019.
【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【解析】解：∵
∴=故答案是：2019.
【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
4．（2020·福建省惠安科山中学月考）若，则数的末位数字是_______．
【答案】6
【分析】将原式转化成，再结合平方差公式解题即可．
【解析】
的个位数是6
的个位数是6．故答案为：6．
【点睛】本题考查平方差公式、尾数特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2020·石家庄外国语教育集团初一期中）（探究）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)；
（应用）请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为 ；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
（拓展）计算的结果为 ．
【答案】探究：（1），；（2）；应用：①12；②；拓展：．
【分析】探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积；（2）根据图①与图②的面积相等即可得；
应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得；②利用两次平方差公式即可得；
拓展：将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得．
【解析】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为，
故答案为：，；
（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：，
故答案为：；
应用：①，故答案为：12；
②原式，，；
拓展：原式，
，，
，，．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形、以及应用，熟练掌握平方差公式是解题关键．
考点4
完全平方式的应用（含参问题）
满分技巧：完全平方式的定义:对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式a22ab
+b2
=(ab)2。
注意:(1)对于a2=x(x0)，a有正负两种结果。(2)区分缺首尾项和缺中间项.
1．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】有完全平方式的特征，列式进行计算，即可得到答案．
【解析】解：∵是完全平方式，∴，∴，
解得：或；故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，解题的关键是掌握完全平方式的特征进行解题．
2．（2020·江苏玄武·初一期末）若x2＋6x＋m（m为常数）是一个完全平方式，则m的值是______．
【答案】9
【分析】根据题意，可得：，即可得出答案．
【解析】是一个完全平方式，故答案为：9．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，属于基础题型．
3．（2020·浙江瑞安.初一期中）已知是一个有理数的平方，则不能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【解析】2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2?29+1=（29+1）2，此时n=9+1=10，
218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2?217+1=（217+1）2，此时n=2×17=34，
1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2?29?2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此时n=-20，
综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
4．（2020·曲靖市马龙区通泉中学初二期中）若是一个完全平方式，则常数k的值为
A．6
B．
C．
D．无法确定
【答案】C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解析】解：是一个完全平方式，，解得：，故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（2020·山东威海初二期中）将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是(
)
A．
B．±4x
C．
D．
【答案】D
【分析】分x2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.
【解析】解：①当x2是平方项时，4士4x+x?=（2士x）2，则可添加的项是4x或一4x；
②当x2是乘积二倍项时，4+
x2+
=（2+）2，则可添加的项是；
③若为单项式，则可加上-4.故选：D.
【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.
考点5完全平方式的应用（知二求二）
满分技巧：用可推导除一些变式
①
②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
1．（2020·全国初二课时练习）若，，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用完全平方公式把展开，再把展开，然后两式相减，就可以得到的值．
【解析】，即．
又．故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于对完全平方公式的熟练运用．
2．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．
【答案】12
【分析】用完全平方公式进行恒等变形，求出的值再代入求解即可．
【解析】解：由完全平方公式：，代入数据：得到：，
∴，∴，故答案为：12．
【点睛】本题考查了完全平方公式及其恒等变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
3．（2020·山东历下·初一期中）已知，则_____________.
【答案】14
【分析】设，则，，于是原式可变形为关于a2的等式，求出a2即为所求的式子的值．
【解析】解：设，则，，
因为，所以，
整理，得：，所以，即14．故答案为：14．
【点睛】本题考查了整式乘法的完全平方公式及其变形，设、灵活利用整体代入的数学思想是解题的关键．
4．（2020·湖北宜城.初二期末）若，，则______．
【答案】12
【分析】根据完全平方公式的两个关系式间的关键解答即可.
【解析】∵，，∴，
∴19=5+4xy，∴xy=，∴，故答案为：12.
【点睛】此题考查完全平方公式，熟记公式并掌握两个公式的等量关系是解题的关键.
5．（2020·江苏省邗江实验学校期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．
【答案】（1）12；（2）56；（3）±2
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．
【解析】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；
（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；
（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．
【点睛】本题考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键．
考点6
完全平方公式应用（）
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知＝2，则＝________．
【答案】6
【分析】把已知等式两边分别平方，再展开求解．
【解析】把＝2两边分别平方，得：，即：，，故答案为：6．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，掌握完全平方公式是关键．
2．（2020·四川锦江·初二学业考试）已知，则____________．
【答案】47
【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．
【解析】∵，∴（x＋）2＝49，即＋2＝49，则47，故答案为：47．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值以及完全平方公式，正确运用公式是解题关键．
3．（2020·贵州赫章·初二期末）已知a＋＝3，则a2＋等于(
)
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】B
【分析】利用完全平方公式把变形成为，代入解答即可．
【解析】===7．故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是把变形成为．
4．（2020·泉州市第六中学初二期中）回答下列问题：(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.(2)若a+＝5，则a2+＝_____；(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.
【答案】(1)2，2；(2)23；(3)7.
【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答即可；
（3）先将已知条件化为，然后根据完全平方公式求解即可.
【解析】（1）故答案为2，2.
（2）.
（3）
两边同除以a得（显然）则.
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键.
考点7
配方法的应用
满分技巧：运用一个式子求解多个未知数，考虑平方的非负性，初中阶段目前所学具有非负性的有（n为正整数).
1．（2020·广西兴业·月考）代数式的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．
【解析】代数式
∵∴即代数式故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．
2．（2020·江苏宝应.初一期中）已知，，，则代数式的值为______．
【答案】3
【分析】把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解析】解：，，，
，，，
则原式
，故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
3．（2020·吉林长春外国语学校初二期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：
a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+
；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
【答案】（1）4；（2）M的最小值为﹣3；（3）a+b+c=.
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案；
（3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．
【解析】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2故答案为：4；
（2）M＝+2a+1＝（a2+8a+16）﹣3＝（a+4）2﹣3∴M的最小值为﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0∴a＝b＝1，
，∴a+b+c=.．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
4．（2020·吉林长春.初二期中）阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知，求的值.
解：由已知得即
∵，
∴有，解得∴.
题目：已知，求的值.
【答案】-
【分析】先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求出xy的值．
【解析】将，化简得，即．
∵，，且它们的和为0，∴
，
，∴.
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
5．（2021·山东东平县江河国际实验学校月考）已知，求的值.
【答案】121
【解析】∵x?+y??4x+6y+13=(x?2)?+(y+3)?=0，∴x?2=0，y+3=0，即x=2，y=?3，
则原式=(x?3y)?=11?=121.
点睛：本题考查了因式分解-运用公式法,
非负数的性质：偶次方，已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
考点8乘法公式的几何背景
满分技巧：两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
1．（2020·绍兴市昌安实验学校期中）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b(bA．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
【答案】D
【分析】根据左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），利用面积相等即可解答．
【解析】∵左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）．故选D．
【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
2．（2020·浙江衢州初一期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形(正方形和正方形)．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为( )
A．100
B．96
C．90
D．86
【答案】C
【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积．
【解析】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得：
的长为：，宽为：，故
的长为：，宽为：，故；
的长为：，宽为：，故．
∵，
整理得
故选：．
【点睛】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．
3．（2020·浙江长兴.初一期末）现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图②的完全相同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________．
【答案】1：6
【分析】先求出图②中阴影部分的面积，由此可求出图③中阴影部分的面积，再根据图③可得到a=3b，由此可求出图③中整个图形的面积，然后求出图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比．
【解析】解：如图②种阴影部分的面积为（a+b）2-4ab=（a-b）2．
如图③可知
3a+3b=4a∴a=3b
∴S阴影部分=（3b-b）2=4b2;
∴图③中S阴影部分=3×4b2=12b2;
图③中整个图形的面积为：4a×（a+3b）=12b（3b+3b）=72b2；
∴图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为12b2：72b2=1：6．
故答案为：1：6．
【点晴】此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是：结合图形找出长与宽的数量关系．
4．（2020·浙江衢州.初一期中）（阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（拓展升华）（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）；（2）①13；②4044．
【分析】（1）方法一是直接求出阴影部分面积，方法二是间接求出阴影部分面积，即为边的正方形面积减去两个为宽、为长的矩形面积，即；
（2）①将，代入上题所得的等量关系式求值；
②可以将看作，将看作，代入（1）题的等量关系式求值即可．
【解析】（1）．
（2）①由题意得：，把，代入上式得：．
②由题意得：
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景及应用．此题为阅读材料型，也是近几年经常考查的题型，熟练掌握完全平方公式并根据条件特点灵活应用是解决此题的关键．
5．（2020·浙江丽水.初一期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
图2中的阴影部分的正方形的边长是
．请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并写出下列三个代数式:之间的等量关系；利用中的结论计算:，求的值；根据中的结论，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
；(4)4，12
【解析】
【分析】（1）图2中，大正方形的边长为：a+b，横着看，a+b是由两个b和阴影正方形的边长构成，相减便得阴影正方形边长；（2）方法一：图1中已求出阴影正方形的边长，边长乘边长即为面积；方法二：图2长方形面积减图2非阴影部分面积，即为阴影部分面积‘’
（3）由（2）可得之间的关系，运用这个关系可直接求得x+y的值；
（4）将m视为a，视为b，按照上述结论即可解决
【详解】解：（1）图2中，大正方形的边长为：a+b，
∴阴影正方形的边长=a+b－b－b=a－b
阴影部分面积可以表示为：和
三个式子之间的等量关系：
由可知，
根据中的结论，可得
且不能为
【点睛】本题是一个探究性题目，我们需要根据题干的思路，得出一个我们还未学习到的结论.请注意，得到的这个结论是我们解决后续小问的关键，注意知识的迁移和灵活应用.
考点9
整式乘法的归纳猜想问题
1．（2020·青神县实验初级中学校初一期中）阅读下文，回答问题：
已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;
（1）计算上式并填空；
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=??
??；
（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.
【答案】（1）;;（2）；（3）.
【分析】(1)根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；(2)观察式子特点可得规律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；(3)根据（2）中的规律先计算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得结果.
【解析】解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2-
x-x2-
x3=;（1-x）（1+x+x2+x3）=;
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；
（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)=
∴399+398+397…+32+3+1=
【点睛】本题考查了有特定规律的整式乘法，按法则进行计算并观察得到规律是解题的关键.
2．（2020·湖北阳新初二期末）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：(?x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：?x?2x?3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．(1)计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为_____．
(2)(?x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为_______．
(3)若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=_____．
【答案】（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
【解析】（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．
（2）由题意可得(?x+6)(2x+3)(5x-4)
二次项系数是：．
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a
=
a+3=0∴a=-3．
（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
故答案为：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，观察题干，得出规律是关键．
3．（2021·安徽埇桥初二期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是_____．
【答案】2693
【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2-n2=（m+n）（m-n），因为m，n是正整数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【解析】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．
所以不存在自然数x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018个“智慧数”，故答案为：2693．
【点睛】本题考查平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．
4．（2020·石家庄市第二十八中学初一期中）（1），________；________．
（2）猜想：________（其中为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计：________．
【答案】
【分析】（1）直接利用多项乘以多项式的运算法则，即可求出答案；（2）利用（1）中的关系，找出规律，即可得到答案.（3）利用（2）的结论，然后进行化简计算，即可得到答案.
【解析】解：（1）==；
==；
故答案为：，；
（2）∵，，
，∴；
故答案为：；
（3）由（2）可知，∵，
∴，
∴
∴
∴；故答案为：.
【点睛】本题考查了整式的数字变化规律，乘方的运算法则，以及平方差公式的知识，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简，从而正确的得到式子的规律.
5．（2020·北京平谷.初一期末）
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．
有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；
③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；
④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有______（写出序号即可）．
【答案】①②
【分析】根据题中举例说明，明确杨辉三角的与的展开式的系数间的对应关系，据此逐项分析．
【解析】∵在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，
∴在杨辉三角形中第行的个数，对应展开式中各项的系数，
①∵展开式中各项的系数，为杨辉三角形中第6行的6个数，
∴；
②∵各项系数对应杨辉三角中的第4行的4个数，∴，
当时，代数式=；
③∵各项系数对应杨辉三角中的第5行的5个数，
∴，当代数式时，，不一定是；
④∵当时，展开式各项之和便是系数之和，
∴的展开式中的各项系数之和为，故答案为：①②．
【点睛】本题考查了合情推理，由具体举例推广到一般情况下杨辉三角与展开式的系数之间的对应规律，是解题的关键．
考点10
整式除法基本运算
满分技巧：（pa+pb+pc）÷p=a+b=c
1．（2020·佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学月考）（3a2﹣6ab）÷3a=_____．
【答案】a﹣2b．
【分析】直接利用整式的乘除运算法则计算得出答案．
【解析】（3a2﹣6ab）÷3a=3a2÷3a﹣6ab÷3a=a﹣2b．故答案为：a﹣2b．
【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2020·辽宁昌图·期末）已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a，则与这条边相邻的边的长度为______
【答案】
【分析】直接利用长方形面积等于长乘以宽，列式计算得出答案．
【解析】∵已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a
∴与这条边相邻的边的长=
故答案为：
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2020·泉州市第六中学初二期中）若多项式与单项式的积是，则该多项式为_______．
【答案】3a-b
【分析】根据多项式与单项式2a2b的积是6a3b-a2b2，则该式等于多项式6a3b-a2b2除以单项式2a2b的商．
【解析】依题意得：（6a3b-2a2b2）÷2a2b=3a-b．故答案是：3a-b．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________；
【答案】
【分析】首先运用逆运算得到算式，然后计算即可．
【解析】由运算关系可得：=
=故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法和除法运算，熟练掌握运算公式和法则是解题的关键．
5．（2020·重庆九龙坡初二月考）我们知道整数除以整数（其中），可以用竖式计算，例如计算可以用整式除法如图：，所以.
类比此方法，多项式除以多项式一般也可以用竖式计算，步骤如下：
①把被除式，除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如：计算.
可用整式除法如图：
所以除以
商式为，余式为0
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）
.
（2），商式为
，余式为
.
（3）若关于的多项式能被三项式整除，且均为整数，求满足以上条件的的值及商式.
【答案】（1）；（2），；（3）a=
-3，b=7，商式为（2x-1）.
【分析】（1）模仿例题，可用竖式计算；（2）模仿例题，可用竖式计算；（3）设商式为（x+m），则有=（2x+m）（）=2x3+（m-2）x2+（6-m）x+3m，根据对应项系数相等即可解决问题．
【解析】（1）
.
∴.
（2），
∴，商式为，余式为.
（3）设商式为（2x+m），则有=（2x+m）（）=2x3+（m-2）x2+（6-m）x+3m，
∴-3=3m，∴m=-1，∴a=m-2=-1-2=-3，b=6-m=6-（-1）=7，商式为（2x-1），
【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是理解被除式=除式×商式+余式，学会模仿解题．
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